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初中所有函数归纳总结大全初中数学学习过程中，函数是一个重要的概念和工具。
函数是描述两个变量之间关系的一种方法，它在数学以及实际问题中有着广泛应用。
本文将对初中阶段所学的各种函数进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。
一、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是一种最简单的函数形式，其表达式为 y = kx + b，其中k 和 b 是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的斜率和倾斜的方向，常数 b 决定了直线与 y 轴的截距位置。
2. 幂函数幂函数的表达式一般为 y = ax^n，其中 a 和 n 是常数。
幂函数的图像通常是曲线，根据指数 n 的不同，可以分为增函数和减函数。
指数 n 的大小决定函数图像的陡峭程度。
3. 指数函数指数函数的表达式一般为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是幂指数。
指数函数的图像通常是曲线，底数a 的大小决定函数图像的增长速度。
4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般表达式为y = logₐx，其中 a 是底数，x 是函数的值。
对数函数的图像是指数函数图像关于直线 y = x 的对称图像。
5. 二次函数二次函数的表达式一般为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是抛物线，开口方向由 a 的符号决定，开口向上为正，开口向下为负。
6. 分段函数分段函数是由多个函数段构成的函数，每个函数段在不同的区间内有不同的表达式。
分段函数的图像通常是由几个不同形状的函数图像拼接而成。
二、函数的性质及应用1. 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的所有可能值，值域是函数输出的所有可能值。
在解题过程中，要注意确定函数的定义域和值域，以避免出现无意义的结果。
2. 奇偶性若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。
函数及其性质总结知识点函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程的重点内容之一。
函数是描述两个集合之间的依赖关系的映射，它在数学、物理、化学、经济学等领域都有着广泛的应用。
本文将从函数的定义、基本性质、常见函数及其性质等方面对函数进行总结。
一、函数的定义在数学上，函数是描述两个集合之间的依赖关系的一种数学结构。
具体来说，设A和B 是两个集合，如果对于A中的每一个元素x，都有且仅有一个元素y与之对应，那么就称这样的依赖关系为从集合A到集合B的一个函数。
通常用f表示函数，记作f: A → B，其中A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数中自变量的取值范围，值域是函数中因变量的取值范围。
2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图象关于原点对称的性质。
若函数满足f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。
3. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
若对于任意的x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，则称函数为单调不减；若对于任意的x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，则称函数为单调不增。
4. 周期性：若存在一个正数T，使得对于定义域上任意的x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性。
三、常见函数及其性质1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图象为一条直线，斜率k决定了函数的单调性和斜率的大小，截距b决定了函数的平移。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图象为抛物线，开口方向由a的正负决定，顶点的坐标由(-b/2a, c-b^2/4a)决定。
3. 幂函数：y = x^n，其中n为常数。
幂函数的图象形状由n的奇偶性和正负性决定，若n 为正偶数，则图像在第一象限共线上，n为正奇数则图像在一、三象限上共线，n为负偶数则在第四象限，负奇数图像在二、四象限上共线。
常见特殊函数性质归纳一、常见特殊函数列表在数学中，常见的特殊函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。
这些函数在各种数学问题中都有重要的应用，其性质也各不相同。
二、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，其周期都是$2\\pi$。
正弦函数的取值范围在[−1,1]之间，是奇函数；而余弦函数的取值范围也在[−1,1]之间，是偶函数。
两者的关系可以用三角关系式$\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1$来表示。
三、指数函数和对数函数指数函数以自然对数e为底，表达式为y=e x，其图像呈现指数增长的特点。
对数函数则是指数函数的反函数，以e为底时称为自然对数函数。
对数函数的定义域需要是正实数，而自然对数函数定义域则是全体实数。
四、特殊函数的性质总结1.特殊函数的周期性：正弦函数和余弦函数周期为$2\\pi$，指数函数没有周期性，而对数函数的定义域限制导致其不具备周期性。
2.特殊函数的奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，指数函数和对数函数均为奇函数。
3.特殊函数的单调性：正弦函数和余弦函数在各自的定义域内是周期性单调函数，指数函数和对数函数在其定义域内分别是增函数和减函数。
4.特殊函数的导数和积分：正弦函数和余弦函数的导数仍为正弦函数和余弦函数，对数函数的导数是1/x，指数函数的导数是其本身；积分则尊从各种函数的积分规则进行计算。
5.特殊函数的极限性质：各种特殊函数在不同趋近点的极限计算和性质会有所不同，需要具体逐个考察。
五、结语常见特殊函数的性质归纳是数学中基础的一环，对于理解数学问题和解题具有重要意义。
在具体运用中，针对每种特殊函数的性质，要有系统地理解和掌握，才能更好地应用于解决实际问题。
函数的性质归纳总结在数学中，函数是一种映射关系，用来描述两个集合之间的依赖关系。
通过对函数的性质进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用函数。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数通常用 f(x) 表示，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
二、函数的分类函数可以按照不同的特性进行分类，常见的分类方式有以下几种。
1. 一元函数和多元函数一元函数是指只有一个自变量的函数，例如 f(x) = 2x。
多元函数是指有多个自变量的函数，例如 f(x, y) = x + y。
2. 线性函数和非线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线，其表达式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
非线性函数则不满足线性函数的定义。
3. 奇函数和偶函数奇函数是指满足 f(-x) = -f(x) 的函数，其图像关于原点对称。
偶函数是指满足 f(-x) = f(x) 的函数，其图像关于 y 轴对称。
4. 单调函数和非单调函数单调函数是指函数的增减性在整个定义域上都保持一致，可以分为严格单调和非严格单调。
非单调函数则不满足单调函数的定义。
5. 周期函数和非周期函数周期函数是指存在正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T) = f(x)。
非周期函数则不满足周期函数的定义。
三、函数的性质函数具有许多性质，下面是一些常见的性质归纳总结。
1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
函数的定义域和值域可以通过具体问题来确定。
2. 导数和导函数函数的导数描述了函数在某一点的变化率，导函数则是函数的导数函数。
导数可以用于求函数的最值、判断函数的凹凸性等问题。
3. 零点和极值点函数的零点是指函数取零值的点，可以通过解方程f(x) = 0 来求解。
极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
4. 极限函数在某一点的极限描述了函数在该点附近的变化趋势，具有重要的数学和物理意义。
高三数学常用函数及其性质总结数学在高三阶段是一门非常重要的科目，而函数则是数学中的基础概念之一。
理解和掌握常用函数及其性质对于高三学生来说至关重要。
本文将对常用函数及其性质进行总结，以便帮助高三学生更好地理解和应用数学知识。
一、线性函数线性函数是最基本的函数之一，也是最容易理解的函数类型。
线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的性质包括：1. 函数图像为一条直线；2. 斜率k表示直线的倾斜程度，k>0时表示直线上升，k<0时表示直线下降；3. 平移性质：改变常数b的值可以使直线向上或向下平移。
二、二次函数二次函数是高中数学中较为复杂的一个函数类型。
二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的性质包括：1. 函数图像为抛物线；2. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；3. 零点与顶点：求解f(x) = 0可得到二次函数的零点，顶点则位于抛物线的对称轴上。
三、指数函数指数函数是一种常见的非线性函数，其一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1。
指数函数的性质包括：1. 函数图像为曲线，随着x的增大，函数值呈现指数级增长或衰减；2. 底数a决定了函数的增长或衰减速度，当0<a<1时，函数值随着x增大而逐渐减小；当a>1时，函数值随着x增大而逐渐增大。
四、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，其一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a 为底数且a>0且a≠1。
对数函数的性质包括：1. 函数图像为曲线，和指数函数的图像呈镜像关系；2. 底数a决定了函数的性质，当0<a<1时，对数函数递增且函数值随着x的增大而逐渐减小；当a>1时，对数函数递增且函数值随着x的增大而逐渐增大。
五、三角函数三角函数是高中数学中重要的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称：常数函数 解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R)图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合〔垂直于y 轴〕的直线定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性 奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性函 数 名 称：一次函数 解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质：直线型图象。
|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b =0时，函数f (x )的图象过原点；当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线；当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线； 定 义 域：R 值 域：R单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数； 当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数； 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反 函 数：有反函数。
[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周 期 性：无函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )=xk(k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ；定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数； 奇偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 周 期 性：无函 数 名 称：变式型反比例函数 解析式 形 式：f (x )=dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线c a y =、直线cdx -=相交，当k>0时，b函数f (x )的图象分别在直线c a y =与直线c d x -=形成的左下与右上部分；当k<0时，函数f (x )的图象分别在直线ca y =与直线c d x -=形成的左上与右下部分；双曲线型曲线，直线c a y =与直线cdx -=分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为点),(c a c d -；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为cda x y ++=、cda x y -+-=；由于c a cd x c ad bc d cx c ad b c a d cx c ad b d cx c a d cx b ax x f ++-=+-+=+-++=++=2)()( 令2c ad bc k -=，则c a c d x k x f ++=)( 进而函数f (x )的图象可以看成是由函数x k y =向左平移cd 个单位，向上平移c a个单位得到的定 义 域：),(),(+∞---∞c d c d 值 域：),(),(+∞-∞cac a单 调 性：当0>-ad bc 时，函数在),(c d --∞和),(+∞-c d 上均为减函数；当0<-ad bc 时，函数在),(cd--∞和),(+∞-c d 上均为增函数；奇偶 性：非奇非偶函数 反函数：acx b dx y -+-= 周 期 性：无函 数 名 称：二次函数 解析式 形 式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为a b x 2-=，顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ；②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2a b ac a b --；当0<a 时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2a b ac a b --；③当042>-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有两个交点，当042=-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有一个交点，当042<-=∆ac b 时，函数图象与x 轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0<a 时，横坐标距对称轴近则函数值大；⑤函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 均可由函数)0()(2≠=a ax x f 平移得到；定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为),44(2+∞-ab ac ；当0<a 时，值域为)44,(2a b ac --∞单 调 性：当0>a 时，]2,(a b --∞上为减函数，),2[+∞-a b 上为增函数；当0<a 时，),2[+∞-a b 上为减函数，]2,(ab--∞上为增函数；奇 偶 性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数 反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无c bx ++指数函数y=a x (常数a>0且a≠1)图象特征函数性质图象向左、向右无限延展，但永远不和x轴相交x∈R图象都在x轴上方函数值恒大于0图象必经过点(0,1) 当x=0时，y=1a>1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1 当x>0时，y>1 图象在第二象限部分的点的纵坐标都小于1 当x<0时，0<y<10<a<1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都小于1 当x>0时，0<y<1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1 当x<0时，y>1a>1 图象上升增函数0<a<1 图象下降减函数对数函数y=lo g a x(a>0且a≠1的常数)图象特征函数性质图象都在y轴右方函数定义域：x>0y 函数值域：y∈R图象必经过点(1,0) 当x=1时，y=0a>1横坐标大于1的点的纵坐标都大于0 当x>1时，y>0 横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都小于0 当0< x< 1时，y<00<a<1横坐标大于1的点的纵坐标都小于0 当x>1时，y<0 横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都大于0 当0< x< 1时，y>0a>1 图象上升增函数0<a<1 图象下降减函数y =x n (n ∈R 且n 为常数)不 同 点图象呈现“抛物线”型的弧图象呈现“双曲线”型的弧图象与x 、y 轴无限接近，但永不相交图象都经过点(0,0)、(1,1) 图象都经过(1,1)在第一象限，函数值随着x 的增大而增大 即在(0,+∞)上是增函数 在第一象限，函数值随着x 的增大而减小即在(0,+∞)上是减函数共同点(1) 当n =0时，图象是一条去掉(0,1)的直线； (2) 幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点(0,0)； (3) 幂函数的图象不可能经过第四象限； (4) 任何两个幂函数的图象最多只有三个交点图像定义域 (-∞,0)⋃(0,+∞)(-∞,0)⋃(0,+∞)奇偶性奇函数 奇函数单调性递增区间),(a --∞和),(+∞a递增区间 (-∞,0)和(0, +∞)递减区间)0,(a -和),0(a递减区间无值 域]a 2,(--∞⋃),a 2[+∞R减小减小xyO aa -a 2 a 2-)0(>+=a xax yxyO )0(>-=a xax y a a -。
《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组 张驰1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的______两()y f x =A I A ⊆I 个值，，当<时，都有_____，那么在区间上是单调增1x 2x 1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I 函数，称为的单调_____区间. 如果对于区间内的______两个值，，当I ()y f x =I 1x 2x <时，都有_____，那么在区间上是单调减函数，称为1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I I 的单调_____区间.如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，()y f x =()y f x =I 那么函数在区间上具有________.()y f x =I 点评 单调性的等价定义：①在区间上是增函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21<-x f x f ；0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ②在区间上是减函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21>-x f x f ；0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设且，12[]x x a b ∈，，12x x ≠那么在区间上是增函0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数；在区间上是减函0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数。
函数的常用性质总结汇总函数的对称性、奇偶性与周期性常用性质总结函数的奇偶性：1.奇函数：对于定义域任意，都满足，则函数是奇函数图像关于原点对称2.偶函数：对于定义域任意，都满足，则函数是偶函数图像关于轴对称函数的对称性：（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若函数满足条件：,则函数的图象关于直线对称。
推论：的图象关于直线对称2.若函数满足条件：，则的图象关于点对称。
推论：的图象关于点对称3.若函数满足条件：，则函数的图象关于点对称。
推论：的图象关于点对称注：1.函数是偶函数，即满足图像关于直线对对称（也即轴）2.函数是奇函数，即满足图像关于点对称（也即原点）3.对于任意函数的图像不可能关于直线对称（二）两个函数的图象对称性1函数与图象关于轴对称2.函数与图象关于轴对称3.函数与图象关于原点对称4.若函数定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。
推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称5.若函数定义域为，则函数与的图象关于点对称推论：函数与函数图象关于点对称。
互为反函数：函数与函数图像关于直线对称。
函数的周期性：周期定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
常见周期类型：若函数定义域为，且满足条件，则是以为周期的函数推论1.若函数定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。
推论2：若函数满足条件，则是以为周期的周期函数。
推论3：若函数满足条件，则是以为周期的周期函数。
的周期为的周期为的周期为四．函数周期性与对称性的关系：若函数的图象关于直线与对称，则是以为周期的周期函数。
若函数的图象关于点与点对称，则是以为周期的周期函数。
若函数的图象关于直线与点，则是以为周期的周期函数。
注:“内同表示周期性，内反表示对称性”函数奇偶性与对称性的关系：若函数为偶函数，则函数图像直线对称（为偶函数）若函数为奇函数，则函数图像点对称（为奇函数）函数奇偶性、对称性、周期性的关系：若函数是奇函数，且图像关于直线对称，则函数是以周期的周期函数；若关于点对称，则函数是以周期的周期函数。
2.2常见函数一、一次函数和常函数：思维导图:（一） 、一次函数 (二）、常函数 定义域：（- ∞,+ ∞） 定义域: （- ∞,+ ∞） 值 域:（- ∞,+ ∞) 正 k=０ 反 值 域:{ b }解析式：y = ｋｘ ＋ b ( ｋ≠ 0 ) 解析式:y ＝ ｂ （ b 为常数)图 像:一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线b x x ｏ x ｂ=0b<0b=0 b>0b<０Ｋ ＞ 0 k < 0单调性: ｋ > 0 ,在（- ∞,+ ∞）↑ 单调性:在(－ ∞,＋ ∞)上不单调k ＜ 0 ,在(- ∞,＋ ∞)↓奇偶性：奇函数⇔=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶⇔≠0b周期性: 非周期函数 周期性:周期函数,周期为任意非零实数反函数:在（- ∞，＋ ∞)上有反函数 反函数:在(－ ∞，＋ ∞)上没有反函数反函数仍是一次函数例题：-- 二、二次函数1、定义域:(- ∞,＋ ∞）2、值 域： ),44[,02+∞-∈>ab ac y a]44,(,02ab ac y a --∞∈<3、解析式：)0(2≠++=a c bx ax y ４、图 像:一条开口向上或向下的抛物线开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小绝对值：随着,00<>a a a a正半轴相交与负半轴相交与y c y c c,0,0><对称轴：ab x 2-=对称轴： ；)44,2(2ab ac ab --顶点： 轴交点个数图像与x ac b →-=∆42:与x 轴交点的个数。
两个交点,0>∆一个交点,0=∆无交点,0<∆5、单调性:↑+∞-↓--∞>),2[]2,(,0ab ab a↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0ab ab a６、奇偶性:偶函数⇔=0b 7、周期性：非周期函数８、反函数：在(- ∞，＋ ∞)上无反函数,上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞ab ab例题:三、反比例函数和重要的分式函数(一）、反比例函数 (二)、分式函数bax dcx y ++= 定义域：（- ∞，0)∪(０，+ ∞） 定义域：),(),(+∞---∞aba b 值 域:（－ ∞，0)∪（０,+ ∞) 值 域: ),(),(+∞-∞a c a c解析式：)0()(≠=k xk x f 解析式:)(a bx b ax d cx y -≠++=图 像:以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像：以abx -=和a c y =为渐近线的双曲线y y0 x 0 xk > 0 k ＜ 0单调性： k>0,(- ∞,0)↓,(０,＋ ∞)↓ 单调性:在),(a b --∞和),(+∞-ab上 k<0,(- ∞，０）↑,(0,＋ ∞）↑ 单调性相同 奇偶性:奇函数 奇偶性：非奇非偶 对称性:关于原点对称 对称性:关于点),(aca b -成中心对称周期性:非周期函数 周期性:非周期函数 反函数:在定义域上有反函数， 反函数：在定义域有反函数,反函数是其本身。
七大函数——1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数七大性质——1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性壹@一次函数（正比例函数）1、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，即：y=kx （k为常数，k≠0）则此时称y是x的正比例函数。
2、一次函数的性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
（3) k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。
当b=0时，直线通过原点。
(4)特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰@二次函数1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
其图象是一条抛物线。
2．根与系数的关系-韦达定理（1）若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
求根公式2b x a -=， 补充公式 a x x ∆=-21。
韦达定理a b x x -=+21，acx x =•21。
（2）以1x ，2x 为两根的方程为()021212=•+++x x x x x x（3）用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0<a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根不等式的解集20ax bx c ++>()0a > {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R 20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅∅叁@反比例函数1、定义：一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：（1）x 是自变量，y 是x 的反比例函数；（2）自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； （3）反比例函数有三种表达式：①x ky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）。
（4）函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
2、反比例函数解析式的特征：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号 0k > 0k <图像定义域和值域 0x ≠，0y ≠；即（—∞，0）U （0，+∞） 0x ≠，0y ≠即（—∞，0）U （0，+∞）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
肆@指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 2．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += （2）rs s r a a =)( （3）s r r a a ab =)( 均满足),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中定义域为x ∈R ．2、指数函数的图象和性质注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；伍@对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）x N N a a x =⇔=log ； 2．两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln ． （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =NMa log M a log －N a log ； ○3 naM log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m nb a n a mlog log =；（2）ab b a log 1log =．（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．2、对数函数的性质：@@@指数函数与对数函数 的比较记忆表1 指数函数()0,1x y a a a =>≠对数数函数()log 0,1a y x a a =>≠定义域 x R ∈()0,x ∈+∞值域()0,y ∈+∞y R ∈图象性质过定点(0,1)过定点(1,0)减函数增函数 减函数增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，a b <a b >a b <a b >1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义, 并且图象都过点（1，1）； （2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸； 当10<<α时，幂函数的图象上凸；条件a>10<a<1图像1111定义域 x ＞0 x ＞0 值域 R R 单调性 在R 上递增 在R 上递减 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 特性过定点（1，0）过定点（1，0）（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．3、幂函数的图像幂函数（1) 幂函数（2) 幂函数（3)@@@函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．柒@三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =函 数性 质三角函数（记忆）1、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =，αααcot sin cos =，1cot tan =⋅αα，1cos sin 22=+αα 图象1、定义域 RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭2、值域[]1,1-[]1,1-R3、最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值4、周期性2π 2π π5、奇偶性 奇函数 偶函数奇函数6、单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上，是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上，是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上， 是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上，是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上，是增函数． 7、对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴1sin csc =α⋅α， 1cos sec =α⋅α ， 1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα 注意：提高解题速度。
