6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案【教材分析】平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.【教学目标与核心素养】课程目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.【教学过程】一、情景导入前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向量数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a =(x 1,x 2), b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =x 1x 2+y 1y 2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 （2）a ⊥b <=> a ·b =0<=>x 1x 2+y 1y 2=0 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 （1）若a =(x,y)，则|a |=x 2＋y 2（2）若A(x 1,x 2),B(x 2,y 2)，则两点A 、B 间的距离为 （3）设a , b 都是非零向量，a =(x 1,y 1), b (x 2,y 2), a 与b 的夹角θ， 则四、典例分析、举一反三题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】(1) C ．(2) A ．【解析】(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－,)()(212212y y x x AB -+-=222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ1)＝5.解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点坐标分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB ―→·AC ―→＝________.2．在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－3,2)，则AD ―→·AC ―→＝________.【答案】1、1 2、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC 中，A (0,1)，C (1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1，－1)，从而AB ―→·AC ―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC ，BD 相交于点O ，则AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝(－1,2)．又AC ―→＝(1,2)，∴AD ―→·AC ―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.题型二 向量的模的问题例2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【答案】（1）A （2）a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，|a ＋b |＝65. 【解析】 (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)， ∴|a ＋b |＝65.解题技巧： (求向量模的两种基本策略)(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 跟踪训练二1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 【答案】1、2＋ 3. 2、8 2.【解析】1、2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 2、∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 题型三 向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120° D．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．【答案】(1)C. (2) c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17. 【解析】 (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152， ∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.跟踪训练三1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．【答案】(1)b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)3π4. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.题型四 平面向量的数量积问题例4 已知点A ，B ，C 满足|AB ―→|＝3，|BC ―→|＝4，|CA ―→|＝5，求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→的值．【答案】-25.【解析】[法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→ ＝BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35 ＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)． ∴AB ―→＝(－3,0)，BC ―→＝(0,4)， CA ―→＝(3，－4)．∴AB ―→·BC ―→＝－3×0＋0×4＝0， BC ―→·CA ―→＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ―→·AB ―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝0－16－9＝－25. 解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法） (1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．跟踪训练四1、如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．【答案】45.【解析】法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ―→·OE―→|OD ―→|·|OE ―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋12OC ―→， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝OC ―→＋12OA ―→， ∴|OD ―→|＝52，|OE ―→|＝52， OD ―→·OE ―→＝12OA ―→2＋12OC ―→2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ―→·OE ―→| OD ―→ ||OE ―→|＝45.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.【教学反思】结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示基础过关练题组一 向量数量积的坐标运算 1.(2019北京师范大学附属中学高一期中)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =( ) A.12 B.0 C.-3 D.-112.已知a =(cos 75°,sin 15°),b =(cos 15°,sin 75°),则a ·b 的值为( ) A.0 B.12 C .√32D.13.已知向量a =(1,-1),b =(2,x),若a ·b =1,则x=( ) A.-1 B.-12C.12D .14.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,0),则当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小时,x 的值是( )A.-3B.3C.-1D.15.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量为e ,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为 . 题组二 向量的模6.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为( )A.(-35,45) B.(35,-45)C.(-45,35) D.(45,-35)7.(2020广东惠州高一上期末)已知向量a =(1,1),向量b =(2,0),则|a +3b |= .8.(2020北京西城高一上期末)已知向量a =(1,-2),b =(-3,m),其中m ∈R .若a,b 共线,则|b |= .9.已知向量a =(x,2),b =(-1,1),若|a -b |=|a +b |,则x 的值为 .10.在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.题组三 向量的夹角11.已知向量a =(1,-√3),b =(0,-2),则a 与b 的夹角为( ) A.π6B .π3C .5π6D.2π312.已知向量a =(12,-√32),|b |=2√3,若a ·(b -a )=2,则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6B .π4C .π3D .π213.(2020北京首师大附中高一上期末)已知向量a,b 在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a,b 的夹角为( )A.45°B.60°C.90°D.135°14.(2020吉林长春外国语学校高二上期末)已知向量a =(2,t),b =(-1,3),若a,b 的夹角为钝角,则t 的取值范围是( ) A.t<23 B.t>23C.t<23且t ≠-6 D.t<-6 题组四 向量的垂直15.已知i =(1,0),j =(0,1),则下列与2i +3j 垂直的向量是( ) A.3i +2j B.-2i +3j C.-3i +2j D.2i -3j16.(2020广西柳州高级中学高二上期末)已知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),若λa +b 与a 垂直,则λ=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.217.已知平面向量a =(1,1),b =(x,-3),且a ⊥b ,则|a +2b |=( ) A.√74 B.7√2 C.2√6 D.5√218.已知向量a =(2,m),b =(4,-2),且(a +b )⊥(a -b ),则实数m= .19.已知a =(2,0),b =(3,1).(1)当k 为何值时,k a-b 与a+2b 垂直;(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a -2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,且A,B,C 三点共线,求m 的值.能力提升练题组一 向量的模、夹角与向量的垂直 1.(2020山东枣庄三中高一期中,)下列向量中,一定是单位向量的有( )①a =(cos θ,-sin θ);②b =(√lg2,√lg5);③c =(2x ,2-x );④d =(1-x,x).A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020河北衡水武邑中学高一期中,)已知向量a =(1,1),b =(1,m),其中m 为实数,当两向量的夹角在(0,π12)内变动时,m 的取值范围是( )A.(0,1)B.(√33,√3)C.(√33,1)∪(1,√3) D.(1,√3)3.()如图,以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O,P 为半圆上与A,B 不重合的一动点,下面关于|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的说法正确的是(深度解析)A.无最大值,但有最小值B.既有最大值,又有最小值C.有最大值,但无最小值D.既无最大值,又无最小值 4.()若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos θ,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cos θ,2sin θ),其中θ∈[0,π],则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 . 5.(2020河南九师商周联盟高二联考,)已知p:x-a<0,q:向量a =(2,-1)与b =(3,x)的夹角为锐角.若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为 .易错题组二 向量数量积的坐标表示的综合应用 6.(2020北京四中高三下统练,)函数y=tan (π4x -π2)的部分图象如图所示,则(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.6B.5C.4D.3 7.(2020浙江温州高一上期末,)已知等边△ABC 的边长为2,M 为BC的中点,若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2,则实数t 的取值范围为( ) A.[1,2] B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 8.()已知向量a =(3,2),b =(-1,m +72),且函数f(x)=(a +x b )·(x a -b )的图象是一条直线,则|b |=( ) A.√132B.√14C.2√7D.2√109.(2020江西上饶高一期末,)如图,已知矩形ABCD 中,AB=3,BC=2,该矩形内一点P 满足|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,记I 1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.存在点P,使得I 1=I 2B.存在点P,使得I 1=I 3C.对任意的点P,有I 2>I 1D.对任意的点P,有I 3>I 1 10.()定义f(x )=x -2(a ·x )·a ,给出下列四个向量:①a =(0,0),②a =(√24,√24),③a =(√22,-√22),④a =(-12,√32).对于任意非零向量x,y ,使f(x )·f(y )=x ·y 恒成立的向量a 的序号是 . 11.()已知△OAB 的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P 的横坐标为14,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点Q 是边AB 上一点,且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (1)求实数λ的值与点P 的坐标; (2)求点Q 的坐标;(3)若R 为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA ⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.C ∵a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2), ∴a +2b =(-5,6),∴(a +2b )·c =-5×3+6×2=-3.2.B a ·b =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=12,故选B.3.D ∵a ·b =(1,-1)·(2,x)=2-x=1, ∴x=1.4.B 由已知可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,-2), BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1), 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+2=x 2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小.故选B. 5.答案3√22e 解析 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5),因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |e =5√2e =3√22e . 6.A 由题意得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4).设与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为a ,则a =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(-3,4)=(-3λ,4λ),其中λ>0,所以|a |=√(-3λ)2+(4λ)2=1,解得λ=15或λ=-15(舍去),所以与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量为a =(-35,45).故选A.7.答案 5√2解析 由题意得a +3b =(7,1), 所以|a +3b |=2+12=√50=5√2. 8.答案 3√5解析 ∵a,b 共线,∴m-6=0,即m=6, ∴|b |=√(-3)2+62=3√5. 9.答案 2解析 因为a =(x,2),b =(-1,1), 所以a +b =(x-1,3),a -b =(x+1,1).因为|a -b |=|a +b |,所以√(x +1)2+1=√(x -1)2+9,解得x=2. 10.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y ≤h),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-y),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,h-y), ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√25+(3ℎ-4y)2≥√25=5,当且仅当3h=4y,即DP=34DC 时,等号成立.故|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为5. 11.A 设向量a 与向量b 的夹角为θ(θ∈[0,π]), 则cos θ=a ·b|a||b| =√3)√1+3×√0+4=√32,所以θ=π6.故选A.12.A 由已知可得a 2=|a |2=1,a ·b -a 2=2,所以a ·b =3.设向量a 与b 的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ=a ·b |a||b|=√32,所以θ=π6. 所以向量a 与b 的夹角为π6.故选A.13.A 将向量b 平移,建立如图所示的平面直角坐标系.设每个小正方形网格的边长为1,则a =(3,1),b =(1,2).设向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a|·|b|=√9+1·√1+4=√22,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选A.14.C 由题意得,a ·b =-2+3t. ∵a 与b 的夹角为钝角, ∴a ·b <0,且a,b 不平行, ∴-2+3t<0且6+t ≠0, 解得t<23且t ≠-6.故选C.15.C ∵i =(1,0),j =(0,1), ∴2i +3j =(2,3).对于选项A,3i +2j =(3,2),∵(2i +3j )·(3i +2j )=6+6=12≠0,∴A 不符合题意; 对于选项B,-2i +3j =(-2,3),∵(2i +3j )·(-2i +3j )=-4+9=5≠0,∴B 不符合题意; 对于选项C,-3i +2j =(-3,2),∵(2i +3j )·(-3i +2j )=-6+6=0,∴2i +3j 与-3i +2j 垂直,∴C 符合题意;对于选项D,2i -3j =(2,-3),∵(2i +3j )·(2i -3j )=4-9=-5≠0,∴D 不符合题意. 故选C.16.A 由题意可得λa +b =(λ+4,-3λ-2),∵λa +b 与a 垂直,∴(λa +b )·a =λ+4+9λ+6=0,∴λ=-1.故选A. 17.A ∵a =(1,1),b =(x,-3),a ⊥b , ∴a ·b =x-3=0,∴x=3,b =(3,-3), ∴a +2b =(7,-5),∴|a +2b |=√72+(−5)2=√74,故选A.18.答案 ±4解析 ∵a =(2,m),b =(4,-2), ∴a +b =(6,m-2),a -b =(-2,m+2). 又∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=6×(-2)+(m-2)(m+2)=0,∴m 2=16, ∴m=±4.19.解析 (1)因为a =(2,0),b =(3,1), 所以k a-b =(2k-3,-1),a+2b =(8,2),由k a-b 与a+2b 垂直,得8(2k-3)+(-1)×2=0,所以k=138. (2)由题得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a-2b =(4,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b =(2+3m,m), 因为A,B,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 从而4m+2(2+3m)=0, 解得m=-25.能力提升练1. B 1.B|a |=1,|b |=1,|c |=√(2x )2+(2-x )2≥√2,|d |=√(1-x)2+x 2=√2x 2-2x +1=√2(x -12)2+12≥√22,所以一定是单位向量的有2个.故选B.2.C 设向量a,b 的起点均为O(O 为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B 位于B 1或B 2时,a 与b 的夹角为π12,即∠AOB 1=∠AOB 2=π12,此时∠B 1Ox=π4-π12=π6,∠B 2Ox=π4+π12=π3,故B 1(1,√33),B 2(1,√3),又a与b 的夹角不为零,故m ≠1.所以m 的取值范围是(√33,1)∪(1,√3).3.A 设正方形的边长为2.建立如图所示的平面直角坐标系,连接OP,则C(1,2),D(-1,2),|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, 设P(cos θ,sin θ),其中0<θ<π,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2cos θ,-2sin θ)+(1-cos θ,2-sin θ)+(-1-cos θ,2-sin θ) =(-4cos θ,4-4sin θ),∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ | =√(-4cosθ)2+(4-4sinθ)2 =√32−32sinθ,∵θ∈(0,π),∴sin θ∈(0,1], ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[0,4√2).故选A.导师点睛本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系、坐标表示的方法,通过引入三角函数使问题变得思路清晰,计算简便.遇见正方形、圆、等边三角形、直角三角形等特殊图形常用建系的方法. 4.答案 3解析 由题意可得,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos θ,2sin θ+1), 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=cos 2θ+(2sin θ+1)2=3sin 2θ+4sin θ+2=3(sinθ+23)2+23,因为θ∈[0,π],所以sinθ∈[0,1],所以当sin θ=1时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值 9,所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3. 5.答案 (-∞,-32]解析 由题意知,p:x-a<0,即x<a;q:向量a =(2,-1)与b =(3,x)的夹角为锐角,即a ·b >0,且a 与b 不共线,∴{2×3−x >0,2x +3≠0,∴x<6且x ≠-32. ∵p 是q 的充分不必要条件, ∴a ≤-32,故a 的取值范围为(-∞,-32]. 易错警示本题答案易错写为a ≤6,要注意q 中x 的取值范围为x<6且x ≠-32,即q 中x 的值不能取-32,所以要满足p 是q 的充分不必要条件,实数a 的取值范围应为(-∞,-32]. 6.A 令y=tan (π4x -π2)=0,即π4x-π2=kπ,k∈Z ,当k=0时,解得x=2;令y=tan (π4x -π2)=1,即π4x-π2=π4+kπ,k∈Z ,当k=0时,解得x=3. ∴A(2,0),B(3,1),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1), ∴(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5+1=6.7.C 如图所示,建立平面直角坐标系.∵等边△ABC 的边长为2, ∴M(0,0),A(0,√3),B(-1,0). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3+√3t),∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-1)2+(−√3+√3t)2≥2,化简,得t 2-2t ≥0, ∴t ≥2或t ≤0,故选C.8.A f(x)=(a +x b )·(x a -b )=x|a |2-a ·b +x 2a ·b -x|b |2,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a ·b =0,且|a |2≠|b |2,所以3×(-1)+2×(m +72)=0且13≠1+(m+72)2,解得m=-2,所以b =(-1,32),|b |=√(-1)2+(32)2=√132.9.C 如图,以C 为原点,CD 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, 则C(0,0),A(-3,-2),B(0,-2),D(-3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2).∵|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且P 在矩形内,∴P 在第三象限,设P(cos α,sin α)(π<α<32π),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+3,sin α+2),I 1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3cos α+9,I 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3cos α+2sin α+13,I 3=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin α+4, ∴I 2-I 1=2sin α+4>0,即I 2>I 1,故A 错误,C 正确;I 3-I 1=2sin α-3cos α-5=√13sin(α-θ)-5<0(其中tanθ=32),即I 3<I 1,故B 、D 错误.10.答案 ①③④解析 当a =(0,0)时, f(x )=x , f(y )=y ,满足f(x )·f(y )=x ·y ,故①满足题意;当a ≠0时,f(x )·f(y )=[x -2(a ·x )·a ]·[y -2(a ·y )·a ]=x ·y -4(a ·x )·(a ·y )+4(a ·x )·(a ·y )·a 2,要满足f(x )·f(y )=x ·y ,需满足4(a ·x )·(a ·y )·a 2=4(a ·x )·(a ·y ),∴a 2=1, ②中,a 2=(√24)2+(√24)2=14,不满足题意;③中,a 2=(√22)2+(-√22)2=1,满足题意;④中,a2=(-12)2+(√32)2=1,满足题意.故符合题意的序号为①③④.11.解析 (1)设P(14,y),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,y),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-8,-3-y),由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-74,y=-7, ∴点P 的坐标为(14,-7). (2)设Q(a,b),则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b), 由(1)得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-16), ∵OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴12a-16b=0,即3a-4b=0.① ∵点Q 在边AB 上,∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-12),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,b-9), ∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②联立①②,解得a=4,b=3, ∴Q 点坐标为(4,3).(3)由(2)得OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),∵R 为线段OQ 上的一个动点,∴设OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4t,3t),且0≤t ≤1,则R(4t,3t),RO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4t,-3t),RA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-4t,9-3t),RB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6-4t,-3-3t), ∴RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8-8t,6-6t), ∴RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4t ·(8-8t)-3t ·(6-6t)=50t 2-50t=50(t -12)2-252(0≤t ≤1),当t=0或1时,上式取得最大值0;当t=12时,上式取得最小值-252. 故RO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(RA⃗⃗⃗⃗⃗ +RB ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围为[-252,0].。

6.3.5平面向量数量积的坐标表示导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.会用坐标表示平面向量的数量积.2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.【自主学习】知识点1 面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点2 平面向量长度(模)的坐标表示(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，知识点3 两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.知识点3 向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.【合作探究】探究一平面向量数量积的坐标运算【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.答案(－16，－8)(－8，－12)解析∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．探究二向量的模的问题【例2】向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)[解析] (1)∵向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，∴设AB →＝k a ＝k (－3,4)＝(－3k,4k )(k <0)．由此可得|AB →|＝(－3k )2＋(4k )2＝10，解之得k ＝－2(k ＝2舍去)．∴AB →＝(6，－8)，设B (m ，n )，得AB →＝(m －1，n －2)＝(6，－8)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝6n －2＝－8，解得m ＝7，n ＝－6， ∴B (7，－6)，故选D.归纳总结：(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．【练习2】已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD→|与点D 的坐标．解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ. ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．探究三 向量的夹角与垂直问题【例3-1】已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(－2，12) B ．(12，＋∞) C ．(－2，23)∪(23，＋∞)D ．(－∞，12) [答案] A[解析] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∵cos θ>0且cos θ≠1，即a·b >0且a 与b 方向不同，即a·b ＝1－2λ>0，且a ≠m b (m >0)，解得λ∵(－∞，－2)∵(－2，12)．故选A. 【例3-2】已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.[答案] 7[解析] 因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.【例3-3】已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.归纳总结：根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a |，|b |，再求夹角的余弦值，从而确定θ.【练习3-1】已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12. (2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．【练习3-2】设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，cos θ＝________.[答案] 1[解析] b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，a·b＝6.又|a|＝32，所以cosθ＝a·b|a|·|b|＝66＝1.课后作业A 组 基础题一、选择题1.若单位向量,a b 满足a b ⊥，向量c 满足()1a c b +⋅=，且向量,b c 的夹角为60°，则c =（ ）A. 12B. 2C.D. 【答案及解析】：B【分析】由向量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得c b ⋅，再由数量积的定义可得模．【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，因为()=1+⋅=⋅+⋅=⋅a c b a b c b c b ，所以1=cos60==12⋅⋅c b c b c ，所以2c =， 故选：B .2.已知向量(),2(31),,a m b ==，若向量a 在向量b 方向上的投影为－2，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案及解析】：C【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解． 【详解】解：由数量积的定义知向量a 在向量b 方向上的投影为3||cos ,22||a b m a a b b ⋅+⋅〈〉===-，所以m =- 所以621cos ,422||||a b a b a b ⋅-+〈〉===-⨯，所以夹角,120a b ︒〈〉=. 故选：C. 3.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==，且a 与b 的夹角为6π，则|2|a b -=（ ）A. 12B.C. 1D. 13【答案及解析】：C【分析】根据22|2|44a b a a b b -=-⋅+求解即可.【详解】解析：22|2|444411a b a a b b -=-⋅+=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积与模长的运算等，属于基础题.4.已知1,12a b b ⋅=-=，则a 在b 方向上的射影为（ ） A. 12 B. 1-2 C. 3π D. 23π 【答案及解析】：B【分析】由于a 在b 方向上的射影为a b b ⋅，代入值直接求解即可.【详解】解：因为1,12a b b ⋅=-=， 所以a 在b 方向上的射影为112=12a b b -⋅=-，故选：B5.已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( )A. －1B. 1C. 2D. －2 【答案及解析】：B【分析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =-所以()3,2a b m +=+， 因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+=解得1m =.故选：B.6.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且a 与b 的夹角为3π，则向量a b -与b 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π 【答案及解析】：D【分析】 先求a b ⋅，进而可求()a b b -，再求()2a b -，即可求a b -，利用()cos a b b a b b θ-⋅=-⋅结合[]0,θπ∈，即可求解. 【详解】1cos 12132a b a b π⋅=⨯⨯=⨯⨯=， ()22212521232a b a b a b -=+-⋅=-⨯⨯⨯=， ()2·143a b b a b b -=⋅-=-=-，设向量a b -与b 的夹角为θ， ()3cos 223a b b a b b θ-⋅-===--⋅， 因为[]0,θπ∈，所以56πθ=， 所以a b -与b 的夹角为56π. 故选：D7.若||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，则向量,a b 的夹角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案及解析】：B【分析】 由向量垂直则数量积为零，求得1a b ⋅=，再根据夹角公式求得结果.【详解】根据题意，由于向量||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，2(4)040a a b a a b ∴⋅-=⇔-⋅=，1a b ∴⋅=， 故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，又向量夹角的范围为[]0,π， 故可知向量,a b 的夹角为60︒. 故选：B ．8.已知非零向量a 、b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π 【答案及解析】：C【分析】 由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=.根据数量积的运算律和定义，可求a 与b 的夹角. 【详解】,a b 是非零向量，且()a b b -⊥，()220,0,a b b a b b a b b ∴-⋅=∴⋅-=∴⋅=，设a 与b 的夹角为θ，则0θπ≤≤. 221cos ,2,cos 2ba b b a b a b θθ∴==∴==， 3πθ∴=.故选：C9.设非零向量m ，n 则“m n ⊥”是“22m n m n +=-”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案及解析】：C【分析】根据m n ⊥可得0m n ⋅=，由22m n m n +=-也可得0m n ⋅=，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可. 【详解】因为m n ⊥，所以0m n ⋅=， 因为22m n m n +=-， 两边平方可得：22222424m m n n m m n n ++=-+ 即0m n ⋅=，由充分条件和必要条件可判断出m n ⊥是22m n m n +=-的充分必要条件故选：C二、填空题10.已知单位向量a ，b 满足||3a b +=，则a 与b 的夹角是_________.【答案及解析】：3π 【分析】 将+3a b =两边平方，代值计算即可.【详解】设a 与b 的夹角是θ，由题意+3a b =两边平方后，得：22+23a b a b +⋅=， 因为a ，b 为单位向量，11+2cos 3θ∴+=，1cos 2θ∴=. 0θπ≤≤，3πθ∴=. 故答案为：3π. 11.若向量()1,2a =，()2,1b =，则a b +与a b -的夹角等于______.【答案及解析】：2π 【分析】求出a b +与a b -的坐标，由两垂直向量的数量积关系即可判断. 【详解】()3,3a b +=，()1,1a b -=-， ()()=0+⋅-a b a b ，∴()()a b a b +⊥-，a b +与a b -的夹角等于2π. 故答案为：2π 12. 向量()1,0a =，()21,b m =，若()a ma b ⊥-，则m =_________.【答案及解析】：1【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得m 的值.【详解】因为()21,ma b m m-=--，且()0a ma b ⋅-=，故10m -=，解得1m =. 故答案为：113.已知单位向量1e ，2e 的夹角是23π，向量123a e e λ=+，若2a e ⊥，则实数λ=________. 【答案及解析】：32【分析】根据题设知122(3)0e e e λ+⋅=，又单位向量1e ，2e 的夹角是23π，即可得方程求λ值 【详解】由向量123a e e λ=+，2a e ⊥，知：122(3)0e e e λ+⋅=∴212230e e e λ⋅+=，而单位向量1e ，2e 的夹角是23π ∴23cos 03πλ⨯+=，解得32λ= 故答案为：32三、解答题14.已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，27a b -=. （1）求a b ⋅；（2）若()()a b a b λ+⊥-，求λ 【答案及解析】：（1）32；（2）521【分析】（1）对27a b -=进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）由27a b -=得22447a a b b -⋅+=，已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =， 所以化简得；2230b b --=；解得3b =或1b =-（舍去）∵3b =；13cos 13322a b a b π∴⋅=⋅⋅=⨯⨯= （2）由()()0a b a b λ+⋅-=得2235(1)01(1)90221a a b b λλλλλ+-⋅-=⇒+-⋅-=⇒=15.已知平面向量()3sin ,2sin m x x ωω=，()2cos ,sin n x x ωω=，0>ω，函数()f x m n =⋅图象的两条相邻的对称轴之间的距离是2π． （Ⅰ）求函数f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案及解析】：（Ⅰ）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）最小值为1-1+. 【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简()f x 表达式，结合()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离求得ω，利用整体代入法求得()f x 的单调减区间. （Ⅱ）利用三角函数最值的求法，求得函数()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 【详解】（Ⅰ）()223sin cos 2sin f x m n x x x ωωω=⋅=+2cos 212sin 216x x x πωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭. 由于()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，即22T T ππ=⇒=， 由于0>ω，所以212T ππωω==⇒=. 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以2263x πππ-≤-≤，所以1sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭22sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭12sin 2116x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭.所以()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-1.B 组 能力提升一、选择题1.非零向量,m n 满足：()0,m m m n m n ⋅--==，则m n -与n 夹角的大小为（ ） A. 34π B. 23π C. 3π D. 4π 【答案及解析】：.A【分析】由()0m m n ⋅-=得向量垂直，m n m -=，作图表示向量m n -和m ，由向量减法法则得n ，从而可得夹角．【详解】因为()0m m n ⋅-=，所以()m m n ⊥-，如图,OA m OB m n ==-，则()BA m m n =--，又m n m -=，所以4OBA π∠=，所以m n -与n 夹角，即,OB BA 的夹角为34π． 故选：A ．【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量垂直与数量积的关系，本题采取几何作图法得出向量的夹角，方法简便．2.已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A. 3B.12C.13D.23【答案及解析】：B 【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=-，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→⋅=- ，则4a b b →→→⋅=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→⋅+= ，即240bb λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=.故选：B.3.已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为56π，则a b -=（ ）A. 2B.C.D. 1【答案及解析】：B 【分析】求出a 、b ，利用平面向量数量积的运算性质求出2a b -的值，即可得解.【详解】()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，则2cos 1a θ==，同理3b =，()222222522cos 1213376a b a ba ab b a a b b π⎛-=-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯+= ⎝⎭，因此，7a b -=.故选：B.4.如图所示，在OAB ∆中，设P 为OAB ∆的外心，向量OA a →→=，OB b →→=，OP p →→=，若4a →=，2b →=，则p a b →→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 6B. 5C. 3D. 1【答案及解析】：A【分析】取AB 中点C ，根据平面向量线性运算将所求数量积化为12a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】取AB 中点C ，连接,CP OC ，P 为OAB ∆的外心，CP ∴为AB 的垂直平分线，p a b OP BA OC CP BA OC BA CP BA →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅-=⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CP AB ⊥，0CP BA →→∴⋅=，又12OC a b →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，BA a b →→→=-，()221111646222p a b a b a b a b →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅-=+-=-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A .5.已知a 、b 、c 是在同一平面内的单位向量，若a 与b 的夹角为60°，则()()2a b a c -⋅-的最大值是（ ）A.12B. －2C.D.52【答案及解析】：D 【分析】计算出a b -的值，设向量a b -与c 的夹角为θ，利用平面向量数量积运算律和定义可求得()()2a b a c -⋅-的最大值.【详解】单位向量a 与b 的夹角为60，则1cos 602a b a b ⋅=⋅=， 2221212112a b a a b b -=-⋅+=-⨯+=，则1a b -=，所以，()()()211152212cos 2cos 22222a b a c a a b a b c a b c θθ-⋅-=-⋅--⋅=---⋅=-≤+=.故选：D.二、填空题6.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．【答案及解析】：6【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,E -，()2,1AF ∴=-，(3,AE =-，因此，()()(2316AE AF ⋅=-⨯-+⨯=-故答案为：6-【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，若120BAC ∠=︒，2BA =，3BC =，1132BM BC BA =+，则MA MC ⋅=______.【答案及解析】【分析】利用余弦定理可求得1AC =,建立平面直角坐标系,根据1132BM BC BA =+求出M的坐标,进而求得MA MC ⋅即可.【详解】由余弦定理可得2222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒,即2250AC AC +-=,因为0AC >,故解得1AC =.过B 作BO 垂直AC 的延长线于O ,再以O 为坐标原点,OC 为x 轴, OB 为y 轴建立平面直角坐标系.则)0C,(B ,1,0A .设(),M x y ,因为1132BM BC BA =+,故((11,1,32x y =+,故13232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,解得1326x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即1326,M ⎛ ⎝+⎭.故1114122431,2MA MC -⎛-⋅=⋅= ⎝-+⎭⎝=⎭8.在锐角△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =，AC AF λ=，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=，1ED =，则实数λ的值为_______． 【答案及解析】：3 【分析】将EF 表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由题意得知ED 与AC 不垂直，由3ED EF ⋅=可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值. 【详解】如下图所示：3AB AD =，AC AF λ=，13AD AB ∴=，1AF AC λ=， ()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，则ED 与AC 不垂直，即0ED AC ⋅≠，1ED =，6ED BC ⋅=，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭， 0ED AC ⋅≠，1103λ∴-=，因此，3λ=. 故答案为：3.9.已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =,若点P 是△ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.【答案及解析】：13 【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t ,4AB AC AP ABAC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号 PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.三、解答题10.已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，k ∈Z ），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素f (x )与集合P 的关系，说明理由.【答案及解析】：（1）()212sin sin xf x xλλ+-=-，26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z ；（2）12λ=时，()f x P ∈，12λ≠时，()f x P ∉ 【分析】（1）直接将向量33(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-代入()f x =2()a b a bλ+⋅中化简，可求出()f x 的解析式，再解方程()2f x =-即可；（2）由()()2f x f x +-=化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-， 所以()f x =22233(cos sin )(sin cos )()222233cos sin sin cos 2222x xx x a b x x a b x x λλλ++-+=⋅- 212sin sin()xx λλ+-=-212sin sin xxλλ+-=-，当1λ=时，22sin ()sin xf x x-=-，由()2f x =-得，1sin 2x =解得26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z 所以方程的解集为26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭（2）当()()2f x f x +-=时，2212sin 12sin()2sin sin()xx xx λλλλ+-+--+=---，化简得， 2212sin 12sin 2sin x x x λλλλ--++++=解得12λ=， 所以当12λ=时，()f x P ∈，当12λ≠时，()f x P ∉ 【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.C 组 挑战压轴题一、选择题1.设a ，b ，c 为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈则（ ） A. ()()a b a c +⊥-B. ()()a b b c +⊥+C. ()()b c a b -⊥+ D. ()()a cbc -⊥+【答案及解析】：D 【分析】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥-，化简得到()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣，故()()0c b a c +⋅-=，得到答案.【详解】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥-，故()()()221a c t c ba c -+-+≥-，化简整理得到：()()()()()221210t c b t c b a c -++-+⋅-≥，即()()()()()()()()2222220c btc b c b a c t c b c b a c +-+++⋅-++++⋅-≥，()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣，故()()0c b a c +⋅-=，故()()a cbc -⊥+.故选：D.2.已知△ABC 中，4AB =，AC =8BC =，动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP AQ ⋅的最大值是（ ）A.72B. 4C.492D. 23【答案及解析】：C 【分析】由题意2BQ CP =-，,60,30AB AC ABC ACB ⊥∠=∠=，故()()AC CP AP AQ AB BQ =+⋅⋅+，展开可得关于CP 的一元二次函数，配方，即可求得AP AQ ⋅的最大值.【详解】△ABC 中，4AB =，AC =8BC =，222,,60,30AB AC BC AB AC ABC ACB ∴+=∴⊥∠=∠=.由题意2BQ CP =-，()()AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP Q A B AP Q ∴=+⋅+=⋅++⋅⋅⋅+⋅ 02cos30cos602cos180AC CP CP AB CP CP =+-++-23124222CP CP CP =⨯+⨯⨯- 22749214222CP CP CP ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∴当72CP =时， AP AQ ⋅取得最大值，最大值为492. 故选：C.二、填空题3.已知平面向量,,a b e 满足||1e =，1a e ⋅=，1b e ⋅=-，||4a b -=，则a b ⋅的最小值为_____【答案及解析】：－4 【分析】 设(1,0)e =，11(,)ax y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-可求12,x x ，再代入||4a b -=，可得12y y =±21221(4a b y y y ⋅=-+=-，从而可求出最小值.【详解】设(1,0)e =，11(,)a x y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-得：1211x x =⎧⎨=-⎩， 又||4a b -=，则22216a a b b -⋅+=，解得：12y y =±221222211(4a b y y y y ⋅=-+=-+±=-，故a b ⋅的最小值为-4. 故答案为：-4.4.已知平面向量a 、b 、c 满足21b a ==、2c =，()()440c a c b -⋅-=，则2a b-的取值范围是______.【答案及解析】：,22⎣⎦【分析】可根据()()440c a c b -⋅-=得出()182a b c a b +⋅=+，然后根据()22c a b c a b+≤⋅+解得3388a b -≤⋅≤，最后通过2224a b a b -=-⋅即可得出结果. 【详解】22224424a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅，因为()()440c a c b -⋅-=，所以()24160c c a b a b -++⋅=，()182a b c a b +⋅=+，因为()2222222c a b c a b a a b b +≤⋅+=⋅+⋅+，所以5182224a b a b +⋅≤⋅+⋅，解得3388a b -≤⋅≤，所以217224,22a b a b ⎡⎤-=-⋅∈⎢⎥⎣⎦，解得14222a b ≤-≤，所以2a b -的取值范围是⎣⎦.故答案为：,22⎣⎦5. △ABC 是等腰直角三角形，90A ∠=︒，BC =D 满足DA AC =，点E 是BD所在直线上一点.如果CE xCA yCB =+，则2x y +=__________；CA 在CE 上的投影的取值范围是__________.【答案及解析】：2 ;⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】首先由条件确定出点D 的位置，然后由,,B D E 三点共线可得22x y +=，根据条件分别计算出CA CE x y ⋅=+和2||CE x =||CA CECE ⋅=，然后消元变形、分类讨论可求出其范围.【详解】由CA DA =知，D 在边CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，因为点E 是BD 所在直线上一点，且2xCE xCA yCB CD yCB =+=⋅+， 所以12xy +=即22x y +=. 因为2CA CE xCA yCA CB ⋅=+⋅，由题意||1,1CA CA CB =⋅=，所以CA CE x y ⋅=+， 由22||CE xCA yCB =+得2||CE x =所以||CA CECE⋅=.令m=，由于22x y +=，所m =，令1t y =-，则1y t =-且m =当0t =时，0m =；当0t >时，y =2≥， 当且仅当2t =时等式成立，可得01m <≤.当0t <时，m =1>，所以可得0m << 综上可得，]m ⎛∈ ⎝故答案为：2，,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦6.在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=___________；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅的最小值为___________.【答案及解析】 【分析】由平行四边形的面积为1可得2AB AD ⋅=，根据向量数量积的定义即可得出AB BC ⋅的值；由于222PB PC PB PC BC PB PC +-⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PC PB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ⋅∠=， ∴2AB AD ⋅=，故cos 22AB BC AB BC DAB ⋅=⋅∠=⨯= ()2222PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-⋅=-+⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PCPB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦， ∴()()2222221344PB PCP BC PB PC BC BC P P Q B C ⎡⎤+--=⎢⎥⎣+⋅++⎦=223334ABCD S BC PQ BC PQ ≥=⋅≥=⋅四边形，此时PQ BC ⊥，32PQ BC =，。

§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：cosa b a bθ⋅=.教师2：提出问题2．学生2：2a a a a a a⋅==⋅或，cos.0a ba b a ba bθ⋅=⊥⇔⋅=．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量AB的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？教师4：提出问题4．学生4：1122,a x i y jb x i y j=+=+所以1122)()a b x i y j x i y j⋅=++（2212122112x x i x y i j x y i j y y j=+++2121yyxx+=教师5：提出问题5．学生5：|a|＝x2＋y2．教师6：提出问题6学生6：()()221212AB x x y y=-+-（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.教师9：一起来梳理总结一下这部分内容.学生9：平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.典例分析巩固落实1.平面向量数量积的运算例1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝12MC，BN＝12BC，则AM→·AN→＝________.2.平面向量模长的坐标运算教师10：完成例1.学生10：AM→·AN→＝(AD→＋13AB→)·(AB→＋12AD→)＝0＋12·22＋13·32＋13·0＝5.教师11：完成例2.学生11：设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①例2.已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |.3.平面向量夹角的坐标运算 例3.已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1).求向量a 与b 夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4. 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.[课堂练习]1.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．2.已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.教师12：完成例3.学生12：设a ，b 的夹角为θ，由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.教师13：完成例4.学生13：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2． 学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2 D．－12．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1 B．0C．1 D．23．平行四边形ABCD中，AB→＝(1，0)，AC→＝(2，2)，则AD→·BD→等于()A．－4 B．－2C．2 D．44．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．教师15：提出问题9．学生15：学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：DAD，5，5师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养．1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)．(2)求两向量的夹角．(3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )2．做一做(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )A.865B．－865C．1665D．－1665(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为____.(3)已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝____.题型一平面向量数量积的坐标表示例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[跟踪训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2题型二向量的模的问题例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为____.(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[跟踪训练2] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5 B ．10 C ．2 5D ．10题型三 向量垂直的坐标表示例3 设OA →＝(2，－1)， OB →＝(3,1)， OC →＝(m,3)．(1)当m ＝2时，用OA →和OB →表示OC →； (2)若AB →⊥BC →，求实数m 的值．[跟踪训练3] 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．题型四 平面向量的夹角问题例4 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)， (1)若c ＝5，求sin A 的值； (2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围．[跟踪训练4] 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 题型五 向量数量积的综合应用例5 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． [跟踪训练5] 已知a ，b ，m ，n ∈R ，设(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2，其中mn ≠0，用向量方法求证：a m ＝b n.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－32．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－733．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝____.4．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝____.5．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.一、选择题1．已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A.π6 B ．π4 C ．π3D ．π22．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 23．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)4．(多选)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为( )A ．－23B ．113C.3±132D ．235．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点(除点A 外)，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角为____.7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.1．已知点A (－2,0)，B (1,9)，C (m ，n )，O 是原点． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； (2)若△AOC 的面积等于3，且AC →⊥B C →，求OC →.2．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)证明：A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (2)求|OC →|的最小值．6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示． 教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养．1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )A.865B．－865C．1665D．－1665(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为____.(3)已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝____.答案(1)C (2)－6 (3)2题型一平面向量数量积的坐标表示例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋4×(－1)＝0，∴(a·c)b＝0.[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.解(1)∵a与b反向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，又a·b＝－10，∴λ＋4λ＝－10，∴λ＝－2，∴a＝(－2，－4)．(2)∵a·c＝(－2)×2＋(－4)×(－1)＝－4＋4＝0，∴(a·c)b＝0.数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[跟踪训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.题型二向量的模的问题例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为____.(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[解析] (1)∵a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)， ∴a －b ＝(2x －1,3－x )－(1－x,2x －1)＝(3x －2，4－3x )， ∴|a －b |＝3x －22＋4－3x2＝18x 2－36x ＋20＝18x －12＋2，∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2. (2)①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋－32＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.[答案] (1) 2 (2)见解析求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[跟踪训练2] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5 B ．10C ．25D ．10答案 B解析 由a ⊥b ，可得a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.故选B.题型三 向量垂直的坐标表示例3 设OA →＝(2，－1)， OB →＝(3,1)， OC →＝(m,3)．(1)当m ＝2时，用OA →和OB →表示OC →； (2)若AB →⊥BC →，求实数m 的值．[解] (1)当m ＝2时，设OC →＝xOA→＋yOB →， 则有⎩⎨⎧2x ＋3y ＝2，－x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－75，y ＝85，即OC →＝－75 OA →＋85OB →.(2) AB →＝OB →－OA →＝(1,2)， BC →＝OC →－OB →＝(m －3,2)． 因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 即1×(m －3)＋2×2＝0，解得m ＝－1.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．[跟踪训练3] 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴D (1,1)． ∴|AD →|＝1－22＋1＋12＝5，故|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1). 题型四 平面向量的夹角问题例4 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)， (1)若c ＝5，求sin A 的值； (2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围． [解] AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)． (1)若c ＝5，则AC →＝(2，－4)．∴cos A ＝cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝55.∵∠A 是△ABC 的内角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝255. (2)若∠A 为钝角，则AC →·AB →<0且AC →，AB →不反向共线．由AC→·AB→<0，得－3(c－3)＋16<0，即c>25 3.显然此时AC→，AB→不共线，故当∠A为钝角时，c>25 3.求平面向量夹角的步骤若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；(2)求出|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22；(3)代入公式：cosθ＝a·b|a||b|(θ是a与b的夹角)．[跟踪训练4] 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋－4×1－32＋－42×72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即向量m，n的夹角为3π4.题型五向量数量积的综合应用例5 已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． 则AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)， 又AB →＝(1,1)． 从而有⎩⎨⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)． ∴AC →＝(－2,4)，|AC →|＝－22＋42＝25，故矩形ABCD 的对角线的长度为2 5.利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可． (3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．[跟踪训练5] 已知a ，b ，m ，n ∈R ，设(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2，其中mn ≠0，用向量方法求证：a m ＝b n.证明 设向量c ＝(a ，b )，d ＝(m ，n )， 且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°)， 则c ·d ＝am ＋bn ，|c |2＝a 2＋b 2，|d |2＝m 2＋n 2. ∵(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2， ∴|c |2|d |2＝(c ·d )2.又c ·d ＝|c ||d |cos θ，∴cos 2θ＝c ·d 2|c |2|d |2＝1，∴cos 2θ＝1.又0°≤θ≤180°，∴θ＝0°或180°，即c ∥d ，∴an －bm ＝0. 又mn ≠0，∴a m ＝b n.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－3答案 C解析 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.故选C.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x,2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得⎩⎨⎧22＋y ＋3x ＋1＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝____. 答案5解析由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a －b|＝ 5.4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝____.答案310 10解析2b－a＝2b－(3,3)＝(－1,1)，∴2b＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b＝(1,2)．cosθ＝a·b|a||b|＝3，3·1，232＋32×12＋22＝9310＝31010.5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.一、选择题1．已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )A.π6B．π4C ．π3D ．π2答案 C解析 ∵|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.∴向量a 与b 夹角的大小为π3.故选C. 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2答案 D解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋－82＝8 2.3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)答案 B解析 设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.4．(多选)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为( )A ．－23B ．113C.3±132D ．23答案 ABC解析 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132. 5．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点(除点A 外)，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32答案 D解析 由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3＝0可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝6k－2，k ∈Z .因为－2<x <10，所以x ＝4，即A (4,0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由题意知B ，C 两点关于点A 对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0.又OA →＝(4,0)，OB →＝(x 1，y 1)，OC →＝(x 2，y 2)，所以(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角为____.答案2π3解析 设c ＝(x ，y )，∵a ＋b ＝(－1，－2)， 且|a |＝5，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，∴(－1，－2)·(x ，y )＝52.∴－x －2y ＝52，∴x ＋2y ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5·5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____.答案 8 2解析 ∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4，∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →|＝8 2.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.答案 λ>－5且λ≠－53解析 因为a 与b 的夹角为锐角，则cos 〈a ，b 〉>0，且cos 〈a ，b 〉≠1，即a ·b ＝2＋λ＋3>0，且b ≠k a ，则λ>－5且λ≠－53.三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α. 解 (1)证明：由题意，知a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32，∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2， 化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0，∴tan α＝33.又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.1．已知点A (－2,0)，B (1,9)，C (m ，n )，O 是原点． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； (2)若△AOC 的面积等于3，且AC →⊥B C →，求OC →. 解 (1)由已知，得AB →＝(3,9)，AC →＝(m ＋2，n )． 由A ，B ，C 三点共线，知AB →∥AC →， ∴3n －9(m ＋2)＝0，即n －3m －6＝0.(2)由△AOC 的面积是3，得12·2·|n |＝3，∴n ＝±3.∵BC →＝(m －1，n －9)，且AC →⊥BC →， ∴(m ＋2)(m －1)＋n (n －9)＝0， 即m 2＋n 2＋m －9n －2＝0，∴当n ＝3时，m 2＋m －20＝0，解得m ＝4或m ＝－5. 当n ＝－3时，m 2＋m ＋34＝0，方程没有实数根， ∴OC →＝(4,3)或OC →＝(－5,3)．2．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)证明：A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (2)求|OC →|的最小值．解 (1)证明：AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(2)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

【新人教版】数学必修二第六单元6.3.5平面向量数量积的坐标表示学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.知识点平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×)2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.3.两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a 与b 的夹角为0°.( × )4.若向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则|a |＝|b |.( × ) 提示 |a |＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，显然|a |≠|b |.一、数量积的坐标运算例1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( )A.10B.－10C.3D.－3答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a |2＝a ·a .(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2.(3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( )A.－1B.0C.1D.2答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.二、平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，求a －2b 及其模的大小. 解 ∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a －2b |＝72＋32＝58.反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方.(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C.5 D.25答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题例3 (1)已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析 因为|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.又因为θ∈[0，π]，则θ＝π3.所以向量a 与b 夹角的大小为π3.(2)设向量m ＝(2x －1,3)，向量n ＝(1，－1)，若m ⊥n ，则实数x 的值为( )A.－1B.1C.2D.3答案 C解析 因为向量m ＝(2x －1,3)，向量n ＝(1，－1)，m ⊥n ，所以m ·n ＝(2x －1)×1＋3×(－1)＝2x －1－3＝0，解得x ＝2.反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b |a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3 已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3).又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.1.若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( )A.3B.－3C.53D.－53答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.2.已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.6365B.65C.135D.13答案 A解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365. 3.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A.1B. 2C.2D.4答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.4.若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A.(－3,6)B.(3，－6)C.(6，－3)D.(－6,3)答案 A解析 由题意，设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b|＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于()A. 5B.10C.2 5D.10答案 B解析由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a＋b|＝10.1.知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).(3)cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为非零向量a，b的夹角).2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.1.设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是()A.|a|＝|b|B.a·b＝0C.a∥bD.(a－b)⊥b答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .2.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22(θ为a ，b 的夹角).又∵a ，b 的夹角的范围为[0，π].∴a 与b 的夹角为π4.3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－1，m )，若a ⊥b ，则m 的值为() A.－2 B.2 C.12 D.－12答案 C解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(－1，m )，a ⊥b ，所以a ·b ＝－1＋2m ＝0，解得m ＝12.4.a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b 等于( )A.23B.57C.63D.83答案 D解析 3|a |2－4a ·b ＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.5.已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则|a －b |等于() A.5 3 B.3 5 C.2 5 D.2 2答案 B解析 因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，6.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________.答案 4解析∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4.7.设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(m a－b)，则m＝________. 答案－1解析由题意得m a－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.8.设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________. 答案－2解析由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2.9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a －b |＝2或2 5.10.已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0. ∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).11.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A.－4B.－3C.－2D.－1答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12.已知OA→＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A.(2,6)B.(－2，－6)C.(2，－6)D.(－2,6)答案 D解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x ＋2，y －1)， BC→＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)， ∵AC→∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，① ∵BC→⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6). 13.设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________.答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1). 14.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE→的值是________.答案 329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系.∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)，∵点E 在边CD 上，且DE→＝2EC →， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，2.∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，2，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.15.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( ) A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)答案 C解析 如图，作OA→＝a ，则A (1,1).作OB 1→，OB 2→， 使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎪⎫1，33，B 2(1，3). 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3). 16.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4).(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值.(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD →＝(－3,3). 又∵AB →·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB→⊥AD →，即AB ⊥AD . (2)解 ∵AB→⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴DC→＝AB →. 设C 点坐标为(x ，y )，则AB→＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC→＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， ∴AC →·BD→＝8＋8＝16. 又|AC→|＝2 5，|BD →|＝2 5，设AC→与BD →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝.3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝.注意：由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()【经典例题】题型一 数量积的坐标运算点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．例1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，求a ·b ，(a ＋b )·(2a －b )．【跟踪训练】1已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1题型二 平面向量的模点拨：求向量的模的两种方法：1.字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y2.例2 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82【跟踪训练】2 已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．题型三 平面向量的夹角和垂直问题 点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a |，|b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |，求出cos θ，也可由cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2.由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【跟踪训练】3已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．【当堂达标】1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．22.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A． 5 B．10 C．5 D．253.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23 B.3C．0 D．－34.已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.6.已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.【课堂小结】3个公式1.数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.模长：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.3.夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【参考答案】【自主学习】对应坐标的乘积之和 x 1x 2＋y 1y 2 x 1x 2＋y 1y 2＝0 x 2＋y 2 √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21· x 22＋y 22 【小试牛刀】(1) × (2) × (3) × (4) ×(5) √ 【经典例题】例1 解 a ·b ＝1×2＋3×5＝17.∵a ＋b ＝(3,8)，2a ＝(2,6)，∴2a －b ＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝3×0＋8×1＝8.【跟踪训练】1 D 解析：(1)a ·b ＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D.例 2 D 解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝√82+(−8)2＝8 2.【跟踪训练】2 13 解析：设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC→＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y－1)＝(4，－1)，所以⎩⎨⎧x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC→＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.例3解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝（－1）2＋22＝5，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.【跟踪训练】3 解 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12.又当a 与b 反向时，夹角为180°，即a ·b ＝－|a |·|b |，则2λ＋1＝5·λ2＋1，解得λ＝2.由于a 与b 的夹角为钝角，故应排除a 与b 反向共线的情况，即排除λ＝2，则实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 【当堂达标】1.C 解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2.C 解析：∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5，故选C ．3.B 解析：因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ， 又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.4.A 解析：选A.由题设知AB→＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB→⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．5. 7 解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.6.解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。