2.1具有相反意义的量

2.1 有理数1．正数与负数(1)生活中存在大量相反意义的量生活中，有许许多多具有相反意义的词语，例如向东和向西，西北和东南，向前和向后，向左和向右，上升和下降，零上和零下，收入和支出，盈利和亏本，买进和卖出，公元前和公元后等．和相反意义的词语相关联，生活中存在数不清的具有相反意义的量，如前进3 m 与后退5 m ，收入300元与支出80元等．(2)用正数和负数表示具有相反意义的量现实生活中，具有相反意义的量，如昨天的气温是零下1 ℃，而今天的气温是零上2 ℃，怎样表示它们呢？只用原来的那些数很难区分量的相反意义．一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“－”(读作负)号来表示．即把其中一种意义的量规定为正的(用“＋”号表示，读作“正”)，把另一种和它意义相反的量规定为负的(用“－”号表示，读作“负”)，如零下1 ℃记作－1 ℃，零上2 ℃记作＋2 ℃；又如规定向东走5 m ，记作＋5 m ，则向西走5 m ，记作－5 m.【例1－1】 用正数和负数表示下列各题中的量．(1)一辆公共汽车在一个停车站下去10个乘客和上来8个乘客；(2)珠穆朗玛峰高于海平面8 844.43米和吐鲁番盆地最低点低于海平面155米；(3)商品上涨10%和下降15%.分析：把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负，并分别用正数和负数表示即可．解：(1)－10人，＋8人；(2)＋8 848.43米，－155米；＋10%，－15%.警误区 表示相反意义的量时不要忘记加单位 在用正负数表示一对具有相反意义的量时，不要少了后面的单位，同时注意相反意义的量的数值可以不同．(4)正数和负数的概念①负数的概念：为了表示具有相反意义的量，我们引进了像－5，－2，－237，－3.6这样的数，这是一种新数，叫做负数．②正数的概念：过去学过的那些数(零除外)，如10,3,500,5.5等，叫做正数．正数前面有时也可放上一个“＋”号，如5可以写成＋5，＋5和5是一样的．③0既不是正数，也不是负数．(5)关于正数、负数和0的几点说明①在正数的前面加上“＋”号，以强调它是正数，如正数3写作＋3，通常“＋”号省略不写；负数前面的“－”号不能省略，如负数5写作－5.②正数和负数是相对而言的，取决于作为基准的量，但一般情况下，人们习惯上这样来规定正数和负数：收入为正，支出为负；零上为正，零下为负；高出海平面为正，低于海平面为负等等． ③判断一个数是否是负数，关键是看是否在正数前面带有“－”号，而不是看它是否有“－”号．例如：－(－3)就不是负数．④0的意义在过去表示“没有”，自引入负数后，它就是正数与负数的分界点，也是相反意义的量的分界点，是我们认识的数中唯一的一个“中性数”．谈重点 正数和负数的关系 负数是在正数的基础上定义的，只有在正数的前面添上“－”号才是负数．【例1－2】 指出下列各数中，哪些是正数，哪些是负数．－2，＋213，0,315，204，－0.02，＋3.65，－517. 分析：根据正数和负数的意义来判断，尤其要弄明白负数的意义：在正数前面加上“－”号．还要特别注意0既不是正数也不是负数．解：＋213，315，204，＋3.65是正数；－2，－0.02，－517是负数． 2．有理数(1)有理数的概念正整数(即不为0的自然数)、零和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．即整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数 分数⎩⎪⎨⎪⎧ 正分数负分数 有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 整数分数 (2)有理数的分类 ①有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类．即 有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧ 正分数负分数 ②有理数还可以按照性质分为：正有理数、0和负有理数三类．即有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 正整数正分数0负有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 负整数负分数警误区 进行有理数分类时要注意的问题 有理数在分类之前必须弄清楚分类的标准，不能混淆，要做到不重不漏．(3)数集的概念把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数集．类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等．所有正整数和正分数合在一起组成正有理数集，所有负整数和负分数合在一起组成负有理数集．【例2】 把下列各数填在相应的横线上：－35,0.7,80，－1909，－0.88,0,3.14，－7.9，234，13，3，－10. 正整数__________；正分数__________；负整数__________；负分数__________． 解析：先把有理数分为正数和负数两类，再把正数分为正整数和正分数两类，把负数分为负整数和负分数两类，分别填写在相应的横线上．答案：80,234,3 0.7,3.14，13 －35，－10 －1909，－0.88，－7.9 3．正确理解具有相反意义的量的意义用正数和负数表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量先规定为正的，那么与它意义相反的量就是负的．用正负数表示相反意义的量时，必须要有一个规定的标准．在用正数和负数表示一对具有相反意义的量时，“正”和“负”是相对而言的，用“正”表示其中的一个量，则用“负”来表示另一个与之意义相反的量，但我们一般把“增加”、“上涨”、“盈利”、“高于”等记为“正”，把与它们有相反意义的量记为“负”．通常从两个方面考查：一是用正负数表示具有相反意义的量，二是说出具有相反意义的量表示的意义．把具有相反意义的量的表示方法和取“标准”(或“起始”位置)等知识结合在一起，综合性较强，是近几年中考的热点之一．【例3－1】 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25±0.1)kg ，(25±0.2)kg ，(25±0.3)kg 的字样，从中任意取出两袋，它们的质量最多相差( )．A ．0.8 kgB ．0.6 kgC ．0.5 kgD ．0.4 kg解析：从条件中可以看出，在三袋面粉中，最多可以超出标准质量0.3 kg ，最少低于标准质量0.3 kg ，所以从中任意取出两袋，它们的质量最多相差0.6 kg.答案：B解技巧 解答“标准质量”问题的关键 要正确解答本题，不仅要知道面粉袋上标有质量为(25±m ) kg 的意义，还要考虑到两袋面粉如何搭配才能使差值最大，显然考虑到最大的可能与最小的可能的差值．【例3－2】 某项科学研究，以45分钟为一个时间单位，并记每天上午10：00为0,10：00以前记为负，10：00以后记为正，例如，9：15记为－1,10：45记为1等等．依次类推，上午7：00应记为( )．A ．3B ．－4C ．－2.15D ．－7.45解析：本题中的标准是上午10：00为0，表示方法是10：00以前记为负，10：00以后记为正，要求用新规定来表示7：00.7：00到10：00是180分钟，180÷45＝4，因为7：00在10：00以前，所以7：00应记为－4.答案：B4.有理数的分类有理数有两种基本的分类方法，一种分类根据定义，另一种分类根据数的符号即有理数的性质．不论哪种分类形式都要明确分类的依据，分类时做到不重不漏，两种分类形式不能混淆．必须弄清楚非负数和非正数的范围．正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数．【例4】 把下列各数填在相应的括号内．－3,2，－1，－14，－0.58,0，－3.141 592 6,0.618，139整数集：{ …} 负数集：{ …}分数集：{ …} 非负数集：{ …}负分数集：{ …}分析：非负数包括正数和零，即正整数、正分数和零；分数包括小数．解：整数集：{－3,2，－1,0，…}负数集：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－1，－14，－0.58，－3.141 592 6，… 分数集：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，－0.58，－3.141 592 6，0.618，139，… 非负数集：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，0，0.618，139，… 负分数集：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，－0.58，－3.141 592 6，…5．按规律排列的有理数当数的范围扩大到有理数之后，按一定的规律排列有理数，就成为考查有理数的意义以及分类的有效手段，并且成为中考命题的热点．研究数学、学习数学、应用数学的过程，实际上就是探索、研究数学规律并运用数学规律的过程．解决此类问题的关键是建立数与它的序号之间的关系，其中数的符号是首先要考虑的，数的符号一般由数的序号的奇、偶性来决定．对于数字规律性问题，我们要注意观察各部分数字的变化规律以及各数字之间的关系．解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法．数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、费马大定理等就是由数学家的探索、猜想而得，学习数学必须不断去探索、猜想、不断总结规律，才会有所发现，有所创造．【例5】 (探究题)观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，并说出第99个数是什么？第2 010个数是什么？(1)1，－1,1，－1,1，－1,1，－1，__________，__________，__________，…；(2)1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，__________，__________，__________，…；(3)－1，12，－13，14，－15，16，－17，__________，__________，__________，…. 分析：(1)(2)小题全部是按正数、负数、正数、负数的顺序排列的一组整数，(1)去掉数的符号后是1，(2)去掉数的符号后是按顺序排列的自然数；(3)是按负数、正数、负数、正数的顺序排列的一组分数，其分母是按顺序排列的自然数，即分母就是数的序号，分子是1.解：(1)1，－1,1，第99个数是1，第2 010个数是－1；(2)9，－10,11，第99个数是99，第2 010个数是－2 010；(3)18，－19，110，第99个数是－199，第2 010个数是12 010. 解技巧 探索数字变化规律的方法 仔细观察数字以及它的符号的特点，把数和它的序号建立联系，特别注意其中符号的确定方法．。

“具有相反意义的量”你理解了吗对于两种具有相反意义的量，哪一种意义的量为正的，哪一种意义的量为负的，是在实际问题中人们根据实际情况的要求规定的.如果把两种具有相反意义的量中的任何一种意义的量规定为正的，那么和它意义相反的量就必须规定为负的.在实际生活和生产中，所作的规定一定要符合人们的习惯，以便于应用.在现实生活中，人们习惯上总是把零上、上升、向东、前进、收入、高于海平面等意义的量规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量如零下、下降、向西、后退、支出、低于海平面等规定为负的.例1 （丽水）如果向东走3米，记作＋3米，那么向西走4米，记作（）（A）1米；（B）7米；（C）－4米；（D）―7米.解：由具有相反意义的量的意义，向东走3米，记作＋3米，那么向西走4米，记作－4米.故应选（C）.例2 （滨州）如果零上5℃记作＋5℃，那么零下5℃，记作（）（A）－5；（B）－10；（C）－10℃；（D）－5℃解：本题根据相反意义的量，直接用负数表示即可.零上5℃记作＋5℃，那么零下5℃应记作－5℃.应选（D）.拓展练习一：1.在一次知识竞赛中，如果加10分用＋10表示，那么扣20分表示为分.2.设前进为正，前进20米记作米，后退15米记作米，原地不动记作米，前进－12米表示12米.3.在图纸上零件的加工尺寸00325 (mm),甲工人加工出来的零件尺寸为.025.002mm，乙工人加工出来的零件尺寸为24.995mm，工人加工出来的零件合格，加工出来的零件允许最小尺寸是mm..4.钟表的指针逆时针方向转20°记作，顺时针方向转30°记作.拓展练习2：1.某校对七年级男生进行俯卧撑测试，有8名学生的成绩如下表所示：请规定一个有意义的量为正，并用正、负数重新填写上表.2.河务局防汛办公室为了能够更好的利用水资源，对一条河流的水位作了记录.记录的正常水位是28米，另有6次的记录结果分别为＋2.1，0，-1.2，-3，-2.0，+1，这6次记录的实际水位分别是.参考答案：拓展练习一：1.－20；2.－15,0，后退；3.甲，24.997；4.20°，－30°.拓展练习二：1.此题需要我们确定一个合适的标准，超出记为正数，不足记为负数.以5个为标准，按习惯我们规定：超出为正，不足为负，填表如下：2. 30.1米，28米，26.8米，25米，26米，29米.。

2.1 有理数判断具有相反意义的量的方法:(1)成对出现:具有相反意义的量是成对出现的,且必须是同类量.(2)单位一致:两个具有相反意义的量在数量上可以不相等,但单位必须一致.注意:用正数、负数表示相反意义的量时,哪种意义为正没有硬性规定,并不是一成不变的.技巧:有理数的判别技巧:(1)凡是整数、分数,都是有理数.(2)有限小数和无限循环小数都可化为分数,所以是有理数;无限不循环小数不能化为分数、所以不是有理数.知识点1:正数和负数1.(2016·天水)四个数-3,0,1,π中的负数是( )A.-3B.0C.1D.π2.(2016·深圳)下列各数中,最小的正数是( )A.-2B.0C.1D.25这四个数中,最大的数是( )1.333.(2016·白银)1,-2,0,35 D .1A.-2B.0C.31,-0.3中,负数的个数是( )4.(2015·遵义)在0,-2,5,4A.1B.2C.3D.4知识点2:具有相反意义的量5.下列不是具有相反意义的量的是( )A.前进5m和后退5mB.节约3t和浪费10tC.身高增加2 cm和体重减少2 kgD.超过5g和不足2g6.(2016·广州)中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章在世界数学史上首次正式引人负数.如果收人100元记作+100元,那么-80元表示( )A.支出20元B.收人20元C.支出80元D.收人80元7.(2015·宜昌)陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶,高出海平面约8844m,记为+8844m;陆地上最低处是地处亚洲西部的死海,低于海平面约415m,记为( )A.+415 mB.-415mC.±415 mD.- 844m8.(2016·金华)如图是加工零件的尺寸要求,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是( )A.φ45.02B.φ44.9C.φ44.98D.φ45.01 知识点3:有理数及其分类 9.下列说法不正确的是( ) A.-0.5不是分数 B.0是整数 C.21不是整数 D.-2既是负数又是整数10.下列关于“0”的说法正确的是( )①是整数,也是有理数;②不是正数,也不是负数;③不是整数,是有理数;④是整数,不是自然数.A.①④B.②③C.①②D.①③11.已知下列各数:7,-9.25,-109,-301,274,-3.5,0,215,-7.125,-37,-3,-43.把它们填入相应的集合中.正整数集合:{ }正分数集合:{ }负整数集合:{ }负分数集合:{ }易错点:对数的相关定义理解不透而误判12.下列说法错误的是( )A.2π是有理数 B.•8.0是有理数 C.自然数就是非负整数 D.自然数就是正整数考查角度1:利用正数、负数表示具有相反意义的量13.用正数、负数表示下列问题中的数量,并指出在这些问题中数0表示的意义:(1)上升400m,下降300m(规定上升为正); (2)第一季度盈利12万元,第二季度亏损6万元(盈利记为正);(3)飞机平稳在9000m 高空飞翔,潜艇在海平面下40m 巡航(高于海平面记为正).考查角度2:利用有理数及相关定义解决识别数的应用问题14.有一次同学聚会,小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等,小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等.5, -328, 0, -100, +313, -4, 11, -0.01, 53, -72, -10%, +200, -20.(1)问小王、小李的座位号各是几?(2)若这次同学聚会的人数是小王座位号的2倍与小李座位号的4倍的和,问这次聚会到了多少名同学?拔尖角度1:利用有理数的特征解排列规律问题(从特殊到一般的思想)15.将一串有理数按下列规律排列,回答下列问题:(1)A 位置的数是正数还是负数?(2)A,B,C,D,E 中哪个位置的数是负数?(3)第2 017个数是正数还是负数?排在对应于A,B,C,D,E 中的哪个位置?拔尖角度2:利用不同的基准数表示同一问题的高度16.如图,李芳家住黄河边的某市,黄河大堤高出此市区20m,另外市里有铁塔高约58m,是此市的一大景观.李芳和好朋友林雪燕、明明出去玩,李芳站在黄河大堤上,林雪燕站在地面上放风筝,顽皮的明明则登上铁塔顶.李芳说:“以黄河大堤为基准,记为0m,则林雪燕所在的位置高为-20m,明明所在的位置高为+58 m.”明明说:“以铁塔顶为基准,记为0m,则林雪燕所在的位置高为-58m,李芳所在的位置高为-38 m.”林雪燕说:“明明的位置比我高58 m.”他们谁说得对？。

初中数学《具有相反意义的量》教案1.1 具有相反意义的量教学目标：1、知识与技能（1）通过实例，感受引入负数的必要性和合理性，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。

（2）理解有理数的意义，体会有理数应用的广泛性。

2、过程与方法通过实例的引入，认识到负数的产生是来源于生产和生活，会用正、负数表示具有相反意义的量，能按要求对有理数进行分类。

重点、难点：1、重点：正数、负数有意义，有理数的意义，能正确对有理数进行分类。

2、难点：对负数的理解以及正确地对有理数进行分类。

教学过程：一、创设情景，导入新课大家知道，数学与数是分不开的，现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的．为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，……为了表示“没有人”、“没有羊”、……，我们要用到0．但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数、零或分数、小数表示。

二、合作交流，解读探究1、某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃。

要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚。

它们是具有相反意义的两个量。

现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多……例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的。

“运进”和“运出”，其意义是相反的。

存折上，银行是怎么区分存款和取款的？同学们能举例子吗？学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？待学生思考后，请学生回答、评议、补充。

教师小结：同学们成了发明家.甲同学说，用不同颜色来区分，比如，红色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；乙同学说，在数字前面加不同符号来区分，比如，△5℃表示零上5℃，5℃表示零下5℃……．其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤”．如今这种方法在记账的时候还使用．所谓“赤字”，就是这样来的。

2.1（1）正数与负数（第一课时）教学目标：1、结合温度、海拔等角度认识具有相反意义的量。

2、知道正负数所表示的实际含义。

3、初步会用正负数表示简单实际问题中具有相反意义的量。

4、感悟正数与负数在生活中的应用。

教学重点及难点：重点：会用正负数表示简单实际问题中具有相反意义的量。

难点：认识具有相反意义的量与正负数之间的关系。

教学用具准备卡片、练习纸、多媒体设备教学过程设计一、情景引入1、在我们的生活中有很多表示相反意义的量，请大家找找这里哪些数量的意义是相反的？用线连一连。

上车5人下降10米运进出200吨下车8人上升9米运进98吨减少54辆增加36辆通过刚才的连线，我们发现“上车5人与下车8人”是一对意义相反的量，我们可以这样说：上车的人数与下车的人数是一对具有相反意义的量。

请学生也说说其它几组数量中意义相反的量2、举例：请同桌两人也举例说一对生活中表示相反意义的量。

[说明]教师要引导学生说出什么与什么是一对具有相反意义的量，鼓励学生思考、交流生活中表示相反意义的量，在小组交流中教师要积极参与学生的讨论，及时纠正错例。

通过教师的引导和学生的举例参与，可以让学生充分体验什么是意义相反的量，由此引发后面的学习。

二、探究新知（一）、认识相反意义的量：1、海拔高度：演示珠穆拉玛峰和马里亚纳海沟图片如果以海平面为分界点，珠穆拉玛峰位于海平面以上，马里亚纳海沟位于海平面以下，我们说海平面以上的高度和海平面以下的深度也是一对具有相反意义的量。

2、温度计：演示海口与哈尔滨的温度我们说零上温度和零下温度也是一对具有相反意义的量。

（二）、认识正数和负数：1、引入“+、-”：为了区别零上温度和零下温度，人们规定在零上温度前面添上这个符号“+”，而在零下温度的前面添上这个符号“-”请学生试读这两个符号这两个符号在这里不是运算符号，我们不能读作加、减。

“＋”这是正号，读作“正”，“－”这是负号，读作“负”，海口的最低气温可以表示成正12摄氏度，读作正12摄氏度，哈尔滨的最低气温可以表示成－25摄氏度，读作负25摄氏度。

第二章 有理数《2.1 正数和负数》学案设计：姚栋祥一、教学目标：1 会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示具有相反意义的量；2 了解有理数.二、导学：在日常生活中，常会遇到一些相反意义的量。

1．写出具有相反意义的量：向东和 ； 和零下；收入和 ；升高和 ； 和卖出.2．你会读温度计吗？5 5 5 0 0 0 －5 －5 －5三、课堂研讨：1． 在上面温度计的读数中，我们知道零上5ºC 用5ºC 表示，零下5ºC 应表示为 .2． 符号“-”读作3． 如果规定向东为正，那么向西即为负，汽车向东行驶3千米记作：3千米，向西2千米记作： ；规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元记作： ； 水位上升1.2米记作1.2米，下降0.7米记作： ；买进100辆自行车记作100辆，卖出20辆自行车记作 .小结：像5，1.2，500，21……这样的数叫正数，它都比0大； 在正数前面加上“–”号的数叫负数，如–5，–2，–0.7，–21……0即不是正数，也不是负数.四、课堂练习为了突出数的符号，可以在前面加上“＋”号，即＋5和5是一样的. 我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量.1．下列各数中，那些是正数，那些是负数？＋6， –21， 54， 0， 722， –3.14， 0.01， –999. 正数：负数： .２． 比较下面各数的大小：1，－2，3，0，―0.5,―2.5；可见，正数 负数，正数 0,负数 0；3． 收入5元记为：＋5元，那么支出3元记为： .4．. 如果自行车车条的长度比标准长2毫米记为：＋2毫米，那么比标准短1.5毫米应记为： .5． 孔子出生于公元前551年，如果用－551年表示，则李白出生于公元701年表示为： .6. 下列不是具有相反意义的量的是（ ）A. 前进5米和后退5米；B. 节约3吨和浪费7吨；C. 身高增加2cm 和体重减少2kg ；D. 超过5g 和不足5g .7说明下列负数表示的实际意义：收入－10元表示： ；向北走－50米表示： ；8. 向东走5米，再向东走－3米，结果是（ ）A. 向东走了8米；B.向西走了2米；C.回到原地；D.向东走了2米.9．“一个数，如果不是正数，必定是负数。