应用数理统计试题
1．设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N
(1)试给出常数c ,使得()22
12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度;
(2)试给出常数,d 使得
服从t 分布,并指出它的自由度.
2．设总体X 的密度函数为
⎩⎨⎧<<+=其他,
01
0,)1();(x x x f ααα
其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: (1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量.
3．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):
26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.
根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α=
4．若总体X 服从正态分布()
22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？
5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的一
（1）预测腐蚀时间75s 时，腐蚀深度的范围（α-1＝95%）；
（2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？
6．简述方差分析,主成分分析的基本思想
附：统计查表数据
0.025(6) 2.447t =，0.025(7) 2.365t =，(1.96)0.975Φ=
参考答案：
1.设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N
(1)试给出常数c ,使得()
22
12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度;
(2)试给出常数,d
使得服从t 分布,并指出它的自由度.
解 (1)由于()()()22
21212~0,1,~0,1, ~2X N X N X X +χ故
因此1c =,1222
X X +服从自由度为2的2χ分布. (2)由于()()~0,11,2,5i X N i = 且独立,则()12~0,2X X N +
()~0,1N
而 ()22223453X X X ++=χ
()~3,t
()~3t
所以d =自由度为3.
2. 设总体X 的密度函数为
⎩⎨⎧<<+=其他,
01
0,)1();(x x x f ααα
其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求:
(1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量. 解 (1) ⎰
+∞
∞
-==x x xf EX d );(α
⎰
++=++10
1
2
1d )1(ααααx x
由矩估计的定义知
∑===++n
i i X n X 1
121ˆαα
从而 )2ˆ(1ˆ+=+αα
X 于是α的矩估计为 X
X --=11
2ˆα
(2) 似然函数为
∏∏∏===+=+==n
i n
i i n
i n i i x x x f L 1
1
1
)
1()1();()(αα
αααα
∑=++=n
i i x L L 1
ln )1(ln )(ln ααα
令 0ln 1)(ln 1
=++=∂∂∑=n
i i x n L ααα
得 1ln ˆ1
--=∑=n
i i
x
n
α
所以α的最大似然估计量为 1ln ˆ1
--=∑=n
i i
x
n
α
3.有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):
26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.
根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α= 解 00:23.8H μμ==，10:H μμ≠ 依题意有24.2x =，
()2131.62n s -=，
2.274s =
由于2
σ
未知，故选用()0
1x T t n μ-=
- 为统计量，故拒绝域 为:()()0.0252
16 2.4469T t n t α>-==.
而23.8
0.4654x t -=
=，故t T <. 因此接受0H ，即新药能够说明疗效.
4．若总体X 服从正态分布()
22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}
95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？
解 由题设易知 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛n N X 44.1,
1~，()1,0~2.01
N n X - 故
{}⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧≤-=≤≤≤n n X P X P 2.01.02
.011.19.095.0，
()
15.02-Φ=n
即 ()
975.05.0≥Φn ，3664.15,96.15.0≥≥n n
因此样本容量n 最少应取为16。
5．
（1）求y 关于x 的回归方程； （2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？ 解 （1）先求出回归方程，由n ＝11易算得
∑∑∑===36750
,214,5102i i i
x y x
∑∑==13910,54222
i i i y x y
故 11510111==
∑i x x 11
214111==∑i
y y 又 55.13104)11
510(113675022
2=-=-=∑x n x l i xx
18.3988)11214
)(11510(1113910=-=-=∑y x n y x l i i xy
73.1258)11
214(11154222
22=-=-=∑y n y l i yy
304.055.13104/18.3988ˆ===xx
xy l l b
