2020版高考数学文新创新一轮复习通用版讲义：第三章第二节第1课时必备知识导数与函数的单调性、极值与最值

第一节 导数的概念及运算本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.突破点(一)导数的运算［基本知识］1. 函数y = f(x)在x = x o 处的导数称函数y = f(x)在x = x 0处的瞬时变化率 Hm 0 ~^y= jj m 0 f "0+ :为函数y = f(x)在 x o 处的导数，记作f '(X o )或y ' |x = x o , 即 f '(x \ r 型 |im fx o + & f pj即f (x o )=师&=竺- 空 .2. 函数f(x)的导函数称函数f ' (x)= lim f x +严 =f x 为f(x)的导函数.^x ^Q- A x3.4. 导数运算法则(1) [f(x) ±(x)] ' = f ' (x) ±' (x)；(2) [f(x) g(x)]' = f ' (x)g(x)土f(x)g ' (x); ⑶話'=話宀x (如0)- 5. 复合函数的导数复合函数y = f(g(x))的导数和函数y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为 y x '= yj %',第三章导数及其应用x =即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.［基本能力］1. 判断题(1) f'(X0)与(f(x o))'的计算结果相同.()(2) 求f' (x o)时，可先求f(x o)再求f' (x o).( )(3) f‘(x o)是导函数f' (x)在x = x o处的函数值.()(Q, n(4) sin 3 = cos 3.( )(5) 若(In x)' = x，贝V x ' = ln x.( )(6) 函数f(x)= sin(-x)的导数为f' (x)= cosx.( )(7) y= cos 3< 由函数y= cosu, u = 3x 复合而成.()答案：(1)X (2)X (3) V (4) X (5) X (6) X (7) V2. 填空题(1) 已知f(x)= 13—8x + 2x , f'(X o)= 4，贝U x o= ______ .解析：T f' (x)=—8+ 4x,.・.f' (x o) =—8 + 4x o= 4，解得x°= 3. 答案：3 ln x(2) 函数y= --er的导函数为________________ .1 —xln xx答案：yxe⑶已知f(x)= 2sin x+ X,贝y f' 4 = _________ .解析：T f(x)= 2sin x + x,「. f' (x) = 2cosx + 1,贝U f'才=2cos 1 = 2+ 1.答案：.2+ 1研透高考*讲练区［全析考法］2［典例］⑴函数f(x)= (x + 1) (x —3)，则其导函数f' (x)=( )A. 3x2—2xB. 3x2—2x — 52 2C. 3x —xD. 3x —x—5(2)(2018钦州模拟)已知函数f(x) = xln x,则f' (1) + f(4)的值为( )A . 1— 8ln 2B . 1+ 8ln 2D . — 8ln 2 — 1nn n 5 nA ・3B .6C .4 咋2［解析］(1)法一：因为 f(x) = (x + 1) (x — 3) = (x + 1)(x + 1)(x — 3)，所以 f ' (x)= ［(x + 1)(x + 1)］' (x — 3) + (x + 1)(x + 1)(x — 3)' = 2(x + 1)(x — 3) + (x + 1)2= 3x 2— 2x — 5.法二：f(x) = (x + 1)2(x — 3)= x 3— x 2— 5x — 3，贝y f ' (x) = 3x 2 — 2x — 5.(2)因为 f ' (x)= ln x + 1,所以 f ' (1)= 0+ 1 = 1,所以 f ' (1) + f(4) = 1 + 4ln 4= 1 + 8ln 2. 故选B.(3) 因为 f(x)= sin xcos $— cosxsin $— 1 ()<扌，所以 f ' (x) = cosxcos $+ sin xsin $=［方法技巧］ 导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导 分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幕的形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数 如含f ' (X 0), a , b 等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导［全练题点］1.下列函数中满足f(x)= f ' (x)的是( ) A . f(x)= 3 + x B . f(x) =— x C . f(x)= ln xD . f(x) = 0解析：选 D 若 f(x) = 0,贝U f ' (x) = 0,从而有 f(x)= f ' (x).故选 D. 2. (2018 延安模拟)设函数 f(x) = ax + 3，若 f ' (1)= 3,贝U a =( )A . 2B . — 2C . 3D . — 3解析：选C 由题意得，f ' (x)= a ，因为f ' (1) = 3,所以a = 3,故选C.cos(x —妨，因为f '［答案］(1)B (2)B1,因为ov 幣n ，所以片n ，故选A .2 3C . 8ln 2— 1(3)已知函数 f(x) = sin xcos cosxsin (— 1(0<((<-) ，若f 'n =1,贝y $的值为(3. (2018南宁模拟)设f(x)在x= x o处可导，且\im°f乂卄3补一匚乞=1，贝卩f' (x°)=( )1A. 1B. 0C. 3D.3解析：选D因为lim f(xo+ 3 &f)= 1,所以lim「3 x型0主上)L 1,即ZXF A x AXF _ 3 A x13f' (x o)= 1，所以f' (x o) = 3.故选D.4. (2018桂林模拟)已知函数y= xcosx —sin x,则其导函数y'=( )A. xsin xB. —xsin xC. xcosxD. —xcosx解析：选 B 函数y= xcosx —sin x 的导函数y' = cosx—xsin x—cosx=—xsin x, 故选B.3 25. (2018九江一模)已知f(x)是(0,+s )上的可导函数，且f(x) = x + x f' (2) + 2ln x,则函数f(x)的解析式为()3 3 pA. f(x)= x —?x + 2ln xB. f(x)= x3—T^x2+ 2ln x3 2C. f(x)= x —3x + 2ln x3 2D. f(x)= x + 3x + 2ln x2 解析：选 B •/ f(x) = x3+ x2f' (2) + 2ln x, /• f' (x)= 3x2+ 2xf' (2) + -，令x = 2，得f' (2)13 13=12+ 4f' (2) + 1, ••• f' (2) =——, ••• f(x) = x3——x2+ 2ln x,故选B.3 3突破点(二)导数的几何意义抓牢双基自学区［基本知识］函数f(x)在点X0处的导数f'(X0)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x0 , y0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y—y0= f' (x o)(x—x0).特别地，如果曲线y= f(x)在点(X0 ,y°)处的切线垂直于x轴，则此时导数f' (x o)不存在，由切线定义可知，切线方程为x= x o.［基本能力］1. 判断题(1) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ()(2) 求曲线过点P的切线时P点一定是切点.()答案：⑴“(2)X2. 填空题(1) 曲线y= x3—x + 3在点(1,3)处的切线方程为 _______ .答案：2x—y+ 1 = 01(2) 已知直线y=—x+ 1是函数f(x) = —a e x图象的切线，则实数a= ____________ .1解析：设切点为(X o, y o),贝U f (x o)=—- J0=—1,ae x o= a,又—-e x)= —x°+ 1，- x°= 2, a = e2.a答案：e2(3) 曲线f(x)= xln x在点M(1, f(1))处的切线方程为__________ .解析：由题意，得f' (x)= In x+ 1，所以f' (1) = In 1+ 1= 1,即切线的斜率为1.因为f(1) = 0，所以所求切线方程为y—0 = x—1,即卩x—y—1 = 0.答案：x—y— 1 = 0研透高考・讲练区［全析考法］3 2［例1］已知函数f(x)= x —4x + 5x— 4.(1) 求曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；(2) 求经过点A(2,—2)的曲线f(x)的切线方程.2［解］(1) •/ f' (x)= 3x —8x+ 5,••• f' (2) = 1,又f(2) = —2,•••曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y—(—2) = x —2,即x —y—4= 0.(2)设切点坐标为(X0, x3—4x0+ 5X0 —4),f' (X D)= 3x0 —8x0 + 5,•切线方程为y—(—2) = (3x0—8x0 + 5)(x —2),又切线过点(x0, £—4x；J + 5x0—4),X o — 4x o + 5x o — 2= (3x o — 8x o + 5)( x °— 2), 整理得(x o - 2)2(x o - 1)= 0, 解得X o = 2或x o = 1,•经过 A(2, - 2)的曲线f(x)的切线方程为 x — y - 4 = 0或y + 2= 0. ［方法技巧］求切线方程问题的两种类型及方法'(1)求“在”曲线y = f(x )上一点P(x o , y o )处的切线方程：点P(x o , y o )为切点，切线斜率 为k = f ' (X o ),有唯一的一条切线，对应的切线方程为 y -y o = f ' (x o )(x -x o ).'(2)求“过”曲线y = f(x)上一点P(x o , y o )的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点, 也可能不是切点，这样的直线可能有多条. 解决问题的关键是设切点， 利用“待定切点法”即:①设切点A(X i , y i ),则以A 为切点的切线方程为 y -y i = f '(X i )(x — x i );②根据题意知点 P(X ), y o )在切线上，点A(x i , y i )在曲线 y = f(x)上，得到方程组求出切点A(x i , y i ),代入方程y -y i = f ' (x i )(x -x i ),化简即得 所求的切线方程.［例2］ (2oi8 •州模拟)设函数f(x)= x 3+ ax 2,若曲线y = f(x)在点P(x o , f(x o ))处的切线 方程为x + y = o ,则点P 的坐标为()A . (o,o)B . (i , - i)C . (-i,i)D . (i , - i)或(一i,i)［解析］•/ f(x) = x 3 + ax 2,「. f ' (x) = 3x 2 + 2ax ,v 曲线 y = f(x)在点 P(x o , f(x o ))处的切 线方程为x + y = o , • 3x o + 2ax o =- i , T X o + x 3+aX = o ,解得 X o = ±i , •当 X o = i 时,f(x o )=-4,当 x o =-i 时，f(xo ) = i.故选 D.i［例3］ (i)(2oi8长沙一模)若曲线y = 2J X 2与曲线y = aln x 在它们的公共点 P(s , t)处具 有公共切线，则实数 a =()A . - 2 B.1 C . 1D . 2(2)(2018南京调研)若函数f(x)= In x + ax 的图象存在与直线 2x - y = 0平行或重合的切线，则实数a 的取值范围是 ___________ .y i = f(X i , y o -y i = f 'X i x o - X i ,［答案］D的导数为y' = ,在点P(s, t)处的切线斜率为, y= aln x的导数为2e e ey' = ?,在点P(s, t)处的切线斜率为a，由题意知，S= a，且2"S2= aln s,解得In s=舟,s2x s e s 2e 2=e,故a= 1.(2)函数f(x)= In x+ ax的图象存在与直线2x- y= 0平行或重合的切线，即f' (x)= 2在11 1(0,+^)上有解，而f' (x) = - + a,故- + a = 2,即卩a= 2--在(0, + )上有解，因为x>0, 1所以2--<2，所以a的取值范围是(一R, 2).［答案］(1)C (2)(―汽2)［方法技巧］根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x o, y o)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.［全练题点］1. ［考点一］曲线y= sin x+ e x在点(0,1)处的切线方程是()A. x- 3y+ 3= 0B. x- 2y+ 2= 0C. 2x-y+ 1 = 0D. 3x —y+ 1 = 0解析：选 C T y= sin x + e x,^ y' = cos x + e x,^ y' |x= 0 = cos 0 + e°= 2,.••曲线y=sin x + e x在点(0,1)处的切线方程为y- 1 = 2(x —0)，即2x-y+ 1 = 0.2. ［考点一］曲线y= xe x+ 2x- 1在点(0, - 1)处的切线方程为()A. y= 3x- 1B. y=- 3x - 1C . y= 3x+ 1D . y=- 2x —1解析：选A 因为y' = e x+ xe x+ 2，所以曲线y= xe x+ 2x- 1在点(0, - 1)处的切线的斜率k= y' |x= 0 = 3,.切线方程为y= 3x- 1.x 213.［考点二］已知曲线y= 4- 3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A . 3B . 2C . 11%解析：选A2已知曲线y= :-3ln x(x>0)的一条切线的斜率为十，由y' = fx—3=号,得x= 3，故选A.4.［考点三］(2018东城期末)若直线y=- x+ 2与曲线y=- e x+ a相切，则a的值为()C . — 1D . — 4解析：选A 由于y ' = (— e x +a )' =— e x +a ，令一e x +a =— 1,得切点的横坐标为 x =— a ,所以切点为(一a , — 1)，进而有一(一a)+ 2=— 1,故a =— 3.x ay = e — (a>0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值e范围是1 B. 1C .3x ay = eii iii iv v vi vii viii ix x xi—飞在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是ee x + a x >2 a 当且仅当e x =事时等号成立，故2 a = . 3,a = 3，故选C.411 解得 x 1= 2, x 2= — 2，二 b = ln x 1+ 1= 1 — ln 2.答案：1— ln 23. (2016全国卷川)已知f(x)为偶函数，当 x<0时，f(x) = ln( — x) + 3x ,则曲线 y = f(x)［全国卷5年真题集中演练一一明规律］1.(2014全国卷n )设曲线y = ax — ln(x + 1)在点(0,0)处的切线方程为 y = 2x ，则a =( ) A . 0 B . 11解析：选D y ' = a — ，由题意得y ' |x =0 = 2, 即卩a — 1= 2，所以a = 3.x + 12. (2016全国卷n )若直线y = kx + b 是曲线y = ln x + 2的切线，也是曲线 y = ln(x + 1) 的切线，贝U b= _______ . 1 1 解析：易得(ln x + 2)' = -, ［ln(x + 1)］'==.设曲线y = ln x + 2上的切点横坐标为xi x 十I 1X 1,曲线y = ln(x + 1)上的切点横坐标为 X 2,则y = ln x + 2的切线方程为：y = — x + ln X 1+ 1,X 1 1y = ln(x 十1)的切线方程为：y =血十1 x 十ln(x 2+5.［考点三］(2018西安一模)若曲线 解析：选 C y ' = e x + J,n ，二 e x + ” 3,由 a>0 知,x 2 1)—齐.根据题意，有 X 2X 2+ 1 ,ln X 1 十 1= ln X 2+ 1 —在点(1, - 3)处的切线方程是 __________ .解析：因为f(x)为偶函数，所以当 x>0 时，f(x)= f(— x)= In x — 3x , 所以当 x>0 时，f (x) =丄一3，贝U f f(1) = — 2.所以y = f(x)在点(1,— 3)处的切线方程为 y + 3=— 2(x — 1)，即y =— 2x — 1. 答案：y = — 2x — 1则y' = a x ln a ,所以④正确.因此正确的结论个数是4，故选D.3.若函数y = x m 的导函数为y '= 6x xii ,则m =( )A . 4B . 5C . 6D . 7解析：选C 因为y = x m ,所以y' = mx m — S 与y ' = 6x 5相比较，可得 m = 6. 4.已知函数f(x)= e x (e 是自然对数的底数)，则其导函数f ' (x)=()④若y = a x (a>0)，则y '= a x ln a .其中正确的个数是2_ 27；解析：选D 根据求导公式可知①正确；若 1 y =—x =— x所以②正确；若心戶纟，则f ' (x)= — 2x —3，所以f ' (3)=—空，所以③正确；若y = a x (a>0),x解析：选B 函数f(x) = r,则其导函数e 5.若f (x)= x 2— 2x — 4ln x ,贝V f ' (x)<0的解集为()A . (0 ,+s )C . (0,2) U ( — 3 — 1)解析：选 B 函数 f(x) = x 2— 2x — 4ln x 的定义域为 {x|x>0} , f ' (x) = 2x — 2 — 4 =22x — 2x —4x22x — 2x — 46.(2018信阳模拟)已知函数f(x) = ae xiii + x ,若1<f ' (0)<2 ,则实数a 的取值范围是(B . (0,1)C. (1,2)D . (2,3)解析：选 B 根据题意，f(x) = ae x + x ,则 f ' (x)=(ae x )' + x ' = ae x + 1,贝V f ' (0) = a + 1,若1<f ' (0)<2，贝U 1<a + 1<2，解得0va<1，所以实数a 的取值范围为(0,1).故选B.对点练(二)导数的几何意义1. (2018安徽八校联考)函数f(x)= tan 中在专，苛丿"处的切线的倾斜角a 为( )nB.4nD . n选B.2.若函数f(x) = x 3— x + 3的图象在点P 处的切线平行于直线 y = 2x — 1，则点P 的坐标为()A. (1,3) B . (— 1,3) C . (1,3)或(—1,3)D . (1, — 3)解析：选 C f ' (x)= 3x 2— 1，令 f ' (x)= 2,即 3x 2— 1 = 2? x = 1 或一1,又 f(1) = 3, f(— 1)xiiiA.1+ x xXe —xe 1 — xf ' (x) = 2x-= 厂，故选 B.e e B . (0,2) D . (2, +3 )，由 f ' (x) = <0，得 0vxv2 ,••• f ' (x)<0 的解集为(0,2),故选 B.得切线斜率解析：选B1c 2 x 2cos -= 3,所以P(1,3)或(—1,3),经检验，点(1,3), (—1,3)均不在直线y= 2x—1上，故点P 的坐标为(1,3)或(—1,3).3. (2018福州质检)过点(—1,1)与曲线f(x)= x3—x2—2x+ 1相切的直线有()C • 2条D • 3条解析：选 C 设切点 P(a , a 3-a 2-2a + 1)，由 f ' (x)= 3x 2— 2x — 2，当 a 丰一1 时，可即(3a ?— 2a — 2)(a + 1) = a(a — 2)(a + 1)，所以 a = 1,此时 k = — 1.又(—1,1)是曲线上的点且 f ' （— 1） = 3工一1，故切线有2条.4. （2018重庆一模）已知直线y = a 与函数f （x ）=装一x 2— 3x + 1的图象相切，则实数 a 的值为（）8 8C . 8或—3D • — 8 或？解析：选D8令 f ' (x)= x 2— 2x — 3= 0，得 x =— 1 或 x = 3,••• f (— 1) = 3, f(3) = — 8,3a = 8或—8.3ln x5 • （2018临川一模）函数f （x ）= x + 的图象在x = 1处的切线与两坐标轴围成的三角形 的面积为（）A -2C3 C.2Di解析：选B因为 f(x)= x +, f (x) = 1 + ------ ，所以 f(1) = 1, f ' (1) = 2,故切9—a 2 — 2a + 1 — 1a—―1 所以(3 a 2— 2a — 2)(a + 1) = a 3— a 2 — 2a , 得切线的斜率数a 的取值范围是［0,+ g ).7. (2017 柳州二模)已知函数 f(x)= x 2+ bx + c(b , c € R ), F(x)= ，若 F(x)的图象 e 在x = 0处的切线方程为 y = — 2x + c ,则函数f(x)的最小值是()x = 0处的切线方程为y — 2x + c ,.・.F— 0一 2，得b = C ，|F(0 尸 c , |b = C ,=0.8. (2018唐山模拟)已知函数f(x)= x 2— 1, g(x)= ln x ，则下列说法中正确的为 ( )A. f(x), g(x)的图象在点(1,0)处有公切线B.存在f(x)的图象的某条切线与 g(x)的图象的某条切线平行C. f(x), g(x)的图象有且只有一个交点D. f(x), g(x)的图象有且只有三个交点解析：选B 对于A , f(x)的图象在点(1,0)处的切线为y = 2x — 2,函数g(x)的图象在点 (1,0)处的切线为y = x — 1,故A 错误；对于B ,函数g(x)的图象在(1,0)处的切线为y = x — 1, 设函数f(x)的图象在点(a , b)处的切线与y = x — 1平行，则f ' (a)= 2a = 1, a =舟，故b =；2— 1 =—学，即g(x)的图象在(1,0)处的切线与f(x)的图象在 号，一3处 的切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有 两个交点，C , D 错误.故选B.9. (2018包头一模)已知函数f(x)= x 3+ ax + 1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7), 则 a= ____________ .解析：函数 f(x)= x 3 + ax +1 的导数为 f ' (x)= 3x 2 + a , f ' (1) = 3 + a ,又 f(1) = a + 2, 所以切线方程为 y — a — 2 = (3 + a)(x — 1),因为切线经过点(2,7),所以7— a — 2= (3 + a)(2 — 1),解得 a = 1.答案：1［大题综合练一一迁移贯通］21 31. (2018兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数 f(x)= x + x , g(x) = -x — 2x + m.(1)求函数f(x)的图象在x = 1处的切线方程；⑵若f(x)> g(x)对任意的x € ［— 4,4］恒成立，求实数 m 的取值范围. 解：(1) •/ f(x)= x 2 + x ,.・. f(1) = 2.解析：选C•/f — (x) = 2x + b ,「. F(x)= ^^,2— 2x — bF — (x)= -x ，又F(x)的图象在e ••• f(x) = (x + 2)2》0,f (x)min•/ f (x) = 2x + 1 ,••• f (1) = 3.•••所求切线方程为 y — 2= 3(x — 1)，即3x — y — 1 = 0.(2)令 h(x)= g(x)— f(x)= 3X — X — 3x + m, 则 h ' (x)= (x — 3)(x + 1). •当一4W x < — 1 时，h ' (x)> 0; 当一1v x < 3 时，h ' (x) w 0; 当 3v x < 4时，h ' (x)>0.要使 f(x)> g(x)恒成立，即 h(X)max W 0, 由上知h(x)的最大值在 x =— 1或x = 4处取得， 而 h(— 1) = m + 5, h(4) = m —詈， 555• h(x)的最大值为 m + 3，二 m + 0，即 m w — §.•实数m 的取值范围为—a,—5 .2. (2018青岛期末 股函数f(x)= ax — -，曲线y = f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x—4y — 12= 0.(1)求f(x)的解析式；⑵证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线 x = 0和直线y = x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：(1)方程 7x — 4y — 12 = 0 可化为 y = 7x — 3，当 x = 2 时，y =4 丿 2 又因为f ' (x)= a +乌,令x =°，得y =-x 0,所以切线与直线x =0的交点坐标为0, =2x 0,所以切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x o,2x o ).b 12a—2=1， 所以 丄b 7 a+ 4= 4.解得F=1,b = 3,所以 f(x)= x — 3.(2)证明：设P(x o , y 0)为曲线y = f(x)上任一点，由y ' = 1 +負知曲线在点 P(X 0, y 。

第2节　导数在研究函数中的应用最新考纲　1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f (x )在某个区间内可导，(1)若f ′(x )>0，则函数f (x )在这个区间内单调递增；(2)若f ′(x )<0，则函数f (x )在这个区间内单调递减；(3)若f ′(x )＝0，则函数f (x )在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数f ′(x 0)＝0条件x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图像形如山峰形如山谷极值f (x 0)为极大值f (x 0)为极小值极值点x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. [微点提醒]1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√2.(选修2－2P60抽象概括引申改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图像，则f(x)的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析　由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.答案　A3.(选修2－2P61例3改编)函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A. B. C.eD.e 21e2e解析　因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e.答案　C4.(2019·九江月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( )A.先增后减 B.先减后增C.单调递增D.单调递减解析　易知f ′(x )＝－sin x －1，x ∈(0，π)，则f ′(x )<0，所以f (x )＝cos x －x 在(0，π)上递减.答案　D5.(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )解析　设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3，由导函数y ＝f ′(x )的图像易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<0<x 2<x 3)，所以函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，x 3)上单调递减，在(x 1，x 2)，(x 3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D 选项符合.答案　D6.(2018·豫南九校考评)若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则常数c 的值为( )A.4 B.2或6C.2D.6解析　函数f (x )＝x (x －c )2的导数为f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，由题意知，在x ＝2处的导数值为12－8c ＋c 2＝0，解得c ＝2或6，又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，故导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正，而当c ＝6时，f (x )＝x (x －6)2在x ＝2处有极大值，故c ＝2.答案　C第1课时　导数与函数的单调性考点一　求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－处取得极值.43(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间.解　(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－处取得极值，所以f ′＝0，43(－43)即3a ·＋2·＝－＝0，解得a ＝.(－43)2 (－43)16a 38312(2)由(1)得g (x )＝e x ，(12x 3＋x 2)故g ′(x )＝x (x ＋1)(x ＋4)e x .12令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0，解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).规律方法　1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( )A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减C.在上递增D.在上递减(0，1e)(0，1e)(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析　(1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >，即函数的单调递增区间为；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e (1e，＋∞)，即函数的单调递减区间为.1e (0，1e)(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f (x )的单调递增区间为，.(－π，－π2)(0，π2)(－π，－π2)(0，π2)答案　(1)D (2)，(－π，－π2)(0，π2)考点二　讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解　(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln .(－a2)当x ∈时，f ′(x )<0；(－∞，ln (－a2))当x ∈时，f ′(x )>0.(ln (－a2)，＋∞)故f (x )在上单调递减，(－∞，ln (－a2))在区间上单调递增.(ln (－a2)，＋∞)(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 时，f (x )取得最小值，最小值为f ＝a 2(－a2)(ln (－a 2))，[34－ln (－a 2)]故当且仅当a 2≥0，[34－ln (－a2)]即0>a ≥－2e 时，f (x )≥0.34综上，a 的取值范围是[－2e ，0].34规律方法　1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.【训练2】 已知f (x )＝－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.x 22解　因为f (x )＝－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，x 22所以f ′(x )＝x －＝.a x x 2－ax (1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当a >0时，f ′(x )＝，则有（x ＋a ）（x －a ）x①当x ∈(0，)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，).a a ②当x ∈(，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(，＋∞).a a 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).a a 考点三　函数单调性的简单应用　多维探究角度1　比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1(0，π2)＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A.f <fB.f >f2(π3)(π4)2(π3)(π4)C.f>f D.f>f 2(π6)3(π4)3(π3)(π6)(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )1e＝，则不等式F (x )<的解集为( )f （x ）e x 1e 2A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析　(1)令g (x )＝，则g ′(x )＝＝.由f （x ）cos x f ′（x ）cos x －f （x ）（－sin x ）cos 2x1＋ln x cos 2x 解得<x <；由解得0<x <.所以函数g (x )在上单调递{0<x <π2，g ′（x ）>0，)1e π2{0<x <π2，g ′（x ）<0，)1e (0，1e)减，在上单调递增，(1e ，π2)又>，所以g >g ，所以>，π3π4(π3)(π4)f (π3)cos π3f (π4)cosπ4即f>f .2(π3)(π4)(2)F ′(x )＝＝，f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2f ′(x )－f (x )e x 又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0，∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<＝F (1)，得x >1，1e2所以不等式F (x )<的解集为(1，＋∞).1e 2答案　(1)B (2)B角度2　根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·昆明诊断)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax 2＋2x .12(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.解　h (x )＝ln x －ax 2－2x ，x >0.12∴h ′(x )＝－ax －2.1x(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x >0时，－ax －2<0有解，即a >－有解.1x 1x 22x设G (x )＝－，所以只要a >G (x )min .1x 22x又G (x )＝－1，所以G (x )min ＝－1.(1x－1)2 所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).(2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝－ax －2≤0恒成立，1x则a ≥－恒成立，设G (x )＝－，1x 22x 1x 22x 所以a ≥G (x )max .又G (x )＝－1，x ∈[1，4]，(1x－1)2 因为x ∈[1，4]，所以∈，1x [14，1]所以G (x )max ＝－(此时x ＝4)，所以a ≥－.716716又当a ＝－时，h ′(x )＝＋x －2＝，7161x 716（7x －4）（x －4）16x∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝≤0，（7x －4）（x －4）16x 当且仅当x ＝4时等号成立.∴h (x )在[1，4]上为减函数.故实数a 的取值范围是.[－716，＋∞)规律方法　1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·西安月考)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.[12，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，12]解析　(1)设函数g (x )＝(x >0)，f （x ）x2则g ′(x )＝＝<0，x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4xf ′（x ）－2f （x ）x 3所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即>，所以4f (1)>f (2).f （1）12f （2）22(2)由于f ′(x )＝k －，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥，而0<<，所以k ≥.即k 的取值范围是1x 1x 1x 1212.[12，＋∞)答案　(1)B (2)B[思维升华]1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意函数f (x )的定义域.2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.[易错防范]1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.3.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是( )解析　由函数f(x)的图像可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足.答案　D2.函数f(x)＝x·e x－e x＋1的单调递增区间是( )A.(－∞，e)B.(1，e)C.(e ，＋∞)D.(e －1，＋∞)解析　由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的单调递增区间是(e －1，＋∞).答案　D3.(2019·南昌质检)若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B.不存在这样的实数kC.－2<k <2D.－3<k <－1或1<k <3解析　由f (x )＝x 3－12x ，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝2，只要f ′(x )＝0的解有一个在区间(k －1，k ＋1)内，函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)上就不单调，则k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案　D4.已知f (x )＝，则( )ln x xA.f (2)>f (e)>f (3)B.f (3)>f (e)>f (2)C.f (3)>f (2)>f (e)D.f (e)>f (3)>f (2)解析　f (x )的定义域是(0，＋∞)，∵f ′(x )＝，1－ln x x 2∴x ∈(0，e)，f ′(x )>0，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0，故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)，又f (2)＝＝，f (3)＝＝，ln 22ln 86ln 33ln 96则f(e)>f(3)>f(2).答案　D5.(2019·保定一中模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析　由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.答案　B二、填空题6.已知函数f(x)＝(－x2＋2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________.解析　因为f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－<x<，22所以函数f(x)的单调递增区间为(－，).22答案　(－，)227.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.解析　由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)＝0有2个不同的实根.需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).答案　(－3，0)∪(0，＋∞)8.若函数f (x )＝－x 3＋x 2＋2ax 在上存在单调递增区间，则a 的取值范1312[23，＋∞)围是________.解析　对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－2＋＋2a .当x ∈时，(x －12)14[23，＋∞)f ′(x )的最大值为f ′＝＋2a .令＋2a >0，解得a >－.所以a 的取值范围是(23)292919.(－19，＋∞)答案　(－19，＋∞)三、解答题9.已知函数f (x )＝＋－ln x －，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切x 4a x 32线垂直于直线y ＝x .12(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解　(1)对f (x )求导得f ′(x )＝－－，14a x 21x 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝x 知f ′(1)＝－－a ＝－2，解得a ＝.123454(2)由(1)知f (x )＝＋－ln x －(x >0).x 454x 32则f ′(x )＝.x 2－4x －54x 2令f ′(x )＝0，且x >0，∴x ＝5(x ＝－1舍去).当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x >5时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).10.(2019·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝－，其中a ∈R ，e ＝1x e e x 2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解　由题意得f ′(x )＝2ax －＝(x >0).1x 2ax 2－1x当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝，12a当x ∈时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；(0，12a )当x ∈时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(12a ，＋∞)(2)证明　令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x －1>x ，从而g (x )＝－＝>0.1x e e x e （e x －1－x ）x e x能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( )A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x 解析　设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝，在定义域R 上为增函数，A (e 2)x正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝在定义域R 上是(e 3)x减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝e x cos ，g ′(x )>0在定2(x ＋π4)义域R 上不恒成立，D 不正确.答案　A12.(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f <2f (1)(ln 1x )的解集为( )A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.∪(1，e)D.(0，1e )(1e ，e )解析　f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ＝f (－ln x )＝f (ln x ).(ln 1x )则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1).又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔<x <e.1e答案　D13.(2016·全国Ⅰ卷改编)若函数f (x )＝x －sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，13则a 的取值范围是________.解析　f ′(x )＝1－cos 2x ＋a cos x ＝1－(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－cos 2 x ＋a cos x ＋23234353，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－t 2＋at ＋≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤04353在t ∈[－1，1]上恒成立.令g (t )＝4t 2－3at －5，则解得－≤a ≤.{g （1）＝4－3a －5≤0，g （－1）＝4＋3a －5≤0，)1313答案　[－13，13]14.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ).(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.[f ′（x ）＋m 2]解　(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝，a （1－x ）x当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－＝1，即a ＝－2，a 2∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝.2x －2x∴g (x )＝x 3＋x 2－2x ，(m 2＋2)∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴{g ′（t ）<0，g ′（3）>0.)当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－.373∴－<m <－9.373即实数m 的取值范围是.(－373，－9)。

第2课时导数与函数的极值、最值一、教材概念·结论·性质重现1．函数的极值与导数条件f ′(x0)＝0x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定．(2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．(1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．(2)若函数f (x)在区间[a，b]内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(×)(4)开区间上的单调连续函数无最值．(√)2．f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A解析：由题意知在x＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x＝－1左减右增．故选A．3．函数f (x)＝2x－x ln x的极大值是()A．1e B．2e C．e D．e2C解析：f ′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f ′(x)＝0，得x＝e.当0<x<e时，f ′(x)>0；当x>e时，f ′(x)<0.所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.4．若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A．4 B．2或6 C．2 D．6C解析：函数f (x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝3x2－4cx＋c2.由题意知，f (x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6.又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，故导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正．当c ＝2时，f (x )＝x (x －2)2的导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正，即在x ＝2处有极小值．而当c ＝6时，f (x )＝x (x －6)2在x ＝2处有极大值．故c ＝2.5．函数f (x )＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 解析：f ′(x )＝6x 2－4x ＝2x (3x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23.因为f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，所以最大值为8.考点1 利用导数求函数的极值——综合性考向1 根据函数的图象判断函数的极值(多选题)已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )有极大值f (2)B ．函数f (x )有极大值f (－2)C ．函数f (x )有极小值f (－2)D ．函数f (x )有极小值f (2)BD 解析：由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．根据函数的图象判断极值的方法根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型．考向2 已知函数解析式求极值已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗ln 2－1↘(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x . 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a 处有极大值．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .求函数极值的一般步骤(1)先求函数f (x )的定义域，再求函数f (x )的导函数； (2)求f ′(x )＝0的根；(3)判断在f ′(x )＝0的根的左、右两侧f ′(x )的符号，确定极值点；(4)求出函数f (x )的极值． 考向3 已知函数的极值求参数设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)·x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ， f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x . 若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0. 所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.已知函数极值点或极值求参数的两个关键(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负．1．(多选题)定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0,4)单调递增B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0单调递减 C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值 D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值ABD 解析：根据导函数图象可知，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间(0,4)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值．所以A ，B ，D 选项正确，C 选项错误．故选ABD ．2．(2020·青岛一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －9，x ≥0，x e x ，x <0(e ＝2.718…为自然对数的底数)．若f (x )的零点为α，极值点为β，则α＋β＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2C 解析：当x ≥0时，f (x )＝3x －9为增函数，无极值．令f (x )＝0，即3x －9＝0，解得x ＝2，即函数f (x )的一个零点为2；当x <0时，f (x )＝x e x <0，无零点，f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，则当－1<x <0时，f ′(x )>0.当x <－1时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．综上可知，α＋β＝2＋(－1)＝1.故选C ．3．函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．－12 解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2. 令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2，1)上单调递增， 所以f (x )极小值＝f (－2)＝－12.4．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ≥0)．(1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)．令f ′(x )>0，解得x <13或x >1；令f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a >0时，f ′(x )≥0或 f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点2 利用导数求函数的最值——应用性(2020·北京卷)已知函数f (x )＝12－x 2. (1)求曲线y ＝f (x )的斜率等于－2的切线方程；(2)设曲线y ＝f (x )在点(t ，f (t ))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t )，求S (t )的最小值．解：(1)因为f (x )＝12－x 2， 所以f ′(x )＝－2x .设切点为(x 0,12－x 20)，则－2x 0＝－2，即x 0＝1，所以切点为(1,11)． 由点斜式可得切线方程为y －11＝－2(x －1)，即2x ＋y －13＝0. (2)显然t ≠0，因为y ＝f (x )在点(t,12－t 2)处的切线方程为y －(12－t 2)＝－2t (x －t )， 即y ＝－2tx ＋t 2＋12.令x ＝0，得y ＝t 2＋12；令y ＝0，得x ＝t 2＋122t .所以S (t )＝12×(t 2＋12)·t 2＋122|t |＝(t 2＋12)24|t |，t ≠0，显然为偶函数． 只需考察t ＞0即可(t <0时，结果一样)， 则S (t )＝t 4＋24t 2＋1444t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3＋24t ＋144t ， S ′(t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2＋24－144t 2 ＝3(t 4＋8t 2－48)4t 2 ＝3(t 2－4)(t 2＋12)4t 2 ＝3(t －2)(t ＋2)(t 2＋12)4t 2. 由S ′(t )>0，得t >2；由S ′(t )<0，得0<t <2.所以S (t )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以t ＝2时，S (t )取得极小值，也是最小值为S (2)＝16×168＝32. 综上所述，当t ＝±2时，S (t )min ＝32.求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数在区间(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．已知k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2. (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[0，k ]上的最大值．解：(1)由题意得f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．因为k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以1＜2k ≤2.令f ′(x )＞0，所以⎩⎨⎧ x ＞0，e x －2k ＞0或⎩⎨⎧ x ＜0，e x－2k ＜0，解得x ＞ln 2k 或x ＜0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(ln 2k ，＋∞)，(－∞，0)． 令f ′(x )＜0，所以⎩⎨⎧x ＞0，e x －2k ＜0或⎩⎨⎧x ＜0，e x－2k ＞0，解得0＜x ＜ln 2k . 所以函数f (x )的单调递减区间为(0，ln 2k )．所以函数f (x )的单调递增区间为(ln 2k ，＋∞)，(－∞，0)，单调递减区间为(0，ln 2k )．(2)令φ(k )＝k －ln (2k )，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，φ′(k )＝1－1k ＝k －1k ≤0. 所以φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上是减函数． 所以φ(1)≤φ(k )＜φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.所以1－ln 2≤φ(k )＜12＜k ，即0＜ln (2k )＜k . 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (k )－f (0)＝(k －1)e k －k 3－f (0) ＝(k －1)e k －k 3＋1 ＝(k －1)e k －(k 3－1)＝(k －1)e k －(k －1)(k 2＋k ＋1) ＝(k －1)[e k －(k 2＋k ＋1)]． 因为k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以k －1≥0.对任意的k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，y ＝e k 的图象恒在直线y ＝k 2＋k ＋1的下方， 所以e k －(k 2＋k ＋1)≤0.所以f (k )－f (0)≥0，即f (k )≥f (0)．所以函数f (x )在[0，k ]上的最大值f (k )＝(k －1)e k －k 3.考点3 极值与最值的综合应用——综合性(2020·山东师范大学附中高三质评)已知函数f (x )＝x 2·e ax ＋1－b ln x －ax (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝2x 平行，求a 的值； (2)若b ＝2，且函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求a 的最小值． 解：(1)当b ＝0时，f (x )＝x 2e ax ＋1－ax ，x >0， f ′(x )＝x e ax ＋1(2＋ax )－a . 由f ′(1)＝e a ＋1(2＋a )－a ＝2，得e a ＋1(2＋a )－(a ＋2)＝0，即(e a ＋1－1)(2＋a )＝0，解得a ＝－1或a ＝－2. 当a ＝－1时，f (1)＝e 0＋1＝2，此时直线y ＝2x 恰为切线，舍去．所以a ＝－2.(2)当b ＝2时，f (x )＝x 2e ax ＋1－2ln x －ax ，x >0. 设t ＝x 2e ax ＋1(t >0)，则ln t ＝2ln x ＋ax ＋1， 故函数f (x )可化为g (t )＝t －ln t ＋1(t >0)．由g ′(t )＝1－1t ＝t －1t ，可得g (t )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)，所以g (t )的最小值为g (1)＝1－ln 1＋1＝2. 此时，t ＝1，函数f (x )的值域为[2，＋∞)． 问题转化为：当t ＝1时，ln t ＝2ln x ＋ax ＋1有解， 即ln 1＝2ln x ＋ax ＋1＝0，得a ＝－1＋2ln xx . 设h (x )＝－1＋2ln x x，x >0，则h ′(x )＝2ln x －1x 2， 故h (x )的单调递减区间为(0，e)，单调递增区间为(e ，＋∞)， 所以h (x )的最小值为h (e)＝－2e ，故a 的最小值为－2e .求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的解析式含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．1．(2021·福建三校联考)若方程8x ＝x 2＋6ln x ＋m 仅有一个解，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，7)B ．(15－6ln 3，＋∞)C ．(12－61n 3，＋∞)D ．(－∞，7)∪(15－6ln 3，＋∞)D 解析：方程8x ＝x 2＋6ln x ＋m 仅有一个解等价于函数m (x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m (x >0)的图象与x 轴有且只有一个交点．对函数m (x )求导得m ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x ＝2(x －1)(x －3)x. 当x ∈(0,1)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增； 当x ∈(1,3)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减； 当x ∈(3，＋∞)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增，所以m (x )极大值＝m (1)＝m －7，m (x )极小值＝m (3)＝m ＋6ln 3－15.所以当x 趋近于0时，m (x )趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，m (x )趋近于正无穷，所以要使m (x )的图象与x 轴有一个交点，必须有m (x )极大值＝m －7<0或m (x )极小值＝m ＋6ln 3－15>0，即m <7或m >15－6ln 3.故选D ． 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1).(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e ](e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23. (2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0， 所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e ]上单调递增， 则f (x )在 [1，e ]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e ]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e ]上的最大值为2.。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数记作或 .f ′(x 0)0|x x y ＝(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的 ，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______0αx α－1cos x －sin x a x ln a基本初等函数导函数e xf(x)＝e x f′(x)＝____ f (x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝；f ′(x )±g ′(x )[cf (x )]′＝.f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(e －x )′＝－e －x .( )√×××2.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√4.(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2a e0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，返回第二部分探究核心题型题型一　导数的运算例1　(1)(多选)下列求导正确的是√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；√思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1　(多选)下列命题正确的是A.若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋sin x √B.设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝eC.已知函数f(x)＝3x2e x，则f′(1)＝12e√对于选项A，f′(x)＝sin x＋x cos x＋sin x，故选项A不正确；对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确；对于选项C，f′(x)＝6x e x＋3x2e x，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；题型二　导数的几何意义命题点1　求切线方程√(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为， .先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是√设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，|x x y ＝又y 0＝ln x 0，又切线方程为y＝kx＋1，(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a(－∞，－4)∪(0，＋∞)的取值范围是.因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝ ，化简，得 ＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，00000()e (1)e |x x x x x a y x a x +'=++=＝000(,()e )x A x x a +所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2　(1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是A.2x－y－2＝0B.4x－y－4＝0√C.2x＋y－2＝0D.4x＋y－4＝0当x<0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(－∞，－2]∴－a≥2，即a≤－2.题型三　两曲线的公切线例4　(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为√A.2B.5C.1D.0根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a，又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是√对于y＝ax2有y′＝2ax，令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈ 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32(0,e )当x ∈ 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32(e ,) 32(e )g思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3　(1)(2023·青岛模拟)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝－34ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ .f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，设公共切点的坐标为(x0，y0)，(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有√A.0条B.1条C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝e x－1，有f′(x)＝e x，则直线l的斜率k＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m)，即y＝e m x＋(1－m)e m－1，。