人教版2019年春八年级数学下册精品教案全集

第十六章 二次根式 16．1 二次根式 第1课时 二次根式的概念教学目标1．理解二次根式的概念．2．理解并掌握二次根式有意义的条件． 预习反馈阅读教材P2～3，完成下列的问题． 知识探究平方根的性质：正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为S 的正方形的边长为____________；(2)要修建一个面积为6.28 m 2的圆形喷水池，它的半径约为____________m ；(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h ＝5t 2.如果用含有h 的式子表示t ，那么t ＝____________．“ ”称为二次根号． 【点拨】 开平方时，被开方数a 的取值范围是a ≥0．(为什么？)自学反馈1．下列式子，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？2，33，1x ，x(x>0)，0，42，－2，1x ＋y ，x ＋y(x ≥0，y ≥0)．x x ＋y【点拨】 判断二次根式的依据是一个形式一个条件(被开方数为非负数)，二者缺一不可．2．当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？a －1 a ≥1 2a ＋3 a ≥－32【点拨】 二次根式中求字母的取值范围的依据是：被开方数大于等于零． 名校讲坛例 (1)(教材P2例1)当x 是怎样的实数时，x －2在实数范围内有意义？(2)当x 是怎样的实数时，2x ＋3＋1x ＋1在实数范围内有意义？【解答】 (1)x ≥2. (2)x ≥－32且x ≠－1.【点拨】有二次根式的要考虑二次根式的被开方数大于等于零，有分母的要考虑分母不为零． 【跟踪训练】(《名校课堂》16.1第1课时习题)若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是(C)A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＝12D ．x ≠12【点拨】当被开方数互为相反数时被开方数只能为零． 巩固训练1．下列式子中，不属于二次根式的是(C)A. 5B.a 2C.－7D.122．已知a 是二次根式，则a 的值可以是(C)A ．－2B ．－1C ．2D ．－73．已知一个正方形的面积是64．使式子1x －2有意义的x 的取值范围是x ＞2．5．当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)1－x ； (2)2x －3； (3)1＋x 2； (4)1－x 2.解：(1)x ≤1.(2)x ≥32.(3)任意实数．(4)－1≤x ≤1.6．已知x ，y 都是实数，且y ＝x －2＋2－x ＋3，求x y的值．解：根据二次根式的定义：x －2≥0，2－x ≥0，所以x ＝2，y ＝3.则x y ＝23＝8.小结1．二次根式的概念． 2．二次根式的判断方法．3．怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围？第2课时 二次根式的性质教学目标1．理解a(a ≥0)是一个非负数．2．理解二次根式的两个性质(a)2＝a(a ≥0)和a 2＝a(a ≥0)． 3．会运用二次根式的性质进行有关计算和化简． 预习反馈阅读教材P3～4，完成下列的问题． 知识探究1．当a>0时，a 表示a 当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a(a ≥0)是一个非负数．2．根据算术平方根的意义填空：(1)(4)2＝4；(2)2＝2；(13)2＝13；(0)2＝0． 概括：一般地，(a)2＝a(a ≥0)． (2)22＝2；0.012＝0.01；（23）2＝23；02＝0． 概括：一般地，a 2＝a(a ≥0)．【点拨】二次根式的三个性质：(1)a(a ≥0)是一个非负数；(2)(a)2＝a(a ≥0)；(3)a 2＝a(a ≥0)．自学反馈 1．计算：(1)(32)2；(2)(35)2；(3)(56)2；(4)(72)2. 解：(1)32.(2)45.(3)56.(4)74.2．化简：(1)9；(2)（－4）2；(3)25；(4)（－3）2.解：(1)3.(2)4.(3)5.(4)3.3．代数式的概念：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 名校讲坛例1 (教材P3例2)计算：(1)( 1.5)2；(2)(25)2.【解答】 (1)1.5.(2)20.例2 (教材P4例3)化简：(1)16；(2)（－5）2.【解答】 (1)4.(2)5. 【点拨】 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．一个负数的平方的算术平方根等于这个负数的相反数．【跟踪训练】 说出下列各式的值：(1)(5)2；(2)（－17）2；(3)－（－π）2；(4)(－0.2)2.解：(1)5.(2)17.(3)－π.(4)0.2.例3 (《名校课堂》16.1第2课时习题)下列式子不是代数式的是(C)A ．3xB.3xC ．x ＞3D ．x －3巩固训练1．下列式子中，计算正确的是(C)A.－5＝－ 5 B ．－ 3.6＝－0.6C.（－13）2＝13 D ．(－6)2＝36 2．已知8n 是整数，正整数n 的最小值是(B)A ．4B ．2C ．3D ．03．若实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，则化简：a 2－|b －c|＝－a ＋b －c ．4．若（x －3）2＝3－x ，则x 的取值范围是x ≤3．5．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时，底面半径r的值．解：圆柱体的体积V＝πr2h，所以r＝Vπh.把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.课堂小结二次根式的性质：a(a≥0)是一个非负数；(a)2＝a(a≥0)；a2＝a(a≥0)．16．2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标1．理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)并运用它进行计算．2．利用逆向思维，得出ab＝a·b(a≥0，b≥0)并运用它进行解题和化简．预习反馈阅读教材P6～7，并完成预习内容．知识探究1．请同学们完成填空：参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．4，16归纳：一般地，反过来：ab＝a·b (a≥0，b≥0)．2．计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27.解：(1)35.(2) 3.(3)9 3.3．化简：(1)9×16；(2)18；(3)9x2y2；(4)54.解：(1)12.(2)3 2.(3)3|xy|.(4)3 6.名校讲坛例1(教材P6例1)计算：(1)3×5；(2)13×27.【解答】(1)15.(2)3.【点拨】例2(教材P7例2)化简：(1)16×81；(2)4a2b3.【解答】(1)36.(2)2|ab| b.【点拨】(1)(2)开方后可以移到根号外的因数或因式叫开得尽方的因数或因式．例3(教材P7例3)计算：(1)14×7；(2)35×210；(3)3x·13 xy.【解答】(1)7 2.(2)30 2.(3)x y.【点拨】计算二次根式的乘法时要遵循先用二次根式的乘法法则重新组合，能约分的先约分，不能约分的先化简，再用a2＝|a|化简，注意带分数的整数部分和分数部分是相加的关系，而不是相乘的关系．【跟踪训练1】(《名校课堂》16.2第1课时习题)下列二次根式中，与2的积为无理数的是(B)A.12B.12C.18D.32【跟踪训练2】(《名校课堂》16.2第1课时习题)化简（－2）2×8×3的结果是(D) A．224 B．－224 C．－4 6 D．4 6巩固训练1．下列各等式成立的是(D)A．45×25＝8 5 B．53×42＝20 5C．43×32＝7 5 D．53×42＝20 62．计算：(1)2×5；(2)3×12；(3)2xy·1 x .解：(1)10.(2)6.(3)2y.3．化简：(1)49×121；(2)225；(3)4y；(4)16ab2c3.解：(1)77.(2)15.(3)2y.(4)4|bc|ac.4．一个长方形的长和宽分别是10 cm和2 2 cm，则这个长方形的面积为2. 课堂小结掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)．第2课时二次根式的除法教学目标1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)，并能利用它们进行计算和化简．2．利用具体数据，发现规律，归纳出二次根式的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式，能利用它们进行计算和化简．预习反馈阅读教材P8～10，并完成预习内容．知识探究1．请同学们完成填空：2．二次根式的除法法则：两个二次根式相除，根指数不变，被开方数相除．3．计算：(1)123；(2)14÷116. 解：(1)2.(2)2.把a b＝ab(a ≥0，b ＞0) 4．最简二次根式的两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．名校讲坛例1(教材P8例4)计算：(1)243；(2)32÷118. 【解答】(1)2 2.(2)3 3. 例2(教材P8例5)化简：(1)3100；(2)7527. 【解答】(1)310.(2)53. 例3(教材P9例6)计算：(可以用两种方法计算)(1)35；(2)3227；(3)82a. 【解答】 (1)155.(2)63.(3)2aa. 【跟踪训练】(《名校课堂》16.2第2课时习题)计算：(1)11549；(2)25a49b2(b>0)． 解：(1)原式＝6449＝87. (2)原式＝25a49b2＝5a 23b . 【点拨】 被开方数是带分数的要化成假分数．例4 设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a ，b.已知S ＝23，b ＝10，求a. 【解答】 因为S ＝ab ，所以a ＝S b ＝2310＝23×1010×10＝305.【点拨】 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简，且结果的分母中不含二次根式． 巩固训练1．计算10÷2的结果为(A)A. 5B ．5C.52D.1022．下列根式中，不是最简二次根式的是(B)A.10B.8C. 6D. 53．若a ＝15，b ＝55，则(D) A ．a ，b 互为相反数 B ．a ，b 互为倒数 C ．ab ＝5D ．a ＝b4．把12ab3a化简后得 5．若二次根式3a ＋5是最简二次根式，则正整数a6．长方形的面积是24，其中一边长为23，则另一边长是 7．计算：(1)27÷18×2； (2)12÷(－12)×324. 解：(1)原式＝ 3. (2)原式＝－3. 课堂小结1．二次根式的除法法则． 2．逆用法则．3．最简二次根式的概念.16.3 二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减教学目标1．知道怎样将根式化为最简二次根式．2．通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算． 预习反馈阅读教材P12～13的部分，完成以下问题． 知识探究 1．合并同类项：(1)2x ＋3x ；(2)2x 2－3x 2＋5x 2.解：(1)5x.(2)4x 2.这几道题你是运用什么知识做的？加减法则．2．化简：(1)53；(2)48；(3)72m3.解：(1)153.(2)4 3.(3)6m2m.3．如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并．4．计算：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋39×7.解：(1)5 2.(2)8 2.(3)127.名校讲坛例1(教材P13例1)计算：(1)80－45；(2)9a＋25a.【解答】(1) 5.(2)8 a.【点拨】二次根式的加减与整式的加减运算类似，二次根式化简之后的合并相当于合并同类项．例2 (教材P13例2)计算：(1)212－613＋348；(2)(12＋20)＋(3－5)．【解答】(1)14 3.(2)33＋ 5.【点拨】二次根式加减运算的步骤：①化简：将二次根式化成最简二次根式；②判别：找出被开方数相同的二次根式；③合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并．【跟踪训练】(《名校课堂》16.3第1课时习题)计算：(1)16x＋64x；解：原式＝4x＋8x＝(4＋8)x＝12x.(2)125－25＋45.解：原式＝55－25＋3 5＝6 5.巩固训练1．计算32＋2的值是(C)A．5 B．6 C．4 2 D．2 22．下列根式中可以与5合并的是(B)A.10B.20C.15D.253．下列计算正确的是(C)A．53－43＝1 B.2＋3＝ 5C.8－2＝ 2 D．3＋22＝5 24．三角形的三边长分别为20 cm，40 cm，45 cm5．计算：(1)58－227＋18；(2)218－50＋1345；解：(1)原式＝132－6 3. (2)原式＝2＋ 5. 课堂小结怎样进行二次根式的加减计算？第2课时 二次根式的混合运算教学目标1．含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 预习反馈阅读教材P14的部分，完成以下问题．知识探究1．计算：(1)(2x ＋y)·zx ；(2)(2x 2y ＋3xy 2)÷xy ； (3)(2x ＋3y)(2x －3y)．解：(1)2x 2z ＋xyz.(2)2x ＋3y.(3)4x 2－9y 2.2．思考：如果把上面的x ，y ，z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．【点拨】 整式运算中的x ，y ，z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以整式中的运算规律也适用于二次根式． 3．计算：(1)(827－53)×6； (2)(5＋6)(52－23)； (3)(23＋32)(23－32)；(4)(4＋35)2.解：(1)43－15 2.(2)19 2.(3)－6.(4)61＋24 5.名校讲坛例1 (教材P14例3)计算：(1)(8＋3)×6； (2)(42－36)÷2 2. 【解答】 (1)43＋3 2.(2)2－323. 【点拨】 二次根式的混合运算，一般先将各二次根式化为最简二次根式，再类比多项式的乘除法法则展开计算，最后将结果中的每一项化为最简二次根式或整式，能合并的要合并． 例2 (教材P14例4)计算：(1)(2＋3)(2－5)； (2)(5＋3)(5－3)． 【解答】 (1)－13－2 2.(2)2.【点拨】 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．【跟踪训练1】(《名校课堂》16.3第2课时习题)已知a ＝5＋2，b ＝2－5，则a2 018b2 017的值为(B)A.5＋2 B．－5－2C．1 D．－1【跟踪训练2】(《名校课堂》16.3第2课时习题)计算：(3－7)(3＋7)＋2(2－2)．解：原式＝9－7＋22－2＝2 2.巩固训练1．计算2(3－12)的结果为(B)A. 6 B．－ 6 C.6－6 D．6－ 6 2．计算(3＋5)(3－5)的值等于(B)A．2 B．－2 C. 3 D. 5 3．计算：(2＋3)2－24＝5．4．计算：(1)12÷3－6×23；(2)48÷(－3)－12×12＋24.解：(1)原式＝2－6 2.(2)原式＝6－4.5．已知x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.解：(1)12.(2)4 3.【点拨】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值．课堂小结1．如何进行二次根式的混合运算？2．计算结果中的二次根式必须是最简二次根式．第十七章勾股定理17．1 勾股定理第1课时勾股定理教学目标1．了解勾股定理的发现过程．2．掌握勾股定理的内容．3．会用面积法证明勾股定理．预习反馈阅读教材P22～24，了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内容，并完成下列预习内容：1．毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现了用砖铺的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系．2．通过你的观察，你发现了等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．3．命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2． 4．汉代赵爽利用弦图证明了命题1，把这个命题称作勾股定理． 5．在直角三角形中，两直角边分别为3，4，那么斜边为5． 名校讲坛例1 如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A ，B ，C ，A ′，B ′，C ′的面积．从计算的结果你能得出什么结论？【解答】 A 的面积＝4，B 的面积＝9，C 的面积＝52－4×12×(2×3)＝13.A ′＝9，B ′＝25，C ′＝82－4×12×(5×3)＝34，结论：A ＋B ＝C ，A ′＋B ′＝C ′，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方． 【跟踪训练1】 4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.例2 求出直角三角形中未知边的长度．【解答】 ∵Rt △ABC 中，∠C 为直角，∴BC 2＋AC 2＝AB 2，即62＋AC 2＝102.∴AC 2＝64.∵AC>0，∴AC ＝8.【跟踪训练2】 在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，∠C ＝90°.(1)已知a ＝3，b ＝4，则c ＝5；(2)已知c＝25，b＝15，则a＝20；(3)已知c＝19，a＝13，则b(结果保留根号)(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝12．【点拨】利用方程的思想求直角三角形有关线段的长．巩固训练1．如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A．12 B．13 C．144 D．1942．如图是由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为1．3．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD.解：∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.∵∠DBC＝90°，BC＝12，根据勾股定理，得CD＝13.课堂小结1．什么是勾股定理？如何表示？2．勾股定理只适用于什么三角形？第2课时勾股定理的应用教学目标1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2．在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值．预习反馈阅读教材P25～26，体会例1、例2的解答过程，并完成下列预习内容：1．如果一根木杆的底端离建筑物5米，13米长的木杆可以达到建筑物的高度是(A) A．12米B．13米C．14米D．15米2．如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走(C) A．140米B．120米C．100米D．90米3．如图，已知OA＝OB，BC＝1，则数轴上点A名校讲坛例1(教材P25例1)一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形木板能否从门框内通过？为什么？【解答】在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.AC＝5≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过．【跟踪训练1】(《名校课堂》17.1第2课时)八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．例2 如图，在数轴上画出表示17的点(不写作法，但要保留画图痕迹)．【解答】所画图形如下所示，其中点A即为所求．【跟踪训练2】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(B)A.5＋1B.5－1 C．－5＋1 D．－5－1巩固训练1．如图，一架长为10 m的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6 m，如果梯子的顶端下滑了2 m，那么梯子底部在水平方向滑动了(A)A．2 m B．2.5 m C．3 m D．3.5 m2．如图所示(单位：mm)的长方形零件上两孔中心A和B的距离为100mm.3．小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你能解释这是为什么吗？解：582＋462＝5 480；742＝5 476.荧屏对角线大约为74厘米．所以售货员没有搞错．我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度．课堂小结1．通过本节课的学习，学会从实际问题中构建数学模型，从而利用勾股定理解决实际问题．2．在数轴上画出表示无理数的点的步骤：①找出使斜边等于这个无理数的两个直角边的长度(这个长度的值为正整数)；②画数轴，并在数轴上以原点为起点画出其中一条直角边，再与以这条直角边的另一点为起点画第二条直角边，从而画出斜边；③以原点为圆心，以斜边为半径画弧与数轴交于一点，这一点便是所要求的点．17．2 勾股定理的逆定理教学目标1．理解勾股定理逆定理的具体内容及原命题、逆命题、勾股数的概念．2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形．3．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力．预习反馈阅读教材P31～33，体会例1、例2的解答过程，并完成下列预习内容：1．古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，然后用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角．2．互逆命题：在一对命题中，第一个命题的题设恰好为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题．我们把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．3．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理为互逆定理．4．勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.它的逆定理是：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．5．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数)．名校讲坛例1 (教材P32例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.【解答】(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．【点拨】根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是大角，即大边对的角是直角．【跟踪训练1】如图，D是BC边上的一点，若AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的长．解：∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形．∴AD⊥BC.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝15，∴BC＝BD＋CD＝6＋15＝21.例2 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？【解答】对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数．m ＝2时，勾股数为4，3，5；m ＝3时，勾股数为6，8，10；m ＝4时，勾股数为8，15，17.【跟踪训练2】 下列各组数据是勾股数的是(A)A ．5，12，13B ．6，9，12C ．12，15，18D ．12，35，36例3 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？ (2)求这个零件的面积．【解答】 (1)∵AD ＝4，AB ＝3，BD ＝5，DC ＝13，BC ＝12，∴AB 2＋AD 2＝BD 2，BD 2＋BC 2＝DC 2. ∴△ABD 、△BDC 是直角三角形， ∴∠A ＝90°，∠DBC ＝90°. 故这个零件符合要求．(2)这个零件的面积＝S △ABD ＋S △BDC ＝3×4÷2＋5×12÷2＝6＋30＝36. 答：这个零件的面积是36.【跟踪训练3】 如图，AD ＝8，CD ＝6，∠ADC ＝90°，AB ＝26，BC ＝24，求该图形的面积．解：连接AC ，在Rt △ACD 中，AD ＝8，CD ＝6， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝10.在△ABC 中，∵AC 2＋BC 2＝102＋242＝262＝AB 2， ∴△ABC 为直角三角形．∴图形面积为：S △ABC －S △ACD ＝12×10×24－12×6×8＝96.巩固训练1．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A ．5，6，7B ．10，8，4C ．7，25，24D ．9，17，15 2．下列各命题的逆命题成立的是(B)A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．若a ＝b ，则|a|＝|b|D ．全等三角形的对应角相等3．如图，正方形网格中有△ABC ，若小正方形的面积为1，则△ABC 的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，根据勾股定理，得AC＝22，∠BAC＝45°，∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9，CD2＝9.∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ACD是直角三角形．∴∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.∴∠DAB的度数为135°.课堂小结1．什么是勾股定理的逆定理？如何表述？2．什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？第十八章平行四边形18．1 平行四边形18．1.1 平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征教学目标1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．预习反馈阅读教材P41～43，完成下列问题．1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号▱表示，如图，平行四边形ABCD记作▱ABCD．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．反过来，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．2．平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图，已知a∥b，则a与b的距离是图中的线段CD的长度．名校讲坛例(教材P42例1)如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：AE＝CF.【思路点拨】要证AE＝CF，可以证明△ADE≌△CBF.【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF.【方法归纳】在平行四边形中证明线段与角的问题通常要用到全等．【跟踪训练1】(教材P43练习T1变式)在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于(A)A．10 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm【跟踪训练2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴∠ABD ＝∠CDB. ∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．∴AE ＝CF. 巩固训练1．已知在▱ABCD 中，∠A ＋∠C ＝240°，则∠B 的度数是(B)A ．100°B ．60°C ．80°D ．160°2．如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则DE 的长为(D)A ．5B ．4C ．3D ．23．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是(D)A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 4．在▱ABCD 中，若AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，则▱ABCD 的周长为14__cm ．5．在平面直角坐标系中，若▱ABCD 的三个顶点坐标为A(1，0)，B(0，2)，C(－4，2)，则另外一个顶点D 的坐标为(－3，0)．6．如图，在▱ABCD 中，E ，F 为对角线BD 上的两点．(1)若AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，证明：BE ＝DF ； (2)若AE ＝CF ，能否说明BE ＝DF?解：(1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠ABE ＝∠CDF.在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠CFD ，∠ABE ＝∠CDF ，AB ＝CD ，∴△AEB ≌△CFD(AAS)．∴BE ＝DF.(2)不能，举例如图．课堂小结1．平行四边形的定义． 2．平行四边形的性质⎩⎪⎨⎪⎧对边平行对边相等对角相等邻角互补3．连接对角线可以帮助解决平行四边形问题．第2课时 平行四边形的对角线性质教学目标1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题． 3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 预习反馈阅读教材P43～44，完成下列问题． 1．平行四边形的对角线互相平分．如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ， ∴AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ．2．(1)平行四边形的面积＝底×高．如图1，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，则S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ．图1图2(2)如图2，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则S △AOB ＝S △BOC ＝S △COD ＝S △DOA ＝14S ▱ABCD .名校讲坛例 (教材P44例2)如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝8，AC ⊥BC ，求BC ，CD ，AC ，OA 的长，以及▱ABCD 的面积．【思路点拨】 根据平行四边形的性质即可得到BC 和CD 的长，根据AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中运用勾股定理即可得出AC 的长，又OA 等于AC 的一半即可求出OA ，▱ABCD 的面积＝BC ·AC. 【解答】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝8，CD ＝AB ＝10. ∵AC ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形． 根据勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝102－82＝6. 又∵OA ＝OC ， ∴OA ＝12AC ＝3，S ▱ABCD ＝BC ·AC ＝8×6＝48.【跟踪训练1】 (教材P44练习T1)如图，在▱ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14.△AOD 的周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，BC ＝AD.∴C △AOD ＝AO ＋OD ＋AD ＝12AC ＋12BD ＋BC ＝4＋10＋7＝21.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD.∵C △ABC ＝AB ＋BC ＋AC ＝AB ＋BC ＋8，C △DBC ＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AB ＋14， ∴C △DBC －C △ABC ＝6. ∴C △DBC >C △ABC ，长6.【跟踪训练2】 (《名校课堂》18.1.1第2课时习题)如图所示，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，求证：BM ∥DN.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵AM ＝CN ， ∴OM ＝ON.在△BOM 和△DON 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，∠BOM ＝∠DON ，OM ＝ON ，∴△BOM ≌△DON(SAS)．∴∠OBM ＝∠ODN. ∴BM ∥DN. 巩固训练1．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是(C)A ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB2．如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，与△OBC 面积相等的三角形(不包括自身)的个数是(B)A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠DAC ＝42°，∠CBD ＝23°，则∠COD ＝(C)A ．61°B ．63°C ．65°D ．67°4．如图，在▱ABCD 中，∠ODA ＝90°，AC ＝10 cm ，BD ＝6 cm ，则AD 的长为(A)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm5．已知在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，△AOB 的面积为2，那么▱ABCD 的面积为8．6．如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，求证：△ADE ≌△CBF.证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∴∠ADE ＝∠CBF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°. ∴△ADE ≌△CBF(AAS)．7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作直线EF ，交AD ，BC 于点E ，F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)四边形ABFE 的面积与四边形FCDE 的面积间有何关系？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝OC ，AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF ，AO ＝CO ，∠EAO ＝∠FCO ，∴△AOE ≌△COF(ASA)．∴OE ＝OF.(2)S 四边形ABFE ＝S 四边形FCDE .理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA. ∴△ABC ≌△CDA(SAS)．∴S △ABC ＝S △CDA . 由(1)可知△AOE ≌△COF ， ∴S △AOE ＝S △COF .又∵S 四边形ABFE ＝S △ABC ＋S △AOE －S △COF ， S 四边形FCDE ＝S △CDA ＋S △COF －S △AOE ， ∴S 四边形ABFE ＝S 四边形FCDE . 课堂小结平行四边形的性质⎩⎪⎨⎪⎧对边平行且相等对角相等对角线互相平分18．1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定教学目标1．掌握平行四边形的判定定理．2．灵活运用平行四边形的判定定理．3．灵活运用平行四边形性质和判定解决实际问题．预习反馈阅读教材P45～47，完成下列问题．1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．图1如图1，在四边形ABCD中，∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．如图1，在四边形ABCD中，∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形．3．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．如图1，在四边形ABCD中，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．图24．对角线互相平分的四边形是平行四边形．如图2，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．5．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．如图1，在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．名校讲坛例1(教材P46例3)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.【思路点拨】根据平行四边形的性质可以得出OA＝OC，OB＝OD，再结合AE＝CF，得出四边形BFDE 的对角线互相平分，即可得出四边形BFDE 是平行四边形． 【解答】 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ，AO ＝CO. 又∵AE ＝CF ， ∴EO ＝FO.∴四边形BFDE 是平行四边形．【跟踪训练1】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AO ＝CO.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB ∥CD ， ∴∠ABO ＝∠CDO ， ∠BAO ＝∠DCO. 又∵AO ＝CO ，∴△ABO ≌△CDO(AAS)． ∴BO ＝DO.∴四边形ABCD 是平行四边形．例2 (教材P47例4) 如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，求证：四边形EBFD 是平行四边形.【思路点拨】 根据E ，F 分别是AB ，CD 的中点，四边形ABCD 是平行四边形，可得BE 平行且等于DF.【解答】 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，EB ∥FD.又EB ＝12AB ，FD ＝12CD ，∴EB ＝FD.∴四边形EBFD 是平行四边形．【方法归纳】 判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行； (2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等； (3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．【跟踪训练2】 如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝CF ，EF ，BD 相交于点O ，求证：OE ＝OF.。

16．1.1 二次根式教案序号： 1 时间：2016年2月15日教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y、x y（x≥0，y?≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、1 x 、42、1x y．例2．当x是多少时，31x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?31x才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x 在实数范围内有意义．三、巩固练习教材P5练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x +11x 在实数范围内有意义？分析：要使23x +11x 在实数范围内有意义，必须同时满足23x 中的≥0和11x 中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x 由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1时，23x +11x 在实数范围内有意义．例4(1)已知y=2x +2x +5，求x y的值．(答案:2)(2)若1a +1b =0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P51，2，3，42．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A ．-7B ．37C ．xD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A ．4B ．16C ．8D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，23x x+x 2在实数范围内有意义？3．若3x +3x 有意义，则2x=_______．4.使式子2(5)x有意义的未知数x 有（）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a +2102a =b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B 二、1．a （a ≥0）2．a3．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：x=5．2．依题意得：2300x x，32x x∴当x>-32且x ≠0时，23x x＋x 2在实数范围内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-416.1.2二次根式(2)教案序号： 2 时间：2016年2月16日星期一教学内容1．a （a ≥0）是一个非负数；2．（a ）2=a （a ≥0）．理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）2=a （a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a（a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a（a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______．老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以（a）2=a（a≥0）例1计算1．（32）22．（35）23．（56）24．（72）2分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，（56）2=56，（72）2=22(7)724．三、巩固练习计算下列各式的值：（18）2（23）2（94）2（0）2（478）222(35)(53)四、应用拓展例2 计算1．（1x ）2（x ≥0）2．（2a ）23．（221aa ）24．（24129xx ）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 （1x ）2=x+1（2）∵a 2≥0，∴（2a ）2=a2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴221aa =a 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0 ∴4x 2-12x+9≥0，∴（24129xx ）2=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4(3) 2x 2-3分析：(略) 五、归纳小结本节课应掌握：1．a （a ≥0）是一个非负数；2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a=（a ）2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P55，6，7，82．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中15、3a 、21b、22ab 、220m、144，二次根式的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（）．A ．a>0B ．a ≥0C ．a<0D ．a=0二、填空题1．（-3）2=________．2．已知1x 有意义，那么是一个_______数．三、综合提高题1．计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（126）2（4）（-323）2(5)(2332)(2332)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4（3）16（4）x （x ≥0）3．已知1x y +3x =0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2（2）x 4-93x 2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9（2）-（3）2=-3（3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6 (5)-62．（1）5=（5）2（2）3.4=（3.4）2（3）16=（16）2（4）x=（x）2（x≥0）3．103304x y xx yx y=34=814.（1）x2-2=（x+2）（x-2）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3）(3)略21.1 二次根式(3)教案总序号： 3 时间：2016年2月17日教学内容2a＝a（a≥0）教学目标理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1．重点：2a＝a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0时，2a＝a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；2．a（a≥0）是一个非负数；3．(a)2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，2a=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：22=_______；20.01=_______；21()10=______；22()3=________；20=________；23()7=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37．因此，一般地：2a =a （a ≥0）例1 化简（1）9（2）2(4)（3）25（4）2(3)分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）?去化简．解：（1）9=23=3 （2）2(4)=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)=23=3三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，?并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？（2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？（3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a ，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0；（2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x -2(12)x ．分析：(略) 五、归纳小结本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展．六、布置作业1．教材P 5习题16．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1．2211(2)(2)33的值是（）．A ．0B ．23C ．423D ．以上都不对2．a ≥0时，2a 、2()a 、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．A ．2a =2()a ≥-2aB ．2a >2()a >-2aC ．2a <2()a <-2a D ．-2a >2a =2()a 二、填空题1．-0.0004=________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a 的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a =a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a =a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a │+2000a =a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x +21025xx 。

2019年(春)八年级数学下册第十九章一次函数教案（新版）新人教版理解变量、常量的概念．重点变量与常量的概念，变量之间的关系．难点理解并掌握变量以及变量之间的关系．一、创设情境，引入新课情境问题：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．请t/时 1 2 3 4 5s/千米生：变化的量是时间和路程，不变的量是速度．师：1小时路程为60千米，2小时路程为2×60千米，…，所以t小时路程为60t千米，即s＝60t.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程随时间变化的过程，在现实生活中，有许多类似的问题，在这些问题中都有变化着的量和始终不变的量．二、讲授新课1．每张电影票零售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，如何用含x的式子表示票房收入y元？生：早场收入为150×10＝1500(元)，午场收入为205×10＝2050(元)，晚场收入为310×10＝3100(元)，当售出的票数为x张时，收入y＝10x.师：在这个过程中有没有变化着的量与始终不变的量？生：有，售出的张数与票房收入是变化着的量，每张电影票的售价是始终不变的量．2．活动一：请大家动手画出一个面积为10 cm2，20 cm2的圆各一个．生：必须先根据圆的面积公式算出半径，再画圆．师：那么它们的半径各是多少呢？生：第一个圆的半径为103.14≈1.8 (cm)；第二个圆的半径为203.14≈2.5(cm)．师：如果圆的面积为S，怎样表示出半径r?生：r＝Sπ.师：在这个过程中，变量与常量各是什么？生：这里变量是S和r，常量是π.3．活动二：用10 m长的绳子围成长方形，改变长方形的长度，观察长方形面积的变化，并记录不同长方形的长度值，计算相应的面积．生1：当长为4 m时，宽为1 m，面积为4×1＝4(m2)．生2：当长为3 m时，宽为2 m，面积为3×2＝6(m2)．师：设长方形的长度为x m，如何求出它的面积S?生：当长为x m时，它的宽是(5－x) m，因此它的面积是S＝x(5－x)m2.师：长方形的长与宽以及面积是变量，绳子的总长是常量．这些问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，像这种数值发生变化的量称为变量，有些量的数值始终不变，像这种数值始终不变的量称为常量．三、巩固练习1．购买一些练习本，单价0.5元/本，总价y(元)随练习本本数x的变化而变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．【答案】y ＝0.5x ，其中x ，y 是变量，0.5是常量．2．一个三角形的底边长10 cm ，高h 可以任意伸缩，写出面积S 随h 变化的关系式，并指出其中的常量与变量．【答案】S ＝12×10h＝5h ，其中，S ，h 是变量，5是常量． 四、课堂小结变量：在一个变化过程中数值发生变化的量．常量：在一个变化过程中数值始终保持不变的量．本节课从学生熟知的生活出发，抽象出函数中基本的两个概念：常量与变量，然后通过练习进一步掌握．像这样取材于学生生活，结合学生已有的经验进行教学，正是新课标所要求的． 第2课时 函 数理解函数的概念，准确写出函数的关系式．重点函数的概念，函数解析式的求法．难点函数概念的理解．一、创设情境，引入新课师：上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？这将是我们这节课要研究的内容．二、讲授新课师：观察问题(1)中的表格，时间t 和路程s 是两个变量，但当t 取定一个值时，s 也随之确定一个值. t/时 1 2 3 4 5s/千米 60 120 180 240 300生：是的，当t 时，s ＝300.师：问题(2)也是一样的，当早场x ＝150时，收入y ＝1500；当午场x ＝205时，y ＝2050；当晚场x ＝310时，y ＝3100.也就是说售票张数x 与票房收入y 是两个变量，但当x 取定一个值时，票房收入y 也就确定一个值．师：问题(3)中，当圆的半径r ＝10 cm 时，S ＝100π cm 2，当r ＝20 cm 时，S ＝400π cm 2等，也就是说…生：也就是说当圆的半径r 取定一个值时，面积S 也随之确定，并且S ＝πr 2.师：问题(4)中，当长为4 m 时，面积为4 m 2；当长为3 m 时，面积S 为6 m 2；当长x为2.5 m 时，面积S 为6.25 m 2，也就是说…生：也就是说当长x 取定一个值时，面积S 也就随之确定一个值．师：当长取定为x m 时，面积S 等于多少呢？生：S ＝x·(5－x)＝5x －x 2.师：像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．前面的几个问题中，哪个是自变量，哪个是函数呢？它们之间的关系如何用式子表示？生1：问题(1)中，时间t 是自变量，路程s 是t 的函数，s ＝60t.生2：问题(2)中，售票数量x 是自变量，收入y 是x 的函数，y ＝10x.生3：问题(3)中，圆的半径r 是自变量，面积S 是r 的函数，S ＝πr 2.生4：问题(4)中，长方形的长x 是自变量，面积S 是x 的函数，S ＝x(5－x)．师：其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：心脏部位的生物电流，y 是x 的函数吗？生：y 是x 的函数，因为在心电图里，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应．师：很好！再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量y 是年份x 的函数吗？中国人口数统计表年份 人口数/亿1984 10.341989 11.061994 11.761999 12.522010 13.71教师总结：(再一次叙述函数的定义)像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x ＝a 时，y ＝b ，那么b 叫做当自变量x ＝a 时的函数值，例如在问题(1)中当t ＝1时的函数值s ＝60，当t ＝2时的函数值s ＝120.在人口统计表中当x ＝1999时，函数值y ＝12.52亿．【例】教材第73页例1师：关于自变量的取值范围我们再来看两个题目．求下列函数中自变量x 的取值范围：y ＝2x 2－5；y ＝1x ＋4； y ＝x ＋3.生1：对于y ＝2x 2－5，x 没有任何限制，x 可取任意实数．生2：对于y ＝1x ＋4，(x ＋4)必须不等于0式子才有意义，因此x≠－4. 生3：对于y ＝x ＋3，由于二次根式的被开方数大于等于0，因此x≥－3.三、巩固练习下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量的函数？写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．【答案】S ＝x 2，x 是自变量，S 是因变量．2．秀水村的耕地面积为106 m 2，这个村人均占有耕地面积y 随这个村人数n 的变化而变化．【答案】y ＝106n，n 是自变量，y 是因变量．四、课堂小结本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力．本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增强学生利用所学知识解决实际问题的意识．19.1.2函数的图象第1课时函数的图象(1)准确地运用列表、描点、连线等步骤画出函数的图象．重点函数图象的画法，观察分析图象的信息．难点函数图象的理解，概括图象中的信息．一、创设情境，引入新课下面是一张心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，变量y随x的变化而变化．师：这个问题中的函数关系很难用式子表示，但是可以用图象直观地反映出来．事实上即使对能用函数关系式表示的函数，如果用图形表示，则会使函数关系更清晰．这就是我们这节课所要学习的内容——函数的图象．二、讲授新课师：如何表示出正方形的面积S与边长x的函数关系呢？自变量x的取值范围又如何？生：正方形的面积S与边长x的函数关系式为S＝x2，其中自变量的取值范围是x＞0.师：我们如何用画图的方法来表示S与x的关系呢？既然对于自变量x的每一个确定的值，Sx 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16系中对应9个点，请大家画出这样的9个点．学生画出平面直角坐标系并描出这样的9个点．师：这个图形上只有这9个点吗？生：不是的，因为x的取值不止这9个，点也就不止9个．师：那么其他的点我们还可以像这样一一地描出来吗？生：不能，因为有无数个点．师：其他的点我们怎样画出来呢？生：…师：其他的点我们不是一一描出的，而是根据这9个特殊点的位置来确定的，也就是用平滑的曲线把这9个点按从左到右的顺序连接起来．教师一边讲一边用平滑的曲线连接这些点，并要求学生跟着连线．师：这个图形我们就称作是函数S ＝x 2的图象．由于x≠0，所以原点不在图象上，应用空心圆圈表示．教师总结：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内的这些点组成的图形就是这个函数的图象．师：函数图象为我们利用数形结合的思想研究函数提供了便利，另外，函数图象也给我们带来许多信息，大家从下面的图象中可以得到哪些信息？生1：我知道这天的最高气温是8℃，是中午14点时产生的；最低气温是－3℃，是凌晨4点产生的．师：请大家仔细观察，看还能得到哪些信息？如果学生不能回答，提醒学生从气温的变化趋势上考虑．生2：我知道从0时至4时，气温呈下降状态；从4时至14时，气温呈上升状态；从14时至24时，气温又呈下降状态．师：我们还可以从图象中看出这一天任一时刻的气温大约是多少，另外长期观察这样的气温图象，我们还能掌握气温的变化规律．三、例题讲解【例1】教材第76页例2【例2】教材第77页例3四、巩固练习用描点法画出函数y ＝3x(x≠0)的图象． 【答案】略五、课堂小结用描点法画函数图象的步骤：第一步：列表，在自变量取值范围内选定一些值，求出对应的函数值；第二步：描点，在平面直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，描出对应各点；第三步：连线，按照自变量从小到大的顺序把所描各点用平滑曲线连接起来．本节课让学生自己动手一步一步地按照列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，并且在老师的详细讲解下理解了图象的概念．这种通过学生自己动手来接受新知识的方法以后还要加强．第2课时 函数的图象(2)进一步理解并掌握函数的不同表示方法，会发现函数图象所提供的信息．重点从图象中提取信息，利用图象解决问题．难点利用函数的图象解决问题．一、创设情境，引入新课师：我们在前面几节课已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析法和图象法．大家思考一下，从前面的例子看，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到实际问题时又该如何选择这些方法？这就是我们这节课要研究的问题．二、讲授新课师：从以前的活动可以看出，函数的表示方法有三种：列表法、解析法和图象法，下面我们通过一个活动来探究这三种方法的优缺点．.t/时0 1 2 3 4 5 …y/米 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 …生：列表法．师：它比较直观，如果我们要更准确地了解这5个小时中水位高度y(米)随时间t(时)的关系，我们可以用什么方法？生：解析法．师：下面我们就来求y与t的函数关系式．由于开始时水位高度为3米，以后每隔1小时水位升高0.3米，于是我们有y＝0.3t＋3，由于这段时间是指5小时内，因此0≤t≤5.如果我们要想更形象、更直观地了解这两个变量间的关系，进而预测水位，哪种方法比较好呢？生：图象法．师：好，下面我们就来看这个函数的图象，如下图所示．师：如果估计这种上涨规律还会持续2小时，那么利用哪种方法还可以预测出再过2小时以后的高度呢？生1：利用函数解析式可以得到，当t＝7小时时，y＝0.3×7＋3＝5.1(米)．生2：利用图象也可以预测出当t＝7小时时水位的高度．师：两个同学讲得都很好！利用解析式求2小时后的水位比较准确，通过图象估算比较直接、方便．刚才这个活动，我们主要了解的是函数的三种表示方法的优缺点以及相互转化．具体说，列表法比较直观地反映出函数中两个变量的关系，但它不够全面，也不如图象法形象；解析法能比较全面、准确地表示出两个变量的关系，但它不够直观形象；图象法能形象、直观地反映出两个变量的关系，但它不够准确．也就是说这三种方法各有优缺点，在实际问题中我们要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要同时使用几种方法．三、巩固练习1．用列表法、解析法表示n边形的内角和m是边数n的函数．2．用解析法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数．四、课堂小结通过本节课的学习，我们认识了函数的三种不同表示方法，学会根据具体情况选择适当的方法来解决问题，另外我们进一步根据图象发现其中所蕴含的信息．本节课中函数的三种表示方法的优缺点是学生在比较中自己发现的，爬山问题中图象的信息也是学生通过交流、讨论以及老师的适当提醒发现的，像这样让学生在交流、探究中学习知识的方法是值得提倡的．19.2一次函数19．2.1正比例函数第1课时正比例函数(1)理解并掌握正比例函数的概念及图象．重点正比例函数的概念、图象及性质．难点正比例函数的图象及性质．一、创设情境，引入新课问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车的平均速度为300 km/h.考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？(结果保留小数点后一位)(2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1100 km的南京南站？分析：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)．(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为y＝300t(0≤t≤4.4)．(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h的行程，是当t＝2.5时函数y＝300t的值，即y＝300×2.5＝750(km)．这时列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站．师：这个函数中，t是自变量，y是t的倍数(300倍)．尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间的对应规律．像这样的函数就是我们今天所要讲的函数——正比例函数．二、讲授新课思考：下列问题中的两个变量可用怎样的函数表示？师：圆的周长l随半径r的大小变化而变化，l是r的函数吗？生：l＝2πr，l是r的函数．师：铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的变化而变化，铁块的质量m是体积V的函数吗？生：m＝7.8V师：每本练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本的总厚度h(cm)随本数n的变化而变化的函数关系是怎样的？生：h＝0.5n.师：冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化，那么它的函数关系式是怎样的呢？生：T＝－2t.师：这些函数有什么共同特点呢？学生思考并回答，教师予以总结．师：上面这些函数与y ＝300x 一样，函数都是自变量的倍数，或者说都是常数与自变量的乘积，像这种函数就是正比例函数．一般地，形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 师：y ＝kx(k 是常数，k ≠0)是正比例函数的一般形式，注意k≠0的条件．下列函数是正比例函数吗？①y＝x 3，②y ＝3x ，③y ＝kx ，④y ＝kx 2，⑤y ＝k 2x (k≠0)． 生：①⑤是的，其他的都不是．三、例题讲解(1)若y ＝5x 3m －2是正比例函数，则m ＝________；(2)若y ＝(m －1)xm 2是正比例函数，则m ＝________.解：(1)3m －2＝1，即m ＝1时，它为正比例函数；(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1，m －1≠0，解得m ＝－1.四、课堂小结1．正比例函数的定义2．正比例函数的应用本节课从实际问题中提出了正比例函数，让学生自主的分析发现函数的定义和规律，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的归纳能力．第2课时 正比例函数(2)会画正比例函数的图象．重点一次函数图象的画法．难点根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质．一、复习引入师：什么样的函数是正比例函数？生：形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 师：前面我们讲函数图象的画法时，是通过把解析式中的x ，y 的值分别取出来，作为横、纵坐标在直角坐标系中描点、连线来得到函数图象，那么对于正比例函数我们同样可以用列表、描点、连线的方法来画出它的图象．二、讲授新课操作：画出正比例函数y ＝2x ，y ＝－2x 的图象．师：由于k≠0，所以k ＞0或k ＜0，这两个函数刚好一个k ＞0，一个k ＜0.显然这里的图象和前面一样是通过列表、描点、连线完成的．第一个图象老师带学生画，第二个图象由学生独立完成，教师巡视指导．1．函数y ＝2xx －3 －2 －1 0 1 2 3y －6 －4 －2 0 2 4 6画出图象如图2．y ＝－2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x －3 －2 －1 0 1 2 3y 6 4 2 0 －2 －4 －6画出图象如图(2)．师：比较这两个图象的相同点与不同点．学生讨论以后教师再进行总结．师生共同总结：两图象都是经过原点的一条直线；函数y ＝2x 的图象从左到右上升，经过第一、第三象限；函数y ＝－2x 的图象从左到右下降，经过第二、第四象限．为了更好地发现并总结规律，师生一起在同一坐标系中画出函数y ＝12x 和y ＝－12x 的图象．列表如下：x －6 －4 －2 0 2 4 6y ＝12x －3 －2 －1 0 1 2 3 y ＝－12x 3 2 1 0 －1 －2 －3 图象如图所示：【例】请同学们在同一直角坐标系中画出函数y ＝－1.5x 和y ＝－4x 的图象．函数y ＝－1.5x x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …y … 4.5 3 1.5 0 －1.5 －3 －4.5 …原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y ＝－1.5x 的图象．用同样的方法，可以得到函数y ＝－4x 的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线．分析后得出结论．师：一般地，正比例函数y ＝kx(k 为常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx.当k ＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即y 随x 的增大反而减小．既然我们已经知道正比例函数的图象是一条直线，那么我们以后画正比例函数的图象时，只需要描出两点，然后过这两点作一条直线即可．比如说，画直线y ＝3x 只需先指出两点(0，0)、(1，3)，然后过这两点作出直线即可．三、巩固练习用简单的方法画出下列函数的图象，并对照两图象说出图象与函数的性质．1．y ＝32x. 2．y ＝－3x.四、课堂小结本节课通过具体的正比例函数的图象探索出正比例函数的图象及其性质，这符合解决问题的一般途径．本节课教师带领学生画正比例函数的图象，又通过对函数图象的观察、总结，得到比例系数与函数图象间的关系． 19.2.2 一次函数第1课时 一次函数(1)了解一次函数的一般形式．重点一次函数的一般形式．难点探索实际问题中的一次函数关系．一、创设情境，引入新课问题：某登山队大本营所在地的气温是5℃，海拔每升高1 km 气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km 时，他们所在位置的气温是y ℃，试用解析式表示y 与x 的关系．师：每升高1 km 气温下降6℃，那么升高x km ，气温下降6x ℃，因此所在位置的气温为5－6x ，即y ＝－6x ＋5.自变量是x ，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数．二、讲授新课思考：下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？这些函数有哪些共同点？师：在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数C 与t(℃)有关，即C 的值约是t 的7倍与35的差．这个函数的关系式怎么写？生：C ＝ 7t －35.师：一种计算成年人标准体重G(kg )的方法是：以厘米为单位量出身高h ，再减去常数105，所得差是G 的值，即：G ＝h －105.某市的市内电话的月收费额y(元)包括月租费22元和拨打电话按0.1元/分收取，写出y 与每月电话x(分钟)的函数关系式．生：y ＝0.1x ＋22.师：把一个长10 cm 、宽5 cm 的长方形的长减少x cm ，宽不变，长方形的面积y(cm 2)随x 的变化的关系式是什么？生：y ＝ 5(10－x)＝－5x ＋50.师：上述这些函数有什么共同特点？比如说右边．生：右边都是自变量的倍数与一个常数的和．师：对，上述这些函数的右边都是关于自变量的一次式，像这样的函数是一次函数． 一般地，形如y ＝kx ＋b(k ，b 是常数，k ≠0)的函数叫做一次函数，当b ＝0时，y ＝kx＋b 即y ＝kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．师：下面的函数是一次函数吗？如果是一次函数，说说其中k 和b 的值分别是多少．①y ＝x －6；②y＝2x ；③y＝x 8；④y＝7－x. 生1：y ＝x －6是一次函数，其中k ＝1，b ＝－6.生2：y ＝2x不是一次函数． 生3：y ＝x 8是一次函数，其中k ＝18，b ＝0. 生4：y ＝7－x 是一次函数，其中k ＝－1，b ＝7.师：值得注意的是y ＝x 8也是一次函数，它是当b ＝0时的特殊情况． 例题：(1)已知函数y ＝(k －2)x ＋2k ＋1，当k 为何值时它是正比例函数？当k 为何值时它是一次函数？解决：当2k ＋1＝0，即k ＝－12时，它为正比例函数． 当k －2≠0，即k≠2时，它为一次函数．(2)已知y 与x －3成正比例，当x ＝4时，y ＝3，写出y 与x 的函数关系式并指出是什么函数．解：因为y 与x －3成正比例，所以设y ＝k(x －3)．由题意知当x ＝4时，y ＝3，代入得k ＝3.所以y ＝3(x －3)，即y ＝3x －9，y 是x 的一次函数．三、巩固练习写出下列函数关系式，并指出哪些是一次函数，其中哪些又属于正比例函数．1．面积为10 cm 2的三角形的底a(cm )与这边上的高h(cm )．【答案】h ＝20a，不是一次函数． 2．一边长为8 cm 的平行四边形的周长L(cm )与另一边长b(cm )．【答案】L ＝16＋2b ，是一次函数．3．食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x 天后还剩下煤y 吨．【答案】y ＝120－5x ，是一次函数．4．汽车每小时行40千米，行驶的路程s(千米)和时间t(小时)．【答案】s ＝40t ，是一次函数，且是正比例函数．5．圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系．【答案】y ＝πx 2，不是一次函数．6．一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x 个月后这棵树的高度为y(厘米)．【答案】y ＝50＋2x ，是一次函数．四、课堂小结本节课从实际出发得出一次函数的概念，并在实际问题中根据简单信息写出一次函数的表达式，进而解决问题．本节课主要学习了一次函数的概念和一次函数的一般形式．教学过程中充分调动了学生的学习积极性，让学生参与到学习活动中，在活动的过程中，理解并掌握知识，同时也培养了学生的学习能力及参与意识，取得了良好的教学效果．第2课时 一次函数(2)会画一次函数的图象．重点一次函数图象的画法．难点根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质．一、创设情境，引入新课师：正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0)，它的图象是经过原点的一条直线．一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)，那么它的图象是什么呢？这就是我们这节课所要学的内容．二、讲授新课活动一活动内容设计：画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象，比较两个函数的图象，探究它们的联系并解释原因．教师活动：引导学生从图象的形状、倾斜程度以及与y轴的交点在坐标轴上的位置比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中的k，b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的应用．学生活动：在教师的引导下利用列表、描点、连线作出两函数的图象，然后根据教师的引导从多方面比较两个函数的图象的相同点与不同点．生：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值，如下表所示：x －2 －1 0 1 2y＝－6x 12 6 0 －6 －12y＝－6x＋5 17 1 5 －1 －7画出函数y结果：这两个函数的图象形状都是________，并且倾斜程度________．函数y＝－6x 的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y ＝－6x向________平移________个单位长度而得到．结论：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b，它可以看作是由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到的(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．既然一次函数的图象是一条直线，所以今后画一次函数的图象时，只要取两点，再过这两点画直线即可．活动二活动内容设计：画出函数y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1的图象．由它们联想：一次函数解析式y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影。

人教版八年级数学下册全册教案(9篇)人教版八年级数学下册教案篇一1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律1、一次函数解析式特点2、一次函数图象特征与解析式的联系规律1、一次函数与正比例函数关系2、根据已知信息写出一次函数的表达式。

ⅰ．提出问题，创设情境问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上a地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知a地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从a地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然，应该探求这两个变量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是s＝570－95t．说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的'存款与从现在开始的月份之间的函数关系式．分析我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为y元，得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x．问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点？ⅰ．导入新课上面的两个函数关系式都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。

并且自变量和因变量的指数都是一次。

若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（）①y=x-6；②y=2x；③y=；④y=7-x x8a、①②③b、①③④c、①②③④d、②③④例2 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8(cm)的平行四边形的周长l(cm)与宽b(cm)；(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．（5）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；（6）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（7）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）分析确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．解(1)a?20，不是一次函数．h(2)l＝2b＋16，l是b的一次函数．(3)y＝壹五0－5x，y是x的一次函数．(4)s＝40t，s既是t的一次函数又是正比例函数．（5）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；（6）y=πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；（7）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数例3 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．分析根据一次函数和正比例函数的定义，易求得k的值．解若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数，则2k＋1＝0，即k＝?若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数，则k－2≠0，即k≠2．例4 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)y与x之间是什么函数关系；(3)求x＝2.5时，y的值．解(1)因为y与x－3成正比例，所以y＝k(x－3)．又因为x＝4时，y＝3，所以3＝k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)＝3x－9．(2) y是x的一次函数．(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．1．2例5 已知a、b两地相距30千米，b、c两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从a地出发，经过b地到达c地．设此人骑行时间为x（时），离b地距离为y （千米）．(1)当此人在a、b两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围．(2)当此人在b、c两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．分析(1)当此人在a、b两地之间时，离b地距离y为a、b两地的距离与某人所走的路程的差．(2)当此人在b、c两地之间时，离b地距离y为某人所走的路程与a、b两地的距离的差．解(1) y＝30－12x．(0≤x≤2.5)(2) y＝12x－30．(2.5≤x≤6.5)例6 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相应的x取值范围．分析因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系．解在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)；在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤16)；在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44)．ⅰ．随堂练习根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y 是否为x有正比例函数？2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。

图①图②如图②的海报为长方形，若长是宽的倍，面积为6m2，则它的宽三、自学自测1.下列各式中是二次根式的是（）四、我的疑惑____________________________________________________________一、要点探究探究点1：二次根式的意义及有意义的条件问题分别表示什么意义？问题2 这些式子有什么共同特征？要点归纳：一般地，我们把形如)0a≥的式子叫作二次根式. ”称为))(1)(2)6;(3)0(5),;(6)mx y≤；异号1(2)1x-（( )A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)x的取值范围是___________;(2)若式子12x +-x 的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x问题2a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次1）a 为被开方数，为保证其有意义，可知a ____0；例3 若22(4)0a c --=，求a -b +c 的值.【变式题】已知a ，b 为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足4b =，求此三角形的周长． A.x ＞2 B.x ≥2 C.x ＜2 D.x ≤2 3.当x =____取最小值，其最小值为______．4.当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填探究点2议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( ;=-2)20( .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 . 3.计算：=20 ;当==2,0a a 时 .要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：()()()2____0____=0____0.a a a a a ⎧⎪==⎨⎪⎩＞，，＜即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.典例精析例3 (教材P4例3变式题)化简：2(1)10;- 2(2)(3.14).-π方法总结:利用2a a =化简求值时，先应确定a 的正负，再化简.例4 实数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简:()222.a b a b -+-【变式题】实数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，化简：2244a ab b a b +++-.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a ,b 的大小讨论绝对值内式子的符号.例5 已知a 、b 、c 是△AB C 的三边长，化简：()()()222.a b c b c a c b a ++-+-+-- 分析：针对训练 1.计算：22(1)(-2)(2)(-1.2). ；教学备注配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片12-21）利用三角形三边关三边长均为正数，a +b ＞c 两边之和大于第三边，b +c -a ＞0，c -b -a ＜0列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为负数的算术平0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：_____;94____;_______94)1(=⨯=⨯=⨯_____;2516____;_______2516)2(=⨯=⨯=⨯._____3625____;_______3625)3(=⨯=⨯=⨯思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测()_____0,0a b吵，你能证明这个猜测吗？要点归纳：一般地，二次根式相乘，_________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例1(教材P6例1变式题)k a b k⋅⋅=⋅⋅⋅⋅（37；1(2)427-3.⎛⎫⨯⎝(n b mn=比较大小(一题多解533与；(2)--方法总结:比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.( )D.22.下面计算结果正确的是 ( )A.==C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质 一般的()0,0≥≥=⋅b a ab b a ，反过来可写为()______0,0_ab a b =吵算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.典例精析P7例2变式题)化简：（1）225328-；（2）()3226900x x y xy x y ,++≥≥ ．方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.针对训练 ()()31(1)144169(2)284a a ; . -⨯-⋅2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为24，宽为8，求出它的面积.二、课堂小结 二次根式的乘法 内容二次根式的乘法法则算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即()0,0≥≥=⋅b a ab b a积的算术平方根的性质 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即()0,0ab a b a b =壮?二次根式的乘法法则拓展①多个二次根式相乘时此法则也适用，即()0,0,00a bc n abc n a b c n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥②()()0,0m a n b mn ab a b =≥≥教学备注 配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片16-22）4.课堂小结（见幻灯片29）1.x的取值范围是（）A..x≠2B..x≥0C..x＞2D..x≥22.化简：探究点3：最简二次根式思考前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子分母的根号吗？要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例3 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．(3)2探究点4：二次根式除法的应用例4 (教材P9例7变式题)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t=从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？2a +3a = ；时，分别代入左、右得_2_232=___+时，分别代入左、右得2333=_____+根据右图，你能否直接得出当a =2，b=8时，【变式题】有意义，求x 的取值范围.1.是同类二次根式的是（）B.m =_____.3.________(填序号）. ②探究点2：二次根式的加减及其应用思考 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ 问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?问题 2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式；.P13例2变式题)计算：例3 已知a ,b,c满足(20a c -=.(1)求a ,b ,c 的值；(2)以a ,b ,c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.3.14）.b，求(2*3)－(27*32)的值．第十六章二次根式(1 2 1⎝()；() .n b的式子，构成A C 要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为+b 2=c 2. 公式变形： 22-a c b b ==, ________=________+__________.二、课堂小结边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么____________. 2. 勾股定理公式的变形：a =_________,b =_________,c =_________. 3. 在Rt△ABC 中，∠C =90°.(1)若a =3,b =4,则c =_________;(2)若a =5,c =13,则b =_________.八、要点探究小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点 C 测得CA =130米,CB =120米,则 AB 为 ( ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ≌____________ (________)． A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.若已知圆柱体高为，底面半径为3 cm，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.处放上了点儿火腿肠粒，你的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.第1题图第2题图如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm点上有一只蚂蚁，想到B第十七章勾股定理17.1 勾股定理第3课时 利用勾股定理作图或计算学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题...你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？ 2.求下列三角形的各边长. 九、要点探究 探究点1想一想 1.无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.,即是直角边的长都为正整数？3.. (1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l ____OA,在l 上取一点B ，使AB=_____;(3)以原点O 为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C 点，则点C 即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，为线段,形成如图.A 所表示的数为a ，求a 的值.-2.AC的长为半径3.你能在数轴上画出表示17的点吗？6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.ABCD的面积．A.5B.6C.7D.25A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．分△AFC的面积.）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图②17.2 勾股定理的逆定理第1课时 勾股定理的逆定理定理的概念、关关系及勾 用量角器量一8,15,17. 那么这个三角形是.2+b 2=c 2．=b ，B ′C ′=a ，△A ′B ′C ′是__________三b 、c 满足a 2+b 2=c 2，即已知即可判断P32例1变式题)若△ABC 的三边a,b,c 满足 a:b: c=3:4:5，是判断 △ABC 的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.CB，试判断AF与EF的位置关例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝14系，并说明理由.）A．2，3，4 B．3，4，6C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是 ( ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样( )A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.探究点3：互逆命题与互逆定理想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？2.两个命题的条件和结论有何联系？；标注有用信息,明确已晚上10时28分，我边防反通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 在B 地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求四边形ABCD 的面积.分析：连接AC ，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD 是直角三角形.的面积为30 cm2，DC＝距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长．，用尺子等工具度量它的四条边，并记录?并记录下数据，你能发现∠A 平行四边形的对边____________；平行四边形的对角___________．例1如图，在平行四边形ABCD 中.(1) 若∠A =32°,求其余三个角的度数.(2) 连接AC ，已知平行四边形ABCD 的周长等于20 cm ，AC=7cm ，求△ABC 的周长.变式题 (1)在平行四边形ABCD 中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数. (2)若平行四边形ABCD 的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.方法总结:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程. 例2如图，在平行四边形ABCD 中,E ，F 是对角线AC 上的两点，并且AE=CF ，求证： BE=DF.ABCD中. (1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______.(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.2.如图，在平行四边形ABCD 中，若AE 平分∠DAB ，AB=5cm,AD ＝9cm,则EC ＝_________.3.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD 和BC 的长度有什么关系？为什么？探究点2：平行线间的距离想一想:如图,若m // n,作 AB // CD // EF ，分别交 m 于A 、C 、E ，交 n 于B 、D 、F. 由________________________易知四边形ABCD ，CDEF 均为__________________.由平行四边形的性质得AB______CD_______EF. 填一填:如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别是E ，F ．求证：DE=BF ． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠A_____∠C ，AD______CB. 又∠AED= ∠CFB=90°，∴ △ADE____△CBF （_____）, ∴AE_____CF.要点归纳：1.两条平行线之间的任何平行线段都__________.2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_________.两条平行线间的距离__________. AB ∥CD ，BC⊥AB ，若AB=4cm ，S △ABC =12cm 2，求△ABD 中AB 边上的高．(2)平行四边形的四个内角都相等 ( )(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( )(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm ( )(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48° ( )(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°( )2.在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（）A .45° B. 55° C. 65° D. 75°3.如图，，则图中有_____个平行四边形.4.如图，直线AE//BD,点C在BD上,若AE=5，BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为____________.5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？7.如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM._________.，OB=OD.周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边，若平行四边形ABCD的周长为过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.第1题图第2题图第3题图如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCDC ．AO=COD ．AC ⊥BD3. 在□ABCD 中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m 的取值范围是A. 24<m<39B.14<m<62C.7<m<31D.7<m<124.如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，EF 过点O 与AD ，BC 分别相交于E ，F ，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD 的周长为（ ） A.16 B.14 C.12 D.105.如图，平行四边形ABCD 的面积为20，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且AE=DF ，则图中阴影部分的面积为_______．18.1.2 平行四边形的判定第1课时 平行四边形的判定（1）所得的的四边形是PONM 是平行四边例2如图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF.试说明四边形DAEF 是平行四边形．AC,BC ⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD 是平行四边形.探究点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形猜一猜 对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么? 证一证已知：四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ， 求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，又∵∠A=∠C ，∠B=∠D ，∴___∠A+___∠B=_______°， 即∠A+∠B=______°，∴ AD_____BC.同理得 AB_____CD ， ∴四边形ABCD 是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形. 几何语言描述：在四边形ABCD 中，∵∠A=______，∠B=______,∴四边形ABCD 是_______________.ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D 的度数；(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形．1.判断下列四边形是否为平行四边形：2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:A. 1:2:3:4B. 1:4:2:3C. 1:2:2:1D. 3:2:3:2 探究点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形________________.的四边形是平行四边形.。

第十六章 分式 16．1分式16.1.1从分数到分式 一、 教学目标1．了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，as ，33200，sv .2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用时间v-2060小时，所以v+20100=v-2060.3. 以上的式子v+20100，v-2060，as ，sv ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3)[分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.[答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3）3. 当x 为何值时，分式的值为0？（1） （2） (3) 七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.(3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x取何值时，分式 无意义？ 1-m m 32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x x x 57+xx 3217-xx x --2212312-+x x3. 当x 为何值时，分式 的值为0？ 八、答案：六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x7 , 238y y -，91-x2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±23．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1七、1．18x, ,a+b,b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -;分式：x80,ba s + 2． X = 3. x=-1课后反思：16.1.2分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质.x 802332xx x --212．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点1．重点: 理解分式的基本性质.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5. 四、课堂引入1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？43201524983432015249833．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.五、例题讲解P7例2.填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3．约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4．通分：[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例 5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.ab 56--， yx 3-， nm --2， nm 67--， yx 43---。