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一 填空题 1设621,,,X X X 是总体)1,0(~N X 的一个样本，26542321)()(X X X X X X Y +++++=。
当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。
2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ，~12X F(n,1) 。
3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时，∑-=+-=11212)(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。
4 设)),0(~(2σεεβαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。
对于固定的0x ，则0x βα+~ ()20201,x x N x n Lxx αβσ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥++ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭。
5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝ 。
6．设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 ()()()()222212211,11n S n S n n ααχχ-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦。
7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8221,10μ令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛202121，则Y 的分布为 ()12,02TN A A A A μ⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 。
8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表2 极差分析数据表则（1）较好工艺条件应为22121A B C D E 。
（2）方差分析中总离差平方和的自由度为 7 。
（3）上表中的第三列表示 A B ⨯交互作用 。
9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。
则y 关于x 的线性回归模型为 ()ˆ 2.356 1.813~0,1.611yx N εε=++ 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 12x - ，极大似然估计量为 max{X 1,X 2,…,X n } 。
应用数理统计基础(庄楚强）考试共8道题1、样本的数据期望与方差2、2χ分布的概念与性质3、一连续型函数(只有一个未知参数)的无偏估计4、一正态分布的置性区间5、两个未知参数函数的矩估计6、①求一离散型的总体似然估计②求未知参数的信息量③求得的似然估计是否是最小方差估计7、正态分布的假设检验8、一离散型总体的假设检验第二章、数理统计的基本概念与抽样分布第一节、数理统计的几个基本概念重点：统计量,书中例题2、习题第四题第三节、常用统计分布重点:常用统计分布（2χ、t、F）的定义及性质第四节、抽样分布重点：定理1及推论、定理4及推论本章习题4、5、7、9、13、19、20第三章、参数估计掌握:矩估计、极大似然估计、区间估计本章习题1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29第四、章假设检验重点：第二节、一个正态总体均值与方差的检验第三节、两个正态总体均值与方差的检验第四节、非正态总体均值的假设检验书上的例题、习题37、38、39、40第一章概率论复习与补充1、概率2、期望数据期望的性质性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即E（c)=c.推论：E（Eξ）= Eξ性质2:随机变量ξ与常量 c 之和的数学期望等于ξ的期望与这个常量 c 的和E（ξ+c)=Eξ+c性质3:E(cξ) = cE ξ性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数E（k ξ+c）=k E ξ+c3、方差方差的性质性质1：常量的方差等于零.即：设c为常数,则Dc = 0性质2：随机变量与常量之和的方差就等于随机变量的方差本身即：D（X+c）=DX性质3：常量与随机变量乘积的方差，等于常量的平方与随机变量方差的乘积。
即：D（cX )=c2DX性质4：设k ，b为常数，则：D(kX +b）=k2DX性质5：两个独立随机变量和（差)的方差，等于这两个随机变量方差的和。
即：D（X Y ) = DX +DY第二章数理统计的基本概念与抽样分布1、统计量(第一题样本数据期望与方差)预测类似题目可能会有二项分布B(n，p）、0—1分布B(1,p)、均匀分布R［a,b］、指数分布E（λ)、正态分布N(μ,σ2)。
应 用 数 理 统 计 复 习 题1. 设总体X ~ N(20,3)，有容量分别为10, 15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于 的概率._ _ _ _ 1解：设两样本均值分别为 X,Y ，则X Y 〜N(0,—) 22. 设总体X 具有分布律其中 (01)为未知参数，已知取得了样本值X 1 1,X 2 2,X 3 1，求的矩估计和最大似然估计.解：(1) 矩估计：EX22 2 (1 ) 3(1)2 23令EX X ，得 ?-.6(2) 最大似然估计：得? 5 63.设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差2均未知，抽查 10件，测得重量为 X斤i 1,2, ,10。
算岀给定检验水平0.05 ，能否认为该厂产品的平均重量为斤?附：(9)=(10)= (9)= (10)=解：检验统计量为T =|将已知数据代入，得所以接受H 。
4.在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做 4次重复实验，完成下列方差分析表，在X - m 0 |s/、n 15.4 - 5.0t 二. __________ 10=2J3.6/ 9F O.95（2,9） 4.26 , F 7.5 4.26，认为因素A是显着的5.现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，求得x 0.125, y 45.7886丄拓0.3024, L xy25.5218，L yy2432.4566 .（1）建立y关于x的一元线性回归方程？?，?x ；（2）对回归系数1做显着性检验（0.05）.解：（1）? % 25.5218 84.3975l xx0.3024所以，? 35.2389 84.3975X（2）Q |yy ?|xy 2432.4566 84.3975 25.5218 278.4805拒绝原假设，故回归效果显着.（1）找岀对结果影响最大的因素；（2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好）（3）写出第4号实验的数据结构模型。
应用数理统计期末试卷题目一一位医生想要调查 COVID-19 病例在抵达医院时的体温情况，他随机抽查了50 名确诊患者，记录了他们入院时的体温（单位：摄氏度），得到以下数据：37.1 37.2 38.5 37.8 38.138.2 38.4 37.9 38.3 37.638.0 38.2 37.4 38.5 38.637.3 37.9 38.9 37.8 37.538.6 37.7 38.4 37.1 38.137.4 38.3 37.9 37.7 37.638.0 38.2 38.8 37.5 38.338.1 38.5 37.8 37.9 38.737.6 37.7 37.9 38.3 38.0请根据这份数据回答以下问题：1.请计算这 50 名患者的平均体温并进行解释。
2.请建立适当的直方图并解释。
3.请计算这批数据的标准差并解释。
题目二一项关于发动机寿命的研究显示，在正常使用情况下，某型号航空发动机寿命服从均值为 1200 小时、标准差为 100 小时的正态分布。
为了确保安全，该型号发动机的安全寿命必须在 1000 小时以上。
在一架飞机上，该型号的 5 台发动机已经工作了 895、1020、1140、1260 和1375 小时。
请回答以下问题：1.五台发动机的寿命各是多少，哪台发动机应该先更换？2.如果该型号发动机的标准差为 80 小时，五台发动机的寿命各是多少，哪台发动机应该先更换？题目三在某公司的管理培训课程中，有 120 名学员参加了一次考试，总分为 100 分。
以下是这 120 名学员的成绩：49 59 63 86 71 62 75 71 82 7259 51 58 64 57 27 68 76 80 4671 67 48 64 65 45 57 69 90 5261 51 29 41 77 57 65 58 72 4150 63 73 51 55 61 83 84 92 6491 69 60 72 70 88 89 86 77 5980 80 34 52 59 73 60 69 37 4634 66 67 86 56 41 65 93 73 8958 62 54 47 83 64 44 53 40 8571 67 35 45 73 73 59 81 56 7368 55 49 65 79 69 96 47 60 34请回答以下问题：1.请计算这批成绩的平均分、中位数、众数、极差、四分位数并进行解释。
应用数理统计(2000年)一、填空1 、设X1,X2,…X10 来自总体N(0,1) 的样本，若2 2 2y=k i(x i+2x2+3x3)+k2(x4+x5+…+X10) ~x (2)，贝U k i= _________ k2= __________2、设x i,X2,…X2m来自总体N(4,9)的样本，若y=W(x2i-4)2，且Z= c(xi 二4)，服z J y从t 分布，贝U c= ___ ,z~t( __ )3、设X i,X2,…X2m 来自总体N( p, 2)的样本，已知y=(X2-X i)2+(X4-X3)2+…+(X2m-X2m-i)2,且Z=cy为2的无偏估计，则c= ____4、上题中，Dz= __5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为i2和ii的样本，已计算的游程总个数U=i2,试在水平a =0.05下检验假设H。
：F(x)= G(x)，其结论为 ___________ (U°.05(12, 11)=8)61 °X2 1二、设X i,X2，…X61 来自总体N(0,1)的样本，令y=^ x2，试求P｛互兰丄｝y y 15(t0.975(60)=2)三、设总体X的密度函数为(1+a)x: 0<x<1Lf(x)= F0, 其它而(X i,X2，…X n )为来自X的样本，试求〉的极大似然估计量。
2 2四、设x~N( p, 2)，y~ N( p, 2)今抽取X的样本X i,X2，…X8；y的样本y i,y2, (8)计算得x =54.03，y =57.11，s；=3.25, £=2.751 .试在水平a =0.0下检验假设H0：p i=p，H i: p i> p22. 试求a =0.0时,p- p 的估计区间(t0.99(14)=2.6245)五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用AXC,且知B也可能与其它因子存在交互作用，试在L8（27）上完成下列表头设计。
应用数理统计复习题一、填空题1.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，样本均值及样本方差分别为，221111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，设112,,...n n X X X X +与独立同分布，则统计量~Y =。
2.设21~(),~T t n T 则。
3.设总体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21()nii Xa =-∑达到最小值。
4. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1||,()nii D XE D μ==-=∑则5.设总体X 的均值和方差分别为a , b , 样本均值及样本方差分别为221111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，则 E (S 2 )= 。
6.在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值 X 落在4与6之间的概率 =6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝ 。
7. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，12211ˆ()n i i i c XX σ-+==-∑，若2ˆσ为2σ的无偏估计，则 c = 。
8. 设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。
9. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2 已知，为使μ的置信度为1－α的置信区间长度不超过L ，则需抽取的样本的容量n 至少为 。
10. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。
11设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8221,10μ令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 12. 设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ ；=)ˆ(θD 。
一、填空题1．小概率原理是 .2．在数理统计学中，我们称研究对象的全体为总体母体，组成总体的每个单元为个体。
3．（12,,,n ξξξ ）是总体2~(3,5)N ξ的样本，则()(1,2,,)__________i E i n ξ== 3 4．如果总体ξ的样本（n ξξξ,,,21 ）满足下列条件：（1）n ξξξ,,,21 相互独立；（2）i ξ（1,2,,i n = ）与总体ξ 同分布 ，则称（n ξξξ,,,21 ）是总体的简单随机样本. 5．设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= __0.05__.6．评价估计量好坏的标准最常用的有________无偏性、有效性、一致性7．设总体ξ服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，（12,,,n ξξξ ）为总体ξ的一个样本，其样本均值5ξ=，则λ的矩估计值λˆ=____5____ 8．由来自正态总体(,1)N μ容量为100的简单随机样本，算得样本均值为10，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是_（9.804,10.196）_．(0.975 1.96u =)9．由来自正态总体(,1)N μ容量为100的简单随机样本，得样本均值为6，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是_（5.804,6.196） . (0.975 1.96u =)10．设总体2~(,)N ξμσ，其中2σ未知，现由来自总体ξ的一个样本（129,,,ξξξ ）算得样本均值20ξ=，修正样本标准差S =3，并查得0.95(8) 1.86t =，则μ的置信度为0.9的置信区间是 （18.14,21.86） .11．设1234(,,,)ξξξξ为来自总体(0,1)N ξ 的样本，则统计量2212ξξ+ .12．设（1234,,,ξξξξ）为来自总体(0,1)N ξ 的样本，则统计量~22ξ .13．设（1234,,,ξξξξ）为来自总体(0,1)N ξ 的样本，则统计量22221234ξξξξ+++ . 14．设（123,,ξξξ）为来自总体(0,1)N ξ 的样本，则统计量222123ξξξ++ .15．已知一元线性回归方程为ˆˆ3ya x =+，且x =3，y =6，则ˆa = -3 . 16．已知一元线性回归方程为ˆˆ3ya x =+，且x =1，y =6，则ˆa = 3 . 17．已知一元线性回归方程为ˆˆ2ya x =+，且x =2，y =8，则ˆa = 4 . 18．设总体ξ的数学期望()E ξ存在，（123,,ξξξ）为总体ξ的样本，1231136Y k ξξξ=++，则当k =_______________时，Y 是()E ξ的无偏估计量.19．设总体ξ的数学期望()E ξ存在，（123,,ξξξ）为总体ξ的样本，1231155k ηξξξ=++，则当k =_______________时，η是()E ξ的无偏估计.20．设总体ξ的数学期望()E ξ存在，（123,,ξξξ）为总体ξ的样本，1231132k ηξξξ=++，则当k =_______________时，η是()E ξ的无偏估计量.21．12(,,,)n ξξξ 是总体)4,1(~2N ξ的样本，则__________)(1=ξD 1622．设(10)t ξ ，0.95(10)t 表示t 分布的下侧分位数，则{}0.95(10)P t ξ≤= 0.95 . 23．设(15)t ξ ，0.99(15)t 表示t 分布的下侧分位数，则{}0.99(15)P t ξ≤= 0.99 . 24．设2(8)ξχ ，20.95(8)χ表示χ分布的下侧分位数，则{}20.95(8)P ξχ≤= 0.95 .25．设(0,1)N ξ ，0.99μ表示正态分布的下侧分位数，则{}0.99P ξμ≤= 0.99 26．设（nξξξ,,,21 ）为总体ξ的一个样本，记11()nr r i i B n ξξ==-∑，则r B 叫做样本（n ξξξ,,,21 ）的r 阶 中心矩 . 设（12,,,n ξξξ ）为总体ξ的一个样本，记r A =11n ri i n ξ=∑，则r A 叫做样本（12,,,n ξξξ ）的r 阶 原点 .二、单项选择题1．设2(,)N ξμσ ，12(,,,)n ξξξ 为总体ξ的一个样本，记ξ=11ni i n ξ=∑，则下列选项中正确的是A ．2(,)N ξμσB ．(0,1)N ξ C．(N ξμ D ． 2(,)N nσξμ2．设（12100,,,ξξξ ）为来自总体2(0,5)N ξ 的一个样本，ξ表示样本均值，则ξ~A ．(0,5)NB ．(0,25)NC ．(0,0.05)ND ． (0,0.25)N3．设(1,1)N ξ ，（n ξξξ,,,21 ）为总体ξ的一个样本，记ξ=11ni i n ξ=∑，则下列选项中正确的是A ．(0,1)N ξB ．(1,1)N ξC ．1(1,)N n ξ D．N ξ 4．在假设检验问题中，犯第二类错误是指A ．在0H 不成立的条件下，经检验0H 被拒绝B ．在0H 不成立的条件下，经检验0H 被接受C ．在0H 成立的条件下，经检验0H 被拒绝D ．在0H 成立的条件下，经检验0H 被接受5．设总体2(,)N ξμσ ，12(,,,)n ξξξ 为总体ξ的一个样本,记2211()1nii Sn ξξ==--∑ , 则下列选项中正确的是A ．22(1)~(1)n Sn χ-- B ．222(1)~()n Sn χσ-C ．222(1)~(1)n Sn χσ--D ．222~(1)Sn χσ-6. 设总体ξ2(,)N μσ ，（12,,,n ξξξ ）为总体ξ的一个样本,记2211()1nii S n ξξ==--∑ ,则在下列各式中，正确的是A. 222(1)(1)n Sn χσ-- B.22(1)(1)n Sn χσ--C. 222(1)()n Sn χσ- D.22(1)()n Sn χσ-7．设总体ξ2(,)N μσ ，（12,,,n ξξξ ）为总体ξ的一个样本, 记2211()nii S nξξ==-∑,则下列选项中正确的是A ．22~(1)nS n χ- B ．222~(1)nS n χσ-C ．222(1)~(1)n S n χσ--D ．22(1)~(1)n S n χσ--8．设总体ξ2(,)N μσ ，（n ξξξ,,,21 ）为总体ξ的一个样本, 记2211()nii S nξξ==-∑,则下列选项中正确的是A ．22~()nS t n σ B ．22~(1)nS t n σ-C ．222~()nS n χσD ．222~(1)nS n χσ-9．(,)F m n α表示F 分布的下侧α分位数，则0.95(3,7)F =A ．0.95(7,3)FB ． 0.951(3,7)FC ．0.051(7,3)FD ．0.051(3,7)F10. (,)F m n α表示F 分布的下侧α分位数，则正确的是A. 11(,)(,)F n m F n m αα-=B. 111(,)(,)F n m F m n αα--=C. 1(,)(,)F n m F m n αα=D. ),(1),(1n m F m n F αα-=11．(,)F m n α表示F 分布的下侧α分位数，则0.975(10,7)F =A ．0.975(7,10)FB ．0.9751(10,7)FC ．0.0251(7,10)FD ．0.0251(10,7)F12．(,)F m n α表示F 分布的下侧α分位数，则0.91(1,2)F =A ．0.9(2,1)FB ．0.9(1,2)FC ．0.1(2,1)FD ．0.1(1,2)F13．设总体ξ2(,)N μσ ，2σ为已知，12(,,,)n ξξξ 为总体ξ的一个样本，ξ=11ni i n ξ=∑，2211()1nii Sn ξξ==--∑ ，欲检验假设0010:,:H H μμμμ=≠，则检验用的统计量是Aξ BξC ．22101()nii ξμσ=-∑D ．220(1)n Sσ-14．设总体ξ(0,1)N ，（126,,,ξξξ）为总体ξ(2)t ，则c =A ．1B ．2CD ．1215．设总体ξ(0,1)N ，（1234,,,ξξξξ）为总体ξ的一个样本，(3)t ，则k =A ．2B ．3CD16．设总体ξ(0,1)N ，（126,,,ξξξ）为总体ξ(5)t ，则k =A ．2B ．6CD17．设总体2(,)N ξμσ ，其中μ已知，2σ未知，123(,,)ξξξ是总体ξ的一个样本，则下列各式中不是统计量的是A ．3ξB ．122ξξ+C ．1233ξξξμ++-D ． 2221232ξξξσ++18．设（1234,,,ξξξξ）是总体ξ2(,)N μσ 的一个样本，其中μ未知，2σ已知，11ηξμ=-，1222ξξη+=，22212332ξξξησ++=，123444ξξξξμησ+++-=，则1234,,,ηηηη中统计量的个数是A.1B. 2C.3D. 419．设总体ξ2(,)N μσ ，其中μ和2σ均未知，（123,,ξξξ）是总体ξ的一个样本，则下列各式中是统计量的是A ．2221232ξξξσ++ B ．3ξC ．1233ξξξμ++-D ．1ξμ-20．设总体ξ2(,)N μσ ，其中μ已知，2σ未知，（n ξξξ,,,21 ）是总体ξ的一个样本，则下列各式中不是统计量的是A ．1ξB ．21ni i ξ=∑C ．22122ξξσ+ D ． {}12min ,,,n ξξξ21．设总体2(,)N ξμσ ，其中μ未知，1234(,,,)ξξξξ为来自总体ξ的一个样本，则以下关于μ的四个估计112341ˆ()4μξξξξ=+++，2123123ˆ555μξξξ=++，31211ˆ63μξξ=+，411ˆ7μξ=中，μ的无偏估计是A ．1ˆμB ．2ˆμC ．3ˆμD ．4ˆμ22．设（123,,ξξξ）是来自总体ξ的一个容量为3的样本，则下列关于()E ξ的无偏估计量中，最有效的估计量是A ．123212555ξξξ++B ．1231()3ξξξ++ C ．123111442ξξξ++D ．123124777ξξξ++23．设总体ξ2(,)N μσ ，其中μ未知，（12345,,,,ξξξξξ）为来自总体ξ的一个样本，11234511ˆ(),45μξξξξξ=++++22323ˆ,55μξξ=+31211ˆ,63μξξ=+41234512111ˆ77777μξξξξξ=++++，μ的无偏估计是A ．1ˆμB ．2ˆμC ．3ˆμD ．4ˆμ24．设随机变量~(0,1),~(0,1)N N ξη，且ξ与η相互独立，则22ξη服从的分布是A ．)2,0(NB ．)2(tC ．)2(2χD ．)1,1(F25．设ξ服从参数为λ的泊松分布()P λ，（12,,,n ξξξ ）为总体ξ的一个样本，ξ为样本均值，则λ的矩估计ˆλ= A ．ξ B ．2ξ C ．2ξ D ．1ξ26．设（1234,,,ξξξξ）是来自正态总体(0,1)N 的样本，则统计量22122234ξξξξ++服从A ．正态分布B ．F 分布C ．t 分布D ．2χ分布27．设总体ξ2(,)N μσ ，μ未知，（n ξξξ,,,21 ）为总体ξ的一个样本，ξ=11ni i n ξ=∑，2211()1nii Sn ξξ==--∑ ，欲检验假设22220010:,:H H σσσσ=≠，则检验用的统计量是 Aξ B ．220(1)n S σ-C ．22101()nii ξμσ=-∑ Dξ三、 计算题1. 若从自动车床加工的一批零件中随机抽取10件, 测得其尺寸与规定尺寸的偏差(单位: um)分别为: 2, 1, -2, 3, 2, 4, -2, 5, 3, 4, 零件尺寸的偏差设为ξ, 假 定2(,)N a ξσ ，试求置信度为0.9的a 的置信区间. （0.95(9) 1.8331t =）2.设总体ξ服从泊松分布()P λ, 即{},1,2,!k P k e k k λλξ-=== ，（1, 1, 1, 0）是总体ξ的一组样本观测值. 求λ的极大似然估计值.3.已知某班的应用数理统计的考试成绩服从正态分布2(,7)N a , 现从该班中抽取了9名同学, 测得成绩为: 75, 78, 80,81, 84, 86, 88, 90, 93. 求置信度为0.95的总体平均值a 的置信区间. )96.1(975.0=μ4．某台机床加工的产品的直径ξ服从正态分布2(,)N a σ, 今从该台机床加工的产品中随机抽取5件, 测得其直径(单位: 毫米)为: 20.1, 20.2, 20.3, 20.8, 21, 试在置信度0.95下, 求2σ的置信区间. )484.0)4(,143.11)4((025.02975.02==χχ5. 设罐头番茄汁中维生素C 含量服从正态分布. 按照规定, 维生素C 的平均含量约为21mg. 现从一批罐头中随机抽取16罐, 计算得23ξ= mg ，标准差 3.9S = mg. 问这批罐头的维生素C 含量是否合格？0.975(0.05,(15) 2.1315)t α==设各个工人的日产量都服从正态分布且方差相同, 试问在显著水平0.05=下, 操作工人之间的差异是否显著? )14.5)6,2((95.0=F（2）检验y 与x 的线性是否显著?0.95(0.05,(1,3)10.01)F α==。
应用数理统计试题一、填空（3分×10＝30分）1.设X为一个连续型随机变量，分布函数为F，若有β-=≥1)(mXP，则m是F的（）点。
2.参数估计中的矩估计法是用（）矩近似（）矩的方法。
3.歌唱比赛中选手的最后成绩是在去掉最高分和最低分后的平均成绩，这是根据估计量的（）准则而设定的。
4.在极大似然估计中，我们是把被估计量θ视为（）变量，而在Bayes估计中，我们是把被估计量θ视为（）变量。
5.假设检验中可能存在的两类错误是（）和（）。
其中，（）的概率因不同问题而不确定，（）的概率等于显著性水平α。
二、选择（4分×5＝20分）1. 正确描述假设检验中原假设与备选假设的地位的是（）A相等的B原假设受到保护C备选假设受到保护D具有不确定性2.设X为一个连续型随机变量，其密度为)(xf，则X的k阶中心矩为（）。
A)(kXE B⎰∞∞--dxXExxf k))()((C)(kEXXE-D⎰∞∞--dxxfXEx k)())((3.两个事件A 与B ，若有P （A ）＞0，P （B ）＞0，且两个事件是互不相容的，则这两个事件是（ ）的。
A 一定互相独立B 不一定相互独立C 不相关的D 一定不相互独立 4.一元线性回归模型⎩⎨⎧===++=相互独立为有限， ，i i i i i E ni x y εσεεεββ210)(0,,2,1 ，其中参数的最小二乘估计是根据（ ）最小的原则计算得到的。
A 回归平方和 B 总的离差平方和 C 残差平方和 D 观测点到回归直线的距离 5. 设),(~n t T 则~)1(2T（ ）。
A ),1(n F B)1,(n FC)(2n χ D)1(2+n χ三、（15分）设总体X 服从正态分布，数学期望为12，方差为4，若,12-=X Y 现抽取容量为5的Y 的样本54321,,,,Y Y Y Y Y ，计算 （1） 概率)08.6(512∑=≥i i Y P ；（2）)(51∑=i i Y E ； 四、（10分）以往一台机器生产的垫圈的一组平均厚度为0.05cm ，为了检查这台机器是否处于正常工作状态，现抽取10个垫圈的样本，测得平均厚度为0.053，样本方差为0.00322，在显著性水平α为（1）0.05，（2）0.01下，检验机器是否处于正常工作状态，即均值是否与以往相同。
《应用数理统计》复习题第一章 概率知识一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值，求X 的概率分布律.解：X 的可能取值为3、4、5，1.0101}3{3533====C C X P ， 3.0103}4{352311====C C C X P ， 6.0106}5{352411====C C C X P ， 故X 的概率分布律为6.03.01.0543kp X .二、设连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<≤=.,0,10,)(其它x Ax x f（1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：⎰∞+∞-=1)(dx x f ，有11=⎰Ax , 解得2=A .（2）t d t f x F x⎰∞-=)()(当0≤x 时， 0)(}{)(⎰∞-==≤=xdt t f x X P x F ，当10≤<x 时，202)()(x tdt dt t f x F xx===⎰⎰∞-，当1>x 时，1)(=x F .所以 .1,10,0,1,,0)(2>≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x F三、设X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,022,cos )(ππx x C x f ，1、求常数C；2、均值EX 和方差DX . 解：1、由完备性，，21=∴C ； 2、0cos 21)(22⎰⎰∞∞--===ππxdx x dx x xf EX ；⎰⎰⎰∞∞---====22202222214cos cos 21)(ππππxdx x xdx x dx x f x EX ;14)(222-=-=∴πEX EX DX .四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1;(,)0, x y f x y π⎧+≤=⎨⎩其它..故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤-≤≤⎪===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其它其它;同理 11()0, Yy f y -≤≤=⎪⎩其它.于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立.五、设X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX .解：由概率密度的完备性有：1=⎰⎰+=∞+∞-1d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+,且有127=EX =⎰⎰+=∞+∞-10d )(d )(x bx a x x x xf =32ba +, 联立上述两式解得: 1,5.0==b a又=)(2X E 125d )5.0(102=+⎰x x x ,于是 =DX =-22)()(EX X E 2)127(125-14411=.六、1．设随机变0量)3,2(~2N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）.A . 2B . 3C . 9D . 02. 设随机变量),(~2σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ).(A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定第二章 统计概念1.设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本,则样本均值∑==ni i X n X 11服从),(2nN σμ分布.2. 设1021,,,X X X 是来自总体)3.0,0(2N 的一个样本，2102221X X X Y +++= , 当C = 9100时，CY 服从自由度为 10 的2χ 分布.3. 设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是取自总体的样本,则∑=-ni iX122~)(1μσ)(2n χ．第三章 参数估计一、 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其他,010,)(1x x x f θθ，其中0>θ为未知参数.试求θ的矩估计量∧M θ和极大似然估计量∧L θ. 解：1d 11+=⋅=-⎰θθθθx xx EX .用X 代替EX ，令1+=θθX ，解得θ的矩估计量21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∧X XMθ. 设n x x x ,,,21 是取自总体X 的样本观察值，似然函数为()⎪⎩⎪⎨⎧=<<=-=∏其他,0,,2,1,10,)(11n i x xL i n i inθθθ0)(>θL 时，取对数，可得∑=-+=ni i x nL 1ln )1(ln 2ln θθ.∑=+⋅=ni i x n L 1ln 2112d ln d θθθ.令0d ln d =θL ，可得θ的极大似然估计量∧L θ21ln ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n i i X n . 二、设总体X 服从泊松分布 ,2,1,0,!}{),(===-k e k k X P k λλλπ样本n X X X ,,,21 ，证明未知参数λ的矩估计量和极大似然估计量相同. 解：总体X 服从参数为 λ 的泊松分布，则,,2,1,0,!}{ ===-k e k k X P kλλ λλλ===∑∞=-01!k ke k kEX m .用样本一阶原点矩1A 代替总体均值1m ，得λ的矩估计量为X X n A n i i ===∑=111ˆλ. 设n x x x ,,,21 为相应于样本n X X X ,,,21 的观察值，则似然函数λλλ-=∏=e x L ni i xi1!)(， 对数似然函数 λλλn x x L n i ni ii∑∑==--=11)!ln(ln )(ln ，令0ln =λd Ld ，即 01=-∑=n xni iλ，得λ的极大似然估计值∑===n i i x x n 11ˆλ，所求λ 的极大似然估计量X =λˆ. 可见，未知参数λ的矩估计量和极大似然估计量相同，均为X .三、 设总体X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,1,0,1,11),(x x xx F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求β的矩估计量和极大似然估计量.解：（1）X 的密度函数⎩⎨⎧≤>=--,1,0,1,),(1x x x x f βββ总体均值ββββ-==⎰∞+--111dx x x EX ，令-=X EX ，得β的矩估计量为____1ˆXX+=β.（2）当),,2,1(1n i x i =>时，似然函数为：,)(),()(1211--===∏ββββn n ni i x x x x f L令0ln )(ln 1=-=∑=ni i x n d L d βββ，得β的极大似然估计量为∑==ni iXn1ln ˆβ四、1．设321,,X X X 为取自正态总体),(2σμN 的一个简单随机样本，则在总体均值μ的4个无偏估计,525152ˆ3211X X X ++=μ,313131ˆ3212X X X ++=μ3213213161ˆX X X ++=μ, 3214319291ˆX X X ++=μ 中最有效的是2ˆμ . 2. 设总体X 的期望μ和方差02>σ存在，从总体中分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本，样本均值分别为1X 和2X ，常数a 和b 使得21X b X a T +=是μ的无偏估计量，且方差DT 达到最小，则=a 211n n n +.五、某种零件的重量（单位：千克）服从正态分布),(2σμN ，从中抽得容量为16的样本，其均值,856.4=x 修正方差04.02=s .（1）若,24.0=σ求μ的置信度为95.0的置信区间. （2）若σ未知，求μ的置信度为95.0的置信区间. （已知131.2)15(,96.1975.0975.0==t u ） 解：131.2)15(,96.1,025.02,05.0,16975.0975.0=====t u n αα（1）974.4,738.4975.0975.0=+=-u nx u nx σσ得μ的置信度为95.0的置信区间为)974.4,738.4(. （2）963.4)15(,749.4)15(9725.0975.0=+=-t nsx t n s x 得μ的置信度为95.0的置信区间为)963.4,749.4(.六、某型号钢丝折断力（单位：牛顿）服从正态分布),(2σμN ，随机抽取10根，其折断力的方差7.752*=s ，求2σ置信度为95.0的置信区间.（可能用到的数据：02.19)9(,70.2)9(2975.02025.0==χχ，20.48)10(,3.25)10(2975.02025.0==χχ）. 解： ,02.19)9(,70.2)9(,025.02,05.0,102975.02025.0=====χχααn333.252)9()1(,858.35)9()1(2975.022025.02=-=-χχsn s n ， 所求置信区间为)333.252,858.35(.七、已知某种药片溶解所需的时间X 服从正态分布。
现从中随机地抽取10片，测得溶解时间（单位：min ）为5.3 3.6 5.16.6 4.9 6.5 5.2 3.7 5.4 5.0．求总体方差2σ的90％置信区间（可能用到的数据：307.18)10(295.0=χ，940.3)10(205.0=χ，919.16)9(295.0=χ，325.3)9(205.0=χ）.解：已知总体),(~2σμN X ，样本容量10=n ，由样本观测值计算可得13.5=x ， 956.02=s .由%901=-α即10.0=α，919.16)9()1(295.0295.0==-χχn ， 325.3)9()1(205.0205.0==-χχn ,∴509.0919.16956.09)1()1(2212≈⨯=---n s n αχ,588.2325.3956.09)1()1(222≈⨯=--n s n αχ 所以药片溶解所需时间的方差2σ的90％置信区间为)588.2,509.0(第四章 假设检验1、假设检验中，0H 为原假设，则 ( A )为犯第一类错误.(A) 0H 为真，拒绝0H ； (B) 0H 不真，接受0H ； (C) 0H 为真，接受0H ； (D) 0H 不真，拒绝0H2、 某种熔丝的熔断时间X 服从正态分布,且在通常情况下642=σ.现从这批熔丝中随机抽取10根，测得熔断时间（单位：ms ）为：42，65，75，78，71，57，59，54，55，68，问当05.0=α时，这批熔丝的熔断时间的方差是否仍为64？（可能用到的数据：483.20)10(2975.0=χ，247.3)10(2025.0=χ，023.19)9(2975.0=χ，700.2)9(2025.0=χ）.解：依题意检验假设2212020:,64:σσσσ≠==H H . )1(~12222--=n S n χσχ ,∴拒绝域为 [)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞---),1()1(,022122n n ααχχ . 这里05.0=α，10=n ，023.19)9(2975.0=χ,700.2)9(2025.0=χ,拒绝域为[()+∞,023.19)700.2,0 .计算可得4.62=x ，82.1212=s ，13.1782.1216496411022=⨯=-=s χ[()+∞∉,023.19)700.2,0 ，故接受0H ，即认为这批熔丝的熔断时间的方差仍为64.3、已知某一试验，其温度X 服从),(2σμN ，现测得5个温度值，计算得1259=x ，937.11=s ，问可否认为1277=μ？(取显著性水平05.0=α)（可能用到的数据776.2)4(597.0=t ,132.2)4(59.0=t ）解：检验假设1277:;1277:10≠=μμH H ，采用t 检验法，其拒绝域为)4(/12772αt n s x t ≥-=.经计算：372.3=t ，而776.2)4(372.3597.0=>t ， 故拒绝假设，即不能认为1277=μ.4、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过Ω005.0.现抽取9根样品，测得Ω=007.0s ，设电阻X 服从),(2σμN ，问在显著性水平05.0=α下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大. （可能用到的数据507.15)8(95.02=χ，92.16)9(95.02=χ） 解：检验假设221220005.0:;005.0:>≤σσH H .采用2χ检验法，其拒绝域为)1()1(12222-≥-=-n s n αχσχ.经计算：68.15)1(222=-=σχs n ，而507.15)8(95.02=χ，可见)8(95.022χχ>，故拒绝0H ，即认为这批导线的标准差显著地偏大.第五章 回归分析一、测得某种物质在不同温度下吸附另一种物质的重量如下表所示。
