高中数学第三章3.4生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修3

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。

利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。

3.4生活中的优化问题举例学习目标核心素养1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点) 借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.1．生活中的优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．2．用导数解决优化问题的基本思路1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．7万件B．9万件C．11万件D．13万件B[设y＝f(x)，即f(x)＝－13x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0<x<9时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；当x>9时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减．因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B．20 3C．－1 D．－8C[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x>0)．为使耗电量最小，则速度应定为__________．40[y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)．当0<x<40时，y′<0，当x>40时，y′>0，所以当x＝40时，函数y＝13x3－392x2－40x有最小值．]面积、体积的最值问题四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨]设自变量(高)为x―→根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数―→利用导数求出容积的最大值―→结论[解]设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．[跟进训练]1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．6πS3π[设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr 2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr2 2πr.又圆柱的体积V＝πr2h，＝r2(S－2πr2)＝rS－2πr32，V′(r)＝S－6πr22，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．此时，S＝2π×h24＋πh2，∴h＝6πS3π.]用料(费用)最省问题要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的函数解析式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[思路点拨]代入数据求k的值⇒建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)⇒利用导数求最值．[解](1)设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5，而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－2 400(3x＋5)2，令f′(x)＝0，即2 400(3x＋5)2＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)，当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x＝5时，为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应注意的问题(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域. (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.[跟进训练]2．已知A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水而行到B 地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v ＝12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解] 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k ，则y 1＝k v 2.当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，解得k ＝5，∴y 1＝5v 2.∴全程的燃料费y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8(8<v ≤v 0)． y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v (v －8)2. 令y ′＝0得v ＝16或v ＝0(舍去)．所以函数在v ＝16时取得极值，并且是极小值．当v 0≥16时，v ＝16使y 最小，即全程燃料费最省．当8<v 0<16时，可得y ＝1 000v 2v －8在(8，v 0]上递减， 即当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8. 综合上述得：若v 0≥16，则当v ＝16千米/时时，全程燃料费最省；若8<v 0<16千米/时，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省．利润最大(成本最低)问题[探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] (1)根据x ＝5时，y ＝11，求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6， 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．[跟进训练]3．某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解] (1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．1．判断正误(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．( ) (2)生活中的优化问题必须运用导数解决．( ) (3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√2．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A ．6 mB ．8 mC ．4 mD ．2 m C [设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝1 024x ＋x 2，S ′＝2x －1 024x 2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．]3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．115 [利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000(30<x <200)，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0，得x ＝115，这时利润达到最大．]4．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解] 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，y －252 cm ，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25. 广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， ∴S ′＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25. 令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175，即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

3.4 生活中的优化问题举例[提出问题]某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL 溶液的圆柱形易拉罐． 问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ 提示：计算出圆柱的表面积即可． 问题2：如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1 000x(x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．[导入新知] 1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．用导数解决优化问题的基本思路[化解疑难]1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．面积、容积最值问题[例1] 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积． [解] (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π S ′ ＋0 －S极大值所以，当θ＝3时，S 取得最大值S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.[类题通法]解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[活学活用]用长为90 cm 、宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解：设容器的高为x cm ，容器的容积为V (x ) cm 3， 则V (x )＝x (90－2x )(48－2x ) ＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360) ＝12(x －10)(x －36)．令V ′(x )＝0，得x 1＝10，x 2＝36(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，V (x )是增函数； 当10<x <24时，V ′(x )<0，V (x )是减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm 3)．故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.用料最省(成本最低)问题[例2] 端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ [解] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1，所以，y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256xm ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx -12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小． [类题通法]解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值．[活学活用]甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (单位：元)关于速度v (单位：千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ， (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式．(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 解：(1)Q ＝P ·400v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80. 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).利润最大问题[例3] 每年投入广告费t (单位：百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (单位：百万元，且0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．[解] (1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x 百万元， 则用于广告促销的资金为(3－x )百万元， 又设由此获得的收益是g (x )，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0；当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0， 故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．[类题通法](1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本．②利润＝每件产品的利润×销售件数． [活学活用]某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N *)．(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解：(1)因为次品率p ＝3x4x ＋32， 所以当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品． 所以T ＝200x ·⎝⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N *)．(2)T ′＝－25·x ＋32x －16x ＋82，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0<x <16时，T ′>0； 当x >16时，T ′<0; 所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利.7.导数在实际问题中的应用[典例](12分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求S 以x 为自变量的函数表达式，并写出其定义域； (2)求S 的最大值．[解题流程][活学活用]有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：如图所示，依题意，点C在线段AD上，设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，所以BC＝BD2＋CD2＝402＋x2.设总的水管费用为y 元，则y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)， y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得x 1＝30，x 2＝－30(舍去)． 当x ＜30时，y ′＜0； 当x ＞30时，y ′＞0，所以当x ＝30时，y 取得最小值， 此时AC ＝50－30＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．[随堂即时演练]1．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 mD ．2 m解析：选C 设底面边长为x m ，高为h m ， 则有x 2h ＝256， 所以h ＝256x2.设所用材料的面积为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x＋x 2.S ′＝2x －256×4x2， 令S ′＝0，得x ＝8， 因此h ＝25664＝4(m)．2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)． 当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0.所以当x ＝9时，y 取得最大值．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ， 则V ＝πR 2L ＝27π， 所以L ＝27R2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，令S 表′＝2πR －54πR2＝0，得R ＝3，即当R ＝3时，S 表最小． 答案：34．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)．为使利润最大，应生产________千台．解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：65．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降价x 元， 则多卖的商品数为kx 2件， 由题意知24＝k ·22，得k ＝6. 若记商品在一个星期的获利为f (x )， 则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋6x 2) ＝(21－x )(432＋6x 2)，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增单调递减因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．[课时达标检测]一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60解析：选B V ′(x )＝2x ·⎝⎛⎭⎪⎫60－x 2＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)．令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍)． 故不难确定x ＝40时，V (x )有最大值．选B.2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元 解析：选D 毛利润为(P －20)Q ， 即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700＝－3(P ＋130) (P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)，故f (P )max ＝f (P )极大值， 故当P ＝30时，毛利润最大，∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )A.R2和32R B.55R和455RC.45R和75R D．以上都不对解析：选B 设矩形一边的长为x，则另一边的长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x1＝55R，x2＝－55R(舍去)．当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R，455R.4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A．150 B．200C．250 D．300解析：选D 由题意可得总利润P(x)＝R(x)－100x－20 000＝－x3900＋300x－20 000，0≤x≤390，P′(x)＝－1300x2＋300.令P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0.所以当x＝300时，P(x)最大．5．某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( ) A．32 m,16 m B．30 m,15 mC．40 m,20 m D．36 m,18 m解析：选A 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x m，其他两边的边长均为y m，则xy＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋512y(y＞0)，求导数，得l ′＝2－512y 2. 令l ′＝0，解得y ＝16或y ＝－16(舍去)．当0＜y ＜16时，l ′＜0；当y ＞16时，l ′＞0.所以y ＝16是函数l ＝2y ＋512y (y ＞0)的极小值点，也是最小值点，此时，x ＝51216＝32. 所以当堆料场的长为32 m ，宽为16 m 时，砌新墙壁所用的材料最省．二、填空题6．已知某矩形广场面积为40 000 m 2，则其周长至少为________m.解析：设广场的长为x m ，则宽为40 000x m ，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x ＞0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2， 令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：8007．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm. 解析：设该漏斗的高为x cm ，体积为V cm 3， 则底面半径为202－x 2 cm ， V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)． 当0<x <20 33时，V ′>0；当20 33<x <20时，V ′<0.所以当x ＝20 33时，V 取得最大值． 答案：20 338．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．解析：存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0,0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：0.032三、解答题9．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设容器底面较短的边长为x m ，则容器底面较长的边长为(x ＋0.5) m ， 高为14.8－4x －4x ＋0.54＝3.2－2x (m)，由3.2－2x >0和x ＞0，得0<x <1.6.设容器容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0<x <1.6)， y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)， 当0<x <1时，y ′>0；当1<x <1.6时，y ′<0.所以在x ＝1处y 有最大值，此时容器的高为1.2 m ，最大容积为1.8 m 3.10．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为 f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53 ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)(0<x <1)，则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000，因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值． 所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。

§3. 4 生活中的优化问题举例教学目标：1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

教学方法：尝试性教学教学过程：前置测评：（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程.（2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题例1.汽油的使用效率何时最高材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。

现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。

众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。

如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v表示经过原点与曲线上点（v,g ）的直线的斜率。

继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h ，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f ’(90),约为0.67L.例2.磁盘的最大存储量问题【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。