青岛版数学九上4.1《圆的对称性》word学案

圆的对称性（1）教学目标：1．知道圆是轴对称图形并会画出对称轴．2．说出垂径定理，理解其推出过程．3．会运用垂径定理进行有关的计算和证明．教学重点：圆的对称性和垂径定理教学难点：垂径定理预习任务：一、自学课本P68---70完成下列问题：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？归纳：圆是轴对称图形，__________________________都是对称轴。

2．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．自学68页交流发现（3），根据 ＿＿＿＿＿＿得出：AM=BM ，⌒AC=⌒BC ， ⌒AD=⌒BD即：垂径定理：垂直于弦的直径平分____，并且平分____________________.3自学课本例1、例2，理解是如何利用垂径定理解答的，二、预习检测：1、下列所述图形中，对称轴最多的是（ ）A ．圆 B.正方形 C.正三角形 D.线段 2、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，OD ⊥AB 于D ，OD 的延长线交⊙O 于C ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA教学过程：一：情境导入：BA C O M前面我们已探讨过轴对称图形，那么圆是轴对称性图形吗？二：精讲点拨：1、圆是轴对称图形及其对称轴2、垂径定理的推出：利用圆的对称性3、垂径定理的应用：例1、2的解题方法和辅助线的添加方法三：拓展延伸：如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．（R＝545）四、系统总结:通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？五、限时作业:判断题（4分）：A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆有无数条对称轴，任何一条直径都是它的对称轴C.直径是弦，但弦不一定是直径D.半圆是弧，但弧不一定是半圆2（6分）．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，求弦AB的长.。

3.1 圆的对称性（2）一、学习目标1.经历探索圆的旋转不变性及中心对称性.2.理解圆心角的概念.3.探索圆心角、弧、弦之间的关系并能正确应用，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.二、学习重点：圆心角、弧、弦之间的关系学习难点：圆心角、弧、弦之间关系的正确应用三、学习过程（一）回顾与思考：在平面内，一个图形绕某个点旋转______度，能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的_________ . （二）新课导入1、观察与思考：（1）圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？（2）以圆心O为旋转中心，旋转180度，圆会发生什么变化？（3）圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？结论：圆具有旋转不变性，即一个圆绕着它______旋转________，都能与________重合。

圆是_______________图形，________是它的对称中心。

2、圆心角的定义：______________________叫做圆心角。

思考：下列是圆心角的是（）3、实验与探究（1）通过以上的动手操作你发现圆心角、弦、弧之间有怎样的等量关系？（2）你又能得到什么样的结论？圆心角、弧、弦三者关系定理：___________________________________________________________________________ ________________________________________（三）随堂练习：见课件（四）例题【例3】如图，AB与DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，AC∥DE.求证:（1）AD=CE （2）BE=CE（五）学以致用，体验成功1.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与AD 是⊙O的弦，AC=AD.求证：BC = BD2.如图，已知AD ＝BC ，试说明:AB=CD（六）训练提升：1、如图，BC 为⊙O 的直径，OA 是⊙O 的半径，弦BE ∥OA,求证：AC ⌒ = AE⌒2、如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 为AB ⌒的中点，M 、N 分别为OA 、OB 的中点,求证：MC=NC（七）能力自测：1.如图，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD=CE,证明：AC ⌒ =BC⌒2.已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，AB ⌒ = DC⌒ , 证明：△ABC ≌△DCB(八)训练升级：如图，已知点O 是∠A 的平分线上的一点，⊙O 分别交∠A 的两边于点C,D 和点E,F 。

青岛版数学九年级上册《圆的对称性——轴对称、＊垂径定理》教学设计1一. 教材分析《圆的对称性——轴对称、＊垂径定理》这一节的内容主要包括圆的轴对称性和垂径定理的证明。

学生在学习这一节内容之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、半径等。

本节课的内容是对圆的性质的进一步拓展，让学生了解圆的对称性，并学会运用垂径定理解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的对称性和垂径定理的证明，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，理解和掌握圆的对称性和垂径定理。

三. 教学目标1.理解圆的轴对称性，能找出圆的对称轴。

2.学会运用垂径定理证明圆的性质。

3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆的轴对称性的理解。

2.垂径定理的证明。

五. 教学方法1.引导观察法：通过引导学生观察圆的对称现象，让学生发现圆的对称性。

2.操作实践法：让学生通过实际操作，学会运用垂径定理证明圆的性质。

3.小组讨论法：让学生在小组内进行讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便于学生更好地理解圆的对称性和垂径定理。

2.圆的模型：准备一些圆的模型，让学生直观地观察圆的对称性。

3.垂径定理的证明道具：准备一些道具，如直尺、圆规等，以便于学生进行垂径定理的证明。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些圆的图片，如圆形的餐具、建筑等，引导学生观察这些圆形的物品，并提问：“你们发现这些圆形物品有什么共同的特点？”让学生思考圆的对称性。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示圆的对称性，引导学生找出圆的对称轴。

同时，教师讲解圆的对称性的定义和性质。

3.操练（10分钟）教师让学生分组，每组用道具进行圆的对称性的操作实践。

学生通过实际操作，加深对圆的对称性的理解。

青岛版九年级数学上册《圆的对称性—中心对称、圆心角与其所对弧、弦关系定理》说课稿一、说课目标通过本节课的学习，学生将能够：1.理解中心对称的定义，并能够按照要求绘制中心对称图形；2.认识圆心角和其所对弧的关系，并能够运用该关系解题；3.掌握弦关系定理，能够运用该定理解决与弦相关的问题；4.培养学生的观察能力、分析问题的能力和解决问题的能力。

二、说课内容本节课的内容主要包括三个部分：中心对称、圆心角与其所对弧的关系、弦关系定理。

通过学习这些概念和定理，学生能够深入理解圆的对称性，并能够应用相关的知识解决实际问题。

2.1 中心对称中心对称是指图形中存在一个点，使这个点与图形上所有点关于某条直线对称。

在本节课中，我们将学习如何按照要求绘制中心对称的图形。

2.2 圆心角与其所对弧的关系在圆中，圆心角是以圆心为顶点的角，其所对的弧是夹在圆心角两边的弧。

本节课将重点探讨圆心角与其所对弧的关系。

学生将学会如何根据圆心角的大小推知弧长，或根据弧长确定圆心角的大小。

2.3 弦关系定理弦关系定理是指在一个圆中，两个弦所对的弧的长度之积等于这两个弦的长度之积。

在本节课中，我们将学习如何运用弦关系定理解决与弦相关的问题。

三、说课重点和难点本节课的重点是理解和运用中心对称、圆心角与其所对弧的关系、弦关系定理解决问题。

其中，弦关系定理是本节课的难点之一。

四、说课教法和学法4.1 教法本节课采用讲授和练习相结合的教学方法。

通过讲解基本概念和定理，引导学生理解并掌握相关的知识点。

然后通过示例分析和实际问题练习，培养学生运用所学知识解决问题的能力。

4.2 学法学生需要积极参与课堂讨论和练习，主动思考和分析问题。

在课后，可以通过复习课本内容、解题和参考相关练习题，巩固所学知识。

五、说课过程5.1 导入通过展示一幅图形，让学生观察图形的对称性，并帮助学生理解中心对称的概念。

然后提问学生如何判断一个图形是否具有中心对称性，引导学生思考和探索。

第4章 对圆的进一步认识4.1 圆的对称性（1）教学目标：1.探索并了解圆的轴对称性；2.探索并证明垂径定理，能用垂径定理解决有关问题；3.使学生经历操作、观察、发现、思考、推理、交流等过程，丰富学生的数学活动经验，感悟数学思想。

教学重点：利用圆的对称性推导出垂径定理，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题。

教学难点：灵活运用垂径定理解决问题 教学过程： 一、情境导航右图是北京天坛公园内圜丘坛的照片，圜丘坛是一座由汉白玉石雕栏围绕的三层石造圆台。

观察这幅图片，思考下面的问题：（1）圆是轴对称图形吗？是旋转对称图形吗？是中心对称图形吗？ （2）如果站在圜丘坛最上一层，你能准确地找出它的圆心吗？ 二、新知探究【动手实践一】在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O ，并任意作出一条直径A B ,将O 沿直径A B 折叠，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 知识点一：圆的轴对称性圆是轴对称图形，______________________都是它的对称轴，对称轴有______条。

【动手实践二】在O 中，作弦C D ，使C D AB ⊥,记垂足为E .将O 沿直径A B 折叠，你发现线段C E 与D E 有什么关系？ A C 与 A D 有什么关系？ BC与 BD 有什么关系？ 知识点二：垂径定理垂直于弦的直径_______这条弦，并且______弦所对的_________。

几何语言：如图，在O 中，______________________________________∴______________________________________例1、 如图，已知在O 中，弦A B 的长为8厘米，圆心O 到弦A B 的距离为3厘米，求O 的半径。

解：跟踪练习一：1、如图，A B 是O 的直径，弦C D AB ⊥于M ， 1BCcm =， 4AD cm =，那么 ____,____BD cm AC cm ==,O 的周长为____cm .2、如图，在O 中，A B 为直径，弦C D AB ⊥于点M ，20A B =，6O M =，则____CD =【动手实践三】如果C D 是O 的弦（不是直径），过C D 的中点E 作O 的直径A B ，你发现A B 与C D 垂直吗？ A C 与 A D 的大小有什么关系， BC与 BD 的大小有什么关系？。

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3．1 圆的对称性第1课时目标导引1. 使学生掌握垂径定理，会用垂径定理解决有关计算、证明和作图问题2.使学生了解垂径定理在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力重、难点应用垂径定理解决实际问题一、新课导入1．创设情境，激趣设疑赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗？它是1 400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.02 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2．动手操作，导入新课请同学们在一张白纸上画出一个圆，你能找到这个圆的圆心吗？二、教学建议1．圆的轴对称性建议：引导学生实际动手操作：把圆沿它的任意一条直径对折，直径两边的半圆就会重合在一起，直观易懂，得到结论．在此强调：圆是轴对称图形，它的对称轴就是直径所在的直线，注意对称轴是直线不是直径．2．垂径定理建议：(1)在学生理解圆的轴对称性的基础上，结合等腰三角形的轴对称性及线段的垂直平分线的性质，引导学生去发现图形中相等的线段和弧，用叠合法证明结论的合理性，从而得到定理．(2)对于定理的掌握和理解，可进一步帮助学生分析定理的题设和结论，并可将定理改述为：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦，则可以推出；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．这样可以加深学生对定理的理解．3．应用垂径定理解决实际问题建议：抓住解决问题的关键：把实际问题转化为数学问题．引导学生根据赵州桥的实物图画出几何图形，并讨论交流如何解决有关弦的问题：常常需要作“垂直于弦的直径”，通过作辅助线把垂径定理和勾股定理结合起来，从而构建方程求解．这种添加辅助线的方法及方程的思想很重要，要求学生务必掌握．三、本课小结1．圆的对称性圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴．2．垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3．将垂径定理和勾股定理有机结合，进行相关的证明和计算. 关闭Word文档返回原板块。

3.1 圆的对称性 教学案（二）一、教与学目标：1．知道圆是中心对称图形并能说出对称中心.2．会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.二、教与学重点难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.三、教与学方法：自主探究，合作交流四、教与学过程：（一）、情境导入：（1）什么是中心对称图形?（2）我们采用什么方法研究中心对称图形?（二）、探究新知：1、问题导读：（1）将一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，你有什么发现？（2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？（3）什么是圆心角（4）由圆的中心对称性，你还能发现圆的哪些性质？2、合作交流：按照下列步骤进行小组活动：（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O′（2）在⊙O 和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、A′B′.（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O′重合，∠AOB 与∠'''B O A 重合。

在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流.（4）如果将2中的∠AOB =∠'''B O A 换为AB= A′B′或AB=A′B′，你能发现什么结论？（5）如果将2中两个圆心角相等改为多个圆心角相等，你能得出哪些结论？’ ’利用这一性质，你能画出正n 边形。

3、精讲点拨：（1）上述三个方面的定理可以总结为：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意：“同圆或等圆中”是定理的先决条件.（2）利用圆的中心对称性，可以作出正n 边形，正六边形是非常特殊的正多边形，它的边长等于其外接圆的半径（三）、学以致用：1、巩固新知：（1）如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦。

若AB=CD ，则 ，若AB= CD ，则 ，若∠AOB=∠CO 'D ，则 ，（2）完成课本71页例3，72页练习1、2.，32、能力提升：（3）如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，如果∠AOC=∠BOC ，那么∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？（4）如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．（四）、达标测评：1、选择题：（1）下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．度数相等的弧是等弧D ．相等的弧所对弦相等（2）在同圆中，若AB=2CD ，则AB 与2CD 的大小关系是（ ） O ’ D C OB AA．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定2、填空题：（3）一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．（4）如图，AB是⊙O的直径，BC = CD = DE,∠BOC=40°，则∠AOE的度数是度3、解答题：（4）（5）如图，在⊙O中，AB=AC，∠A=40°,求∠B的度数．（6）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，求∠AOC 的度数.（7）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？五、课堂小结：（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？(2) 对于本节所学内容你还有哪些疑惑？六、作业布置：练习74页2题3题七、教学反思：。

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第3课时
一、新课导入
通过上一节课的学习，我们知道顶点在圆心的角叫做圆心角．把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角的度数是多少？整个圆被分成了多少份？每一份的弧是否相等？圆心角的度数与它所对弧的度数有什么关系？
二、教学建议
1．圆心角的度数与它所对弧的度数相等
建议：引导学生探究：1°，2°，3°，…，n°的圆心角所对弧的度数分别为1°，2°，3°，…，n°，归纳得出圆心角的度数与它所对弧的度数相等．
2．垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理的综合应用
建议：结合例题让学生明确，圆心角的度数与它所对弧的度数互为因果关系．常结合垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理进行相关的计算或证明．
三、本课小结
1．圆心角的度数与它所对弧的度数相等．
2．圆心角与弧的度数之间的关系和垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理相结合进行相关的计算或证明．
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4.1圆的对称性教学设计（一）一、教与学目标：1．知道圆的轴对称性并能说出其对称轴．2．能说出垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明．4．学习过程中,领悟转化思想和数形结合思想.二、教与学重点难点：能运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。

三、教与学方法：自主探究，合作交流四、教与学过程：（一）、情境导入：（1）你还记得什么是圆吗？你学过哪些有关圆的知识？（2）什么是轴对称图形？有什么特征？（3）我们采用什么方法研究轴对称图形？通过直接回忆相关知识引入新课，利于新知的学习。

（二）、探究新知：1、问题导读：按下面的步骤做一做：在一张半透明的纸片上画一个圆,标出它的圆心O,并任意作出一条直径AB,将圆O沿直径AB折叠,你发现了什么?（自学课本68页交流与发现1,2）2、合作交流：（1）如图，CD 是⊙O的直径，作弦AB ，使CD ⊥AB ，记垂足为M.将⊙O 沿直径CD 折叠，你发现AC 与AD 有什么关系？BC 与BD 有什么关系？线段CE 与DE 有什么关系？（2）你能证明你的结论吗？（3）你能用语言表达你发现的结论吗？3、精讲点拨：垂径定理的数形结合（几种应用形式）●O●O●O┗┗┗AB CDM AB DM ABM垂径即为垂直于弦，经过圆心的线段∴AM=BM⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.∴AM=BM,⌒⌒AD=BD.∴AM=BM.∵OD ⊥AB,∵OM ⊥AB,rad h ra dh rda 如图示，根据勾股定理得：，根据图形得：d+h=r 。

222a+d =r 2（）∵CD 是直径，CD ⊥AB由形到数的转化a,d,r,h 可以知二求二（三）、学以致用： 1、巩固新知：E OABDCE A BCDEOA BDCOBAEE OABCEOCDAB练习在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧2、精讲例题例1、如图4，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：OC=OD 。

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第2课时
一、新课导入
1．做一做：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？2．想一想：圆是中心对称图形吗？对称中心在哪里？除了旋转180°后能重合外，旋转的角度是多少时也能与原来的图形重合？自己动手操作一下，可以发现：一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
这就是圆的旋转不变性，本节课我们从圆的旋转不变性出发，研究圆心角、弧、弦之间的关系．
二、教学建议
1．圆的旋转不变性
建议：引导学生通过操作和思考，明确圆的中心对称性，同时指出圆与一般的中心对称图形的不同：圆绕圆心旋转任意的角度，都能与原来的图形重合．
2．弧、弦、圆心角定理
建议：(1)首先使学生明确圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦的概念．
(2)对直观观察得到的结论进行证明时，要求学生明确每一步的理论依据并用数学语言叙述结论，培养学生的概括能力．
(3)在“同圆或等圆”的前提下，改变命题的题设和结论，引导学生从圆心角相等、弦相等、弧相等三种情况讨论，总结定理的叙述方式，使学生明确在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等．
(4)通过训练，加深学生对定理的应用条件的理解，体会定理的应用范围．注重解题后的反思，适时引导学生小结，掌握定理的应用方法及常用辅助线的作法和它们所起的作用．
三、本课小结
1．圆心角：顶点在圆心的角．
2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理：同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
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