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指数与指数函数图像及性质(学生版)

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指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

【变式1】若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点1(2,)2，则(1)f -=_______.【变式2】已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型四 指数函数的单调性【例2】比较下列各题中的两个值的大小:(1)1.72.5与1.73; (2)0.8-0.1与0.8-0.2; (3)1.70.3与0.93.1.【变式1】比较0.20.71.5,1.3,-132()3的大小。

【变式2】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b <<【例3】指数函数()(1)x f x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．2a >C ．01a <<D ．12a <<【变式3】使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( )A ．(23，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(13，＋∞)D ．(－13，＋∞)【变式4】若(12)2a ＋1<(12)3－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)【例4】函数1y=2⎛⎪⎝⎭的单调递增区间是________．题型五 指数型函数的图像【例5】如下图所示是指数函数①xy a =；②xy b =；③xy c =；④xy d =的图象，试判断,,,a b c d 与１的大小关系。

【变式1】当a ≠0时，函数y a x b=+和y b ax=的图象只可能是( )【变式2】已知函数()22xf x =-，则函数|()|y f x =的图象可能是( )题型六 指数函数的性质应用【例6】求下列函数的定义域、值域。

(1)y =0.411-x ; (2)y =315-x ; (3)y =2x+1; (4)y =1222+-x x .【变式1】求下列函数的定义域与值域。

（1）132x y -=； （2）2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）47222+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y【课堂练习】1．若集合，，则（ ）A ．AB B ． C. B A D ．2．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2恒过点( )A ．(－1，－1)B ．(－1,0)C ．(0，－1)D ．(－1，－3)3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 4．设13<(13)b <(13)a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a 5．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba=下列五个关系式： ①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．不论为何正实数,函数的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是{}|2,xA yy x R ==∈{}2|,B yy xx R ==∈AA B ⊆A B A ⊆a 12x y a +=-_________.7. 函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为__________.8. 已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.【思维拓展】【1】设，且，若函数在区间上的最大值为1４，求的值。

【2】已知定义域为的函数122()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求的值；（2）关于x 的不等式f(x) 2102t t -+<，对任意x R ∈恒成立，求t 取值范围【课外作业】 1. 计算()()03125.010322.001.0----+--+-= ()A.15B.17C.35D.37 2.1212--=--x x x x 成立的条件是( )A.012≥--x x B.1≠x C.1<x D.2≥x 3. 已知0>a ,则下列等式一定成立的是() A.a aa =⋅3443 B. 03443=⋅-a a C. a aa =÷-3231 D. 94232a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4. 设n x x 24=++,那么=-+x x 4 ( )A.22-n B.n-22C.22+n D. 22--n5．=++⎪⎭⎫⎝⎛---2175.003101.01687064.0______.0a >1a ≠221x x y a a =+-[]1,1-a R b a ,6．已知22121=+-a a ，则（1）=+-1aa ______； （2）=+-22a a ______； (3)=+-33a a _________；（4）=+-44a a ______ ；(5)=+-55a a ___________；（6）66-+a a =______.7. 计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-33233233421428a b b ab a ba a =.8．已知函数f (x )＝a －|x |(a >0，a ≠1)，且f (3)＝8，则()A ．f (2)>f (－2)B ．f (－3)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－3)>f (－4)9．已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是()10．函数y=221-x的值域是（ ） A.{y|y<-21或y>0} B.{y|y<0或y>0} C.{y|y<-2或y>0} D.{y|y<-21或y>2}11．不等式的解集是___________. 12．指数函数y =f (x )的图象经过(π, e )，则f (0)=，f (－π)=.13. 若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是__________.14．若关于x 的方程有实根，则m 的取值范围是.15．已知x ∈[－3, 2]，求f (x )=+1的最小值与最大值。

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高一数学人必修件指数函数的图象和性质

高一数学人必修件指数函数的图象和性质

生物繁殖
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某 些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫 数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元 素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率 与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为 正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域 内单调递增；当0<a<1时，指 数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是 偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指 数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限 延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于 第一象限和第四象限。
(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一)指数与指数函数1．根式 (1）根式的概念(2)．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义)。

2．有理数指数幂 （1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算. （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0，r 、s ∈Q). ②（a r )s=a rs(a>0，r 、s ∈Q)。

③（ab ）r=a r b s（a 〉0，b>0,r ∈Q ）。

. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数n 为偶y=a xa 〉1 0〈a<1图象定义域 R值域 （0，+∞）性质（1）过定点（0，1） （2）当x 〉0时，y>1。

x 〈0时,0<y<1（2) 当x>0时，0<y 〈1。

x<0时, y>1（3)在（—∞，+∞)上是增函数（3）在（—∞,+∞)上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,(2）y=b x,（3），y=c x（4），y=d x的图象，如何确定底数a,b ，c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1〉d 1>1〉a 1>b 1，∴c>d 〉1>a 〉b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

第十讲 指数函数(学生版)

第十讲 指数函数(学生版)

第十讲 指数函数 重难点一、指数图像综合【例1】已知2()f x x =，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈， 12()()f x g x ≥，则m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【变式1】如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E ，某指数函数x y a=()0,1a a >≠且，经过点E B 、，则a =（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 重难点二、指数复合综合【例2】函数()22323()x x y a a a R --=++∈的递增区间是________． 【变式1】函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为( ) A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(,2⎤-∞⎦D ．)2,⎡+∞⎣ 【变式2】已知函数()()0,1x f x a a a -=>≠且满足(2)(3)f f ->-，则函数21()x g x a -=的单调增区间是________．【例3】已知关于x 的方程422x x a -=有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．【变式1】设函数()31,1,2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． []0,1C ． 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞【例4】已知1339x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，求函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域．【变式1】若函数1()21x f x =+，则该函数在(),-∞+∞上( ) A ．单调递减且无最小值 B ．单调递减且有最小值 ．单调递增且有最大值【例5】若存在正数x 使2()1x a -<成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(),-∞+∞B ．()2,-+∞C ．()0,+∞D ．()1,-+∞【变式1】已知函数||212)(x x x f -=，若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围．【例6】已知)(122)(12R a a a x f x x ∈-+-⋅=+． （1）求()f x 的值域；（2）设()2()x h x f x -=，0a >时，对任意12,[1,1]x x ∈-总有121()()2a h x h x +-≤成立，求a 的取值范围．【变式1】定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．【例7】设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是定义在R 的奇函数（1）求k 的值（2）若(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集（3）若3(1)2f =且22()2()x x g x a a mf x -=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值【变式1】已知函数()2()11xx f x a a x -=+>+ 证明：（1）函数()f x 在()1,-+∞上为增函数； （2）用反证法证明方程()0f x =没有负数根。

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。

指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。

a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。

当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。

02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。

常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。

底数为任意正数的对数，记作log(x)。

对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。

对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。

对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。

•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。