应用数理统计例题

应⽤数理统计作业题及参考答案（第⼀章）第⼀章数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的⼦样，求最⼤顺序统计量()n X 与最⼩顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。

解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤= ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤()11nF x =-?-()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的⼦样1X ，2X ，…，5X ，试问：（i ）⼦样的平均值X ⼤于13的概率为多少？（ii ）⼦样的极⼩值（最⼩顺序统计量）⼩于10的概率为多少？（iii ）⼦样的极⼤值（最⼤顺序统计量）⼤于15的概率为多少？解：()~124X N ，，5n =，4~125X N ??∴ ??，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，{}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-()12~012X Y N -=，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---∴<=<=<-=<-{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.{}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-? {}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成⽴。

一 填空题 1设621,,,X X X 是总体)1,0(~N X 的一个样本，26542321)()(X X X X X X Y +++++=。

当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。

2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ，~12X F(n,1) 。

3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时，∑-=+-=11212)(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。

4 设)),0(~(2σεεβαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。

对于固定的0x ，则0x βα+~ ()20201,x x N x n Lxx αβσ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥++ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭。

5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝ 。

6．设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 ()()()()222212211,11n S n S n n ααχχ-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦。

7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8221,10μ令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛202121，则Y 的分布为 ()12,02TN A A A A μ⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 。

8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表2 极差分析数据表则（1）较好工艺条件应为22121A B C D E 。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为 7 。

（3）上表中的第三列表示 A B ⨯交互作用 。

9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

则y 关于x 的线性回归模型为 ()ˆ 2.356 1.813~0,1.611yx N εε=++ 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 12x - ，极大似然估计量为 max{X 1,X 2,…,X n } 。

应 用 数 理 统 计 复 习 题1. 设总体X ~ N(20,3)，有容量分别为10, 15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于 的概率._ _ _ _ 1解：设两样本均值分别为 X,Y ，则X Y 〜N(0,—) 22. 设总体X 具有分布律其中 (01)为未知参数，已知取得了样本值X 1 1,X 2 2,X 3 1，求的矩估计和最大似然估计.解：(1) 矩估计：EX22 2 (1 ) 3(1)2 23令EX X ，得 ?-.6(2) 最大似然估计：得? 5 63.设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差2均未知，抽查 10件，测得重量为 X斤i 1,2, ,10。

算岀给定检验水平0.05 ，能否认为该厂产品的平均重量为斤?附：(9)=(10)= (9)= (10)=解：检验统计量为T =|将已知数据代入，得所以接受H 。

4.在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做 4次重复实验，完成下列方差分析表，在X - m 0 |s/、n 15.4 - 5.0t 二. __________ 10=2J3.6/ 9F O.95（2,9） 4.26 , F 7.5 4.26，认为因素A是显着的5.现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，求得x 0.125, y 45.7886丄拓0.3024, L xy25.5218，L yy2432.4566 .（1）建立y关于x的一元线性回归方程？?，?x ；（2）对回归系数1做显着性检验（0.05）.解：（1）? % 25.5218 84.3975l xx0.3024所以，? 35.2389 84.3975X（2）Q |yy ?|xy 2432.4566 84.3975 25.5218 278.4805拒绝原假设，故回归效果显着.（1）找岀对结果影响最大的因素；（2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好）（3）写出第4号实验的数据结构模型。

<应用数理统计>实验习题二1.某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm.今从一批产品中随机地抽取15段,测得其长度(单位:cm)如下10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7设金属棒长度服从正态分布,且标准差没有变化,(04.02=σ),试问（1）该机工作是否正常(05.0=α)?(2)上题中假定切割的长度服从正态分布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化(05.0=α)?(3)如果只假定切割的长度服从正态分布,问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化(05.0=α)?>> clear all>>x=[10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7];>> [h,p,ci,u]=ztest(x,10.5,0.2,0.05,1)h =p =0.650710.3951 Infu =-0.3873一>> [h,p,ci,u]=ztest(x,10.5,0.2,0.05,0)h =p =0.6985ci =10.3788 10.5812-0.3873二[h,sig]=ztest(x,10.5,0.2,0.05,0)h =sig =0.6985三x=[10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,1 0.2,10.7];>> [p,sig]=xtest(x,0.2,0.05,0)p =1sig =2.下表列出了18个5~8岁儿童的重量和体积.(1) 画出散点图;(2) 求y 关于x 的线性回归方程,ˆˆˆx b a y+=并作回归分析;。

应用数理统计(2000年)一、填空1 、设X1,X2,…X10 来自总体N(0,1) 的样本，若2 2 2y=k i(x i+2x2+3x3)+k2(x4+x5+…+X10) ~x (2)，贝U k i= _________ k2= __________2、设x i,X2,…X2m来自总体N(4,9)的样本，若y=W(x2i-4)2，且Z= c(xi 二4)，服z J y从t 分布，贝U c= ___ ,z~t( __ )3、设X i,X2,…X2m 来自总体N( p, 2)的样本，已知y=(X2-X i)2+(X4-X3)2+…+(X2m-X2m-i)2,且Z=cy为2的无偏估计，则c= ____4、上题中，Dz= __5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为i2和ii的样本，已计算的游程总个数U=i2,试在水平a =0.05下检验假设H。

：F(x)= G(x)，其结论为 ___________ (U°.05(12, 11)=8)61 °X2 1二、设X i,X2，…X61 来自总体N(0,1)的样本，令y=^ x2，试求P｛互兰丄｝y y 15(t0.975(60)=2)三、设总体X的密度函数为(1+a)x: 0<x<1Lf(x)= F0, 其它而(X i,X2，…X n )为来自X的样本，试求〉的极大似然估计量。

2 2四、设x~N( p, 2)，y~ N( p, 2)今抽取X的样本X i,X2，…X8；y的样本y i,y2, (8)计算得x =54.03，y =57.11，s；=3.25, £=2.751 .试在水平a =0.0下检验假设H0：p i=p，H i: p i> p22. 试求a =0.0时,p- p 的估计区间(t0.99(14)=2.6245)五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用AXC,且知B也可能与其它因子存在交互作用，试在L8（27）上完成下列表头设计。

习题三2.设总体的分布密度为：(1),01(;)0,x x f x ααα+<<=⎧⎨⎩其它1(,,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1ˆα和极大似然估计量2ˆα .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 . 解 计算其最大似然估计：()()11111(,)11ln (,)ln(1)ln nnnn i i i i nn ii L x x x x L x x n x αααααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑1121ln (,)ln 01ˆ10.2112ln nn i i n ii d n L x x x d nx ααααα====+=+=--=∑∑ 其矩估计为：()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= 3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以：12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑， 12ˆˆ0.3077,0.2112αα≈≈.3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计. .解 最大似然估计：11(,),ln ln i nx n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05X λ==.4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为x ,2~(,)x N μσ,极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x x n μσ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.81μσ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的最大似然估计为x ，所以().150/1*42*310*220*117*0ˆ=++++==X L λ所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8. 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，并且EX =μ，DX = 2σ，2,X S 是样本均值和样本方差，试确定常数c ，使22X cS -是2μ的无偏估计量 .解2222222222()E X cS EX cES DX E X c c nσσμσμ-=-=+-=+-=所以1c n =.9. 设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个独立的无偏估计量，并且1ˆθ的方差是2ˆθ的方差的两倍 .试确定常数c 1, c 2，使得11ˆc θ+22ˆc θ为θ的线性最小方差无偏估计量 . 解： 设22122,2D D θσθσ==112212121221(()11E c c c c c c c c c c θθμμμμ+=+=+=+==-），，()()222222211221211(2221D c c c c c c θθσσσ+=+=+-）()222111121321c c c c +-=-+当1212*33c -=-=，上式达到最小，此时21213c c =-= .10. 设总体X 具有如下密度函数，1,01(,)0,x x f x θθθθ-<<=>⎧⎨⎩，0其它1,...,n X X 是来自于总体X的样本，对可估计函数1()g θθ=，求()g θ的有效估计量ˆ()gθ，并确定R -C 下界 .解 因为似然函数1111L(,),ln ln (1)ln i i nn n n n i i x x x x L n x θθθθθ--====+-∑∏∏111ln ln ln ln ()0i i i d n L x n x n x g d n n θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=---=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以取统计量1ln i T x n=-∑ 11111101ln ln ln ln i E X x x dx xdx x x x dx θθθθθθ--===-=-⎰⎰⎰得1ET θ==()g θ，所以1ln i T x n=-∑是无偏估计量 令()c n θ= 由定理2.3.2知 T 是有效估计量，由221()1()g DT c n n θθθθ-'===- 所以 C -R 方差下界为21n θ.11. 设1,...,n X X 是来自于总体X 的样本，总体X 的概率分布为：||1||(,)()(1),1,0,1,012x x f x x θθθθ-=-=-≤≤1） 求参数θ的极大似然估计量ˆθ； 2） 试问极大似然估计ˆθ是否是有效估计量？如果是，请求它的方差ˆD θ和信息量()I θ； 3 试问ˆθ是否是相合估计量？（书上没有这个问题） 解 1）()()111(,)1122ln ln (n )ln(1)iii ix x nx n x n i i i L x x L x x θθθθθθθ--=∑⎛⎫⎛⎫∑=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--∏∑∑n 1ln 01(1)n xi xi d n L xi d θθθθθθ-⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭∑∑∑ 得到θ最大似然估计量1ˆxi nθ=∑ 2）()()110011,10122Exi E xi E xi n n θθθθθ⎛⎫⎛⎫==-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑所以11Exi E xi n nθ==∑∑ 所以ˆθ是无偏估计量，()(1)n c θθθ=-，由定理2.3.2得到1ˆxi nθ=∑是θ有效估计量信息量c()1()(1)I n θθθθ==-3）1(1)ˆD 0,(n )c()nθθθθ-==→→∞ 所以，T 也是相合估计量 .12 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15， 2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值μ的90%置信区间，1）若已知σ=0.01cm ； 2）若σ未知；解 因为 2.125,16,0.171,X n s ===()0.950.9510.95, 1.65,15 1.7532t αμ===-1） 计算0.950.952.1209, 2.1291X b a X αμμ-===+== 所以 置信区间为[]1.1212.129，2） 计算((0.950.9515 2.1175,15 2.1325X t b X t α-==+== 所以 置信区间为[]2.1152.135，.13 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为95%的置信区间 .解 由题意标准差σ的置信度为0.95的置信区间为0.9750.0252222(1)(1)(,)(8)(8)n S n S χχ-- 计算得0.9750.0252222(1)(1)11,9,0.05,7.431,21.072(8)(8)n S n S S n a b αχχ--=======所以 置信区间为 [7.431,21.072].14. 随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻(Ω)为：A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从21(,)N μσ和22(,)N μσ，并且它们相互独立，又212,,μμσ均未知，求参数12μμ-的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为121221(2)X Y tn n S n α--±+- 计算得2626A B 120.14125,0.1392,8.25*10, 5.2*10,4,5,0.05x y S S n n α--======= 26W W 0.9756.5710,0.00255,(7) 2.365,0.0022,0.0063S S t a b -====-=所以[0.0022,0.0063]-.15. 有两位化验员A 、B ，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差2s 依次为0.5419和0.6065，设2A σ与2B σ分别为A 、B 所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比2A σ/2B σ的置信度为95%的置信区间 . 解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：置信区间为22AA22BB1212(,)1(1,1)(1,1)22S S S S F n n Fn n αα-----计算得 22A B 120.5419,0.6065,10,0.05S S n n α=====22AA22B B0.9750.0250.2217, 3.6008(9,9)(9,9)S S S S a b F F ====所以置信为 [0.2217,3.6008].。

应 用 数 理 统 计 习 题一、参数的假设检验1．从某锌矿的东西两支矿脉中分别抽取样本容量为9与8的样本，分析后测得其样本含锌量（%）的平均值与样本方差如下:东支: x =0.23, 21s =0.1337, 1n =9; 西支: y =0.269, 22s =0.1736, 2n =8.假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布, 试问东西两支矿脉含锌量的平均值有无显著性差异(取显著性水平α=0.01.)？2．假定学生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36名学生的统考成绩，计算得其平均成绩为66.5分，标准差为15分. 试问在显著性水平α=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？3．已知炼钢厂的铁水含碳量服从正态分布)108.0,55.4(2N . 现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55？取显著性水平α=0.05.4．将土地等分11块种植小麦，其中6块施以肥料A ，5块施以肥料B . 现测得施以肥料A 的小麦平均产量A x =373kg ，样本标准差A s =42kg ，施以肥料B 的小麦平均产量B x =418kg ，样本标准差B s =54kg . 设各块土地上小麦的产量相互独立且服从同方差的正态分布，试问在水平α=0.01下，能否认为肥料A 与肥料B 对小麦的平均产量有显著性差异？二、非参数的假设检验1．为了研究色盲与性别的联系, 现在对1000人作抽样调查得到数据如左表. 试根据表中的调查数据判断“色盲与性别是否有联系”(取显著性水平α=0.05). 2．调查339名50岁以上有吸烟习惯者与慢性气管炎疾病之间的关系，结果如右表所示. 试根据表中数据判断“吸烟与否对患慢性气管炎是否有显著影响？”(取显著性水平α=0.05). 3．左表是1976年至1977年间在美国佛罗里达州29个地区发生的凶杀案中被告人被判死刑的情况. 是否可以认为被告人肤色不同，会影响对被告的死刑判决？(取显著性水平α=0.05).4．为研究巴蕾舞爱好者与性别之间的关系，现从人群中抽查了1000人，调查数据如左表所示. 取显著性水平α=0.05，试根据表中数据判断“巴蕾舞爱好者与性别是否有联系？” 三、区间估计1．设钉子的长度服从正态分布, 现抽取12只钉子并测得其长度如下:2.14 2.10 2.13 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.11 ① 计算样本均值X 与样本方差2s ; ② 求钉子长度标准差σ之95%的置信区间.2．设某钢材的长度服从正态分布, 现随机抽取16根钢材并计算得到其样本方差36.02=s , 求钢材长度方差σ之95%的区间估计.3．设某种钢球的重量服从正态分布, 现随机选取17粒钢球，计算得其样本方差=2s 2.25, 求钢球的重量的标准差σ之95%的置信区间.四、一元线性回归1．合成纤维的强度y (kg /mm 2)与其拉伸倍数x 有关, 今测得12个试验数据如左表所示.① 求y 关于x 的回归方程；②取水平α=0.05，试利用-t 检验法检验回归系数1b 的显著性；③当拉伸倍数0x =6时, 求纤维强度的平均值0Ey 、个别值0y 的点预测值及95%的区间预测.2．鸡蛋的销售量y (kg /mm 2)与其价格x 有关, 今测得12个试验数据如右表所示. ① 求鸡蛋销售量y 对其价格x 的回归方程；②取水平α=0.05，试利用-t 检验法检验回归系数1b 的显著性；③当鸡蛋价格0x =6时, 求鸡蛋销售量的平均值0Ey 的点预测值及95%的区间预测.3．某研究机构调查了18名儿童的体积y （立方分米）与其重量x （千克），数据如左表所示. ① 建立y 关于x 的回归方程；② 取水平α=0.05，试利用-t 检验法检验回归系数1b 的显著性；③ 当0x =12时，求0y 的点预测及95%的平均值0Ey 的区间预测.五、方差分析1．在化工生产中为了提高效率，选用了三种不同浓度、四种不同温度情况作试验. 为了考虑温度与浓度的交互作用, 在温度与浓度的每一水平组合下各做2次试验并得到如左表的试验数据 (假定数据服从等方差的正态分布.), 且计算得到∑∑∑====r i s j t k ijk Y P 1112:=2752,t T Q r i sj ij /:112∑∑==⋅==2687.① 写出主要计算过程, 并填写如下的方差分析表;②有无显著影响, 并将检验结果填入上述方差分析表中. 2．考查合成纤维的弹性，其影响因素为收缩率A 与拉伸倍数B ，试验结果如左表所示. 假定数据服从等方差的正态分布，取α=0.05，试检验收缩率A 、拉伸倍数B 以及它们之间的交互作用是否显著？另计算得：∑∑∑====r i s j t k ijk Y P 1112:=5223， t T Q r i sj ij /:112∑∑==⋅==5204.5互作用对生产有无显著影响, 并将检验结果填入上述方差分析表中.3．左表记录了三位工人分别在四种不同机器上三天的日产量, 假定数据来自方差相等的正态分布. 取显著性水平α=0.05, 试问: (1)工人之间的差异是否显著?(2)机器之间的差异是否显著? (3)交互作用是否显著?六、正交试验设计1．某试验需要考虑因素A 、B 、C 、D , 现选用正交表L 9(34)并将因素A 、B 、C 、D 依次排在第1、2、3、4列上, 得到9个试验结果如下表. ① 计算K ij , i =1,2,3, j =1,2,3,4,并将计算的结果填入表中； ② 计算极差R j , j =1,2,3,4, 确定因素的主次顺序, 并将有关结果填入表中； ③ 设试验指标越大越好，试分析确定最优试验方案,并将最优试验方案填入表中.2．某试验需要考虑因素A 、B 、C 、D , 现选用正交表L 9(34)并将因素A 、B 、C 、D 依次排在第3、2、1、4列上, 得到9个试验结果如下表（在第4页）.① 计算K ij , i =1,2,3, j =1,2,3,4,并将计算的结果填入表中； ② 计算极差R j , j =1,2,3,4, 确定因素的主次顺序, 并将有关结果填入表中； ③ 设试验指标越小越好，试分析确定最优试验方案, 并将最优试验方案填入表中. 七、求边际密度与r.v.函数的分布1．设),(Y X ～⎩⎨⎧><<=-其它,00,10,6),(3y x xe y x f y① 求边缘缘密度)(x f X 与)(y f Y ；② 判断X 与Y 是否独立? ③ 设Y X Z +=, 求Z 的密度)(z f Z .2．设),(Y X ～⎩⎨⎧<<<<=其它,010,101),(y x y x f① 求边缘缘密度)(x f X 与)(y f Y ; ② 判断X 与Y 是否独立? ③ 设Y X Z +=, 求Z 的密度)(z f Z .3．设),(Y X ～⎩⎨⎧<<>=-其它,010,0,2),(y x ye y x f x① 求边缘缘密度)(x f X 与)(y f Y ;② 判断X 与Y 是否独立? ③ 设Y X Z +=, 求Z 的密度)(z f Z .4．设),(Y X ～⎩⎨⎧><<=-其它,00,102),(y x xe y x f y① 求边缘缘密度)(x f X 与)(y f Y ; ② 判断X 与Y 是否独立? ③ 设Y X Z +=, 求Z 的密度)(z f Z .八、参数的点估计1．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f X θθ 其中, 1->θ是未知参数. X 1, X 2,…, X n 是来自总体X 的样本, ① 求θ的矩估计量;② 求θ的极大似然估计量.2．设总体X ～),(b a U ，其中b a <是未知参数. n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本. ① 求EX 与2EX ; ② 求1θ与2θ的矩估计量; ③ 求1θ与2θ的极大似然估计量.3．设总体X ～⎩⎨⎧>=---.,0,,),,(1/)(122121其它θθθθθθx e x f x X 其中1θ, 02>θ是未知参数.n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本.① 设21/)(θθ-=X Y ，求Y 的密度)(y f Y ; ② 求EX 与2EX ; ③ 求1θ与2θ的矩估计量; ④ 求1θ与2θ的极大似然估计量. 4．设总体X ～)(λP ，求：① λ的矩估计；②λ的极大似然估计. 5．设总体X ～)(λExp ，求：① λ的矩估计；②λ的极大似然估计.九、证明题 略。

02599应用数理统计资料1．设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}=___0.05. 2．12(,,,)n ξξξ 是总体)4,1(~2N ξ的样本，则16)(1=ξD . 3．设总体ξ2(,)N μσ ，其中μ已知，2σ未知，123(,,)ξξξ是总体ξ的一个样本，则下列各式中不是统计量的是（D ）A ．3ξB ．122ξξ+C ．1233ξξξμ++-D ．2221232ξξξσ++4．(,)F m n α表示F 分布的下侧α分位数，则0.95(3,7)F =0.051(7,3)F5．设总体ξ2(,)N μσ ，2σ为已知，12(,,,)n ξξξ 为总体ξ的一个样本，ξ=11ni i nξ=∑，2211()1nii Sn ξξ==--∑ ，欲检验假设0010:,:H H μμμμ=≠6．设总体ξ服从[0,]θ上的均匀分布（0θ>），12(,,,)n ξξξ 为总体ξ的一个样本，ξ为样本均值，则θ的矩估计θˆ=2ξ7．设总体ξ(0,1)N ，125(,,,)ξξξ 为总体ξ(4)t ，则k =28．在数理统计学中，我们称研究对象的全体为（总体）。

9．小概率原理是（概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生的）.10．由来自正态总体(,1)N μ容量为100的简单随机样本的样本均值为10，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是_（8.804, 10.196）_．(0.975 1.96u =)11．设1234(,,,)ξξξξ为来自总体(0,1)N ξ 的样本，则统计量2212ξξ+ 2(2)χ. 12．设(10)t ξ ，0.95(10)t 表示t 分布的下侧分位数，则{}0.95(10)P t ξ≤= 0.95 .13设总体ξ2(,)N μσ ，（12,,,n ξξξ ）为总体ξ的一个样本,记2211()1nii Sn ξξ==--∑ ,则在下列各式中，正确的是（A ）A ．222(1)~(1)n Sn χσ--B ．222(1)~()n Sn χσ-C ．22(1)~(1)n Sn χ-- D ．222~(1)Sn χσ-14. (,)F m n α表示F 分布的下侧α分位数，则正确的是（A ）A. ),(1),(1n m F m n F αα-=B. 111(,)(,)F n m F m n αα--=C. 1(,)(,)F n m F m n αα=D. 11(,)(,)F n m F n m αα-=15．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（在0H 成立的条件下，经检验0H 被拒绝的概率）。

第一章第一节例1：甲、乙、丙三个射手击中目标的事件分别记作A 、B 、C ，试替用A 、B 、C 表示以下事件。

1) 甲击中目标，乙、丙未击中；2) 三个人中恰有一个人击中目标；3) 三个人中至少有一个击中目标；4) 三个人中恰有两个人击中目标；5) 三个人中至多一个人击中目标；6) 三个人都击中了目标；7) 三个人都未击中目标。

解：1) C B A2) C B A C B A C B A3) C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC ，或A B C 4) C AB C B A BC A5) C B A C B A C B A C B A ，或C B C A B A6) ABC7) C B A 或C B A例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标（i ＝1，2，3），试用文字叙述叙述下列事件：1A 2A ，2A ，3A －2A ，C B A 。

解：1A 2A ：前两次射击中至少有一次击中目标；2A ：第二次射击未中目标；3A －2A ：第三次击中目标但第二次未击中目标；C B A ＝A B C ：三次射击中至少有一次击中目标。

第二节例1：同时掷两枚硬币，求出现一正一反的概率。

解：试验样本空间 ＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝，因此有四个基本事件且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型问题。

设A 表示事件“出现一正一反”，则事件A 包含两个基本事件（正，反）、（反，正），所以)(A P =42=21 例2：一批产品中有7件正品和3件次品，现从中任取两次，每次任取一件产品，考虑下面两种抽样方式：（a ）第一次取出一件产品，观察是否合格后放回，混合后再取第二件。

这种抽样方式称为有放回抽样。

（b ）第一次取出一件产品不放回，第二次从剩下的产品中再取一件。

这种抽样方式称为无放回抽样。

分别就以上两种情况求：1) 取到的两件都是次品的概率；2) 取到的两件是一件正品一件次品的概率。

2214243.(1)[||]0.140(2)[||]0.144(,4),(,),(0,)[||]20.1800255(3){||0.1}2(10.9521.9615372tnE a D nnE aN a N a t a NnnE t t dtnP t Pnξξξξξξπ-+∞-==≤⇒=-≤=-==≤==≤=≤=Φ-≥=⇒≥⎰《应用数理统计》参考答案习题一0.51.(,0.5)(,){||0.1}0.9972.97442N a N anP a Pnξξξξ⇒-<=<==⇒=2242.(,4)(,)100||(1)(||)()0.90,0.330.20.2(2):P(||)N a N aa UP a U P Uaξξξξσξεε⇒--<=<==-≥≤挈比学夫不等式(5)(5)125515(3){15}1{15}1{15,15,,15}1215121[{}]221[1(1.5)]0.292P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->=--Φ=1121212111()(1){}{,,,}{1,1,,1}()()(1)(1)k n n nn m nm n m n m ni i P k pq P M m P m m m P m m m pqpq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑4.5. 6. 13.0)25(1}8.012138.012{}13{)54,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N (1)(1)1255511515(2){10}1{10}1{10,10,,10}1[{10}]1[1{10}]1210121[1{}]221[11(1)]0.579P P P P P P ξξξξξξξξ<=-≥=->>>=->=--≤--=--≤=--+Φ=6(1)0.001567.2800~(0.0015)(1){800}[{800}][0.0015]x E P P e dx e ξξξ∞-->=>==⎰6(6)30000.00156 4.56(2){3000}[{3000}][0.0015](1)x P P e dx e ξξ--<=<==-⎰1212(2){}{,,,}{1,1,,1}n n nn P K k P k k k P k k k ξξξξξξ==≥≥≥-≥+≥+≥+7．8.均值的和（差）等于和的均值，方差的和差都等于方差的和9.由中心极限定理：10.11.22222(1)(1)(1)()222~()()()[()](,)it itit n e n n e n e it i t t tn it it n n nn p t e t t ee n e e e N n λξλλξξλλλλλξλϕϕϕλξλ---+--∴=∴======∴12121233~(20,3),~(20,),~(20,)10151~(0,)2{||0.3}1220.67N N N N P P ξξξξξξξξξ-∴->=->=-Φ=2(),(),E a D ξξσ==121(0,1)(0,1)~(,)n n i i i ni i na a n N N N a n nξξσξσξ==--∴∴=∑∑∑22222222,(),()()(),(),(),(,)k k k k k k k k k k k k k kk k E a E a D E E a a a a E A a D A n a a A N a nξξξξξ===-=--∴==-∴22121212222(),()(),()0,()()()2,()()()2,i i E E a D D E D D D E E D ξξξξσξξξξξξσξξξξξξσ====∴-=-=+=∴-=-+-=13.14.15.16.2212221221,(),(),()()0,()()()(1),11[()](1)1niii ii i iniiniiE a E a D DnE D D DnDn D nDES n Dn nE ES Dn n nσξξξσξξξξξξξσξξξξξξξ=======∴-=-=+--===--==--∑∑∑222222222424222(1),11()(1)()2(1)21 ()2(1)() nsnns nE n Es On nns nD n Ds On n n χσσσσσσσ--=-⇒==+-=-⇒==+112323''' '2(121)(1)()()()()5231()(121)23023021AD E E E EA E E A AVar Aξξξξξξηξηηηηηξξξξξ⎛⎫⎪-+=-==⎪⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11223''''110(2)(,)111()()()()5231()(121)23023021BE E E EB E E B BVar Bξηηηξξξηηηηξξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11222211()2822121(2)||2241128116xx xxe dx dxπ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭-∞-∞-=∑-⎛⎫⎛⎫∑==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰17.18.21.22.()11223'122'111110(,),211151,1101221111111100130111100310110N A A AAA Aξηξηξηηθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭‘＝，由引理1.2.3，则－的联合分布为－－11223''12111111~(,),1011111432111111121301111210.2N A A AA Aξηξξηξηθρρρρρρρρρηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∴∑⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴--=⇒=-＝=A，－－时与独立2''44''22'''''' 44224(0,)(,)()()2()()()()()cov(,)(,)()() ()()2()()()2()nN IE A B tr A tr B tr ABE A E B tr A tr BA B E A B E A E Btr A tr B tr AB tr A tr B tr AB ζσζζζζσσζζζζσσζζζζζζζζζζζζσσσσσ=+=∴=-=+-=()11112222121122,1,1,0822177,122477yay y Qyba babθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒===-=⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=∑== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭23.24.又 则令 则与 独立，则 与独立，且26.则2212221~(,),~(0,),~(1),(0,1)/(1)n n N a N n n ns n N T t n σξξξσξξχσξξ++----=-'11111(,,),(,,)111(,,),()11n n n ij n n n n i i i ia a B D nn n ξξθξσσσσδσσ⨯======-∑∑'2,0,D D D BD ===221(,)(,)1()n ni i nnB N a N I ηξθσσ===∑,i i i aξγσ-=2'11,()()()ni i i a D n ηγζγγξθξθσ=-==-=--∑∑B nηξ=ξηζ)1(~2-n χζ11(,)22U ξθθ-+(1)()121111221111()2201()121()()[1()]1[]21()()[()][]2(,)(1)()()[()()](1)[]n x n n n n n n n x f x other F x dx x f x nf x F x n x f x nf x F x n x f x y n n f x f y F y F x n n y x ξξθξξθθθθθ-------⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩==-+∴=-=⋅⋅-+==⋅+-=--=⋅-⋅-⎰27.33.2222122222212222(0,),1()||2 ()()()()22(1)iyniniiY a NE d Y dynaD dE d E d Ennn nσξσσξσσσπσσσππ-∞-∞===-==-=-=-=⋅-=-∑⎰∑2222122122210.3(0,0.3),(0,)1010()(9)0.310()100.18{}0.30.3{(2}0.01iniiniiniN NPPξξξξχξξξ===--⨯<=<=∑∑∑222(2)(0,1),(1)0.3(9){0.9}0.9932nsN ntP Psnξχσξξξ--<=<=12121222221221212(3)(0,0.18),(0,0.18)(0,1),(0,1)0.18(1),()(1)0.18{()40}0.9N NN NPξξξξχχξξξξ+-+-+<=-224132244(4)~(1),~(0,0.12),10.73 {10.73}{}0.95NP Pξχξξξξ-<=<=34.《应用数理统计》参考答案2211222212222211(1)(0,),(0,)(1),()(1)11,()()(2)nn miii i n nniii nn mi i i i n N n N m n m m a b n m a b n m ξσξσξξχχσσσξξχ+==+=+==+--==++-∑∑∑∑∑∑222211112(2)(),(0,)(0,1),/(),n mni ii n i nniii i i m N n N t m c m n ξχξσσξξσσ+=+===∴=∑∑∑∑∑2222221121221(3)(),()()/(1,1),/nn mi i i i n ni i n mi i n n m n mF n m d nm ξξχχσσξσξσ+==+=+=+--∴=∑∑∑∑1. 由矩估计法2. (1) 由矩估计法(2)(3)(4)(5)818226212266174.00281610(74.002)88610 6.85710181ii i i a X x S x n S S n σ=-=--⎧===⎪⎪⎨⎪==⨯=-⎪⎩∴==⨯⨯=⨯--∑∑11'1202()33A x EX x dx θαξθθαξθθξ==-====∴=⎰111'101(1)2211A EX x x dx θαξθαθξθξθξ==+==+==+-∴=-⎰1211211122222221212222222121112()2x x n i i e xdx e x dx A X n A S S S θθθθθθαθθξθαθθξθξθξθθξθξθ--+∞--+∞==⋅=+==⋅===+∴=+==-+⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩⎰∑⎰111(1)122Ni N NA x N NN ξξ=+===⋅⇒=∑11102()1A dx ξξθξ===⇒=-⎰2∞3.4.2()2{0},(){0}{}()0.7,110.7,0.525x aA X AP A P dxa aP a pp aξξξ--=<=<=--=<=Φ-=≈∴≈=-⎰设表示出现的次数，(1)11111(1)()ln()[ln ln(1)ln]ln()1[ln ln]ln ln0 ln lnniiniin ni ii iniiL c xL c xLc x n c xnnx n cθθθθθθθθθθθθθ-+=======+-+∂=+-=+-=∂=-∏∑∑∑∑1111221(2)()ln()[ln1)ln]ln()]0(ln)niniiniiniiLL xLxnxθθθθθ======+∂=+=∂=∑∑∑11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏5.221()212212241(5)()()ln()[ln]22()2()ln()[022in xiniini iiLxLx xLθθθθθθθθθθθθθξθ--====-=-----∂==∂=∑∑(1)11(1)11(1)(1)(6)()ln()[ln ln(1)ln]ln()(),,,()()nc ciiniinc ci niL c xL c c c xL ncL c xL Lθθθθθθθθθθθξξθξθξ-+==-+===--+∂=-=∂=≤≤⇒=∏∑∏不能解出，所以由22111(7)()1)(1)ln()[2ln(2)ln(1)ln(1)]2ln()22]01inxiini iiniiL xL x xx nL nθθθθθθθθθθθξ-====--=+--+--∂=-=⇒=∂-∏∑∑（11max(1)~(,0)11(1)(),,,0(),()()nnniULL Lξθθθξξθθθξθθ==-=<<-=≤∏6.7.所以不唯一。

应⽤数理统计解：（1）~()X Exp λ,则X 的概率密度为,0 (;)0,0x e x f x x λλλ-?>=?≤?故λ的似然函数为11()(),(0,1,2,,)niii nx x ni i L eex i n λλλλλ=--=∑==>=∏对数似然函数为1ln ()ln ni i L n x λλλ==-∑令1ln ()0n i i L x n λλλ=?=-=?∑解得11nii nxxλ∧====（2）~(,)X U a b ，X 的概率密度为1,(;,)0,a x b f x a b b a ?≤≤?=-其他由于12,,,n a x x x b ≤≤ ，等价于(1)(),n a x x b ≤≤。

作为a,b 的函数的似然函数为(1)()1,,()(,)0,n na x xb b a L a b ?≤≤?-=?其他于是对于满⾜条件(1)(),n a x x b ≤≤的任意a,b 有()(1)11(,)()()n nn L a b b a x x =≤-- 即(,)L a b 在(1)(),n a x b x ==时取到最⼤值()(1)()nn x x --。

故a,b 的极⼤似然估计值为(1)(),n a x b x == a,b 的极⼤似然估计量为(1)(),n a X b X == （3）θ的似然函数为1111()()()nnnii i i L xx θθθθθ--====∏∏，其中12(0,,,1)n x x x <<对数似然函数为1ln ()ln (1)(ln )nii L n x θθθ==+-∑ln nii nxθ==-∑故θ的极⼤似然估计量是1ln nii nXθ==-∑（4）β的似然函数是11111()()(1)![(1)!]ni i i knknnx x k k i in i i L x e x e k k βββββ=----==∑??== ?--??∏∏，其中，12(,,,0)n x x x >对数似然函数11ln ()ln ln[(1)!](1)ln n niii i L nk n n k x xβββ===--+--∑∑令1ln ()0ni i L nk x βββ=?=-=?∑i nkkxxβ===∑ 故β的极⼤似然估计量是?k Xβ= （5）a ,λ的似然函数为),,,(,),(21)(1)(11a x x x eee a L n nax n a x n ni a x ni i ni i i >∑=∑====+---=--∏λλλλλλλλ由上式易知，)1()()min(x x a i =≤，当)(!x a =时，),(a L λ取最⼤值，通过对数似然函数对λ求偏导，令其等于0，解得)1(111?x x a x naxnni i-=-=X x -=λ，a 的极⼤似然估计量为)1(?X a= （6）X 的分布律为m x p p C x X P x m xxm ,1,0,)1(}{=-==-故似然函数为∑-?∑=-===-=-=∏∏ni ini ii ii i x m n x ni x mx m x ni x mp pC p p Cp L 11)1()(])1([)(11对数似然函数)1ln()(ln )(ln )(ln 111p x m n p x Cp L ni i -∑-?+∑+====∑令01)(ln 11=-∑-?-∑===p x m n p x p L dp d n i ini i 解得p 的极⼤似然估计值mx nmx pni i =∑==1所以p 的极⼤似然估计量mXp=?解：因X 的概率因数为1{}(1)k P x k p p -==- (1,2,)k =∴P 的似然函数为: 111()(1)(1)(1)nii i nx x n ni L P p p p p p =--=∑??=-=--??∏对数似然函数1()()(1)ni令()0Ln p p= 1111011ni i n n x p p p =∴+-=--∑ 1px=, 所以p 的极⼤似然估计为1?px=.2.6 解: (1) 2.14 2.090.05R =-=故50.4299*0.050.214950.0215Rd σ===≈ (2) 分为三组2.14 2.10 2.152.13 2.12 2.102.13 2.10 2.152.12 2.14 2.132.11 2.14 2.102.11 2.15 2.10 1230.050.050.05R R R === 61(0.050.050.05)0.0530.3946*0.050.0197R R d σ=++====2E(X)=+1-/2=0.5D(X)=1/12(b-a)1/12()(1/)1/**0.50()0.5()()2()2/**0.5i E X E n X n n X E X X YE Y E X E X n n X θθθθθθθθθθθθ===≠=====∑（1）所以，是的⼀个有偏估计量偏差是－＝－（2）取22所以，2是的⼀个⽆偏估计()()333333E E X X EX EX µµµµ=+=+=+= 21232()55E EX EX µµ=+= 31211()22E EX EX µµ=+= 所以，1?µ，2?µ，3?µ都是µ的⽆偏估计量。

典型例题分析例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。

解 以21S 和22S 分别表示两个（修正）样本方差。

由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布，自由度为（7，9）。

1） 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。

2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。

由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。

由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。

例2．设n X X X ，，， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。

解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度1-=n v ，于是，有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。

我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-）（的最小1+=v n 值，由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。