2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题教学案理含解析

1．了解导数概念的实际背景。

2．通过函数图象直观理解导数的几何意义。

3．能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数。

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

热点题型一 导数的计算例1、求下列函数的导数(1)y ＝e x sinx ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2。

(4)y ＝ln(1－2x)。

【提分秘籍】导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。

(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。

【举一反三】求下列函数的导数(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x＋x5＋sinxx2；(3)y＝－sin x2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－2cos2x4。

[来源:学+科+网]热点题型二导数的几何意义及应用例2、（2018年全国I卷）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【变式探究】【2017课标1，文14】曲线21y xx=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【提分秘籍】导数几何意义的应用及解决(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)。

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k。

(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0。

导数的热点问题【2019年高考考纲解读】利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大．【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例1、(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a e x－ln x－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；1(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.e1(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a e x－.x1由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.2e21 1 1从而f(x)＝e x－ln x－1，f′(x)＝e x－.2e2 2e2 x当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．1 e x(2)证明当a≥时，f(x)≥－ln x－1.e ee x e x 1设g(x)＝－ln x－1(x∈(0，＋∞))，则g′(x)＝－.e e x当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.1 因此，当a≥时，f(x)≥0.e【方法技巧】用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，则f(x1)<f(x2)．对于减函数有类似结论．(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)．1(3)证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.ax2＋x－1【变式探究】(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝.e x(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.题型二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．例2、(2018·天津)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值；(3)若曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6 3有三个互异的公共点，求d的取值范围．解(1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)2＝x 3－3t 2x 2＋(3t 2－9)x －t 32＋9t 2. 故 f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 2－9.令 f ′(x )＝0，解得 x ＝t 2－ 3或 x ＝t 2＋ 3. 当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，t 2－ 3) t 2－ 3 (t2－3，t 2＋ 3) t 2＋ 3(t 2＋ 3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗所以函数 f (x )的极大值为 f (t 2－ 3)＝(－ 3)3－9×(－ 3)＝6 3，函数 f (x )的极小值为 f (t 2＋ 3)＝( 3)3－9× 3＝－6 3.(3)曲线 y ＝f (x )与直线 y ＝－(x －t 2)－6 3有三个互异的公共点等价于关于 x 的方程(x －t 2＋d )(x －t 2)·(x －t 2－d )＋(x －t 2)＋6 3＝0有三个互异的实数解．令 u ＝x －t 2，可得 u 3＋(1－d 2)u ＋6 3＝0.设函数 g (x )＝x 3＋(1－d 2)x ＋6 3，则曲线 y ＝f (x )与直线 y ＝－(x －t 2)－6 3有三个互 异的公共点等价于函数 y ＝g (x )有三个零点．g ′(x )＝3x 2＋(1－d 2)．当 d 2≤1 时，g ′(x )≥0，这时 g (x )在 R 上单调递增，不合题意． 当 d 2>1时，d 2－1 d 2－1令 g ′(x )＝0，解得 x 1＝－，x 2＝. 33可得 g (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增． 所以 g (x )的极大值为d 2－1 2 3d 2－1g (x 1)＝g (－＝ ＋6 >0.3)39g (x )的极小值为 d 2－1 2 3d 2－1g (x 2)＝g( 3 )＝－＋6 3. 9若 g (x 2)≥0，则由 g (x )的单调性可知函数 y ＝g (x )至多有两个零点，不合题意．3若 g (x 2)<0，即(d 2－1)2 >27，也就是|d |>，此时|d |>x 2，g (|d |)＝|d |＋6>0，且 103－2|d |<x 1，g (－2|d |)＝－6|d |3－2|d |＋6 3<－62 10＋6 3<0，从而由 g (x )的单调性，可知函数 y＝g (x )在区间(－2|d |，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，|d |)内各有一个零点，符合题意．3所以 d 的取值范围是(－∞，－ 10)∪( 10，＋∞)．【感悟提升】(1)函数 y ＝f (x )－k 的零点问题，可转化为函数 y ＝f (x )和直线 y ＝k 的交 点问题．(2)研究函数 y ＝f (x )的值域，不仅要看最值，而且要观察随 x 值的变化 y 值的变化趋势． k 【变式探究】设函数 f (x )＝(x －1)e x －x 2.2(1 )当 k <1时，求函数 f (x )的单调区间； (2)当 k ≤0 时，讨论函数 f (x )的零点个数．(2)f (0)＝－1，k ①当 k <0时，f (1)＝－ >0，2又 f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以 函数 f (x )在[0，＋∞)上只有一个零点． 在区间(－∞，0)中，k k 因为 f (x )＝(x －1)e x － x 2>x －1－ x 2， 2 22取 x ＝ －1∈(－∞，0)，k 2 2 k 2于是f (－1 )>(－1 )－1－2(－1 )2k k kk ＝－ >0， 2又 f (x )在(－∞，0)上单调递减， 故 f (x )在(－∞，0)上也只有一个零点，4所以函数 f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有两个零点；②当 k ＝0时，f (x )＝(x －1)e x 在单调递增区间[0，＋∞)内，只有 f (1)＝0. 而在区间(－∞，0)内，f (x )<0， 即 f (x )在此区间内无零点．所以函数 f (x )在定义域(－∞，＋∞)上只有唯一的零点．综上所述，当 k <0时，函数 f (x )有两个零点，当 k ＝0时，f (x )只有一个零点． 题型三 利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要 变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到 变量在什么情况下可以达到目标最优．例 3、罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两 端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 32万元，距离为 x 米的相邻两墩 之间的桥面工程费用为(2＋ x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑 其他因素，记余下工程的费用为 y 万元．(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m ＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小？ 解 (1)设需新建 n 个桥墩， m 则(n ＋1)x ＝m ，即 n ＝ －1.x所以 y ＝f (x )＝32n ＋(n ＋1)(2＋ x )xmm＝32(＋ (2＋)x－1)x xx32＝m( ＋ x )＋2m －32(0<x <m )．x32(2)当 m ＝96时，f (x )＝96( ＋ x )＋160，x132 48 则 f ′(x )＝96(－x 2)＝(2 xx 23 x －64)．2令 f ′(x )＝0，得3x 2 ＝64，所以 x ＝16.当 0<x <16时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,16)内为减函数； 当 16<x <96时，f ′(x )>0，f (x )在区间(16,96)内为增函数， 96 所以f (x )在 x ＝16处取得最小值，此时 n ＝ －1＝5.165答 需新建 5个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小． 【感悟提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中 变量之间的函数关系式 y ＝f (x )．(2)求导：求函数的导数 f ′(x )，解方程 f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使 f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最 大(小)值．(4)作答：回归实际问题作答．【变式探究】图 1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2是凹槽的横截面(阴影 部分)示意图，其中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.若凹槽的 强度 T 等于横截面的面积 S 与边 AB 的乘积，设 AB ＝2x ，BC ＝y .(1)写出 y 关于 x 的函数表达式，并指出 x 的取值范围； (2)求当 x 取何值时，凹槽的强度最大． 解 (1)易知半圆 CmD 的半径为 x ， 故半圆 CmD 的弧长为 πx . 所以 4＝2x ＋2y ＋πx ， 4－2＋x得 y ＝.24 依题意知 0<x <y ，得 0<x < . 4＋π4－2＋x4 2(0 < x < 4＋π) 所以 y ＝.1 (2)依题意，得 T ＝AB ·S ＝2x (2xy － πx 2)2＝8x 2－(4＋3π)x 3.16令 T ′＝16x －3(4＋3π)x 2＝0，得 x ＝0或 x ＝ . 9π＋12 16 4 因为 0< < ， 9π＋12 π＋416所以当 0<x < 时，T ′>0，T 为关于 x 的增函数； 9π＋12616 4当<x< 时，T′<0，T为关于x的减函数，9π＋12 4＋π16所以当x＝时凹槽的强度最大.9π＋127。

函数的应用【2019年咼考考纲解读】1. 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2. 函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.【重点、难点剖析】热点一函数的零点1 .零点存在性定理如果函数y = f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) • f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在c€ (a, b)使得f (c) = 0,这个c也就是方程f (x) = 0的根.2 •函数的零点与方程根的关系函数F(x) = f (x) —g(x)的零点就是方程f( x) = g(x)的根，即函数y= f (x)的图象与函数y = g( x)的图象交点的横坐标.二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域•其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式. (3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.【题型示例】题型一函数的零点2例1、(1)方程4sin n x= 在［—2,4］内根的个数为()I xA. 6 B . 7 C . 5 D . 8答案D1 一1解析由原方程得2sin n x= ，同一坐标系中作出函数y1 = 和y2 = 2sin n x的图象如图所示.1 —X 1 —x1⑵已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+ 1) =-f (1 —x)，且当x€ [ —4,1)时，f(x)= 尸，g(x) = 2sin3 x是以1为最小正周期的函数，则函数F(x) = f(x) —g(x), x € [ —3,5]的所有零点之和等于()A. 17 B . 16 C . 4 D . 2答案A解析因为函数金)満定兀C+ 1)二一①-x)f所以用)=山函数.3的图象关于点(⑷成中心对称，因为gW=25in火杲以1为最小正周期的函数』所以以=2兀，g(x)—2s\n2^x,令F(x)=flx)-g(x)=Q f即-又当兀£时》/W= ~ 1 >根据两个函数图象的交点及函数图象的对称性可设交点的横坐标由左到右依次为X1, X2, X3， (X16)交点的横坐标间的关系为X1 + X16= 2, X2+ X15 = 2, X3+ X14= 2,…，X8+ X9 = 2,所以F(x) = f (x) —g(x), x € [ —3,5]的所有零点之和等于 1 + X1 + X2 + X3 + X4+・・・+ X15+ X16=1 + 2X 8= 17,故选 A.【感悟提升】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1) 函数零点大致存在区间的确定.(2) 零点个数的确定.⑶两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.X2+ 2, x € [0,1 ,【变式探究】⑴定义在R上的函数f(x)，满足f(x) = 2.. 且f(x + 1) = f(x—1),|2 —x , x €[ —1, U ,若g(x) = 3 —log 2X，则函数F(x) = f (x) —g(x)在(0,+^)内的零点有()A. 3个B . 2个C . 1个D . 0个答案B解析由f(x + 1) = f (x—1)得f (x)周期为2，作函数f (x)和g(x)的图象，图中，g(3) = 3 —log 23>1 = f(3),g(5) = 3—log 25<1 = f (5),可得有两个交点，所以选 B.⑵已知函数f (x)满足：①定义域为R;②？x € R,都有f(x + 2) = f (x);③当x€ ［—1,1］时，f(x) =—|x|1+ 1，则方程f (x) = ^log 2| x|在区间［—3,5］内解的个数是()A. 5 B . 6 C . 7 D . 8答案A解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.oA： 24题型二函数的零点与参数的范围e x, x< 0,例2、(2018 •全国I )已知函数f (x) =* g(x) = f (x) + x + a.若g( x)存在2个零点，贝U a的!n x, x>0,取值范围是()A. [ —1,0)B. [0 ,+s)C. [ —1 ,+s)D. [1 ,+s)答案C解析令h(x) = —x—a,则g( x) = f (x) - h(x).在同一坐标系中画出y = f(x) , y = h(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，贝U y= f (x)的图象与y= h(x)的图象有2个交点，平移y = h(x)的图象可知，当直线y = - x - a过点(0,1)时，有2个交点，此时 1 = - 0- a, a=- 1.当y=—x- a在y= —x+1上方，即a<- 1时，仅有1个交点，不符合题意；当y=—x- a在y= —x+1下方，即a>- 1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为［—1,+^).故选C.[x + 2ax + a, x w 0, 【变式探究】（2018 •天津）已知a>0,函数f（x）= 2|- x + 2ax- 2a, x>0. 2个互异的实数解，则a的取值范围是_________答案(4,8)解析作出函数f(x)的示意图，如图.由图可知，当直线y= ax在11, 12之间(不含直线丨1,丨2)变动时，符合题意. 丄y=ax,由’2y = - x + 2ax - 2a,整理得x2- ax+ 2a= 0.若关于x的方12是过原点且与抛物线y=x2+ 2ax+ a相切的直线.消去y ,y =- x2+ 2ax- 2a相切的直线,由△ 1= 0，得a= 8（a= 0 舍去）.y = ax, 2由2消去y,整理得x + ax+ a= 0.y = x + 2ax+ a,由△ 2= 0，得a= 4( a = 0舍去).综上，得4<a<8.【感悟提升】⑴ 方程f(x) = g(x)根的个数即为函数y= f(x)和y= g(x)图象交点的个数.⑵关于x的方程f (x) —vm= 0有解，m的范围就是函数y= f (x)的值域.t2, x<2,【变式探究】⑴已知函数f (x) = x若关于x的方程f (x) —k = 0有唯 --- 个实［—X—3 2+ 2, x>2,数根，则实数k的取值范围是__________ .答案［0,1) U (2 ,+^)—x<2解析画出函数f(x) = $X’' 的图象如图所示，—x —J + 2, x》2_ _ 一—1 2【变式探究】已知偶函数f (x)满足f(x —1) = f ---------- ，且当x€ ［—1,0］时，f(x) = x ,若在区间［—1,3］内,T x函数g(x) = f (x) —log a(x + 2)有3个零点，则实数a的取值范围是____________ .答案(3,5)1解析•••偶函数f (x)满足f (x—1) = f----------- ,T x且当x € ［—1,0］时，f (x) = x2,1--f(x—2) = f(x—1—1)= f x —= f (x),•••函数f (x)的周期为2，在区间［—1,3］内函数g(x) = f (x) —log a(x+ 2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y= log a(x + 2)的图象在区间［—1,3］内有3个交点.log a3<1,当0<a<1时，函数图象无交点，数形结合可得a>1且* 解得3<a<5.log a5>1,因为10<16,y-I-V-]12 1^题型三 函数的实际应用问题近似表示为:__ i75 x 2— i30x + 1 9iJCX12 — 60, x € [80, 120](1) 该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2) 已知A, B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从 少？解⑴当时,丁=吉(远一 130x4-4 9OO)=^[(x-65)-+67习， 当丹寸，y 有最小值芈乂 675=9当x6[80,120M ，函数单调递减，故当X=12O 时,丁有最小值10- 因为9<10,故当尢=巧时每小时耗油量最低.120(2)设总耗油量为I ，由题意可知I = y •—x①当 x € [50, 80）时,4 900 “ ---- —130 = 16,x 4 900x = ，即x = 70时，1取得最小值16.x120 1 440②当x € [80,120]时，I = y ・ —— = ----- —2为减函数.x x例3、经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米/时)(50 < x < 120)的关系可x € [50 , 8DA 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最. 120 8「丄1 = y x = 5x+ 4 900— 130x当且仅当8 5当x= 120时，I取得最小值10.所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少.【感悟提升】（1）解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.（2）对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品•已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨,1月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为y = q x2—200x+ 80 000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为S0 000当且仅当*=警，即工=4叽时」才能使每吨的平^泌理成本最低最低成本为23元”(2)设该单位每月获利为S,2 、则S= 100x —y = 100x —2x —200x + 80 0001 2=—2x + 300x —80 0001 2=—2(x—300) —35 000 ,因为400W x< 600,所以当x = 400时，S有最大值—40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损。

一．方法综述近几年的高考数学试题中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．本专题举例说明如何用好导数，破解函数零点问题.二．解题策略类型一 讨论函数零点的个数【例1】【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数 . （1）求在处的切线方程； （2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数. 【答案】（1）； （2）2.【解析】 （1）由已知得 ，有， ∴在处的切线方程为：，化简得.【指点迷津】讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.【举一反三】【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数.【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 学&科网【解析】（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0单调递减，在1）单调递增，故当x ()f x取的最小值，最小值为f 14.①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.②若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分学*科网 类型二 已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围【例2】【河北省衡水中学2019届高三上学期二调】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】 （2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.【例3】【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．学*科网【指点迷津】已知区间上有零点，求参数的范围问题．往往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．【举一反三】【贵州省遵义航天高级中学2018届高三上第四次模】已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，∵，∴，∴又∵，∴∴，则在单调递增∴，故原不等式成立．类型三已知存在零点，证明零点的性质【例4】【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】已知函数．（1）讨论的单调性；（2若函数有两个零点分别记为．①求的取值范围；②求证：．【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶见证明【解析】（1），（i）当时，，时，单调递减；时，单调递增．（iii）当时，恒成立，在上单增．（iv）当时，时，单调递增；时，单调递减，时，单调递增．学科/网综上所述：时，在上单调递减，上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增.（2）①，（i）当时，，只有一个零点，舍去；（ii）当时，在上单调递减，上单调递增，又，取且，则，存在两个零点．（iii）当时，在上单调递增，时，不可能有两个零点，舍去．（iv）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，舍去．（v）当时，时，，又在单调递减，在上单调递增，因，不可能有两个零点，舍去．综上所述：．②由①知：，在上单调递减，在上单调递增，要证，即证，即证，令，则当时，单调递增．不妨设，则，即，又，，在上单调递减，，，原命题得证．学科#网【指点迷津】已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是否存在零点，若存在零点，则检验零点是否在给定的范围之中．【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设，函数（1）若无零点，求实数的取值范围；（2）若有两个相异零点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)①若时，则是区间上的增函数，∵∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间故在区间三．强化训练1．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( )A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C2．【山西省太原市第五中学2019届10月月考】已知，又，若满足的有四个，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】令y=xe x ，则y'=（1+x ）e x ，由y'=0，得x=﹣1， 当x ∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y 单调递减，当x ∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y 单调递增．作出y=xe x 图象， 利用图象变换得f （x ）=|xe x |图象，学&科网 令f （x ）=m ，则关于m 方程h （m ）=m 2﹣tm+1=0两根分别在时，满足g （x ）=﹣1的x 有4个，由，解得．故选：B ．学科￥网3．【山东省安丘市2019届10月检测】若存在正实数m ，使得关于x 的方程有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】4.【江西省南昌市2018届二轮测试卷（一）】设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】5.【四川省攀枝花市第十二中学2019届10月月考】已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】函数则，令则⑴当时，，存在两个零点，不符合题意，故⑶当时，，在，上单调递减，在上单调递增是的极小值点，是的极大值点，要使函数仅有一正零点，结合函数图像，可知，代入可得：，解得综上，则的取值范围为故选学$科网6.【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期第二阶段测试】若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】7.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】因为，所以函数在区间上单调递增，且所以当时，与有一个公共点；当时，令，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是.8.【陕西省西安市长安区第五中学2019届高三上期中】已知函数.(1)若直线过点（1，0），并且与曲线相切，求直线的方程；(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求的取值范围.(其中∈R，e为自然对数的底数)【答案】（1）；（2）或.【解析】（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.因为.所以由lnx+1-a<00<x<e a-1,x>e a-1,所以g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1，）上单调递增.①当e a-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0.此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，②当1<e a-1<e,即1<a<2时，g（x）在[1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e]上单调递增，又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为g（e a-1）=a-e a-1，所以（i）当1<a≤时，g（x）在[1,e]上的最大值g（e）≥0，即此时函数g（x）在(1,e]上有零点.（ii）当<a<2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，③当e≤e a-1即a≥2时，g（x）在[1,e]上单调递减，所以g（x）在[1,e]上满足g（x）<g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e]上没有零点.综上，所求的a的取值范围是或.学%科网9.【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】函数（）的导函数的图象如图所示：（1）求的值并写出的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得－＜c＜.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.学科&网10．【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于 .由可得，则②. 由①②可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，所以原不等式成立，即.。

专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T ＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用. 【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】 (2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1 (1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解． 【答案】(1)C (2)(－∞，2]【解析】(1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题． 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x ＞0， 解得x ＞1或x ＜0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)结合图形，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，解得a ≤ 2. 【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域． 题型二、函数的图象及其应用【例2】(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B【方法技巧】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法． (2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B选项；当[]0,2x ∈时，()=4e xf x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

课时：2课时教学目标：1. 知识与技能：通过本节课的学习，学生能够掌握导数的几何意义，并能运用导数研究函数的单调性、极值与最值。

2. 过程与方法：通过实例分析和小组讨论，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和创新能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

教学重难点：1. 教学重点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值与最值。

2. 教学难点：运用导数解决实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的定义，引出导数的几何意义。

2. 提问：导数的几何意义是什么？请举例说明。

二、新授1. 导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的变化率，即切线的斜率。

2. 利用导数研究函数的单调性：a. 举例说明函数单调性的概念。

b. 讲解利用导数判断函数单调性的方法。

c. 练习：判断以下函数的单调性：（1）f(x) = x^2（2）f(x) = -x^23. 利用导数求解函数的极值与最值：a. 举例说明函数极值与最值的定义。

b. 讲解利用导数求解函数极值与最值的方法。

c. 练习：求解以下函数的极值与最值：（1）f(x) = x^3 - 3x^2 + 4（2）f(x) = e^x - x三、小结1. 回顾本节课所学内容，总结导数的几何意义、单调性、极值与最值。

2. 提醒学生在课后复习，巩固所学知识。

第二课时一、复习1. 复习导数的几何意义、单调性、极值与最值。

2. 提问：如何利用导数研究函数的单调性？如何求解函数的极值与最值？二、新授1. 利用导数解决实际问题：a. 举例说明实际问题与函数的关系。

b. 讲解利用导数解决实际问题的方法。

c. 练习：解决以下实际问题：（1）一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，求从A地到B地行驶200公里所需的时间。

（2）一个长方形的长为x米，宽为y米，求长方形的面积S关于长x的变化率。

重磅解析2019年⾼考数学导数压轴题，三⾓函数与导数结合是⽅向本⽂通过对与三⾓函数交汇的导数压轴题的分析，给出了这类问题的五种解题策略，通过探究，突破了思维的瓶颈，打通了知识的内在联系，提⾼了分析问题的能⼒探究导数问题是压轴题的常客，也是整套试题中的重头戏，是最具区分度的亮丽风景所在.因此，如何破解导数压轴题是教师和学⽣⾯临的⼀⼤难题.随着⾼考命题的深⼊开展，导数压轴题的命制并没有⾛⼊桎梏，反⽽涌现出越来越多的经典题型，极⼤地丰富了数学教学的素材，对培养学⽣的综合能⼒也起到不可估量的作⽤如近⼏年就兴起了⼀类与三⾓函数交汇的导数压轴题这类试题可谓多姿多彩，常考常新.由于表达式中含有三⾓函数的函数的⽆论怎么求导函数，都会出现含三⾓函数的较为复杂的函数表达式，因此对问题的后续处理较为困难.通过对近年来的⼏类与三⾓函数交汇的导数压轴题的分析，探究出此类问题的解题策略⼀、利⽤洛必达法则或导数的定义含参数的导数问题的⼀⼤常见⽅法是分离参数，然后转化为不含参数的函数的最值问题的求解.对有些与三⾓函数进⾏交汇的导数问题，也是⼀⼤处理策略.但有些试题，在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上界或下界却存在，但却难于直接求解处理，此时，洛必达法则可派上⽤场。

⽐如例1⼆、利⽤函数的有界性有界性是很多函数的⼀⼤特性，在导数问题中，含参数的不等式恒成⽴问题是⼀⼤热点，除了分离参数外，分类讨论思想是这类问题的⼀⼤利器，但如何进⾏分类讨论是问题的难点.在与三⾓函数进⾏交汇的这类导数问题中，若能有效地利⽤三⾓函数的有界性，则能实现快速找到分类讨论的依据，从⽽实现问题的求解。

⽐如例2三、利⽤隔离直线对于较为复杂的函数，如果直接构造⼀个函数可能很难甚或⽆法解决.此时，如能通过等价转化，并进⾏适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能⼤⼤简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象实际上与不等式恒成⽴问题有着⾮常密切的联系.如果我们能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃⽽解。

专题突破卷05 导数中的极值点偏移问题题型一 极值点偏移解决零点问题1．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列命题正确的是（ ）A ．1a >B ．122x x a +<C ．121x x ×<D ．2111x x a->-2．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（ ）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ×>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，()212x x x <，则下列说法：①函数()f x 有极大值点0x ，且1202x x x +>；②212e x x >；③1232x x a+>；④若对任意符合条件的实数a ，曲线()y f x =与曲线1y b x=-最多只有一个公共点，则实数b 的最大值为ln2.其中正确说法的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知函数()ln x f x x =，对于正实数a ，若关于t 的方程()a f t f t æö=ç÷èø恰有三个不同的正实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,8B ．()2,8e C ．()8,+¥D ．()2,e +¥5．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ）A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>6．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有2个零点C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ¹，若()()12f x f x =，则124x x +>7．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ×>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知函数3()2f x x =+的图象与函数()g x kx =的图象有三个不同的交点11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，其中123x x x <<．给出下列四个结论：①3k >；②12x <-；③232x x +>；④231x x >．其中正确结论的个数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()e x f x ax =-有两个零点12x x <，下列说法正确的是A ．e a <B ．122x x +>C ．121x x ×>D ．有极小值0x 且1202x x x +>10．已知函数()2πcos f x x x a =++在()0,π上有两个不同的零点()1212,x x x x <，给出下列结论：①()10f x ¢<；②()20f x ¢>；③12πx x +<．其中错误结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知a b >，c d >，e e 1.0111a b a b ==++，()()1e 1e 0.99c dc d -=-=，则（ ）A ．0a b +<B ．0c d +>C ．0a d +>D ．0b c +>12．已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ）A ．1(2,1)x Î--B ．2e (1,e )a ÎC ．120x x +<D ．232ex x +<题型二 极值点偏移解决不等式问题13．已知函数()e xf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在R 上是增函数B ．1x ">，不等式()()2ln f ax f x ³恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若过点()1,M m 恰有2条与曲线()y f x =相切的直线，则1e 1m -<<-14．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ¹，若12()()f x f x =，则124x x +>15．设函数1cos ,0(),0e x x x f x x x -£ìï=í>ïî，下面四个结论中正确的是（ ）A ．函数在()0,1上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有一个零点C ．函数的值域为[]1,e -D ．对任意两个不相等的正实数12,x x ，若()()12f x f x =，则122x x +<16．已知函数()e xf x x =，()lng x x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 与函数()g x 有相同的极小值B ．若方程()f x a =有唯一实根，则a 的取值范围为0a ³C ．若方程()g x a =有两个不同的实根12,x x ，则212x x a>D ．当0x >时，若()()12f x g x t ==，则12x x t =成立17．已知函数ln ()xf x x=，则（ ）A ．(2)(3)f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，则212ex x >C ．ln 2<D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y >18．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在()2,+¥上单调递增B ．+12,R x x "Î且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>C ．R k +$Î，使得()f x kx >恒成立D ．函数()y f x x =-有且只有1个零点19．定义在R 上的函数()f x 满足()()e xf x f x =¢+，且()01f =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在2x =-处取得极小值B ．()f x 有两个零点C ．若0x ">，()f x k >恒成立，则1k <D ．若1x $，2R x Î，12x x ¹，()()12f x f x =，则124x x +<-20．宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抺驱虫剂.刚开始使用的时候，寄生虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，奇生虫增加的幅度逐渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少.若已知使用驱虫剂t 小时后寄生虫的数量大致符合函数()()()47e 50(0720),t f t t t f t -=-+¢£<为()f t 的导数，则下列说法正确的是（ ）A ．驱虫剂可以杀死所有寄生虫B ．()100f ¢表示100t =时，奇生虫数量以10052e -的速度在减少C ．若存在,,a b a b ¹，使()()f a f b =，则96a b +<D ．寄生虫数量在48t =时的瞬时变化率为021．已知()()12()ln ,f x x x f x f x ==且12x x ¹，则（ ）A ．1212ex x +>B ．1212ex x +<C1e>D1e<22．已知关于x 的方程e 0x x a -=有两个不等的实根12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（ ）A ．1e 0a --<<B ．122x x +<-C ．2x a>D ．11e 0xx +<23．已知函数()e xf x x =-，()lng x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()ln f x 在()1,+¥上是增函数B ．1x ">，不等式()()2ln f ax f x ³恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()g x t =有两个根1x ，1x ，则121x x ×>D ．若()()()122f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln t x x -的最大值为1e24．已知2.86ln ln a ba b==，ln ln 0.35c c d d ==-，a b <，c d <，则有（ ）A ．2e a b +<B ．2ec d +>C ．1ad <D ．1bc >题型三 极值点偏移解决双变量问题25．已知函数 ()()2e xx f x g x x ax ==+，，且曲线()y f x =在()0,0处切线也是曲线()y g x =的切线．(1)求a 的值；(2)求证：()()f x g x £；(3)若直线y k =与曲线()y f x =有两个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，与曲线()y g x =有两个公共点()()33,C x g x ，()()44,D x g x ，求证：12341x x x x +++>26．已知函数()()2e ln 1xf x a x a -=+-ÎR ．(1)若函数()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且21x x 的最大值为2e ，求证：2122e 1e 1x x ++£-．27．已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．28．设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+Î+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ¹，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．29．已知函数()()1ln f x x x =+．(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+¥上恒成立，求实数m 的最大值；(3)若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=ÎR 有两个实根1x ，()212x x x ¹，求证：121123a a x x -<+<+．30．设()()()()1ln 1ln 0f x x x x a a =+-->.(1)若1a =，求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；(2)若()0f x ³在 [)1,+¥上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数()y f x =存在两个极值点1212x x x x (<)、，求证：122x x +>.31．已知函数()11e ,0axf x x a a a -æö=-+>ç÷èø.(1)若()f x 的极小值为-4，求a 的值；(2)若()()ln g x f x a x =-有两个不同的极值点12,x x，证明：12x x +>32．已知函数()e 1xf x ax =--.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<；(3)若函数()()sin g x f x x =+，当0x ³时，()0g x ³恒成立，求实数a 的取值范围.33．已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a Î）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö¢<ç÷èø．34．已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.35．已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ">>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ¹，证明:124x x a +>.36．已知函数()()2ln R af x x x a x=+Î有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．1．已知a b >，且e e 1.01a b a b -=-=，则下列说法正确的有（ ）①1b <-； ②102a << ；③0b a +<； ④1a b -<.A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．③④2．已知函数()ln f x x x =-，过点()()1,1P b b >-作函数()f x 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，下列关于直线AB 斜率k 的正负，说法正确的是（ ）A ．0k <B ．0k =C ．0k >D ．不确定3．关于函数()22ln x f x x x =++，下列说法错误的是（ ）A ．不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立B ．对任意12,(0,)x x Î+¥，若12x x <，有()2112()x f x x f x <C ．对任意121212()(),(0,1),()22x x f x f x x x f ++ΣD ．若正实数12,x x ，满足12()()4f x f x +=，则122x x +³4．已知函数()()()e ,e xxxf x x a ag x =+Î=R ，下列说法正确的是（ ）A ．若()()1212,x x g x g x ¹=，则122x x +>B ．若0a =，则“120x x +=”是“()()120f x g x +=”的充要条件C ．若不等式()()f x g x <恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是22e e 212e ,e éö--÷êëøD ．若不等式()()f x g x <恰有2023个整数解122023,,x x x ×××，则()()20232023112023kkk k f x g x a==+=åå5．已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A ．0a b +>B ．0c d +>C ．0a d +>D ．0b c +>6．已知函数()e xf x x =，若120x x >>，则下列结论正确的是（ ）A ．2121()()f x f x x x ->-B ．1122()()x f x x f x +>+C ．1221()()x f x x f x >D ．若12()()f x f x -=-，则122x x +>7．已知函数()()e xf x x a bx =--，则下列结论正确的是（ ）A ．当1,2a b =-=时，()1f x ³恒成立B ．当1,a b R =Î时，()f x 必有零点C ．若()f x 有两个极值点12x x ､，则1224x x a +>-D ．若()f x 在R 上单调递增，则1a b +£8．已知函数()ln f x x x a =--有两个零点1x 、2x ，则下列说法正确的是（ ）．A ．1a >B ．121x x >C ．121x x <D ．122x x +>9．已知函数()ln xf x x=，则（ ）A ．()()25f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212ex x <C．ln 2>D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y >10．关于函数f （x ）＝2x＋ln x ，则下列结论正确的是（ ）A ．x ＝2是f （x ）的极小值点B ．函数y ＝f （x ）－x 有且只有1个零点C ．对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1＋x 2＞4D ．存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立11．已知函数()2ln 2a f x x x x =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）A ．a 的取值范围为（－∞，1）B ．122x x +>C ．12112x x +>D ．2111x x a->-12．已知关于x 的方程ln 0x x a -=有两个不等的正根1x ，2x 且12x x <，则下列说法正确的有（ ）A ．1ea -<<B ．122ex x +>C ．122x x a +<-D ．1x a<-13．设函数1,0()cos ,0x xx f x e x x -ì>ï=íï£î，下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[),1p -上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有两个零点C ．函数()f x 的值域是[]1,1-D ．对任意两个不相等正实数12,x x ，若12()()f x f x =，则122x x +>14．已知函数()e x f x x a =-，则下面结论成立的是（ ）A ．当10ea <<时，函数()0f x =有两个实数根B ．函数()0f x =只有一个实数根，则0a £C ．若函数()0f x =有两个实数根1x ，2x ，则122x x +>D ．若函数()0f x =有两个实数根1x ，2x ，则123x x +>15．已知函数()e x x m f x +=的极大值点为0，则实数m 的值为 ；设12t t ¹，且211212ln ln t t t t t t -=-，不等式12ln ln l +>t t 恒成立，则实数l 的取值范围为 ．16．已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+Î．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．已知函数()2ln ,R a f x x a x=+Î．若函数()f x 有两个不相等的零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：124x x a +>．18．已知函数()ln f x x x a =--有两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：122x x +>.19．已知函数ln ()a x a f x x +=．(1)讨论()f x 的极值；(2)若()()2112e e x xx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ¹，证明：122x x +>．20．已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.。

1．了解导数概念的实际背景。

2．通过函数图象直观理解导数的几何意义。

3．能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数。

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

热点题型一 导数的计算 例1、求下列函数的导数(1)y ＝e x sinx ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2。

(4)y ＝ln(1－2x)。

【提分秘籍】导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。

(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。

【举一反三】 求下列函数的导数 (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x ＋x 5＋sinxx 2；(3)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－2cos 2x 4。

解析：(1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以，y′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x)′＝18x 2＋4x －3。

学%科网 (2)因为y ＝＝x32-＋x 3＋sinx x 2，所以，y′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sinx x 2′＝－32x 52-＋3x 2＋x 2cosx －2xsinx x 4＝3x 2＋x －2cosx －32x 52-－2x －3sinx 。

(3)因为y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2cos 2x 4＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos 2x 4－1＝sin x2cos x2＝12sinx ，所以，y′＝12cosx 。