平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件

k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系，利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22

平面向量数量积的坐标表示ppt 人教课标版

则 cos
ab ab
设 a （ x b (x2, y2),且 a 与 b 夹角为， 1, y 1), (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x 1x 2 y 1y 2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
其中 x y 0 ， x y 0.
A x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（ 2 ）已知 a 10 , b ( 1 , 2 ) ，且 a // b ，求 a 的坐 .
3 （ 3 ）已知 a ( 3 , 0 ), b ( k , 5 ) ，且 a 与 b 的夹角， 4 求 k 的值 .
三、基本技能的形成与巩固
例 1 (1) 已知 a ( 1 , 2 3 ), b ( 1 , 1 ), 求 a b ， a b ， a 与 b 的夹角 .
ab1 3 ， a b 2 42 3 2 ( 1 3 ) ， 1 cos , 0 180 , 60 . a b 2 ab
3 4 34 答案：（ 1 ） b (, ) 或 b ( , ). 5 5 55 （ 2 ）（ 2 ， 22 ）或（ 2 ， 22 ）；（ 3 ） k 5 .
提高练习
29 C ( 3, ) BC AB ，则点 C 的坐标为 3
1 、已知 OA ( 3 , 1 ) ， OB ( 0 , 5 ) ，且 AC // OB ，
设 a （ x ,y ), b(x 则 1 1 2, y 2), a b x x 0 1 2 y 1y 2
（2）平行设 a （ x ,y ), b(x 则 1 1 2, y 2),

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt

小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17；（3）17.
【湖南师大附中内部资料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c

复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形Ｄ、等边三角形

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4

第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时，则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)

3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动（3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)，则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，

高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第二章平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习随堂应用练习思路方法技巧课后强化作业名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
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课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
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温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ，则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
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思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
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向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！

6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册

解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③

i i =

ij=
1
②
0
④

j j =

j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2

1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.

高三高考数学复习课件5-3平面向量的数量积

－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二平面向量数量积的应用角度一求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)

2016/10/11
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用；２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.

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4、两向量夹角公式的坐标运算、
设与的角 θ（ o ≤θ ≤180o） a b 夹为 0 ，则 cosθ = a⋅ b ab
a（ a b 角 θ 设 = x1, y1), b =(x2, y2 ),且与夹为， (0 ≤θ ≤180 )则cosθ =
o o 2 1 2 1 2 2
x1x2 + y1y2 x +y ⋅ x +y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
其 x + y ≠ 0 x + y ≠ 0 .已知a = (−1, 2 + 3), b = (1,1), r r r r r r 求a ⋅ b， ⋅ b ，与b的夹角θ . a a
练习：课本练习：课本P1191、2. 、
已知A(1 2)， A(1，例2 已知A(1，2)， B(2，3)，C(B(2，3)，C(-2，5)， 5)，试判断∆ABC的形状，试判断∆ABC的形状，的形状C(-2,5) 并给出证明. 并给出证明.
二、新课学习 1、平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示如图，轴上的单位向量，如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y 轴上的单位向量，轴上的单位向量，所以
i ⋅ i = 1. j ⋅ j = 1 .
i ⋅ j = j ⋅ i = 0 .
a⋅b = x x2 + y1y2. 1
2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角数量积的坐标表示、
一、复习引入
r r r r ( )a⋅ b = a ⋅ b co θ 1 s r r r2 r (2 a⋅ a = a 或a = ) r r r r a ⊥ b ⇔a⋅ b = 0 ; r r a⋅ b co θ = r r . s a⋅b r r a⋅ a ；
3、两向量垂直和平行的坐标表示 r r 设a = x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), （ r r r r （1）垂直 a ⊥b ⇔a⋅ b = 0 ）
⇔x x2 + y y2 = 0 1 1
r r r r （2）平行 a b ⇔b= a ） // λ ⇔x y2 − x2 y = 0 1 1
2、向量的模和两点间的距离公式
(1向的 ) 量模 r r2 r 设 = (x, y),则a = x2 + y2,或a = x2 + y2； a （）点的离式 2 两间距公设 x , y1)、 (x2, y2 ), A 1 （ B uuu r 2 2 则 AB = （ 1 − x2 ) + y1 − y2 ) x （
0 B(2,3) A(1,2) x y
练习2：以原点和（，）练习：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，个顶点作等腰直角三角形，的坐标. ∠B=90°，求点的坐标 ° 求点B的坐标
y 3 7 B 答：的标（，）案 B 坐为 2 2 7 3 或，）（ − 2 2 O
A x
四、逆向及综合运用
r r 1. 已知 a = (4, 3),向量 b是 r 垂直于 a的单位向量， r 求b
r r 变式 .向量 b是平行于 a的单位向量
r r 2.已知 a = 10, b = (1, 2)， r r r 且a // b，求a 的坐标.