指数函数的图像及性质

指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。

指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。

2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。

对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。

2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。

幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。

2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。

3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。

4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。

5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。

指数函数图像及性质
指数函数图像的特征就是“J”形的曲线，它可用来表示水平和垂直运动的加速度和内能释放。

指数函数可以表示非常多种物理或生物学现象。

指数函数图像具有以下性质：
1. 指数函数图像以指数增长和指数衰减。

即曲线是从左向右张开的，以及从右向左收缩的。

2. 一般情况下，指数函数图像会通过坐标原点（0,0），如果不是，则说明指数函数图像是一条平行曲线。

3. 在每一个定义域，指数函数图像的斜率最大值为1，但是随着x的增加，它的斜率越来越小，趋近于0。

4. 在不同的定义域，指数函数图像的形状也有所不同，一般数学家会把它们分成“快速增长函数”和“减速函数”，其中前者的最大斜率大于1而后者的最大斜率小于1。

5. 对于指数函数图像，从右向左看斜率是负值，而从左向右看又会变成正值。

6. 有时候，指数函数图像会拐到右上或者右下方，这时候说明指数函数正在发挥它的作用。

7. 指数函数的绝对值有三种情况，即增加，减少和突然增加，这种情况受到外部因素的影响。

8. 指数函数图像在平行于y轴的负半轴上，其值会无限接近0，而在平行于y轴的正半轴上，其值会无限增长。

第四章：鬲函数、指数函数与对数函数第二节：指数函数的图像与性质【知识讲解】指数函数定义：一般地,函数〔.>0且awl〕叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R.特别注意：指数函数中对常数.的要求是不等于1的正实数.指数函数的图像与性质指数函数y =优在底数a > 1及Ova v 1这两种情况下的图象和性质：注意：〔1〕注意指数函数〕,= "〔“ >0且.工1〕与暴函数y = £.〕的区别〔2〕函数/〔幻=与g〔x〕=〔'〕'的图像关于了轴对称〔.> 0且"W 1〕.a〔3〕指数函数/〔%〕,对任意实数x,y都有f@+y〕 = f〔x〕f〔y〕〔4〕指数函数的图像是以x轴为渐进线值得注意的几个问题〔1〕会根据复合函数的单调性特征“同增异减〞,判断形如〕,=.小〕〔4>0且4W1〕函数的单调性: 〔2〕会根据〕'=优〔4 > 0且“ W 1〕的单调性求形如y = /叫xeD, y = f〔a x\xeD的值域：〔3〕解题时注意“分类讨论〞、“数形结合〞、“换元〞等思想方法的应用.题型1.指数函数定义例1、关于x的以下各函数中,指数函数是：〔〕① y = 3-t② y = 〔a + 1〕' > -1,且a * 0〕③ y = x~y④y = 4 ⑤y = ⑥y =例2,以下函数中, 哪些是指数函数?(2) y = x2：(3) y = -x；(5) y = 2-* (6) y = -2x例3、函数〕,=〔.2-34 + 3,/是指数函数,求.的值.题型2,定义域值域例3、设函数/〔x 〕 = x - 4的定义域是{0,—2,—3,4,5},求函数尸〔x 〕 = ——的定义域.21 — 1例4、91—10・3〞+940,求函数y = (l)~4例1.求函数的定义域与值域：〔1〕汽=卜?严 7 _八3«」〔2〕%=〔—〕. 4的定义域与值域4〔；〕*+2的最大值与最小值.例2,求函数〕,=题型3.图像例1、设a,"c,d都是不等于1的正数,y = = = 在同一坐标系中的图像如下图那么的大小顺序是〔〕A.ci <b<c <dB.a <h<d <cCh <a<d <c D.h <a <c <d例2、〔1〕画出函数y= 3、-1的图像,并指出攵为何值时,方程3〞一1 =左无解？有一解？有二解?〔2〕设函数/〔x〕 = 2i—l,xeR；1〕分别作出函数y = f〔国〕和y = \f〔x〕\的图像.2〕求实数〃的取值范围,使得方程/〔国〕=〃与|/〔x〕|=a都有且仅有两个实数解.例3. (1)作出函数),=2回与y = 2卜r的图像⑵ 设函数/'(X)=2TT-〃7,假设方程/(x) = 0的有实数根,求实数〃？的取值范围.例4.方程2511-4乂5*" + 2〃7-1有实数解,求实数〃？的范围例5、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.毅,经过x年,绿化面积与原绿化面积之比为y,那么y=f(X) 的图像大致为( )例6、要使函数),=22+机的图像不经过第二象限的机的取值范围()B、rn < -1 C^ m < -2 D、m > -2例7、假设函数/(x) = "—3 + l) (〃>O且〃工1)的图像在第一、三、四象限,那么必有()A、Ovc/vl且Z?>0B、Ovavl且.vO C^且Z?vO D、且.>0题型4.性质:比拟大小、单调性、奇偶性例1、比拟以下各题中两个值的大小：(1) 1.72\1.73(2)0.8-.」.尸(4) 1.1〞与 L/3 ⑸0.5〞与ON (6) 0.7°s 与0.8°7例2.判断或讨论以下函数的奇偶性:⑴ /(x )=「1+6例3、函数/(x) = —(.＞0且a +a (1)求/(幻的定义域和值域；(7)设.、b w R ： 试比拟〃时与.好的大小.(3) Ohiowa (4) 1.7°\0.931(2) /(x) = a —2 2V + 1〔2〕讨论/〔x〕的奇偶性.〔3〕讨论/〔、〕的单调性.综合：复合函数、分类讨论例1、〔1〕求函数,,=d〕八2、的单调递增区间. 〔2〕求函数〕,=33+2"2的单调区间和值域(3)求函数y=- 的单调区间与值域.< 2 ；(4)函数),=3—+限+.*£火)的值域为R,,求常数a,〃,c满足的条件.例2,函数/“)= (/—1)］在R上是减函数,求实数.的取值范闱,例3、(1)假设函数),=4'一3・2〞+3的最小值为1,最大值为7,试确定x的取值范围.〔2〕设.是实常数,求函数y = 4*+4-,2a〔2、2-］〕的最小值.例4、求函数/〔X〕=,产二〃 > 0,.w 1〕在x e ［0,1］的最值.a例5、函数/〔x〕 = a・Z/+c, xe［0,+s〕的值域为［―2,3〕,那么/〔x〕的一个可能的解析式为例6、定义：区间［彳〔*<4〕的长度为马―』,函数丁 = 2忖的定义域为伍力］,值域为求区间口,勿的长度的最大值与最小值的差为例7.函数/'.〕= 3"一〔％ + 1〕・3'+2,当xeR时,/〔x〕的值恒大于0,求实数攵的范围.例8.、假设函数/.〕=,产+24、一1〔“>0,4.1〕在［-1,1］上的最大值为14,求实数a的值.。

指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。

指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。

其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。

以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。