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量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
第十三章 早期量子论和量子力学基础练 习 一一. 选择题1. 内壁为黑色的空腔开一小孔，这小孔可视为绝对黑体，是因为它（ B ） (A) 吸收了辐射在它上面的全部可见光； (B) 吸收了辐射在它上面的全部能量； (C) 不辐射能量； (D) 只吸收不辐射能量。
2. 一绝对黑体在温度T 1 = 1450K 时，辐射峰值所对应的波长为λ1，当温度降为725K 时，辐射峰值所对应的波长为λ2，则λ1/λ2为（ D ） (A)2； (B) 2/1； (C) 2 ； (D) 1/2 。
3. 一般认为光子有以下性质（ A ）(1) 不论在真空中或介质中的光速都是c ；(2) 它的静止质量为零；(3) 它的动量为h ν/c 2； (4) 它的动能就是它的总能量；(5) 它有动量和能量，但没有质量。
以上结论正确的是 （ A ）(A) （2）（4）； (B) （3）（4）（5）； (C) （2）（4）（5）； (D) （1）（2）（3）。
4. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0（使电子从金属逸出需做功eU 0），则此单色光的波长λ必须满足：（A ） (A) 0hc eU λ≤； (B) 0hc eU λ≥； (C) 0eU hc λ≤； (D) 0eU hcλ≥。
二. 填空题1. 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 1.416×103K 。
2. 设太阳表面的温度为5800K ，直径为13.9×108m ，如果认为太阳的辐射是常数，表面积保持不变，则太阳在一年内辐射的能量为 1.228×1034 J ，太阳在一年内由于辐射而损失的质量为1.3647×1017 kg 。
3. 汞的红限频率为1.09×1015Hz ，现用λ=2000Å的单色光照射，汞放出光电子的最大初速度0v =57.7310 m/s ⨯ ，截止电压U a = 1.7V 。
第13章 早期量子论和量子力学基础13.1 复习笔记一、热辐射 普朗克的能量子假设1．热辐射现象任何固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射，物体向四周所发射的能量称为辐射能．2．基尔霍夫辐射定律（1）辐射相关的物理量单色辐出度M辐出度M （T ）单色吸收比和单色反射比（2）黑体黑体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1．（3）基尔霍夫提出的重要定律在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比的比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度，即式中，表示黑体的单色辐出度，基尔霍夫定律表明，吸收能力强的物体辐射能力也较强．3．黑体辐射实验定律（1）斯特藩-玻尔兹曼定律：黑体的总辐出度随温度的升高而增大，且满足式中，为斯特藩常量，数值上等于．σ（2）维恩位移定律：黑体单色辐出度的峰值波长与温度成反比，即bT =m λ式中，b 是维恩常量，数值上等于．4．普朗克的能量子假设（1）普朗克能量子假设：辐射黑体分子、原子的振动可以看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能．但是这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不像经典物理所允许的具有任意值．相应的能量是某一最小能量的整数倍ε，其中n 为正整数，称为量子数．这个假设称为普朗克能量子假设．对于频率为v 的谐振子，最小能量为ε＝hv （h 为普朗克常量）（2）普朗克公式式中，c 是光速，k 是玻耳兹曼常量，h 是普朗克常量，h ＝6.6260693（11）×10－34 J·s.二、光电效应 爱因斯坦的光子理论1．光电效应的实验规律（1）实验原理图13-1-1 光电效应实验图如图13-1-1所示，K 为光阴极，A 为阳极，在光照射下阴极可能释放电子，称为光电子．在两极间加上电势差U ，U 不同则形成不同大小的电流由电流计读出，称为光电流．光电流为0时外加电势差的绝对值称为遏止电势差．（2）实验规律①饱和电流单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比．②遏止电势差光电子从金属板逸出时具有一定动能，最大初动能等于电子的电荷量和遏止电势差的乘积，与入射光的强度无关．③遏止频率（红限）光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系．当入射光频率小于时，不会产生光电效应．0 ④弛豫时间从入射光开始照射直到金属释放出电子，无论光多微弱，几乎都是瞬时的，弛豫时间不超过．910s 图13-1-2 光电效应的伏安特性曲线图13-1-3遏止电势差与频率的关系2．光的波动说的缺陷按照光的经典电磁理论，金属在光的照射下，金属中的电子将从入射光中吸收能量，从而逸出金属表面．逸出时的初动能应决定于光振动的振幅，即决定于光的强度．因而按照光的经典电磁理论，光电子的初动能应随入射光的强度而增加．但实验结果是，任何金属所释出的光电子的最大初动能都随入射光的频率线性地上升，而与入射光的强度无关．3．爱因斯坦的光子理论把光当成以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子，每一个光子的能量为光电效应解释如下：当金属中一个自由电子从入射光中吸收一个光子后，可获得能量．如果此能量大于金属表面逸出功A ，这个电子逸出，否则不逸出，与光强无关．光强只决定光子数的多少，决定光电流的大小．根据能量守恒定律，可以得到爱因斯坦光电效应方程式中，是入射光的频率，m 和分别是出射光电子的质量和速度．νmv 4．光的波粒二象性光子的动质量m φ可由相对论的质-能关系式得到m φ的量值应是有限的，视光子的能量而定，而光子的静质量m φ0＝0．光子的动量为动量和能量是描述粒子性的，而频率和波长则是描述波动性的．光的这种双重性质称为光的波粒二象性.三、康普顿效应1．康普顿效应在散射光中，除有与入射线波长相同的射线外，同时还有波长的射线．这种0λ0λλ>改变波长的散射称为康普顿效应．实验结果表明：（1）波长的偏移Δλ＝λ－λ0随散射角φ（散射线与入射线之间的夹角）而异；当散射角增大时，波长的偏移也随之增加，而且随着散射角的增大，原波长的谱线强度减小，而新波长的谱线强度增大；（2）在同一散射角下，对于所有散射物质，波长的偏移Δλ都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小．2．光子理论的解释将光子当作能量为、动量为的粒子，与电子发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒（电子动能应考虑狭义相对论修正），得到康普顿公式式中，称为康普顿波长．四、氢原子光谱 玻尔的氢原子理论1．氢原子光谱的规律性氢原子发光频率满足以下里德伯方程式中，是波数，k ＝1,2,3,…，n ＝k ＋1,k ＋2,k ＋3,…，R 是里德伯常量，其大小为ν%2．玻尔的氢原子理论玻尔理论的基本假设：（1）定态假设：原子系统只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状态电子不辐射也不吸收电磁波．（2）频率条件：当原子从一个能量为的定态跃迁到另一个能量为的定态时，会n E k E 发射或吸收一个频率为的光子．kn ν（3）量子化条件：电子绕核作圆周运动，其稳定状态的角动量L 需满足。
(黑体辐射、光电效应、康普顿效应、玻尔理论、波粒二象性、波函数、不确定关系)一. 选择题[ D]1. 当照射光的波长从4000 Å变到3000 Å时，对同一金属，在光电效应实验中测得的遏止电压将：(A) 减小0.56 V．(B) 减小0.34 V．(C) 增大0.165 V．(D) 增大1.035 V．［］(普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，基本电荷e =1.60×10-19 C)解题要点:)()(1212λλccehvvehUa-=-=∆∴[ C]2. 下面四个图中，哪一个正确反映黑体单色辐出度M Bλ(T)随λ 和T的变化关系，已知T2 > T1．解题要点:斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体的辐射出射度M0(T)与黑体温度T的四次方成正比，即.M0 (T)随温度的增高而迅速增加维恩位移律：随着黑体温度的升高，其单色辐出度最大值所对应的波长mλ向短波方向移动。
[ D]3. 在康普顿散射中，如果设反冲电子的速度为光速的60％，则因散射使电子获得的能量是其静止能量的(A) 2倍．(B) 1.5倍．(C) 0.5倍．(D) 0.25倍．解题要点:(B)因散射使电子获得的能量：202c m mc K -=ε 静止能量：20c m[ C ]4. 根据玻尔的理论，氢原子在n =5轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为(A) 5/4． (B) 5/3．(C) 5/2． (D) 5．解题要点:L = m e v r = n 第一激发态n ＝2[ B ]5. 氢原子光谱的巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为 (A) 7/9． (B) 5/9． (C) 4/9． (D) 2/9．解题要点:从较高能级回到n=2的能级的跃迁发出的光形成巴耳末系l h E E h -=νc =λν23max E E ch-=λ2min E E ch-=∞λ[ B ]6. 具有下列哪一能量的光子，能被处在n = 2的能级的氢原子吸收？ (A) 1.51 eV ． (B) 1.89 eV ．(C) 2.16 eV ． (D) 2.40 eV ．解题要点:26.13n eV E n -=l h E E h -=ν=⎪⎭⎫⎝⎛---2226.136.13eV n eV[ D ]7. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D 2倍． (B) 增大2D 倍． (C) 增大D 倍． . (D) 不变．解题要点:注意与各点的概率密度区分开来.二. 填空题1. 康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角φ =___π___时，散射光子的频率小得最多；当φ = ___0___ 时，散射光子的频率与入射光子相同．解题要点:频率小得最多即波长改变量最大2. 氢原子基态的电离能是 __13.6__eV ．电离能为+0.544 eV 的激发态氢原子，其电子处在n =__5__ 的轨道上运动．解题要点:电离能是指电子从基态激发到自由状态所需的能量. ∴氢原子基态的电离能E =1E E -∞=⎪⎭⎫⎝⎛--∞-2216.136.13eV eV E =n E E -∞ 即 +0.544 eV=26.13neV3. 测量星球表面温度的方法之一，是把星球看作绝对黑体而测定其最大单色辐出度的波长λm ，现测得太阳的λm 1 = 0.55 μm ，北极星的λm 2 = 0.35 μm ，则太阳表面温度T 1与北极星表面温度T 2之比T 1:T 2 =___7:11___．解题要点:由维恩位移定律: T m λ=b∴m λ∝T1 即21T T =12m m λλ 4. 令)/(c m h e c =λ(称为电子的康普顿波长，其中e m 为电子静止质量，c 为真空中光速，h 为普朗克常量)．当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是λλc ．解题要点:电子的动能：22c m mc e K -=ε 静止能量：2c m e22c m mc e K -=ε＝2c m e221cu m m e -=21⎪⎭⎫ ⎝⎛-===c u u m h m u h p h e λ 5. 若太阳（看成黑体）的半径由R 增为2 R ，温度由T 增为2 T ，则其总辐射功率为原来的__64__倍．解题要点:由斯特藩-玻耳兹曼定律：太阳的总辐射功率:024M R M ⋅=π424T R σπ⋅=6. 波长为0.400μm 的平面光波朝x 轴正向传播．若波长的相对不确定量∆λ / λ =10-6，则光子动量数值的不确定量 ∆p x =___s m kg /1066.133⋅⨯-_ _，而光子坐标的最小不确定量∆x =___0.03m___．解题要点:λh p =λλλλλ∆⋅=∆=∆h h p 2三. 计算题1. 图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线(1) 求证：对不同材料的金属，AB 线的斜率相同．(2) 由图上数据求出普朗克恒量h ．解:(1)由得A h U e a -=ν e A e h U a /-=ν 常量==e h d U d a ν/ ∴对不同金属,曲线的斜率相同 (2)s J eetg h ⋅⨯=⨯--==-3414104.610)0.50.10(00.2θ |14Hz)2. 用波长λ0 =1 Å的光子做康普顿实验． (1) 散射角φ＝90°的康普顿散射波长是多少？ (2) 反冲电子获得的动能有多大？(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)解:(1)λλλ∆+=0m 1010024.1-⨯=(2)根据能量守恒:∴反冲电子获得动能:202c m mc K -=εννh h -=0λλchch-=0)(00λλλλ∆+∆=hceV J 2911066.417=⨯=-3. 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV 的光子． (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？(2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几条谱线？请画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能级图上．解:(1)l h E E h -=ν=⎪⎭⎫⎝⎛---2216.136.13eV n eV =12.75 n=4(2)可以发出41λ、31λ、21λ、43λ、42λ、32λ六条谱线4. 质量为m e 的电子被电势差U 12 = 100 kV 的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长．若不用相对论计算，则相对误差是多少？(电子静止质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C) n=1n=2n=3n=4解：考虑相对论效应：22c m mc e K -=ε=12eU221cu m m e -=21⎪⎭⎫ ⎝⎛-===c u u m h m u h p h e λ＝)2(21212c m eU eU hc e +＝3.71m 1210-⨯若不用相对论计算：221u m e =12eU u m h p h e =='λ=122eU m he =3.88m 1210-⨯ 相对误差：λλλ-'＝4.6﹪5. 一电子处于原子某能态的时间为10-8 s ，计算该能态的能量的最小不确定量．设电子从上述能态跃迁到基态所对应的光子能量为3.39 eV ，试确定所辐射的光子的波长及此波长的最小不确定量．( h = 6.63×10-34 J ·s )解：根据不确定关系式≥∆E t∆2 ＝5.276J 2710-⨯＝3.297eV 810-⨯ 根据光子能量与波长的关系==νh E λchEc h=λ＝3.67m 710-⨯ 波长的最小不确定量为2EE hc∆=∆λ＝7.13m 1510-⨯ [选做题]1. 动量为p的原子射线垂直通过一个缝宽可以调节的狭缝S ，与狭缝相距D 处有一接收屏C ，如图．试根据不确定关系式求狭缝宽度a 等于多大时接收屏上的痕迹宽度可达到最小．解：由不确定关系式 2≥∆∆y p y而 a y =∆，θsin p p y =∆ 则有 pa2sin ≥θ 由图可知，屏上痕迹宽带不小于 paD a D a y+=+=θsin 2 由0=da dy可得 pD a= 且这时 022>dayd 所以狭缝的宽度调到p D a =时屏上痕迹的宽度达到最小。
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
第13章 早期量子论和量子力学基础13.2 课后习题详解一、复习思考题§13-1 热辐射普朗克的能量子假设13-1-1 两个相同的物体A和B，具有相同的温度，如A物体周围的温度低于A，而B物体周围的温度高于B．试问：A和B两物体在温度相同的那一瞬间，单位时间内辐射的能量是否相等？单位时间内吸收的能量是否相等？答：单位时间内辐射的能量和吸收的能量不相等．（1）物体的辐出度M（T）是指单位时间内从物体表面单位面积辐射出的各种波长的总辐射能．由其函数表达式可知，在相同温度下，各种不同的物体，特别是在表面情况（如粗糙程度等）不同时，Mλ（T）的量值是不同的，相应地M（T）的量值也是不同的．若A和B两物体完全相同，包括具有相同的表面情况，则在温度相同时，A和B两物体具有相同的辐出度．（2）A和B两物体在温度相同的那一瞬间，两者的温度与各自所处的环境温度并不相同，即未达到热平衡状态．因为A物体周围的环境温度低于A，所以物体A在单位时间内的吸收能小于辐射能；又因为B物体周围的环境温度高于B，所以物体B在单位时间内的吸收能大于辐射能．因为两者的辐出能相同，所以单位时间内A物体从外界吸收的能量大于B物体从外界吸收的能量．13-1-2 绝对黑体和平常所说的黑色物体有何区别？绝对黑体在任何温度下，是否都是黑色的？在同温度下，绝对黑体和一般黑色物体的辐出度是否一样？答：（1）①绝对黑体（黑体）是指在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1，即aλ（T）＝1的物体．绝对黑体不一定是黑色的，它是完全的吸收体，然而在自然界中，并不存在吸收比等于1的黑体，它是一种像质点、刚体、理想气体一类的理想化的物理模型．实验中通常以不透明材料制成开有小孔的空腔作为绝对黑体的近似，空腔的小孔就相当于一个黑体模型．②黑色物体是指吸收大部分色光，并反射部分复色光，从而使人眼看不到其他颜色，在人眼中呈现出黑色的物体．现实生活中的黑色物体的吸收比总是小于1，如果吸收比等于1，那么物体将没有反射光发出，人眼也就接收不到任何光线，那么黑色物体也就不可视了．因为绝对黑体对外界的能量不进行反射，即没有反射光被人眼接收，从这个角度讲，它是“黑”的．如同在白天看幽深的隧道，看起来是黑色，其实是因为进入隧道的光线很少被发射出来，但这并不代表隧道就是黑色的．然而，黑色物体虽然会吸收大部分色光，但还是会反射光线的，只是反射的光线很微弱而已．所以，不能将黑色的物体等同于黑体．（2）绝对黑体是没有办法反射任何的电磁波的，但它可以放出电磁波来，而这些电磁波的波长和能量则全取决于黑体的温度，却不因其他因素而改变．黑体在700K以下时，黑体所放出来的辐射能量很小且辐射波长在可见光范围之外，看起来是黑色的．若黑体的温度超过700K，黑体则不会再是黑色的了，它会开始变成红色，并且随着温度的升高，而分别有橘色、黄色、白色等颜色出现，例如，根据冶炼炉小孔辐射出光的颜色来判断炉膛温度．（3）不一样．因为绝对黑体的吸收比大于黑色物体的吸收比，所以在相同温度下，绝对黑体比一般黑色物体吸收更多的辐射能，从而绝对黑体的辐出度比一般的黑色物体大．13-1-3你能否估计人体热辐射的各种波长中，哪个波长的单色辐出度最大？答：远红外波段的单色辐出度最大．设人体正常体温为37℃（即310 K ），根据绝对黑体的辐出度按波长的分布规律进行估算，再结合维恩位移定律得可得因为此波长处于远红外波段，所以远红外波段的单色辐出度最大．13-1-4 有两个同样的物体，一个是黑色的，一个是白色的，且温度也相同，把它们放在高温的环境中，哪一个物体温度升高较快？如果把它们放在低温环境中，哪一个物体温度降得较快？答：（1）黑色物体升温较快．根据基尔霍夫辐射定律可知，在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比之比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度．所以当一个物体的吸收比越大时，其辐出度也越大，这一定律通俗地说就是好的吸收体也是好的辐射体．因为两物体温度相同，且放置在相同的高温环境中，所以两物体都处于吸收大于辐射的状态．但由于黑色物体的吸收能力比白色物体强，因此，升温较快的是黑色物体．（2）黑色物体降温较快．因为两物体温度相同，且放置在相同的高温环境中，所以两物体都处于辐射大于吸收的状态．又因黑色物体既是良好的吸收体，又是良好的辐射体，其辐射能力比白色物体强，所以，降温较快的是黑色物体．13-1-5 若一物体的温度（绝对温度数值）增加一倍，它的总辐射能增加到多少倍？答：设单位时间、单位面积绝对黑体的总辐射能为M0（T），则由斯特藩-玻耳兹曼定律得M0（T）＝σT4即当绝对黑体的温度增加一倍时，它的总辐射能将增至原来的16倍．§13-2 光电效应爱因斯坦的光子理论13-2-1 在光电效应的实验中，如果：（1）入射光强度增加1倍；（2）入射光频率增加1倍，按光子理论，这两种情况的结果有何不同？答：（1）若入射光光强I增加1倍，在相同的加速电势差下，光电流的量值也较大，相应的I H也增大，说明从电极K逸出的电子数增加了，即逸出金属的光电子数会增加1倍；（2）若入射光频率v增加1倍，则电子作用的每个光子的能量会增加1倍．因为入射光强度不变，根据（对同一金属，U0为恒量，K为不随金属性质类别而改变的普适恒量）可知，逸出金属后的光电子的最大初动能增大．13-2-2 已知一些材料的逸出功如下：钽4.12 eV，钨4.50 eV，铝4.20 eV，钡2.50 eV，锂2.30 eV．试问：如果制造在可见光下工作的光电管，应取哪种材料？答：可见光的波长范围在（400～760）nm之间，由可知，对应的光子能量范围在（1.64～3.11）eV之间．因为光电管的工作原理是光电效应，所以要使电子能够从金属中逸出，则必须满足光子的能量hv大于电子从金属表面逸出时所需的逸出功A，根据这一条件进行筛选可知，制造在可见光下工作的光电管，应取的材料为钡和锂．13-2-3 光子在哪些方面与其他粒子（譬如电子）相似？在哪些方面不同？答：（1）相似点①光子和其他实物粒子（譬如电子）都是微观粒子，具有波粒二象性，即都具有一定的动量、质量和能量，同时能够表现出经典波的折射、干涉、衍射等性质；②都遵循量子力学规律．（2）不同点①光子没有自旋,电子有自旋；②光子是不带电的（电中性），电子带电荷（正电荷或负电荷）；③光子的静止质量为零，电子的静止质量不为零；④光子的频率一般比较高,能量比较大，而电子的能量相对而言比较小．13-2-4 用频率为v1的单色光照射某光电管阴极时，测得饱和电流为I1；用频率为v2的单色光以与v1的单色光相等强度照射时，测得饱和电流为I2．若I2＞I1,v1和v2的关系如何？答：当两种单色光的光强相同时，因I＝Nhv，则有N1h1v1＝N2h2v2．又因为入射光光强正比于饱和光电流，所以饱和电流I与光子数N的关系为，所以v1＞v2．13-2-5 用频率为v 1的单色光照射某光电管阴极时，测得光电子的最大动能为；用频率为v2的单色光照射时，测得光电子的最大动能为，若＞，v1和v2哪一个大？答：因为对于同一个光电管的阴极材料而言，其逸出功是个常数，与入射光的频率等无关．所以由爱因斯坦光电效应方程，有又，所以v1＞v2．§13-3 康普顿效应13-3-1 用可见光能否观察到康普顿散射现象？答：不能．康普顿效应是指散射光中除了有原波长λ0的X光外，还产生了波长λ＞λ0的X光，其。
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
第13章 量子力学基础13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。
13.2 普朗克量子假设的内容是什么？答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。
13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系；4）光电效应是瞬时的。
用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。
这都与光电效应的实验事实相矛盾。
13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-⨯；质量m = kg 321021.2-⨯；动量p = 1241063.6--⋅⋅⨯s m kg .13.5 怎样理解光的波粒二象性？答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。
13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~22n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，.13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。
这些结论都与实验事实矛盾。
13.8 如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横向速率.解：由不确定关系2≥∆∆=∆∆x x x m p x υ得 1303341005.110501.021005.12----⋅⨯=⨯⨯⨯⨯=∆≥∆s m x m x υ 即子弹射出枪口时的横向速率为1301005.1--⋅⨯s m .可见宏观粒子的波动性可以忽略。
13.9 怎样理解微观粒子的波粒二象性？答：象光一样，实物粒子也具有波粒二象性，由于在通常情况下，实物粒子的波动性不明显而被忽视了。
实物粒子也是粒子和波的统一，但粒子和波动都已不是经典意义下的概念。
通过波函数的统计解释（即几率波）将二者统一起来了。
13.10 什么是德布罗意波？哪些实验证实微观粒子具有波动性？答：把与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，或叫物质波。
波的频率和波长与实物粒子的能量和动量有如下德布罗意公式h E /=ν，p h /=λ。
戴维孙和草末通过电子衍射实验证实了微观粒子的波动性。
13.11 如果加速电压eV U 610≥,还可以用公式nm U /225.1=λ来计算电子的德布罗意波长吗？为什么？答：若电压eV U 610≥，就不能用公式nm U /225.1=λ来计算电子的德布罗意波长。
这是因为粒子的运动速度不能满足低速近似条件，必须考虑相对论效应。
（)/1/220c m m υ-=13.12 波函数的物理意义是什么？它必须满足哪些条件？答：波函数的物理意义是波函数的模方代表波所描述的粒子在空间的几率密度。
dxdydz t z y x 2),,,(ψ代表t 时刻在点),,(z y x 附近体元dxdydz dV =内出现粒子的几率。
波函数必须满足的标准条件为：有限，单值，连续。
同时在具体的物理问题中，要满足相应的边界条件。
13.13 在量子力学中,一维无限深势阱中的粒子可以有若干个态,如果势阱的宽度缓慢地减少至某一较小的宽度,则下列说法中正确的是：（1）每一能级的能量减少；（2）能级数增加；（3）相邻能级的能量差增加；（4）每个能级的能量不变.答：（3）13.14 斯特恩-盖拉赫实验怎样说明了空间量子化？怎样说明电子具有自旋？答：因为具有磁矩的原子在不均匀磁场中除受磁力矩外，还受到与运动方向垂直的磁力作用，这将使原子束偏转。
所以斯特恩—盖拉赫实验（在底片上出现两条对称分布的原子沉积）就说明原子具有磁矩。
且磁矩在外磁场中只有两种可能的方向，即空间是量子化的。
对于角量子数为l 的原子，其轨道角动量z 分量z l 和轨道磁矩z z l me 2-=μ有12+l 个不同值，即取奇数个不同值。
故实验结果显然不是电子轨道磁矩所为。
这样就说明电子还存在其它角动量及磁矩。
为此乌伦贝克和高德斯密特就提出了电子自旋运动的假设，电子自旋（磁矩）在空间有两个取向。
13.15 描述原子中电子定态需要哪几个量子数？取值范围如何？它们各代表什么含义？ 答 主量子数n ：n =1，2，…，它基本上确定了电子的能级。
角量子数)1(,2.1,0-=n l l ：，它决定原子角动量的大小，对能量也有一定影响。
磁量子数l m m ±±±=,,2,1,0 ：，决定轨道角动量L 在外磁场中的取向。
自旋磁量子数2/1±=s s m m ：，它决定自旋在外磁场中的取向。
13.16 简述泡利不相容原理和能量最低原理.答：泡利不相容原理：一个原子中任何两个电子都不可能处在完全相同的量子态。
能量最低原理：原子处于正常态时，每个电子都趋向占据可能的最低能级，使原子系统的总能量尽可能的低。
*13.17 什么叫自发辐射和受激辐射？从辐射的机理来看普通光源和激光光源的发光有何不同？答：处于高能态的原子由于不稳定而自发的跃迁到低能态，同时辐射出光子，这一过程叫自发辐射。
处于高能态的原子，若受到入射光等的激励，会从高能态跃迁到低能态，同时辐射一个与入射光子的频率，传播方向，偏振态均相同的光子，此过程称为受激辐射。
从辐射的机理来看，普通光是自发辐射产生的，由于它是一种随机的过程，各原子的辐射完全是自发地独立进行，各原子辐射的光的频率，传播方向，相位和偏振态等均无确定关系，因而是不相干光。
激光是通过受激辐射产生的，由于受激辐射发射的光子与入射光子状态（频率、位相、偏振等）完全相同。
因而是相干光。
*13.18 什么叫粒子数反转分布？实现粒子数反转需要具备什么条件？答：粒子数反转分布不同于玻耳兹曼分布，使能量高的能级的粒子数2N 大于能量低的能级的粒子数1N ，亚稳态能级的存在是实观粒子数反转所必须具备的条件。
*13.19 产生激光的必要条件是什么？答：产生激光的必要条件是实现粒子数反转。
*13.20 激光谐振腔在激光的形成过程中起哪些作用？答：激光谐振腔在激光的形成过程中所起的作用是提高受激辐射几率，而且使某一方向上的受激辐射占优势。
*13.21 绝缘体、导体、半导体的能带结构有什么不同？答：绝缘体和半导体都具有充满电子的满带和隔离空带与满带的禁带。
半导体的禁带较窄（约为eV 5.11.0-），绝缘体的禁带较宽（约为eV 63-）。
而导体与它们在能带结构上有质的区别，存在未被电子填满的价带，或者最高的满带与较高的空带存在交叠(形成导带)。
13.22 地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量的平均值为0.5434 J.试问若有一个绝对黑体辐射相同的能量时,其温度为多少？解：由斯特藩——玻耳兹曼定律4)(T T M B σ=得K 9.119106705.560/105434.0)(4/1844/1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-σT M T B13.23 若将恒星表面的辐射近似的看作黑体辐射,现测得太阳和北极星辐射波谱的m λ分别为5100o A 和3500oA ,其单位表面上发出的功率比为多少？解：由维恩位移定律b T m =λ得 m b T λ/=由此得 1221m m T T λλ= 而 22.0)51003500()()(4412421424121=====m m T T T T p p λλσσ 13.24 设太阳落到地面上每平方米的辐射通量为8W, 若平均波长为5000 oA .求：（1）每秒钟落到每平方米地面上的光子数.（2）若人眼瞳孔的直径为5mm,每秒钟进入人眼的光子数为多少？解（1）设每秒落到每平方米地面上的光子数为N ，则 )(T M Nh B =ν 由此得 121983410s m 1001.21031063.61050008)()(----⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅==hc T M h T M N B B λν （2）每秒进入人眼的光子数为11461923s 1094.31042514.31001.2)2105('---⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⋅=πN N 13.25 已知铯的逸出功为1.88eV ,今用波长为3000oA 的紫外光照射.试求光电子的初动能和初速度.解：由光电效应方程得： eV 26.288.1106.1/1030001031063.6211910834200=-⨯⨯⨯⨯⨯=-=-==---A hc A h m E k λνυ 152/131192/100s m 1092.8)101.9106.126.22()2(---⋅⨯=⨯⨯⨯⨯==m E k υ 13.26 今用波长为4000oA 的紫外光照射金属表面,产生的光电子的速度为5×105m ·s -1 ,试求：（1）光电子的动能；（2）光电效应的红限频率.解（1） J 1014.1)105(101.9212119253120--⨯=⨯⨯⨯⨯==υe k m E（2）由k E A h +=ν 得J 1083.31014.11040001031063.6191910834----⨯=⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=k k E hcE h A λν 红限频率 Hz 1078.51063.61083.31434190⨯=⨯⨯==--h A ν 13.27 用能量为12.5eV 的电子去激发基态氢原子,问受激发的氢原子向低能级跃迁时,会出现哪些波长的光谱线？解：21/n E E n =，所以有 )11(6.13)11(2121nE n E E n -=-=- 当n =3时，eV 1.1213=-E E ； 当n =4时，eV 5.12eV 75.1214>=-E E所以受激发的氢原子可处去n =3的激发态；从这一激发态向n =2的低激发态和n =1的基态跃迁，以及从低激发态n =2向基态跃迁时，都可发射光子，其光谱线波长分别为m 10565.610602.16.13)94(10626.610998.2/)(7193482311---⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-==h E E c cνλ m 10026.110602.16.13)9/11(10626.610998.27193481322---⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-==E E ch cνλ m 10216.110602.16.13)4/11(10626.610998.27193481233---⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-==E E ch cνλ 13.28 试计算氢原子巴耳末系最长的波长和最短的波长各等于多少？并由最短的波长确定里德伯常数H R . 解：)11(8)(11~223204n k c h me E E hc k n nk nk -=-==ελν )11(100968969.1)11(10998.210626.610854.88)10602.1(10109.9227228334324241931nk n k -⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯---- k =2对应于巴耳末系，其中最长的波长（n =3）m 10564.6536100968969.1177max -⨯=⨯=λ 最短的波长（∞→n ）和里德伯常数分别为m 10647.34100968969.1177min -⨯=⨯⨯=λ， 17m i nm 100968969.14-⨯==λR 13.29 试证明氢原子中电子由n +1的轨道跃迁到n 轨道时所放射光子的频率ν介于电子在n +1轨道和n 轨道绕核转动频率1+n ν与n ν之间,并证明当∞→n 时, n νν→ .证明：2232042220241)1(2/14/)1)1(1(8++⋅=-+-=-=+n n n h me h n n h me h E E n n εεν 电子在n 轨道绕核转动的频率为 n n n r πυν2=而n υ满足 20224r e rm πευ=， 由此得 n n r m e 140πευ= 则得 332042/3220302/3014)(414n h me me h n m e r m e n n επεπεππεπν===-- 同理得电子在n +1轨道上绕核转动的频率 332041)1(14+=+n h men εν 显然 3223)1(1)1(2/11+>++>n n n n n ， 1+>>∴n n ννν 显然，当n n n νν=∞→+1,时 ， 则n νν→13.30 在电子束中,电子的动能为200eV,则电子的德布罗意波长为多少？当该电子遇到直径为1mm 的孔或障碍物时,它表现出粒子性,还是波动性？解：电子的动量 k k mE mE mm p 22===υ 由德布罗意公式得其波长为m 10683.8106.12001011.921063.6211193134----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===k mE h p h λ 对于直径为m 101mm 13-⨯==d 的孔或障碍物，由于λ>>d ，所以电子表现出粒子性。
