最新25平面向量数量积的坐标表示汇总

平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。

1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。

教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。

2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。

2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。

教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。

3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。

教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。

4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。

教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。

5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。

教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。

6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。

平面向量的坐标表示与向量的数量积平面向量是二维向量，可以用坐标表示。

在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对，即两个实数构成的向量。

平面向量的数量积是向量运算中的一种，用于计算两个向量之间的夹角。

下面将详细介绍平面向量的坐标表示和向量的数量积。

一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对来表示，常用的表示形式有点表示法、分量表示法和单位向量表示法。

1. 点表示法在平面上给定两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，以点A为起点，点B为终点的向量可以用点表示法表示为AB。

例如，向量AB表示为展示向量的箭头上方带上一条小线，表示从A指向B的方向。

2. 分量表示法平面向量也可以用坐标表示，即用向量的水平和垂直分量表示。

假设有向量v，v的水平分量为x，垂直分量为y，那么向量v可以表示为v = (x, y)，其中x和y分别为v在x轴和y轴上的投影长度。

3. 单位向量表示法单位向量是长度为1的向量，可以用坐标表示。

例如，单位向量i 指向x轴的正方向，单位向量j指向y轴的正方向，那么向量v可以表示为v = xi + yj，其中x和y为v的水平和垂直分量。

二、向量的数量积向量的数量积（也称为点积或内积）是一种运算，用于计算两个向量之间的夹角。

向量的数量积可以表示为以下公式：A ·B = |A| |B| cosθ其中A和B为两个向量，|A|和|B|分别为它们的模，θ为两个向量的夹角。

数量积的计算方法如下：A ·B = x₁x₂ + y₁y₂其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别是向量A和向量B的坐标。

数量积还有一些性质：1. A · B = B · A（数量积的交换律）2. A · A = |A|²（向量的模的平方等于向量的数量积）3. 若A与B垂直，则A · B = 0，即夹角为90°4. 若A与B平行，则A · B = |A| |B|，即夹角为0°三、结论平面向量可以通过坐标表示法来表示，在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对。

平面向量数量积的坐标表示高中数学　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．导语　同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？一、平面向量数量积的坐标表示问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示　i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.知识梳理　设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )A．10 B．－10C．3 D．－3答案　B解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3答案　C解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2.(3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.跟踪训练1　已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，＝2，AF → FD → 则·＝________.BE → CF → 答案　23解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,2)，E (2,1)，D (2,2)，B (0,0)，C (2,0)，因为＝2，所以F .AF → FD → (43，2)所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝，BE → CF → (43，2)(－23，2)所以·＝(2,1)·BE → CF → (－23，2)＝2×＋1×2＝.(－23)23二、平面向量的模知识梳理　1．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝.x 2＋y 22．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝.(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2例2　设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )A. B.56C. D.1726答案　A解析　∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝.5反思感悟　求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量a 2x 2＋y 2运算的相互转化．跟踪训练2　已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝5，则|b |等于( )2A. B. C ．5 D ．25510答案　C解析　∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，又|a ＋b |＝5，∴(a ＋b )2＝50，2即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题知识梳理　设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.1．cos θ＝＝.a·b |a||b|x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.注意点：(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角．例3　已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解　(1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝＝5，|b |＝＝，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.42＋32(－1)2＋225a ·b |a ||b |2552525(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝.529反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 2(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为a ·b|a ||b |180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3　(1)已知向量a ＝(1，)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为，则实数m 等于( )3π6A ．2 B. C ．0 D ．－333答案　B解析　因为a ＝(1，)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝，a ·b ＝3＋m ，39＋m 23又a ，b 的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m ＝，解得m ＝.π6a ·b |a ||b |π63＋3m 29＋m 23239＋m 23(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案　7解析　∵a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋m，2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.1．知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示．(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b为非零向量)．(3)cos θ＝(θ为非零向量a ，b 的夹角)．x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．方法归纳：化归与转化．3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错．1．若向量a ＝(x ，2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C. D ．－5353答案　A 解析　a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.2．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.B. 636565C.D.13513答案　A解析　|a |＝＝5，|b |＝＝13.32＋4252＋122a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝.635×1363653．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案　C解析　∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝＝2.12＋n 24．已知点A (0,1)，B (1，－2)．向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________.AC → AB → AC → BC → 答案　7　13解析　＝(1，－3)，AB → ∴·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，AB → AC → ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)，BC → AC → AB → ∴||＝＝.BC → 32＋2213课时对点练1．(多选)设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝b 2B ．a ·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b答案　AD解析　|a |＝b 2＝2，故A 正确，B ，C 显然错误，a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .故D 正确．2．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |等于( )A.B. 510C ．2D ．105答案　B解析　由题意可得a ·b ＝x ·1＋1×(－2)＝x －2＝0，解得x ＝2.再由a ＋b ＝(x ＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a ＋b |＝.103．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案　A解析　由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝2×8＋(－4)AB → AC → BC → AB → AC → ×4＝0，即⊥.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．AB → AC → 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. B ．2 C ．4 D ．1233答案　B解析　a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝＝2.a 2＋4a ·b ＋4b 235．设点A (4,2)，B (a ，8)，C (2，a )，O 为坐标原点，若四边形OABC 是平行四边形，则向量与的夹角为( )OA → OC → A. B. C. D.π3π4π6π2答案　B解析　∵四边形OABC 是平行四边形，∴＝，即(4－0,2－0)＝(a －2,8－a )，OA → CB → ∴a ＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)，OA → OC → 设向量与的夹角为θ，OA → OC → ∴cos θ＝＝＝，OA → ·OC → |OA → ||OC → |4×2＋2×642＋22×22＋6222又θ∈(0，π)，∴与的夹角为.OA → OC → π46．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3，则b 等于( )5A ．(－3,6) B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案　A 解析　由题意，设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝＝|λ|＝3，λ2＋(－2λ)255又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．7．已知a ＝(－1,1)，b ＝(1,2)，则a ·(a ＋2b )＝________.答案　4解析　∵a ＋2b ＝(1,5)，∴a ·(a ＋2b )＝4.8．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.答案　－1解析　由题意得m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝3，且c ∥a ，求向量c 的坐标；2(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解　(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝3，c ∥a 可得2Error!所以Error!或Error!故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，2即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝＝，a ·b |a |·|b |22因为θ∈[0，π]，所以θ＝.π410．已知向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)．3(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1,1]时，求|a －t b |的取值范围．解　(1)因为向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)，3所以a －b ＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，33设a －b 与a 之间的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.(a －b )·a |a －b |·|a |64332因为θ∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为.π6(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝42＋3.易知当t ∈[－1,1]时，|a －t b |2∈[3,12]，(t ＋12)所以|a －t b |的取值范围是[，2 ]．3311．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案　B解析　由m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12．(多选)在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为AB → AC → ( )A ．－B.23113C. D.3±13223答案　ABC解析　∵＝(2,3)，＝(1，k )，AB → AC → ∴＝－＝(－1，k －3)．BC → AC → AB → 若∠A ＝90°，则·＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－；AB → AC → 23若∠B ＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，AB → BC → ∴k ＝；113若∠C ＝90°，则·＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，AC → BC → ∴k ＝.3±132故所求k 的值为－或或.231133±13213．已知O 为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使得·有最小OA → OB → AP → BP → 值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)答案　C解析　设点P 的坐标为(x ，0)，则＝(x －2，－2)，AP → ＝(x －4，－1)．BP → ·＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)AP → BP → ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，·有最小值1.AP → BP → 此时点P 的坐标为(3,0)．14.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 在边CD 上，且＝2，则·2DE → EC → AE → 的值是________．BE →答案　329解析　以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝，BC ＝2，2∴A (0,0)，B (，0)，C (，2)，D (0,2)，22∵点E 在边CD 上，且＝2，DE → EC → ∴E .∴＝，＝，(223，2)AE → (223，2)BE → (－23，2)∴·＝－＋4＝.AE → BE → 4932915．已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案　A解析　因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >，π2即＞A ＞－B ＞0，π2π2又因为函数y ＝sin x 在上单调递增，(0，π2)所以sin A >sin ＝cos B ，(π2－B )所以p ·q ＝sin A －cos B >0，设p 与q 的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，p ·q|p ||q |又因为p 与q 不共线，所以p 与q 的夹角是锐角．16．已知向量＝(6,1)，＝(x ，y )，＝(－2，－3)．AB → BC → CD → (1)若∥，求x 与y 之间的关系式；BC → DA → (2)在(1)的条件下，若⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．AC → BD → 解　(1)∵＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，AD → AB → BC → CD → ∴＝－＝(－x －4,2－y )．DA → AD → 又∥，且＝(x ，y )，BC → DA → BC → ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，AC → AB → BC → ＝＋＝(x －2，y －3)．BD → BC → CD → ∵⊥，∴·＝0，AC → BD → AC → BD → 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.由(1)知x ＋2y ＝0，与上式联立，化简得y 2－2y －3＝0，解得y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)；AC → BD → 当y ＝－1时，x ＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)；AC → BD → ∴S 四边形ABCD ＝||·||＝16.12AC → BD →。

平面向量的数乘运算的坐标运算一、知识精讲1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02．三个重要公式[小问题·大思维]1．已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？提示：∵a0＝±a|a|＝±1x2＋y2(x，y)，∴a0＝(－xx2＋y2，－yx2＋y2)或a 0＝(xx 2＋y 2，y x 2＋y 2)．2．向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 在向量b 方向上的投影怎样用a ，b 的坐标表示？提示：向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)，而cos θ＝a·b |a ||b |， ∴|a |cos θ＝a·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 二、典例精析例1、已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)，求：(1)2a ·(b －a )；(2)(a ＋2b )·c .[自主解答] 法一：(1)∵2a ＝2(1,3)＝(2,6)，b －a ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a ·(b －a )＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.(2)∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a ＋2b )·c ＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.法二：(1)2a ·(b －a )＝2a·b －2a 2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.(2)(a ＋2b )·c＝a·c ＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.本例条件中“c ＝(2,1)”若变为“c ＝(2，k )”，且“(a －c )⊥b ”，求k .解：∵a ＝(1,3)，c ＝(2，k )，∴a －c ＝(－1,3－k )，又(a －c )⊥b ，∴－1×2＋(3－k )×5＝0，∴k ＝135. 变式训练若向量a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，求向量b .例2、平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图)．已知点A (16,12)、B (－5,15)．(1)求| OA u u r |，|AB u u u r |；(2)求∠OAB .变式练习已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 的夹角θ的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案：C例3、已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，如图，求D 点及AD u u u r 的坐标．变式练习设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求m的值．解：法一：∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)，又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0.∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2.法二：∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，a2＝b2，则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.解题高手已知向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)，若a·c＝b·c，试求模为2的向量c 的坐标．三、课后检测一、选择题1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.答案：D2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB u u u r ⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：AB u u u r ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB u u u r ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1.答案：B3．已知向量OA u u u r ＝(2,2)，OB u u u r ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP u u u r ·BP u u u r 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：设P (x,0)，则AP u u u r ＝(x －2，－2)，BP u u u r ＝(x －4，－1)，∴AP u u u r ·BP u u u r ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP u u u r ·BP u u u r 最小，此时P (3,0)．答案：C4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB u u u r ＝(2,4)，AC u u u r ＝(1,3)，则AD u u u r ·BDu u u r 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－6解析：如图，AD u u u r ＝BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则AD u u u r ·BD u u u r ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.答案：B二、填空题5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＋xb 与－b 垂直，∴(a ＋xb )·(－b )＝－a·b －xb 2＝－2－5x ＝0，∴x ＝－25. 答案：－256．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB u u u r ·n |的最大值为________．解析：AB u u u r ＝(2,2)，|AB u u u r |＝22，|AB u u u r ·n |≤|AB u u u r ||n |＝4，当且仅当AB u u u r 与n 共线且同向时取等号．答案：47．向量BA u u u r ＝(4，－3)，向量BC u u u r ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．解析：AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u u r ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC u u u r ·BC u u u r ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC u u u r ⊥BC u u u r ，又|AC u u u r |≠|BC u u u r |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．答案：直角三角形8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件得|a |＝|b |，a·b ＝|a ||b |cos 45°.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×5×22，解得⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝322，或⎩⎨⎧ x ＝322，y ＝－22. ∵向量a 按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，∴b ＝⎝⎛⎭⎫22，322. 答案：⎝⎛⎭⎫22，322 三、解答题9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求向量AD u u u r ；(3)求证：AD 2＝BD ·CD .解：(1)∵AB u u u r ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC u u u r ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，AB u u u r ·AC u u u r ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB ⊥AC . (2) BC u u u r ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．设BD u u u r ＝λBC u u u r ＝(5λ，5λ)则AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)＝(5λ－3,5λ－6)，由AD ⊥BC 得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝910， ∴AD u u u r ＝(32，－32)． (3)证明：AD 2u u u u r ＝94＋94＝92， |BD u u u r |＝50λ2＝922，|BC u u u r |＝52，|CD u u u r |＝|BC u u u r |－|BD u u u r |＝22. ∴|AD u u u r |2＝|BD u u u r |·|CD u u u r |，即AD 2＝BD ·CD .10．平面内有向量OA u u u r ＝(1,7)，OB u u u r ＝(5,1)，OP u u u r ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点． (1)当MA u u u r ·MB u u u r 取最小值时，求OM u u u r 的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM u u u r ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量OM u u u r 与OP u u u r 共线，又OP u u u r ＝(2,1)． ∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴OM u u u r ＝(2y ，y )．又MA u u u r ＝OA u u u r －OM u u u r ，OA u u u r ＝(1,7)， ∴MA u u u r ＝(1－2y,7－y )．同理MB u u u r ＝OB u u u r －OM u u u r ＝(5－2y,1－y )．于是MA u u u r ·MB u u u r ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝202×5＝2时，MA u u u r ·MB u u u r 有最小值－8，此时OM u u u r ＝(4,2)．(2)当OM u u u r ＝(4,2)，即y ＝2时，有MA u u u r ＝(－3,5)，MB u u u r ＝(1，－1)， |MA u u u r |＝34，|MB u u u r |＝2，MA u u u r ·MB u u u r ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA u u u r ·MB u u u r |MA u u u r ||MB u u u r |＝－834×2＝－41717.。