指数与指数函数图像及性质(教师版)

2.1.2 指数函数的图像与性质（教案）一、教学目标：1、知识与技能：掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。

2、过程与方法：通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图象特征与性质。

3、情感态度价值观：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

二、教学重点：指数函数的图象与性质。

三、教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。

四、教学过程： （一）创设情境 1、复习（1）指数函数的定义； （2）指数函数解析式的特征。

2、导入 （二）探究新知1、作函数图象：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、xy )21(=的图象。

2、观察指数函数x y 2=、x y )2(=的图象特征。

f (3、观察不同底数的指数函数的图象特征。

结论：①图象在x 轴的上方.②当0<a<1时，图象是下降的； 当a>1时，图象是上升的 . ③过定点（0，1）.4、归纳总结指数函数的图象和性质。

（三）典例讲解例题1 比较下列各题中两个数的大小。

（1）35.27.17.1和 （2）2.01.08.08.0--和 （3）1.33.09.07.1和 （四）课堂总结这节课主要学习了什么内容，你有哪些收获？ （五）作业布置：教材59页第7题。

；，点这两个函数的图象都过轴的上方；这两个函数的图象都在)10()2()1(x 的图象自左向右下降。

的图象自左向右上升；x x y y )21(2)3(==。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。

指数函数1 指数运算(1) n 次方根与分数指数幂一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ∗. 式子√a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1) (√a n)n =a (2)当n 是奇数时，√a n n =a ，当n 是偶数时，√a n n =|a |={a,a ≥0−a,a <0.(2) 正数的正分数指数幂的意义① 正数的正分数指数幂的意义，规定：a m n=√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,且n >1) 巧记“子内母外”(根号内的m 作分子，根号外的n 作为分母) Eg √x =x12，√x 53=x 53.② 正数的正分数指数幂的意义：a −mn =1a m n=√a mn>0,m,n ∈N ∗,且n >1)③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质① a s ∙a r =a r+s (a >0,r,s ∈R) ② (a s )r =a rs (a >0,r,s ∈R) ③ (ab)r =a r b r (a >0,r ∈R) 2 指数函数概念一般地，函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 3 图像与性质【题型一】指数幂的化简与求值【典题1】 求值(279)12−(2√3−π)0－(21027)−13+0.125−23+√3∙√(34)3.【解析】原式=(259)12−1−(6427)−13+(18)−23+312∙(34)32=53−1−(2764)13+(2−3)−23+32∙(14)32=23−34+4+98=12124.【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.【典题2】已知x 12−x −12=√5，则x 2+1x 2的值为______.【解析】由x 12−x−12=√5，两边平方得x −2+x −1=5，则x +1x =7，所以(x +1x )2=49⇒x 2+1x 2+2=49⇒x 2+1x 2=47. 【点拨】注意x 12−x −12，x +1x ，x 2+1x 2之间平方的关系. 【典题3】化简√11+6√2√11−6√2=________.【解析】√11+6√2+√11−6√2=√(3+√2)2+√(3−√2)2=3+√2+3−√2=6.【点拨】化简形如√a+b√m的式子，利用完全平方数处理.巩固练习1(★) 化简√a√a3a76(a>0)=.【答案】a−2 3【解析】原式=a 12÷a76=a12−76=a−23．2(★★)如果45x=3，45y=5，那么2x+y=．【答案】 1【解析】由45x=3，得(45x)2=9,45y=5，则452x×45y=9×5=45=1．∴452x+y=45．∴2x+y=1故答案为1．3(★★)已知a+1a=7，则a12+a−12=．【答案】3【解析】由a+1a=7，可得a>0，a12+a−12>0，∴a 12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3．故选：A．4(★★) (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=．【答案】1 2【解析】(214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=[(32)2]12−1−[(32)3]−23+(23)2=32−1−49+49=12．5(★★)求值√7+4√3+√7−4√3=．【答案】4【解析】√7+4√3√7−4√3=√(2+√3)2+√(2−√3)2=2+√3+2−√3=4. 6(★★★) 已知实数x,y 满足3x +3y =9x +9y ，则27x +27y 3x +3y的取值范围是 .【答案】(1,98] 【解析】设3x+3y=t ≥2√3x+y ，∴3x+y≤t 24， 又3x +3y =9x +9y =(3x +3y )2－2×3x+y ， ∴3x+y=t 2−t2>0，∴t >1；∴t 2−t 2≤t 24即t 2－2t ≤0，解得0≤t ≤2；∴1<t ≤2； 由已知，27x +27y 3x +3y=(3x +3y )(9x −3x+y +9y )3x +3y=9x −3x+y +9y =3x +3y －3x+y=t −t 2−t 2=−12t 2+32t =−12(t −32)2+98，∴t =32时，27x +27y 3x +3y 的最大值为98；t =1时27x +27y 3x +3y 的最小值为1；所以27x +27y 3x +3y的取值范围是(1,98]．故答案为：(1,98]．7(★★★) 已知2a =3b =6，则a,b 不可能满足的关系是( ) A ．a +b =abB ．a +b >4C ．(a −1)2+(b −1)2<2D ．a 2+b 2>8【答案】C【解析】∵2a =3b =6，∴(2a )b =6b ,(3b )a=6a ， ∴2ab =6b ，3ba =6a ， ∴2ab •3ba =6b •6a ， ∴6ab =6a+b ，∴ab =a +b ，则有ab =a +b ≥2√ab ， ∵a ≠b ，∴ab >2√ab ， ∴a +b =ab >4，∴(a －1)2+(b －1)2=a 2+b 2－2(a +b)+2>2ab －2(a +b)+2>2， ∵a 2+b 2>2ab >8，故C 错误 故选：C ．【题型二】指数函数的图象及应用【典题1】函数y =2|1−x |的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解析】方法1 函数y =2|1−x |={2x−1,x >121−x ,x ≤1， (利用|x |={x,x ≥0−x,x <0去掉绝对值把函数变成分段函数)∴当x >1时，y =2x−1是增函数，当x ≤1时，y =21−x 的减函数， 且x =1时，y =1，即图象过(1,1)点； ∴符合条件的图象是A ． 故选：A ．方法2 利用函数的图象变换去掉y 轴左侧图象作关于y 轴右侧对称⇒右移1个单位⇒故选：A ．【典题2】设函数f(x)=|2x −1|，c <b <a ，且f(c)>f(a)>f(b)，判断2a +2c 与2的大小关系. 【解析】 f(x)=|2x −1|的图象可看成f (x )=2x 向下平移一个单位，再把x 轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，由图可知，要使c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b)成立， 则有c <0且a >0， 故必有2c <1且2a >1，又f (c )−f(a)>0，即为1−2c −(2a −1)>0， ∴2a +2c <2．【点拨】涉及指数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有：①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.巩固练习)x的交点个数有()1(★) 二次函数y=−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－(x+2)2+4(x>－2)，)x=2，且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x的图象：则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C．2(★★)若函数y=a|x|+m−1(0<a<1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是() A．[1,+∞)B．(0,1)C．(－∞,1)D．[0,1)【答案】D【解析】0<a<1时，0<a|x|<1，∴m－1<a|x|+m－1<m；由函数y的图象和x轴有交点，∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，综上，实数m的取值范围是[0,1)．故选：D．3(★★) 如图所示，函数y=|2x−2|的图象是()A．B．C．D．【答案】 B【解析】∵y =|2x －2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0．故选B ．4(★★) 已知实数a,b 满足等式2a =3b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0； ③0<a <b ；④b <a <0；⑤a =b ．其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤D ．③④⑤【答案】 B【解析】令f(x)=2x 和g(x)=3x ，2a =3b 即f(a)=g(b)，如图所示 由图象可知①②⑤正确，故选B ．5(★★★) 若2x −5−x ≤2−y −5y ，则有( ) A ．x +y ≥0 B ．x +y ≤0 C ．x −y ≤0 D ．x −y ≥0【答案】B【解析】构造函数f(x)=2x －5−x ，易得函数f(x)单调递增， 由2x －5−x ≤2−y －5y ，可得f(x)≤f(－y) ∴x ≤－y ⇒x +y ≤0， 故选：B ．【题型三】指数函数的性质及应用 角度1 比较指数式的大小 【典题1】 设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)−1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】利用幂的运算性质可得，y 1=40.9=21.8，y 2=80.48=21.44，y 3=(12)﹣1.5=21.5，再由y =2x 是增函数，知y 1>y 3>y 2． 故选：D ．【典题2】已知a =0.72.1，b =0.72.5．c =2.10.7，则这三个数的大小关系为( )A．b<a<c B．a<b<c C．c<a<b D．c<b<a【解析】根据指数函数的性质可得：函数y=0.7x是减函数，∵2.1<2.5，∴0.72.1>0.72.5，即a>b．又∵c=2.10.7>2.10=1，a=0.72.1<0.70=1，∴c<a，∴b<a<c，故选：A．【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有①把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解指数型不等式和方程【典题1】方程4x+1−3×2x+2－16=0的解是．【解析】4x+1−3×2x+2−16=0，即为4×(2x)2−12×2x−16=0令t=2x>0则有4t2−12t−16=0，解得t=4,t=−1(舍)所以2x=4，x=2故答案为x=2．【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后t=2x>0是容易忽略的.【典题2】解不等式：a2x+1<a x+2+a x−2(a>0)【解析】∵a x+2+a x−2=(a2+1a2)a x,令t=a x原不等式变形得t2−(a2+1a2)t+1<0，即(t−a2)(t−1a2)<0，(注意因式分解)(1)当a2<1a2，即0<a<1时，则a2<t<1a2，即a2<a x<1a2，∴−2<x<2(2)当a2>1a2，即a>1时，则1a2<t<a2，即a−2<a x<a2，∴−2<x<2(3)当a 2=1a 2，即a =1时，无解．综上，当a ≠1时，−2<x <2；当a =1时无解． 【点拨】① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于1还是小于1再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意a =1；② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对a 2，1a 2的大小比较是关键.角度3 指数型函数综合问题【典题1】已知定义在R 上的函数y =f(x)满足：①对于任意的x ∈R ，都有f(x +1)=1f(x)；②函数y =f(x)是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x ，则f(−32)，f(214)，f(223)从小到大的排列是 . 【解析】由题意f(x +1)=1f (x )=f(x −1)，故函数y =f(x)为周期为2的函数； f(−32)=f(12)；f(223)=f(8−23)=f(−23)=f(23)；f(214)=f(6−34)=f(34)； (把自变量数值向(0,1]靠拢)∵当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x 是增函数， 故f(12)<f(23)<f(34)，即f(−32)<f(223)<f(214)．【典题2】若e a +πb ≥e −b +π−a ，则有( ) A ．a +b ≤0B ．a −b ≥0C ．a −b ≤0D ．a +b ≥0【解析】解法一：取特殊值排除法取a =0，b =1得1+π≥1e +1，满足题意，排除A,B ； 取a =1，b =0得e +1≥1+1π，满足题意，排除C ；故选：D ．法二：构造函数利用单调性令f(x)=e x −π−x ，则f(x)是增函数，∵e a +πb ≥e −b +π−a ⇒e a −π−a ≥e −b −πb ， ∴f(a)≥f(−b)，即a +b ≥0．故选：D．【点拨】①做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；②遇到类似这样的题目，不等式e a+πb≥e−b+π−a的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式e a+πb≥e−b+π−a变形成e a−π−a≥e−b−πb，就较容易联想到构造函数f(x)=e x−π−x；③判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.【典题3】已知函数f(x)=a x，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．当x∈[−1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值之和为52．(1)求a的值；(2)若a>1，记函数ℎ(x)=g(x)−2mf(x)，求当x∈[0,1]时，ℎ(x)的最小值H(m)．【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上为单调函数，f(x)的最大值与最小值之和为a+a−1=52，∴a=2或12．(2)∵a>1∴a=2则ℎ(x)=22x+m−2m×2x，令t=2x，∵x∈[0,1]时，∴t∈[1,2]，ℎ(x)=t2−2mt+m，对称轴为t=m(二次函数动轴定区间最值问题)当0<m<1时，H(m)=ℎ(1)=−m+1；当1≤m≤2时，H(m)=ℎ(m)=−m2+m；当m>2时，H(m)=ℎ(2)=−3m+4．综上所述，H(m)={−m+1,(0<m<1)−m2+m,(1≤m≤2)−3m+4,(m>2)．【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴t= m在区间[1,2]“左、中、右”进行分类讨论.【典题4】已知函数f(x)=9x−3x+1+c(其中c是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c 的取值范围；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0成立，求实数c 的取值范围；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，求实数c 的取值范围.思路痕迹(1) 恒成立问题可转化为求函数y =f(x)的最大值，见到9x ，3x+1可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数y =f(x)的最小值.(3) 该问转化为方程t 2－(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.【解析】(1)f (x )=9x −3x+1+c =(3x )2−3×3x +c ，令3x =t ，当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]， (利用换元法要注意新变量的求值范围)问题转化为当t ∈[1,3]时，g (t )=t 2−3t +c <0恒成立，于是只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0，即9−9+c <0，解得c <0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0)；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0，则存在t ∈[1,3]，使g (t )=t 2−3t +c <0．于是只需g(t)在[1,3]上的最小值g (32)=(32)2−3∙32+c <0，解得c <94； ∴实数c 的取值范围是(−∞，94)；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，则方程t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，(一元二次方程根的分布问题)因△=(3+c )2−4c =c 2+2c +9=(c +1)2+8>0，故t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上不可能有两个相等的实数解，令ℎ(t )=t 2−(3+c)t +c ．则ℎ(1)ℎ(3)≤0，所以−2∙(−2c )≤0，解得c ≤0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0]．【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.【典题5】 已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)．在x ∈(−1,0)时，f (x )=2x +2−x ．(1)试求f(x)的表达式；(2)若对于x ∈(0,1)上的每一个值，不等式t ·2x ·f (x )<4x −1恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f (0)=0，设x ∈(0,1)，则−x ∈(−1,0)，则f (x )=−f (−x )=−(2x +2−x )，故f (x )={2x +2−x 0−2x −2−x x ∈(−1,0)x =0x ∈(0,1)(2)由题意，t ·2x ·f (x )<4x −1可化为t ·2x ·(−2x −2−x )<4x −1化简可得t >−4x +14x +1，(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)令g (x )=−4x +14x +1=−1+24x +1， (分离常数法) 易得g (x )在(0,1)上递减，∴g (x )<g (0)=−1+240+1=0，故t ≥0．(t 可取到0)【点拨】① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；② 判断形如y =a∙f (x )+b m∙f (x )+n 函数的单调性，可用分离常数法；比如y =−x+12x+1，y =2x 2−3x 2+1，y =2x−1+12x +1等.巩固练习1(★) 设a =0.60.4,b =0.40.6,c =0.40.4，则a,b,c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 【答案】 B【解析】∵a =0.60.4，c =0.40.4，由幂函数y =x 0.4的性质可得a >c ，b =0.40.6，c =0.40.4，由指数函数y =0.4x 的性质可得b <c ，∴b <c <a ．故选：B ．2(★★) 已知实数a ，b 满足12>(12)a >(√22)b >14，则( )A ．b <2√b −aB ．b >2√b −aC ．a <√b −aD ．a >√b −a【答案】B 【解析】由12>(12)a ，得a >1，由(12)a >(√22)b ，得(√22)2a >(√22)b ，得2a <b ， 由(√22)b >14，得(√22)b >(√22)4，得b <4．由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2，∴1<a <2，2<b <4．取a=32,b =72，得√b −a =√72−32=√2，有a >√b −a ，排除C ；b >2√b −a ，排除A ；取a =1110,b =3910得，√b −a =√3910−1110=√145，有a <√b −a ，排除D ．故选：B ．3(★★) 设a >0,b >0，下列命题中正确的是( )A ．若2a +2a =2b +3b ，则a >bB ．若2a +2a =2b +3b ，则a <bC ．若2a −2a =2b −3b ，则a >bD ．若2a −2a =2b −3b ，则a <b 【答案】 A【解析】∵a ≤b 时，2a +2a ≤2b +2b <2b +3b ，∴若2a +2a =2b +3b ，则a >b ，故A 正确，B 错误；对于2a ﹣2a =2b ﹣3b ，若a ≥b 成立，则必有2a ≥2b ，故必有2a ≥3b ，即有a ≥32b ，而不是a >b 排除C ，也不是a <b ，排除D ．故选：A ．4(★★) 方程4x+1−3×2x+2−16=0的解是 .【答案】 x =2【解析】4x+1－3•2x+2－16=0即为4•(2x )2－12•2x －16=0令2x =t 则有4t 2－12t －16=0，解得t =4,t =－1(舍)所以2x =4,x =2故答案为x =2．5(★★) 若方程(14)x +(12)x −1+a =0有正数解，则实数a 的取值范围是 .【答案】(−3,0)【解析】设t =(12)x ，则有：a =－[(12)2x +2(12)x ]=－t 2－2t =－(t +1)2+1． 原方程有正数解x >0，则0<t =(12)x <(12)0=1， 即关于t 的方程t 2+2t +a =0在(0,1)上有实根．又因为a =－(t +1)2+1．所以当0<t <1时有1<t +1<2，即1<(t +1)2<4，即－4<－(t +1)2<－1，即－3<－(t +1)2+1<0，即得：－3<a <0，故选：B ．6(★★★) 已知函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)在[−2,1]上的值域为[m,4]，且函数g(x)=3m−1x 在(0,+∞)上是减函数，则m +a = ．【答案】 1【解析】当a >1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a =4，m =116， 函数g (x )=3m−1x =−1316x 在(0,+∞)上是增函数，不满足题意；当0<a <1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a －2=4，a =12，此时m =12，函数g(x)=3m−1x =12x 在(0,+∞)上是减函数，满足题意； 综上知m +a =1．故答案为：1．7(★★★) 设不等式4x −m(4x +2x +1)≥0对于任意的x ∈[0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(−∞,13]【解析】由4x －m(4x +2x +1)≥0，得m(4x +2x +1)≤4x ，即m ≤4x 4x +2x +1=11+12x +14x ， ∵x ∈[0,1]，∴12x ∈[12,1]，则(12x )2+12x +1=(12x +12)2+34∈[74,3]，∴11+12x +14x ∈[13,47]，则m ≤13．8(★★★)已知f(x)=a−23x+1(a∈R)：(1)证明f(x)是R上的增函数；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)略，提示：定义法(2) a=1【解析】(1)证明：对任意x∈R都有3x+1≠0,∴f(x)的定义域是R，设x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=23x2+1−23x1+1=2(3x1−3x2)(3x1+1)(3x2+1)∵y=3x在R上是增函数，且x1<x2∴3x1<3x2且(3x1+1)(3x2 +1)>0⇒f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)∴f(x)是R上的增函数．(2)解：若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0⇒a=1下面证明a=1时f(x)=1−23x+1是奇函数∵f(−x)=1−23−x+1=1−2⋅3x1+3x=1−2(3x+1)−21+3x=−1+21+3x=−f(x)∴f(x)为R上的奇函数∴存在实数a=1，使函数f(x)为R上的奇函数．9(★★★)设函数f(x)=a x−a−x(a>0且a≠1)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0对一切x∈R恒成立的t 的取值范围；(3)若f(1)=32，g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．【答案】(1)奇函数(2)−3<t<5(3) m=2【解析】(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)=a−x－a x=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)=a x－a－x (a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2+tx)<f(x－4)，∴x2+tx>x－4，即x2+(t－1)x+4>0恒成立，∴△=(t－1)2－16<0，解得－3<t<5；(3)∵f(1)=32，∴a －1a =32，即2a 2－3a －2=0， 解得a =2或a =－12(舍去)，∴g(x)=a 2x +a −2x －2mf(x)=(2x －2−x )2－2m(2x －2−x )+2， 令t =f(x)=2x －2−x ，由(1)可知f(x)=2x －2−x 为增函数，∵x ≥1，∴t ≥f(1)=32， 令ℎ(t )=t 2−2mt +2=(t −m )2+2−m 2 (t ≥32)，若m ≥32，当t =m 时，ℎ(t )min =2−m 2=−2，∴m =2； 若m <32时，当t =32时，ℎ(t )min =－2，解得m =2512>32，无解；综上，m =210 (★★★) 已知函数f (x )=a ∙4x −2x+1+a +3.(1)若a =0，解方程f (2x )=−5；(2)若a =1，求f(x)的单调区间；(3)若存在实数x 0∈[−1,1]，使f (x 0)=4，求实数a 的取值范围.【答案】 (1) x =1 (2) 单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0](3){a|1≤a ≤1+√52}【解析】⑴若0a =, 由()25f x =-，即21235x +-+=-，解得x =1 ⑵若1a =,则()1424x x f x +=-+，设12,x x R ∈，且12x x <，()()21f x f x -=221424x x +-+()111424x x +--+ ()()212144222x x x x =---()()212122222x x x x =-+-21220x x ->当[)12,0,x x ∈+∞时,有212220x x +->，()()2121222220x x x x ∴-+->， ()()21f x f x ∴>,()f x ∴在[)0,+∞上是增函数; 当(]12,,0x x ∈-∞时,有212220x x +-<，()()2121222220x x x x ∴-+-<，()()21f x f x ∴<,()f x ∴在(],0-∞上是减函数()f x ∴的单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0] ⑶设2x t =,由[]01,1x ∈-,得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且()1242323x x f x a a a t t a +=⋅-++=⋅-++ ∴存在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得2234a t t a ⋅-++=,即2210a t t a ⋅-+-= 令()221g t a t t a =⋅-+-,若0a ≠,则函数()g t 的对称轴是1t a = 由已知得:方程()0g t =在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实数解, ()()12012g g ⎛⎫∴⋅≤ ⎪⎝⎭,或由不等式()1得:()582550,145a a a ⎛⎫-⋅-≤∴≤≤ ⎪⎝⎭ 由不等式组()2得: 012285851a a a a a a >⎧⎪⎪≤≤⎪∴≤≤≤≤⎪⎪≥⎪⎪≥⎪⎩所以,实数a 的取值范围是{a|1≤a ≤1+√52}。

指数与指数函数图像及性质（教师版）指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次⽅根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开⽅数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

(4),||,a n a n ?=?为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n ma a =()1,,,0>∈>*n N n m a(2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另⼀种表⽰形式；②根式与分数指数幂可以进⾏互化；③0的正分数指数幂等于0；④0的负分数指数幂⽆意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sra a a +=?()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.⽆理数指数幂(1)⽆理数指数幂的值可以⽤有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适⽤于⽆理数指数幂。

4．指数函数的概念：⼀般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是⾃变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第⼀课时【典例精讲】题型⼀根式、指数幂的化简与求值1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a2.(1,)n a n n N+=>∈,,||,a na n=?为奇数为偶数；3.1(0,,,)nmnmna a m n Nma-+=>∈且为既约分数，=a a（）.【例1】计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.正确解析：（18 =-；（2|10|10 =-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||() a b a b a b =-=->.温馨提醒：中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.【变式1】求下列各式的值：（1（*1,n n N>∈且）；（2.【例2】计算)213010.027256317----+-+【答案】)213013411479 0.027256310.349641 7330 ----+-+=-+-+=【变式2】化简34]的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234，故选B【变式3】1332-?×76- ?0＋148422323??- ________.【答案】2【解析】原式＝1323?? ???×1＋342×142－13223??= .题型⼆根式、指数幂的条件求值1. 0a >时，0;ba > 2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r s a a =则r s =； 4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a-+=两边平⽅得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平⽅得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得2216.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b是⽅程2640x x-+=的两根，且0,a b>>求a ba b-+的值.【答案】5【⽅法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，⼀般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代⼊，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy+==且x y<，求11221122x y-+的值.【答案】3【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答⼀是难以想到应⽤“⽴⽅差”公式，⼆是应⽤“⽴⽅差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++?=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进⼀步代⼊计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）121217++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---???? ??；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()2733362213421313a a aa a a ===? C.⽆理数指数幂na (n 是⽆理数)不是⼀个确定的实数 D. ()()()?≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131--???? ??+--a a a a 为 ( )A.3232-+a a C. 3232--a a D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简???? ??+????+ ++???? ??+-----2141811613212121212121的结果是 ( ) A.13212121--???? ??- B.132121--- C.32121-- D. --3212121第⼆课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。