福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷(带解析)[1]

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q =（ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤2．复数()32i i +等于（ ） （A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i +3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） （A ）2π （B ）π （C ）2 （D ）14．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是 （ ） （A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥ （C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥6．直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ） （A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+=7．将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是( ) （A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点()2,0π-对称8．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）9．要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器。

福建连城一中2014年5月高三考前围题卷数学（文科)一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{}22|log(2)A x y x x ==-+,{}|1B y y =≥,则UAB =（ )A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab ="是“复数b a i+为纯虚数"的（ ）A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数的是( ）A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+C ．lg ||2y x =+D ．2xy =4．已知等比数列{na }的前n 项和为nS ,且317Sa =，则数列{}na 的公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．2或-3D ．2或35．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．7-B 。

8C 。

9-D 。

5- 6.已知实数x ，y 满足30102x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,若22z xy =+,则z 的最小值为（ ）A ． 1B ． 92C ．32D ．47．正三角形ABC 中，3AB =，D 是边BC 上的点,且满足=2BC BD ，则AB AD ⋅=（第5题图）（ ）A 。

221 B ．427 C ．213 D ．298. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为（ )A 。

23+2B 。

63+2C.12D 。

629．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =（ )A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π10．已知F 是双曲线2221x a b2y －＝（0,0a b >>）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若AEB ∠为钝角，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．(1，＋∞) B ．（1，2） C ．（1,1＋2) D ．)2+∞（， 11．已知函数f ()x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆是以角C 为钝角的钝角三角形，则一定成立的是（ ）A ．(sin )(cos )f A fB > B ．(sin )(cos )f A f B < C.(sin )(sin )f A f B > D ．(cos )(cos )f A f B <12．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是（ ）A. 11[,0)(0,]33- B 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014福建,文1)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于().A.{x|3≤x<4}B.{x|3<x<4}C.{x|2≤x<3}D.{x|2≤x≤3}答案:A解析:结合数轴,得P∩Q={x|3≤x<4}.故选A.2.(2014福建,文2)复数(3+2i)i等于().A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i答案:B解析:(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.故选B.3.(2014福建,文3)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于().A.2πB.πC.2D.1答案:A解析:根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2π×1=2π,宽为1,∴S=2π×1=2π.故选A.4.(2014福建,文4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:第一次循环n=1,判断21>12成立,则n=1+1=2;第二次循环,判断22>22不成立,则输出n=2.故选B.5.(2014福建,文5)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是().A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0C.∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0D.∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0答案:C解析:全称命题的否定是特称命题,故该命题的否定是∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0.故选C.6.(2014福建,文6)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是().A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案:D解析:直线过圆心(0,3),与直线x+y+1=0垂直,故其斜率k=1.所以直线的方程为y-3=1×(x-0),即x-y+3=0.故选D.7.(2014福建,文7)将函数y=sin x的图象向左平移π2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是().A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称D.y=f(x)的图象关于点(-π2,0)对称答案:D解析:y=sin x的图象向左平移π2个单位,得y=f(x)=sin(x+π2)=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点(kπ+π2,0)(k∈Z)对称,当k=-1时,点为(-π2,0),故D正确.综上可知选D.8.(2014福建,文8)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是().答案:B解析:由题中图象可知log a3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=(13)x为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上可知选B.9.(2014福建,文9)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是().A.80元B.120元C.160元D.240元答案:C解析:设容器的底长x米,宽y米,则xy=4.所以y=4x,则总造价为:f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+80x+20x=20(x+4x)+80,x∈(0,+∞).所以f(x)≥20×2√x·4x+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,所以最低总造价是160元.故选C.10.(2014福建,文10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ). A .OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D .4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案:D解析:因为M 是AC 和BD 的中点,由平行四边形法则,得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选D .11.(2014福建,文11)已知圆C :(x-a )2+(y-b )2=1,平面区域Ω:{x +y -7≤0,x -y +3≥0,y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2+b 2的最大值为( ). A .5 B .29 C .37 D .49 答案:C 解析:由题意,画出可行域Ω,圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,所以b=1.所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为A (-2,1),B (6,1), 所以a ∈[-2,6].所以a 2+b 2=a 2+1∈[1,37],所以a 2+b 2的最大值为37.故选C .12.(2014福建,文12)在平面直角坐标系中,两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的“L -距离”定义为||P 1P 2|=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|,则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2|)的点的轨迹可以是( ).答案:A解析:不妨设F 1(-a ,0),F 2(a ,0),其中a>0,点P (x ,y )是其轨迹上的点,P 到F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值b (大于||F 1F 2|),所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b , 即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.当x<-a ,y ≥0时,上式可化为y-x=b 2; 当-a ≤x ≤a ,y ≥0时,上式可化为y=b 2-a ;当x>a ,y ≥0时,上式可化为x+y=b 2;当x<-a ,y<0时,上式可化为x+y=-b2;当-a ≤x ≤a ,y<0时,上式可化为y=a-b2;当x>a ,y<0时,上式可化为x-y=b2;可画出其图象.(也可利用前三种情况,再关于x 轴对称)故选A .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2014福建,文13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 . 答案:0.18解析:由几何概型可知1801 000=S 阴影S 正方形=S 阴影1,所以S 阴影=0.18.故答案为0.18.14.(2014福建,文14)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC=√3,则AB 等于 . 答案:1解析:由余弦定理可知:cos A=b 2+c 2-a 22bc=4+c 2-32×2c =12,所以c=1.故答案为1. 15.(2014福建,文15)函数f (x )={x 2-2,x ≤0,2x -6+lnx ,x >0的零点个数是 .答案:2解析:当x ≤0时,令f (x )=x 2-2=0,得x=±√2,∴x=-√2.当x>0时,f (x )=2x-6+ln x ,f'(x )=2+1x>0.所以f (x )单调递增,当x →0时,f (x )<0;当x →+∞时,f (x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上有一个零点.综上可知共有两个零点.故答案为2.16.(2014福建,文16)已知集合{a ,b ,c }={0,1,2},且下列三个关系:①a ≠2;②b=2;③c ≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于 . 答案:201解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时,则a ≠2,b ≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立; (3)当③成立时,则a=2,b ≠2,c ≠0,即a=2,b=0,c=1, 所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201. 故答案为201.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)(2014福建,文17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .分析:(1)等比数列中已知两项,从而求得公比q ,结合通项公式a n =a 1q n-1或a n =a m q n-m 得a n 的通项公式. (2)借助(1)的结论,先求得b n ,可得b n 为等差数列,利用等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2,求得S n .解:(1)设{a n }的公比为q ,依题意,得{a 1q =3,a 1q 4=81,解得{a 1=1,q =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1,所以数列{b n }的前n 项和S n =n (b 1+b n )2=n 2-n2. 18.(本小题满分12分)(2014福建,文18)已知函数f (x )=2cos x (sin x+cos x ).(1)求f (5π4)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.分析:对于(1),可把x=5π4代入f (x )的解析式,认真运算,便可求得结果,另外也可先化简再求值,化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好,注意化简的最终形式一般为f (x )=A sin(ωx+φ).对于(2),根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性,准确求出周期与单调区间. 解法一:(1)f (5π4)=2cos5π4(sin 5π4+cos 5π4)=-2cos π4(-sin π4-cos π4)=2.(2)因为f (x )=2sin x cos x+2cos 2x=sin 2x+cos 2x+1 =√2sin (2x +π4)+1,所以T=2π2=π. 由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z . 解法二:f (x )=2sin x cos x+2cos 2x=sin 2x+cos 2x+1=√2sin (2x +π4)+1.(1)f (5π4)=√2sin 11π4+1=√2sin 3π4+1=2.(2)T=2π2=π.由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z . 19.(本小题满分12分)(2014福建,文19)如图,三棱锥A-BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD.(1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若AB=BD=CD=1,M 为AD 中点,求三棱锥A-MBC 的体积.分析:(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种,结合本题条件,可证明CD 垂直于平面ABD 内的两条相交直线即可证得CD 垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积V=13Sh ,但要注意转换顶点和底面,对于本题,可将S △ABM 求出,高即为CD=h ,代入公式可求得,也可借助图中关系,利用V A-MBC =V A-BCD -V M-BCD 求得. 解法一:(1)∵AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD.又∵CD ⊥BD ,AB ∩BD=B ,AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,∴CD ⊥平面ABD. (2)由AB ⊥平面BCD ,得AB ⊥BD , ∵AB=BD=1,∴S △ABD =12.∵M 是AD 的中点,∴S △ABM =12S △ABD =14. 由(1)知,CD ⊥平面ABD ,∴三棱锥C-ABM 的高h=CD=1, 因此三棱锥A-MBC 的体积 V A-MBC =V C-ABM =13S △ABM ·h=112. 解法二:(1)同解法一.(2)由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD , 又平面ABD ∩平面BCD=BD ,如图,过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N , 则MN ⊥平面BCD ,且MN=12AB=12.又CD⊥BD,BD=CD=1, ∴S△BCD=12.∴三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V A-BCD-V M-BCD=13AB·S△BCD-13MN·S△BCD=112.20.(本小题满分12分)(2014福建,文20)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP 不低于12616GDP如下表:(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.分析:(1)该城市人均GDP即为求平均值,利用公式代入认真运算,可得人均GDP,判断其所在范围,可知是否达到中等偏上收入国家标准.(2)从5个行政区中随机抽取2个,列出所有基本事件,再找出抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的基本事件.利用古典概型概率公式可求得其概率.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10000×0.20aa=6400.因为6400∈[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个,所以所求概率为P(M)=310.21.(本小题满分12分)(2014福建,文21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.分析:(1)根据题意,可知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,结合抛物线的定义可得曲线Γ的方程;或利用求方程的一般做法,设点坐标,建立几何关系,转化为代数关系,整理便可得到其方程.对于(2),先求导,得斜率,利用点斜式可得直线l的方程,与y=0联立,得A点坐标,与y=3联立,得M点坐标,直线y=3与y轴的交点N易知,进而得出圆心和半径,结合勾股定理可得|AB|为定值,问题得证.解法一:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=14x 2, 设P (x 0,y 0)(x 0≠0),则y 0=14x 02,由y'=12x ,得切线l 的斜率k=y'|x=x 0=12x 0, 所以切线l 的方程为y-y 0=12x 0(x-x 0),即y=12x 0x-14x 02.由{y =12x 0x -14x 02,y =0得A (12x 0,0).由{y =12x 0x -14x 02,y =3得M (12x 0+6x 0,3).又N (0,3),所以圆心C (14x 0+3x 0,3),半径r=12|MN|=|14x 0+3x 0|, |AB|=√|AC |2-r 2 =√[12x 0-(14x 0+3x 0)]2+32-(14x 0+3x 0)2 =√6.所以点P 在曲线Γ上运动时,线段AB 的长度不变. 解法二:(1)设S (x ,y )为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|-√(x -0)2+(y -1)2=2,依题意,点S (x ,y )只能在直线y=-3的上方, 所以y>-3,所以√(x -0)2+(y -1)2=y+1, 化简得,曲线Γ的方程为x 2=4y. (2)同解法一.22.(本小题满分14分)(2014福建,文22)已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ,曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为-1. (1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x>0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x<c e x .分析:(1)由题意可知点A 的横坐标为0,先求出f (x )的导函数f'(x ),则曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为f'(0),由f'(0)=-1可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.对于(2),常对此类问题构造新函数g (x )=e x -x 2,只需g (x )>0在(0,+∞)上恒成立即可,利用导数得到g (x )的单调性,从而得证.(3)中存在性问题处理,可结合(2)的结论,合理利用e x >x 2,只是将e x >x 2的x 2中一个x 赋值即可,所以可令x 0=1c,当x>x 0时,e x >x 2>1cx ,利用不等式的传递性来解决问题.或根据c 的值与1的大小关系分类进行证明.当c ≥1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0<c<1时,证明的关键是找出x 0.可构造函数,然后利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x 0满足条件即可得证. 解法一:(1)由f (x )=e x -ax ,得f'(x )=e x -a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f (x )=e x -2x ,f'(x )=e x -2. 令f'(x )=0,得x=ln 2.当x<ln 2时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x>ln 2时,f'(x )>0,f (x )单调递增.所以当x=ln 2时,f (x )有极小值,且极小值为f (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f (x )无极大值.(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得,g'(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0,即g'(x)>0.所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)对任意给定的正数c,取x0=1c,由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>x0时,e x>x2>1cx,即x<c e x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)令k=1c(k>0),要使不等式x<c e x成立,只要e x>kx成立.而要使e x>kx成立,则只需要x>ln(kx),即x>ln x+ln k成立.①若0<k≤1,则ln k≤0,易知当x>0时,x>ln x≥ln x+ln k成立.即对任意c∈[1,+∞),取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.②若k>1,令h(x)=x-ln x-ln k,则h'(x)=1-1x =x-1x,所以当x>1时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)内单调递增.取x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-ln k=2(k-ln k)+2(k-ln2),易知k>ln k,k>ln2,所以h(x0)>0.因此对任意c∈(0,1),取x0=4c,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)①若c≥1,取x0=0,由(2)的证明过程知,e x>2x,所以当x∈(x0,+∞)时,有c e x≥e x>2x>x,即x<c e x.②若0<c<1,令h(x)=c e x-x,则h'(x)=c e x-1.令h'(x)=0,得x=ln1c.当x>ln1c时,h'(x)>0,h(x)单调递增.取x0=2ln2c ,h(x0)=c e2ln2c-2ln2c=2(2c-ln2c),易知2c -ln2c>0,又h(x)在(x0,+∞)内单调递增,所以当x∈(x0,+∞)时,恒有h(x)>h(x0)>0,即x<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.。

2014年福建省高考数学试卷（文科）一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若集合P={|2≤＜4}，Q={|≥3}，则P ∩Q 等于（ ）A ．{|3≤＜4}B ．{|3＜＜4}C ．{|2≤＜3}D ．{|2≤≤3}2．（5分）复数（3+2i ）i 等于（ ）A ．﹣2﹣3iB ．﹣2+3iC ．2﹣3iD ．2+3i3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A ．2πB ．πC ．2D ．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）命题“∀∈[0，+∞），3+≥0”的否定是（ ）A ．∀∈（﹣∞，0），3+＜0B ．∀∈（﹣∞，0），3+≥0C ．∃0∈[0，+∞），03+0＜0D ．∃0∈[0，+∞），03+0≥06．（5分）已知直线l 过圆2+（y ﹣3）2=4的圆心，且与直线+y+1=0垂直，则l 的方程是（ ）A ．+y ﹣2=0B ．﹣y+2=0C ．+y ﹣3=0D ．﹣y+3=07．（5分）将函数y=sin 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A．y=f（）是奇函数B．y=f（）的周期为πC．y=f（）的图象关于直线=对称D．y=f（）的图象关于点（﹣，0）对称8．（5分）若函数y=log（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确a的是（）A．B．C．D．9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2 C．3 D．411．（5分）已知圆C：（﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与轴相切，则a2+b2的最大值为（）A ．49B ．37C ．29D ．512．（5分）在平面直角坐标系中，两点P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）间的“L ﹣距离”定义为|P 1P 2|=|1﹣2|+|y 1﹣y 2|．则平面内与轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L ﹣距离”之和等于定值（大于|F 1F 2|）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．14．（4分）在△ABC 中，A=60°，AC=2，BC=，则AB 等于 ． 15．（4分）函数f （）=的零点个数是 ．16．（4分）已知集合{a ，b ，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a ≠2；② b=2；③ c ≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c 等于 ．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在等比数列{a n }中，a 2=3，a 5=81．（Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设bn =log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）已知函数f（）=2cos（sin+cos）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．22．（14分）已知函数f（）=e﹣a（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（）的极值；（2）证明：当＞0时，2＜e；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在0，使得当∈（，+∞）时，恒有＜ce．2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若集合P={|2≤＜4}，Q={|≥3}，则P∩Q等于（）A．{|3≤＜4} B．{|3＜＜4} C．{|2≤＜3} D．{|2≤≤3}【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：∵P={|2≤＜4}，Q={|≥3}，∴P∩Q={|3≤＜4}．故选：A．【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键2．（5分）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2 D．1【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：A ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n ＞n 2，跳出循环，确定输出的n 值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n ＞n 2，跳出循环，输出n=2．故选：B ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．5．（5分）命题“∀∈[0，+∞），3+≥0”的否定是（ ）A ．∀∈（﹣∞，0），3+＜0B ．∀∈（﹣∞，0），3+≥0C ．∃0∈[0，+∞），03+0＜0D ．∃0∈[0，+∞），03+0≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀∈[0，+∞），3+≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃0∈[0，+∞），03+0＜0故选：C ．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．6．（5分）已知直线l 过圆2+（y ﹣3）2=4的圆心，且与直线+y+1=0垂直，则l 的方程是（ ）A ．+y ﹣2=0B ．﹣y+2=0C ．+y ﹣3=0D ．﹣y+3=0【分析】由题意可得所求直线l 经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l 的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l 经过点（0，3），斜率为1，故l 的方程是 y ﹣3=﹣0，即﹣y+3=0，故选：D ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．7．（5分）将函数y=sin 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A ．y=f （）是奇函数B ．y=f （）的周期为πC ．y=f （）的图象关于直线=对称 D ．y=f （）的图象关于点（﹣，0）对称 【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f （）的图象对应的解析式为f （）=cos ，则可排除选项A ，B ，再由 cos =cos （﹣）=0即可得到正确选项．【解答】解：将函数y=sin的图象向左平移个单位，得y=sin（+）=cos．即f（）=cos．∴f（）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确8．（5分）若函数y=loga的是（）A．B．C．D．【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log3=1，a解得a=3，对于A，由于y=a﹣是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=loga （﹣）与y=loga的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选：B．【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，∴当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C．【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2 C．3 D．4【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．11．（5分）已知圆C：（﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．49 B．37 C．29 D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a 2+b 2=36+1=37，即最大值为37， 故选：B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）间的“L ﹣距离”定义为|P 1P 2|=|1﹣2|+|y 1﹣y 2|．则平面内与轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L ﹣距离”之和等于定值（大于|F 1F 2|）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】设出F 1，F 2的坐标，在设出动点M 的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案． 【解答】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），再设动点M （，y ），动点到定点F 1，F 2的“L ﹣距离”之和等于m （m ＞2c ＞0），由题意可得：|+c|+|y|+|﹣c|+|y|=m，即|+c|+|﹣c|+2|y|=m．当＜﹣c，y≥0时，方程化为2﹣2y+m=0；当＜﹣c，y＜0时，方程化为2+2y+m=0；当﹣c≤＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当≥c，y≥0时，方程化为2+2y﹣m=0；当≥c，y＜0时，方程化为2﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18 ．【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 1 ．【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（4分）函数f（）=的零点个数是 2 ．【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．【解答】解：当≤0时，由f（）=0得2﹣2=0，解得=或=（舍去），当＞0时，由f（）=0得2﹣6+ln=0，即ln=6﹣2，作出函数y=ln和y=6﹣2在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故＞0时，函数有1个零点．故函数f（）的零点个数为2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201 ．【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在等比数列{an }中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设b n =log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n 代入b n =log 3a n ，得到数列{b n }的通项公式，由此得到数列{b n }是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 2=3，a 5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n =log 3a n ， ∴．则数列{b n }的首项为b 1=0，由b n ﹣b n ﹣1=n ﹣1﹣（n ﹣2）=1（n ≥2）， 可知数列{b n }是以1为公差的等差数列． ∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题．18．（12分）已知函数f （）=2cos （sin+cos ）． （Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）求函数f （）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f （）=sin （2+）+1，从而求得f （）的值．（Ⅱ）根据函数f （）=sin （2+）+1，求得它的最小正周期．令2π﹣≤2+≤2π+，∈，求得的范围，可得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （）=2cos （sin+cos ）=sin2+1+cos2=sin （2+）+1， ∴f （）=sin （+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f （）=sin （2+）+1，故它的最小正周期为=π．令2π﹣≤2+≤2π+，∈，求得π﹣≤≤π+，故函数的单调递增区间为[π﹣，π+]，∈．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．19．（12分）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M 为AD 中点，求三棱锥A ﹣MBC 的体积．【分析】（Ⅰ）证明：CD ⊥平面ABD ，只需证明AB ⊥CD ；（Ⅱ）利用转换底面，V A ﹣MBC =V C ﹣ABM =S △ABM •CD ，即可求出三棱锥A ﹣MBC 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BD ，AB ∩BD=B ， ∴CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）解：∵AB ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BD ． ∵AB=BD=1， ∴S △ABD =， ∵M 为AD 中点，∴S △ABM =S △ABD =， ∵CD ⊥平面ABD ，∴V A ﹣MBC =V C ﹣ABM =S △ABM •CD=．【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A ﹣MBC 的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）设S（，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S 满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N 的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P 在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．【解答】解：（Ⅰ）设S （，y ）曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S 到F （0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等， 曲线Γ是以F 为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线， ∴曲线Γ的方程为：2=4y ．（Ⅱ）当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度不变， 证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，设P （0，y 0）（0≠0）则y 0=，由y得切线l 的斜率==∴切线l 的方程为：，即．由得，由得，又N （0，3），所以圆心C （），半径r==∴点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度不变．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．22．（14分）已知函数f （）=e ﹣a （a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线y=f （）在点A 处的切线斜率为﹣1．（1）求a 的值及函数f （）的极值；（2）证明：当＞0时，2＜e ；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0，使得当∈（0，+∞）时，恒有＜ce ．【分析】（1）利用导数的几何意义求得a ，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g （）=e ﹣2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令0=，则e ＞2＞，即＜ce ．即得结论成立．【解答】解：（1）由f （）=e ﹣a 得f ′（）=e ﹣a ．又f ′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f （）=e ﹣2，f ′（）=e ﹣2．由f ′（）=0得=ln2，当＜ln2时，f ′（）＜0，f （）单调递减；当＞ln2时，f ′（）＞0，f （）单调递增；∴当=ln2时，f （）有极小值为f （ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f （）无极大值．（2）令g （）=e ﹣2，则g ′（）=e ﹣2，由（1）得，g ′（）=f （）≥f （ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g ′（）＞0， ∴当＞0时，g （）＞g （0）＞0，即2＜e ；（3）对任意给定的正数c ，总存在0=＞0．当∈（0，+∞）时，由（2）得e ＞2＞，即＜ce ．∴对任意给定的正数c ，总存在0，使得当∈（0，+∞）时，恒有＜ce ．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．。

2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分3．（5分）（2014•福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋4．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）36．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，7．（5分）（2014•福建）将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的函对称）的图象关于点（﹣，cos （﹣）的图象向左平移）cos=cos ））的图象关于点（﹣，8．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）B ．9．（5分）（2014•福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器210．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）B点，则的对角线的交点，∴=211．（5分）（2014•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，22，解得，即12．（5分）（2014•福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”．B．．D．；﹣二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2014•福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．14．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．，15．（4分）（2014•福建）函数f（x）=的零点个数是2．x=（舍去）16．（4分）（2014•福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①•a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．，解得；（Ⅱ）∵18．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．sin2x+）2x+2x+≤，=sin2x+1+cos2x=））+）sin+1=2x+=﹣≤+﹣，﹣]19．（12分）（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．S，SCD=20．（12分）（2014•福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．=6400共有=10入国家标准，共有=3都达到中等偏上收入国家标准的概率21．（12分）（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．，=的方程为：，即，，（r=22．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．，则＞=＞。

福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷（带解析）1．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，则A C B U =( ) A ．{5} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，3，5} D ．∅ 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得{1,5}U C A =.所以A C B U {5}=.故选A. 考点：1.集合的概念.2.集合的运算.2．已知i 为虚数单位，则i1i+＝（ ）A ．1i 2-B ．1i 2+C .1i 2-- D.1i 2-+【答案】B 【解析】试题分析：i 1i +(1)11222i i i -==+.故选B. 考点：复数的运算.3．已知平面向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b , 则=b ( )A ．． 【答案】C 【解析】试题分析：由向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b .所以4m =-.即(2,4),416b b =--∴=+=故选C.考点：1.向量平行的性质.2.向量的模的运算4．已知命题p ：∃x ∈R ，2340-+≤x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 B ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题 C ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 D ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题【答案】D 【解析】试题分析：由于特称命题的否定要改成全称命题，原命题与命题的否定的真假是相反的.由命题p 可知91670=-=-<.所以命题p 为假命题.所以p ⌝为真命题.故选D 考点：1.二次函数的根的问题.2.特称命题与全称命题的否定. 5．如图给出的是计算11113511++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．12i <B ．11i >C ．11i <D ．6i ≤【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图可知，i 的变化是以2i i =+的形式改变.由于原题中是六个数的和,i 的值分别是1,3,5,7,9,11.故选A.考点：1.程序框图.2.递推的数学思想.6．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A.y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 【答案】D 【解析】试题分析：设直线l 为y kx =，联立圆22430x y x +-+=的方程.可得22(1)430x k x +-+=.由直线与圆相切，所以得21612()0,k k =-+=∴=由于切点在第四象限，所以直线l 的方程为y x =.故选D. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.二次方程的判别式.7．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为( ) A ．12π B ．112π- C ．14 D ．24ππ- 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得1Ω为圆心在原点，半径为4的圆面．2Ω是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为21441242P ππ⨯⨯==⨯.故选A. 考点：1.集合的概念.2.概率问题.8．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x y 4z -=的最大值为a ,最小值为b ，则b a +的值是( )A ．10B ．20C ．4D ．12【答案】C 【解析】试题分析：变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，如图所示，目标函数过点A 时z 最小，目标函数过点B 时z 取最大.所以4a b +=.故选C.考点：1.线性规划.2.数形结合.9．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的部分图象如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 【答案】A 【解析】试题分析：第一个图象是关于y 轴对称，所以只能对①的解析式.第二个图象是递增，所以只能对④个解析式.第三个图象在x>0部分的图象有大于零的也有小于零的，所以只能对②个解析式.所以顺序为①④②③.故选A.考点：1.函数图象.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.10． 若某多面体的三视图（单位: cm ）如图所示, 则此多面体的体积是 （ ） A ．21cm 3 B ．32cm 3 C ．65cm 3 D ．87cm 3【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可得，该几何体相当于一个正方体切去一个三个侧棱长为1的三棱锥.所以该几何体的体积为115111326-⨯⨯⨯=.故选C. 考点：1.三视图.2.空间想象力.3.几何体的体积.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（ ） AB． CD【答案】D 【解析】侧视图俯视图x试题分析：由函数1ln ln 2y x =++，(0)x >.可得1'y x=.假设渐近线与函数的切点为00(,)P x y .则渐近线的斜率为y a b x =所以可得0001ln ln 21x x x ++=.解得012x =.所以可得12,212b b a a ==∴=.又因为222c a b =+.即可解得c a =故选D.考点：1.双曲线的性质.2.函数的导数的几何意义.3.算两次的一个等式的数学思想. 12．已知函数)(x f y =的定义域为A ，若常数C 满足：对任意正实数ε，总存在A x ∈，使得ε<-<C x f )(0成立，则称C 为函数)(x f y =的“渐近值”．现有下列三个函数：① 1)(-=x x x f ；② ⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(；③ x x x f sin )(=．其中以数“1”为渐近值的函数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：依题意函数)(x f y =的“渐近值” 对任意正实数ε，总存在A x ∈ε<-<C x f )(0，即可理解为函数的值域趋近一个常数.由1)(-=x x x f 111x =+-.所以()(,1)(1,)f x ∈-∞+∞.故①存在C=1符合条件.由⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(，(){0,1}f x ∈.假设存在C ，对任意正实数ε，总存在A x ∈使得ε<-<C x f )(0即0C ε<<或01C ε<-<.对于一个常数C 没办法满足任意的正数ε.所以②不符合．xxx f sin )(=的图象如图所示.所以存在C=0，符合条件.所以①③正确.故选C.x考点：1.新定义.2.函数的范围.3.函数图象.13．某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为3:2，为了解高中学生身体素质，采用分层抽样，共抽取一个100人的样本，则样本中高一学生人数为__ ____人. 【答案】24 【解析】试题分析：由题意得高一高二高三人数为480 ，720 ，800 三者的比为6：9:10 则样本中高一人数为61002425⨯=人 考点：1.统计知识.2.分层抽样.14．已知()()()()1233,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________. 【答案】3【解析】试题分析：由分段函数(3)f =1 , (1)f =3 所以((3))f f =3 考点：1.分段函数的知识.2.对数指数函数的运算. 15．已知sin =+)6(απ31，则2cos(2)3πα-= . 【答案】79- 【解析】 试题分析：2cos(2)3πα-=227cos 2()2(cos())12(sin())13369πππααα-=--=+-=-. 考点：1.三角恒等变换.2.二倍角的公式.16．设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④若→a =2，存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μλ其中真命题是____________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ，即a b c -=.显然存在c .所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ，当a 分解到c 方向的向量长度大于μ时，向量a 没办法按,b c 分解，所以③不正确.存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,由于λμ=+a b c ，向量b 、c 的模为1，由三角形的三边关系可得2λμ+>..由336λμ+≥>.所以④成立.综上①②④.考点：1.向量的运算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.17．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（2）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率；（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩． 【答案】（1）0.016;（2）0.6;（3）73.8 【解析】 试题分析：（1）有茎叶图以及频率分布直方图，可知在50-60段的人数和所占的频率，即可求出该班参加数学测试的人数.80-90段的人数有总人数减去其他四段的人数和，计算出频率以及频率除以组距的值，即得到频率直方图的高.（2）由（1）可得在[90,100]的人数总共为6人，从中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率的计算，可通过计算没有一份在[90,100]内，再用总数1减去即可.（3）计算出各段的频率，再将各段的中点值乘以本段的频率相加即可.（1）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=， 2分 ∴分数在[80,90)之间的人数为25214-=人，则对应的频率为40.1625=． 3分所以[80,90)间的矩形的高为4100.01625÷=． 4分 （2）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)共15个． 6分其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.615=． 8分. 25所以估计这次测试的平均成绩为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分考点：1.茎叶图.2.概率问题.3.频率直方图估算平均数.18．已知实数0a >，且3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列． （1）求实数a 的值；（2）若等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，且23822->+n nn S T ，求满足条件的自然数n 的最大值． 【答案】（1）2a =；（2）14 【解析】试题分析：（1）由3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列，通过分类判断值的大小得到两类，再根据等差数列中项的性质，即可得到结论.（2）由于等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，所以分别求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式.根据通项公式分别求出两个数列的前n 项和的公式.再由23822->+n nn S T 求出结论. （3）解法一：由已知三个数有：2231,32a a a +>+>， 1分不妨设排列成递增的等差数列，则①3,2,12+a a 依次成等差数列，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 3分②若3,1,22+a a 依次成等差数列，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 5分综上得2a =. 6分解法二：分三种情况讨论：①若2a 为等差中项，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 2分②若1为等差中项，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 4分③若23a +为等差中项，则有22(3)21a a +=+，即22250a a -+=，0∆<方程无解； 6分综上得2a =．（2）解：由（1）知n n a n 22)1(2=⨯-+=，n n b 2=， 8分22),1(1-=+=+n n n T n n S ， 10分由已知23822->+n nn S T 可得238)1(2-+>n n ，即240)1(<+n n , 11分 即1615n -<<，又n N +∈，故n 的最大值为14． 12分考点：1.等差等比数列的通项公式.2.求和公式.3.不等式的交汇.19．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ．（1）求椭圆的方程；（2）若点C 为曲线E :422=+y x 上任一点（C 点不同于B A ,），直线AC 与直线2=x 交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）2214x y +=；（2）相切【解析】试题分析：（1）由椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ，即可求出,a b 的值.即可得到结论.（2）依题意假设点C 坐标，以及点R 的坐标，由点A ，C ，R 三点共线即可求得点R 的坐标表示.从而表示出点D 的坐标，写出直线CD 的方程，再计算圆心到该直线的距离，再根据点C 在圆上，即可判断直线与圆的位置关系. （1）由题意可得2a =，c e a ==， ∴c = 2分 ∴2221b a c =-=， 3分所以椭圆的方程为2214x y +=． 4分 （2）解法一：曲线E 是以(0,0)O 为圆心，半径为2的圆. 设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， 5分 ∵A C R 、、三点共线， ∴//AC AR ， 6分 而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， 7分 ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +， 8分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244n n m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--， 10分 ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=，∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====， 11分所以直线CD 与曲线E 相切． 12分 解法二：同解法一得2mn mk n n==--， 10分 又OC nk m=，故1OC k k ⋅=-，即CD OC ⊥， 所以直线CD 与圆E 相切． 12分考点：1.待定系数法求椭圆方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.方程的思想.20．如图，1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D ，E 分别是1AA ，1CB 的中点，1DE CBB ⊥面．（1）证明：//DE ABC 面；（2）证明：AC A B A 111面⊥；（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥11C ABB A - 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析；（3） 23π【解析】试题分析：（1）由于点E 是A 1C 是的中点，点O 是BC 的中点，连接OE ，OA ，由三角形的中位线可得OE ∥BB 1，并且OE=112BB .又DA ∥1BB ,并且112DA BB =.所以EO 与DA 平行且相等.所以四边形EOAD 是平行四边形.所以DE ∥AO.即可得到结论.（2）由1A A 是母线，所以1A A ⊥平面ABC.所以可得1A A AB ⊥,又BC 是圆得直径，所以090BAC ∠=.由此可得结论.（3）由1DE CBB ⊥面，即可得到AO ⊥面1CBB .即AO BC ⊥.所以AC AB =.设圆的半径为r ，圆柱的高为h ，所以1121233C ABB A hr V -==.圆柱的体积为2V r h π=.所以鱼被捕的概率为23π. （1）证明：连结EO ，OA ，O E , 分别为BC C B ,1的中点，∴1//BB EO ．又1//BB DA ，且121BB EO DA ==.∴四边形AOED 是平行四边形， 即ABC DE OA DE 面⊄,//．∴ABC DE 面//． 4分（2） 证明：1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，所以11//B A AB 因为1AA 垂直于圆O 所在平面，故AB AA ⊥1，又BC 是底面圆O 的直径，所以AC AB ⊥，A AA AC =1 ，所以AC A AB 1面⊥， 由11//B A AB ，所以AC A B A 111面⊥. 8分（3）解：鱼被捕的概率等于四棱锥11A ABB C -与圆柱1OO 的体积比， 由1CBB DE 面⊥，且由（1）知OA DE //.∴1CBB AO 面⊥， ∴ BC AO ⊥，∴AB AC =．因BC 是底面圆O 的直径，得AB CA ⊥，且CA AA ⊥1， ∴B B AA CA 11面⊥，即CA 为四棱锥的高．设圆柱高为h ，底半径为r ，则h r V 2π=柱，232)2()2(31hr r r h V =⋅=锥， ∴锥V ：=柱V π32，即23P π= . 12分 考点：1.线面平行.2.线面垂直.3.体积的计算.。

2014福建省高考压轴卷文科数学卷面总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1、已知全集U R =，2{|2}M x x x =<，则 U M =ð（ ）A.{|2}x x ≥ B. {|2}x x > C. {|0x x ≤或2}x ≥ D. {|02}x x << 2、已知34,,cos ,25αππα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭则tan α=（ ） A ．43B ．34 C ．43- D ．34- 3、已知平面向量, a b 满足=⋅ a b 1-，且||=2,||=1a b ，则向量 a 与 b 的夹角为（ ）A.6π B. 3π C. 65π D.32π 4、已知复数12,z z 在复平面上对应的点分别为()()211,2,1,3,z A B z -=则（ ）A. iB. 1i +C.1i -D.i -5、“3a ≥”是“[1,2]x ∃∈，使得20x a -≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件6、执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）A. 2n >B. 4n >C. 6n >D. 8n >7、设变量x 、y 满足线性约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则目标函数2log (2)z x y =+的最大值为（ ）A. 23log 2B. 2log 3C. 1D. 不存在 8、函数()3,0,1∈+=x x y 的值域为A ，函数2-=x y 的定义域为B ，在A 中任取一个元素，求其属于B 的概率（ ） A 、21 B 、32 C 、0.3 D 、31 9、某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是正方形,该正三棱柱的侧视图的面积是（ ）A．B ．4C．D ．210、已知向量(,1)xa e = ，向量(1,1)b x =- ，设函数()f x a b =⋅ ，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个11、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为4x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）A ．20件B ．30件C ．40件D ．50 件12、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a+->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是（ ） A.若45m =，则53a = B.若32a =，则m 可以取3个不同的值 C.若m ={}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答卷相应位置上）13、抛物线22y x =的焦点为F ,点00(,)M x y 在此抛物线上,且52MF =,则0x =______； 14、若圆22240(3)x y x y m m ++-+=<的一条弦AB 的中点为(0,1)P ，则垂直于AB 的直径所在直线的一般式．．．方程．．为___________； 15、无限循环小数可以化为分数，如11350.1,0.13,0.015,999333=== ，请你归纳出0.1999 = ；16、以下5个命题：①对于相关系数r ,r 越接近1,则线性相关程度越强；②空间直角坐标系中，点(2,1,9)-关于x 轴对称的点的坐标是(2,1,9)--；③某人连续投篮投3次, 设事件A ：至少有一个命中,事件B ：都命中，那么事件A 与事件B 是互斥且不对立的事件；④推理“半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=”是类比推理；⑤定义运算a c x ax cy b d y bx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y x =上的各点映到这点本身，而把直线3y x =上的各点映到这点关于原点对称的点，则3,2p q ==-；其中的真命题是 . (写出所有真命题．．．的序号)三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答） 17．（本题满分12分） 设{}n a 是各项均为正数的等比数列，已知132,8a a ==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2log n a 的前n 项和n T . 18．（本题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取．．．．．．．．．．组，用剩下的．．．．．．组数据求线性回归方程，再．．．．．．．．．．．．用被选取的．．．．．2组数据进行检验．．．．．．．．．（Ⅰ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（其中718=b ） （Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的．试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．（本题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==， 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面CDE ；（Ⅱ）当CDE ∠取何值时，三棱锥E ABD -的体积取最大值？并求此时三棱锥E ABD -的侧面积.20．（本题满分12分） 某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请求出上表中的123，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x ，若函数()g x 在[0,]x m ∈（其中(2,4)m ∈）上的值域为[，且此时其图象的最高点和最低点分别为,P Q ，求OQ 与QP夹角θ的大小.21．（本题满分12分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点到直线y x = (Ⅰ)求椭圆E 的方程；（Ⅱ）已知点(2,1)M ，斜率为12的直线l 交椭圆E 于两个不同点,A B ,设直线MA 与MB 的斜率分别为12,k k ；① 若直线l 过椭圆的左顶点，求12,k k 的值； ② 试猜测12,k k 的关系，并给出你的证明.A BCD E22．（本题满分14分）已知函数2()ln 23f x x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：存在(0,)m ∈+∞，使得1()()2f m f =；（Ⅲ）记函数()y f x =的图象为曲线Γ．设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线Γ上的不同两点．如果在曲线Γ上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线Γ在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()f x 存在“中值伴随切线”，试问：函数()f x 是否存在“中值伴随切线”？请说明理由．2014福建省高考压轴卷文科数学一、 选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分．）1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、B 8、B 9、A 10、A 11、C 12、D 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，16分．）13、2 14、10x y +-= 15、1999999916、① ⑤ 三、解答题（本大题有6小题，共74分．） 17. 解：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公差为q由231a a q = 解得2q =或2q =-{}n a 是各项均为正数的等比数列 2q ∴= 1222n n n a -∴=⋅= ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22log log 2n n a n ==∴(1)1232n n n T n +=++++= ………12分18. 解：（Ⅰ）由数据求得24,11==y x ，由公式x b y a -=，得730-=a ， ∴y 关于x 的线性回归方程为1830ˆ77yx =-．…………6分 （Ⅱ）当10=x 时，7150=y ，有274227150<=-；当6=x 时，778=y ，有27612778<=-； ∴该小组所得线性回归方程是理想的． …………12分19. 解：（I ）在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=222,BD AB BD AD AB DE∴==∴+=∴⊥ ∵//AB CD ∴B D C D ⊥，B D D E ⊥又 CD DE D = ，CD 、DE ⊂平面CDE ∴BD ⊥平面C D E …………6分ABD E（Ⅱ）设E 点到平面ABCD 距离为h ，则2h ED ≤=. 由（I ）知BD DE ⊥ 当ED CD ⊥时，∵BD CD D = ，CD 、ED ⊂平面CDE ∴ED ⊥平面ABCD∴当090CDE ∠=时，2h ED ==，三棱锥E ABD -的体积取最大值. 此时ED ⊥平面ABCD ，∴ED AD ⊥、ED BD ⊥ 在R t D B E ∆中，,2D B DE D C A B ====12ABE S DB DE ∆∴=⋅= 在Rt △ADE 中，142ADE S AD DE =⋅=∵A B B D ⊥，B D D E ⊥，B D D E D = ，BD 、DE ⊂平面B D E∴AB ⊥平面B D E ∴A B B E ⊥14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅=综上，090CDE ∠=时，三棱锥E A B D -体积取最大值，此时侧面积8S =+ …………12分20. 解：（Ⅰ）123x =-，243x =，3103x =∴()s i n ()23f x x ππ=+…………5分 （Ⅱ）将()f x 的图像沿x 轴向右平移23个单位得到函数()2g x x π=由于()g x 在[0,]((2,4))m m ∈上的值域为[，则3m ≥，故最高点为(1P ，最低点为(3,Q .则(3,OQ =,(QP =-，则cos 2||||OQ QP OQ QP θ⋅==⋅故56πθ= …………12分21. 解：(Ⅰ)设椭圆的右焦点(,0)c ，由右焦点到直线y x =c =，c a ∴=，解得228,2a b ==，所以椭圆E 的方程为22182x y += ………4分 (Ⅱ) ①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，联立方程组2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121200x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩故1211,22k k =-=. ………8分 ②设在y 轴上的截距为b ,所以直线l 的方程为12y x b =+. 由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= . 设11(,)A x y 、22(,)B x y ,则212122,24x x b x x b +=-=-. 又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--. 又112211,22y x b y x b =+=+, 所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++--21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----= ， 故120k k +=.所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补. ………12分22．解：（I ）21431(1)(41)'()43(0)x x x x f x x x x x x -++--+=-+==>，'()01f x x =⇒=， (0,1)x ∈时'()0,f x >(1,)x ∈+∞时'()0,f x <故1x =时()f x 有极大值1，无极小值． ………4分(Ⅱ)构造函数：22113()()()ln 23(ln 2)ln 23ln 21222F x f x f x x x x x x =-=-+---+=-++-，由（I ）知1(1)()2f f >，故(1)0F >，又2()23ln 2(32)ln 20F e e e e e =-++=-+<，所以函数()F x 在区间(1,)e 上存在零点．即存在(1,)m ∈+∞，使得1()()2f m f =． ………8分（Ⅲ）22121212121212121212()()ln ln 2()3()ln ln 2()3AB f x f x x x x x x x x x k x x x x x x x x ----+--===-++---120001212'()43432x x f x x x x x +=-+=-++ ，假设存在“中值伴随切线”，则有0'()AB k f x =，可得1121121211212212221ln ln 2ln 2ln 21x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⇒=⋅⇒=⋅-+++，令12xt x =，则1ln 21t t t -=⋅+，构造1()ln 2,1t g t t t -=-⋅+ 有22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-=≥++恒成立，故函数()g t 单调递增，无零点，所以函数()f x 不存在“中值伴随切线” ． ………14分。

2014·福建卷(文科数学)1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析]把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.2．[2014·福建卷] 复数(3＋2i)i等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i2．B[解析] (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2D．13．A[解析]由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，则该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π，故选A.4．[2014·福建卷] 阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1-1A．1B．2C．3D．44．B[解析]当n＝1时，21>12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.5．[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥05．C[解析]“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.6．[2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝06．D[解析]由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.7． [2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析]将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-28． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析]由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.9． [2014·福建卷] 要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元9．C [解析]设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4m 3，高为1m ．得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C. 10． [2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →10．D [解析]如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.11． [2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C [解析]作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值， 所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.12． [2014·福建卷] 在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L -距离”定义为||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2||) )AC图1-412．A [解析]设M (x ，y )是轨迹上任意一点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，||MF 1|＋|MF 2||＝2a ，其中a 为常数，且a >c >0，由“L －距离”定义，得|x ＋c |＋|y |＋|x －c |＋|y |＝2a ，即|y |＝12(2a －|x ＋c |－|x －c |)，当y ≥0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x <－c ，a －c ，－c ≤x <c ；－x ＋a ，x ≥c ，当y <0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a ，x <－c ，－a ＋c ，－c ≤x <c ，x －a ，x ≥c .则满足上述关系的图像只有选项A.13． [2014·福建卷] 如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图1-513．0.18 [解析]设阴影部分的面积为S .随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数＝1801000＝0.18， 所以可以估计阴影部分的面积为0.18.14． [2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． (这是边文，请据需要手工删加)14．1 [解析]由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.15． [2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．15．2 [解析]当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点． 综上可知，函数f (x )的零点的个数是2. 16． [2014·福建卷] 已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．16．201 [解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确． (iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．则100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 17． [2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.18． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .19． [2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积．图1-619．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V C ­ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积V A ­MBC ＝V A ­BCD －V M ­BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 20． [2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个． 所以所求概率为P (M )＝310.21． [2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2.设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 22． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 22．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x ＜ln2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，第 11 页 共 11 页 所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c， 则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .。

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（福建卷）数学答案解析1、【答案】A【解析】试题分析：由已知，选A.考点：集合的运算.2、【答案】B【解析】试题分析：选B.考点：复数的四则运算.3、【答案】A【解析】试题分析：由已知得，所得圆柱的底面半径和高均为为，所以圆柱的侧面积为，选A. 考点：旋转体的侧面积.4、【答案】B【解析】试题分析：执行程序，，满足条件，不满足条件，输出选B.考点：算法与程序框图.5、【答案】C【解析】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.考点：全称命题与存在性命题.6、【答案】D【解析】试题分析：由已知得，圆心为，所求直线的斜率为，由直线方程的斜截式得，，即，故选D.考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程.7、【答案】D【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位，得到函数，因为，所以，选D.考点：三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.8、【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象可知，所以，，及均为减函数，只有是增函数，选B.考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.9、【答案】C【解析】试题分析：设长方体底面边长分别为，则，所以容器总造价为，由基本不等式得，，当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C.考点：函数的应用，基本不等式的应用.10、【答案】D【解析】试题分析：由已知得，而所以，选D.考点：平面向量的线性运算，相反向量.11、【答案】C【解析】试题分析：即圆心到原点距离的平方.画出可行域，由已知，当圆心为时，最大，此时，选C.考点：简单线性规划的应用，直线与圆的位置关系.12、【答案】A【解析】试题分析：不妨设是平面内符合条件的点，则由“L-距离”定义得（，）.即时，；时，；时，；时，；时，；时，.故选A. 考点：新定义，绝对值的概念，分类讨论思想.13、【答案】【解析】试题分析：由随机数的概念及几何概型得，所以估计阴影部分的面积为. 考点：随机数，几何概型.14、【答案】【解析】试题分析：由余弦定理得，，解得.考点：余弦定理的应用.15、【答案】【解析】试题分析：令得，，只有符合题意；令得，，在同一坐标系内，画出的图象，观察知交点有，所以零点个数是.考点：分段函数，函数的零点，函数的图象和性质.16、【答案】【解析】试题分析：由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.考点：推理与证明.17、【答案】(1) .（2）.【解析】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，解得，即可写出通项公式.（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设的公比为q，依题意得，解得，因此，.（2）因为，所以数列的前n项和.考点：等比数列、等差数列.18、【答案】（1）；（2），的单调递增区间为. 【解析】试题分析：思路一：（1）直接将代入函数式，应用三角函数诱导公式计算.（2）应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简.得到.由，解得.思路二：先应用和差倍半的三角函数公式化简函数（1）将代入函数式计算；（2）由，解得.试题解析：解法一：（1）（2）因为.所以.由，得，所以的单调递增区间为. 解法二：因为（1）（2）由，得，所以的单调递增区间为.考点：和差倍半的三角函数公式，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.19、【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）由平面BCD，平面BCD，得到.进一步即得平面.（2）思路一：由平面BCD，得.确定.根据平面ABD，知三棱锥C-ABM的高，得到三棱锥的体积.思路二：由平面BCD知，平面ABD平面BCD，根据平面ABD平面BCD=BD，通过过点M作交BD于点N.得到平面BCD，且，利用计算三棱锥的体积. 试题解析：解法一：（1）∵平面BCD，平面BCD，∴.又∵，，平面ABD，平面ABD，∴平面.（2）由平面BCD，得.∵，∴.∵M是AD的中点，∴.由（1）知，平面ABD，∴三棱锥C-ABM的高，因此三棱锥的体积.解法二：（1）同解法一.（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，如图，过点M作交BD于点N.则平面BCD，且，又，∴.∴三棱锥的体积. 考点：垂直关系，几何体的体积，“间接法”、“等积法”.20、【答案】（1）该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.（2）. 【解析】试题分析：（1）设该城市人口总数为a，通过计算该城市人均GDP由，作出结论.（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：，共3个，由古典概型概率的计算即得.试题解析：（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为因为，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：，共3个，所以所求概率为.考点：频率分布表，古典概型.21、【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】试题分析：（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为. 由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，. 所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.22、【答案】（1）当时，有极小值，无极大值.（2）见解析.（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由，得.从而.令，得驻点.讨论可知：当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，有极小值，无极大值.（2）令，则.根据，知在R上单调递增，又，当时，由，即得.（3）思路一：对任意给定的正数c，取，根据.得到当时，.思路二：令，转化得到只需成立. 分，，应用导数研究的单调性. 思路三：就①，②，加以讨论.试题解析：解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，有极小值，且极小值为，无极大值.（2）令，则.由（1）得，，即. 所以在R上单调递增，又，所以当时，，即.（3）对任意给定的正数c，取，由（2）知，当时，.所以当时，，即.因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有. 解法二：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只需，即成立.①若，则，易知当时，成立. 即对任意，取，当时，恒有.②若，令，则，所以当时，，在内单调递增.取，，易知，，所以.因此对任意，取，当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有. 解法三：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）①若，取，由（2）的证明过程知，，所以当时，有，即.②若，令，则，令得.当时，，单调递增.取，，易知，又在内单调递增，所以当时，恒有，即.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.。