指数与指数函数图像及性质(教师版)

2.1.2 指数函数的图像与性质（教案）一、教学目标：1、知识与技能：掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。

2、过程与方法：通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图象特征与性质。

3、情感态度价值观：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

二、教学重点：指数函数的图象与性质。

三、教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。

四、教学过程： （一）创设情境 1、复习（1）指数函数的定义； （2）指数函数解析式的特征。

2、导入 （二）探究新知1、作函数图象：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、xy )21(=的图象。

2、观察指数函数x y 2=、x y )2(=的图象特征。

f (3、观察不同底数的指数函数的图象特征。

结论：①图象在x 轴的上方.②当0<a<1时，图象是下降的； 当a>1时，图象是上升的 . ③过定点（0，1）.4、归纳总结指数函数的图象和性质。

（三）典例讲解例题1 比较下列各题中两个数的大小。

（1）35.27.17.1和 （2）2.01.08.08.0--和 （3）1.33.09.07.1和 （四）课堂总结这节课主要学习了什么内容，你有哪些收获？ （五）作业布置：教材59页第7题。

；，点这两个函数的图象都过轴的上方；这两个函数的图象都在)10()2()1(x 的图象自左向右下降。

的图象自左向右上升；x x y y )21(2)3(==。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。

指数函数1 指数运算(1) n 次方根与分数指数幂一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ∗. 式子√a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1) (√a n)n =a (2)当n 是奇数时，√a n n =a ，当n 是偶数时，√a n n =|a |={a,a ≥0−a,a <0.(2) 正数的正分数指数幂的意义① 正数的正分数指数幂的意义，规定：a m n=√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,且n >1) 巧记“子内母外”(根号内的m 作分子，根号外的n 作为分母) Eg √x =x12，√x 53=x 53.② 正数的正分数指数幂的意义：a −mn =1a m n=√a mn>0,m,n ∈N ∗,且n >1)③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质① a s ∙a r =a r+s (a >0,r,s ∈R) ② (a s )r =a rs (a >0,r,s ∈R) ③ (ab)r =a r b r (a >0,r ∈R) 2 指数函数概念一般地，函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 3 图像与性质【题型一】指数幂的化简与求值【典题1】 求值(279)12−(2√3−π)0－(21027)−13+0.125−23+√3∙√(34)3.【解析】原式=(259)12−1−(6427)−13+(18)−23+312∙(34)32=53−1−(2764)13+(2−3)−23+32∙(14)32=23−34+4+98=12124.【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.【典题2】已知x 12−x −12=√5，则x 2+1x 2的值为______.【解析】由x 12−x−12=√5，两边平方得x −2+x −1=5，则x +1x =7，所以(x +1x )2=49⇒x 2+1x 2+2=49⇒x 2+1x 2=47. 【点拨】注意x 12−x −12，x +1x ，x 2+1x 2之间平方的关系. 【典题3】化简√11+6√2√11−6√2=________.【解析】√11+6√2+√11−6√2=√(3+√2)2+√(3−√2)2=3+√2+3−√2=6.【点拨】化简形如√a+b√m的式子，利用完全平方数处理.巩固练习1(★) 化简√a√a3a76(a>0)=.【答案】a−2 3【解析】原式=a 12÷a76=a12−76=a−23．2(★★)如果45x=3，45y=5，那么2x+y=．【答案】 1【解析】由45x=3，得(45x)2=9,45y=5，则452x×45y=9×5=45=1．∴452x+y=45．∴2x+y=1故答案为1．3(★★)已知a+1a=7，则a12+a−12=．【答案】3【解析】由a+1a=7，可得a>0，a12+a−12>0，∴a 12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3．故选：A．4(★★) (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=．【答案】1 2【解析】(214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=[(32)2]12−1−[(32)3]−23+(23)2=32−1−49+49=12．5(★★)求值√7+4√3+√7−4√3=．【答案】4【解析】√7+4√3√7−4√3=√(2+√3)2+√(2−√3)2=2+√3+2−√3=4. 6(★★★) 已知实数x,y 满足3x +3y =9x +9y ，则27x +27y 3x +3y的取值范围是 .【答案】(1,98] 【解析】设3x+3y=t ≥2√3x+y ，∴3x+y≤t 24， 又3x +3y =9x +9y =(3x +3y )2－2×3x+y ， ∴3x+y=t 2−t2>0，∴t >1；∴t 2−t 2≤t 24即t 2－2t ≤0，解得0≤t ≤2；∴1<t ≤2； 由已知，27x +27y 3x +3y=(3x +3y )(9x −3x+y +9y )3x +3y=9x −3x+y +9y =3x +3y －3x+y=t −t 2−t 2=−12t 2+32t =−12(t −32)2+98，∴t =32时，27x +27y 3x +3y 的最大值为98；t =1时27x +27y 3x +3y 的最小值为1；所以27x +27y 3x +3y的取值范围是(1,98]．故答案为：(1,98]．7(★★★) 已知2a =3b =6，则a,b 不可能满足的关系是( ) A ．a +b =abB ．a +b >4C ．(a −1)2+(b −1)2<2D ．a 2+b 2>8【答案】C【解析】∵2a =3b =6，∴(2a )b =6b ,(3b )a=6a ， ∴2ab =6b ，3ba =6a ， ∴2ab •3ba =6b •6a ， ∴6ab =6a+b ，∴ab =a +b ，则有ab =a +b ≥2√ab ， ∵a ≠b ，∴ab >2√ab ， ∴a +b =ab >4，∴(a －1)2+(b －1)2=a 2+b 2－2(a +b)+2>2ab －2(a +b)+2>2， ∵a 2+b 2>2ab >8，故C 错误 故选：C ．【题型二】指数函数的图象及应用【典题1】函数y =2|1−x |的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解析】方法1 函数y =2|1−x |={2x−1,x >121−x ,x ≤1， (利用|x |={x,x ≥0−x,x <0去掉绝对值把函数变成分段函数)∴当x >1时，y =2x−1是增函数，当x ≤1时，y =21−x 的减函数， 且x =1时，y =1，即图象过(1,1)点； ∴符合条件的图象是A ． 故选：A ．方法2 利用函数的图象变换去掉y 轴左侧图象作关于y 轴右侧对称⇒右移1个单位⇒故选：A ．【典题2】设函数f(x)=|2x −1|，c <b <a ，且f(c)>f(a)>f(b)，判断2a +2c 与2的大小关系. 【解析】 f(x)=|2x −1|的图象可看成f (x )=2x 向下平移一个单位，再把x 轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，由图可知，要使c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b)成立， 则有c <0且a >0， 故必有2c <1且2a >1，又f (c )−f(a)>0，即为1−2c −(2a −1)>0， ∴2a +2c <2．【点拨】涉及指数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有：①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.巩固练习)x的交点个数有()1(★) 二次函数y=−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－(x+2)2+4(x>－2)，)x=2，且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x的图象：则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C．2(★★)若函数y=a|x|+m−1(0<a<1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是() A．[1,+∞)B．(0,1)C．(－∞,1)D．[0,1)【答案】D【解析】0<a<1时，0<a|x|<1，∴m－1<a|x|+m－1<m；由函数y的图象和x轴有交点，∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，综上，实数m的取值范围是[0,1)．故选：D．3(★★) 如图所示，函数y=|2x−2|的图象是()A．B．C．D．【答案】 B【解析】∵y =|2x －2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0．故选B ．4(★★) 已知实数a,b 满足等式2a =3b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0； ③0<a <b ；④b <a <0；⑤a =b ．其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤D ．③④⑤【答案】 B【解析】令f(x)=2x 和g(x)=3x ，2a =3b 即f(a)=g(b)，如图所示 由图象可知①②⑤正确，故选B ．5(★★★) 若2x −5−x ≤2−y −5y ，则有( ) A ．x +y ≥0 B ．x +y ≤0 C ．x −y ≤0 D ．x −y ≥0【答案】B【解析】构造函数f(x)=2x －5−x ，易得函数f(x)单调递增， 由2x －5−x ≤2−y －5y ，可得f(x)≤f(－y) ∴x ≤－y ⇒x +y ≤0， 故选：B ．【题型三】指数函数的性质及应用 角度1 比较指数式的大小 【典题1】 设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)−1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】利用幂的运算性质可得，y 1=40.9=21.8，y 2=80.48=21.44，y 3=(12)﹣1.5=21.5，再由y =2x 是增函数，知y 1>y 3>y 2． 故选：D ．【典题2】已知a =0.72.1，b =0.72.5．c =2.10.7，则这三个数的大小关系为( )A．b<a<c B．a<b<c C．c<a<b D．c<b<a【解析】根据指数函数的性质可得：函数y=0.7x是减函数，∵2.1<2.5，∴0.72.1>0.72.5，即a>b．又∵c=2.10.7>2.10=1，a=0.72.1<0.70=1，∴c<a，∴b<a<c，故选：A．【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有①把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解指数型不等式和方程【典题1】方程4x+1−3×2x+2－16=0的解是．【解析】4x+1−3×2x+2−16=0，即为4×(2x)2−12×2x−16=0令t=2x>0则有4t2−12t−16=0，解得t=4,t=−1(舍)所以2x=4，x=2故答案为x=2．【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后t=2x>0是容易忽略的.【典题2】解不等式：a2x+1<a x+2+a x−2(a>0)【解析】∵a x+2+a x−2=(a2+1a2)a x,令t=a x原不等式变形得t2−(a2+1a2)t+1<0，即(t−a2)(t−1a2)<0，(注意因式分解)(1)当a2<1a2，即0<a<1时，则a2<t<1a2，即a2<a x<1a2，∴−2<x<2(2)当a2>1a2，即a>1时，则1a2<t<a2，即a−2<a x<a2，∴−2<x<2(3)当a 2=1a 2，即a =1时，无解．综上，当a ≠1时，−2<x <2；当a =1时无解． 【点拨】① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于1还是小于1再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意a =1；② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对a 2，1a 2的大小比较是关键.角度3 指数型函数综合问题【典题1】已知定义在R 上的函数y =f(x)满足：①对于任意的x ∈R ，都有f(x +1)=1f(x)；②函数y =f(x)是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x ，则f(−32)，f(214)，f(223)从小到大的排列是 . 【解析】由题意f(x +1)=1f (x )=f(x −1)，故函数y =f(x)为周期为2的函数； f(−32)=f(12)；f(223)=f(8−23)=f(−23)=f(23)；f(214)=f(6−34)=f(34)； (把自变量数值向(0,1]靠拢)∵当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x 是增函数， 故f(12)<f(23)<f(34)，即f(−32)<f(223)<f(214)．【典题2】若e a +πb ≥e −b +π−a ，则有( ) A ．a +b ≤0B ．a −b ≥0C ．a −b ≤0D ．a +b ≥0【解析】解法一：取特殊值排除法取a =0，b =1得1+π≥1e +1，满足题意，排除A,B ； 取a =1，b =0得e +1≥1+1π，满足题意，排除C ；故选：D ．法二：构造函数利用单调性令f(x)=e x −π−x ，则f(x)是增函数，∵e a +πb ≥e −b +π−a ⇒e a −π−a ≥e −b −πb ， ∴f(a)≥f(−b)，即a +b ≥0．故选：D．【点拨】①做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；②遇到类似这样的题目，不等式e a+πb≥e−b+π−a的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式e a+πb≥e−b+π−a变形成e a−π−a≥e−b−πb，就较容易联想到构造函数f(x)=e x−π−x；③判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.【典题3】已知函数f(x)=a x，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．当x∈[−1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值之和为52．(1)求a的值；(2)若a>1，记函数ℎ(x)=g(x)−2mf(x)，求当x∈[0,1]时，ℎ(x)的最小值H(m)．【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上为单调函数，f(x)的最大值与最小值之和为a+a−1=52，∴a=2或12．(2)∵a>1∴a=2则ℎ(x)=22x+m−2m×2x，令t=2x，∵x∈[0,1]时，∴t∈[1,2]，ℎ(x)=t2−2mt+m，对称轴为t=m(二次函数动轴定区间最值问题)当0<m<1时，H(m)=ℎ(1)=−m+1；当1≤m≤2时，H(m)=ℎ(m)=−m2+m；当m>2时，H(m)=ℎ(2)=−3m+4．综上所述，H(m)={−m+1,(0<m<1)−m2+m,(1≤m≤2)−3m+4,(m>2)．【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴t= m在区间[1,2]“左、中、右”进行分类讨论.【典题4】已知函数f(x)=9x−3x+1+c(其中c是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c 的取值范围；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0成立，求实数c 的取值范围；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，求实数c 的取值范围.思路痕迹(1) 恒成立问题可转化为求函数y =f(x)的最大值，见到9x ，3x+1可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数y =f(x)的最小值.(3) 该问转化为方程t 2－(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.【解析】(1)f (x )=9x −3x+1+c =(3x )2−3×3x +c ，令3x =t ，当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]， (利用换元法要注意新变量的求值范围)问题转化为当t ∈[1,3]时，g (t )=t 2−3t +c <0恒成立，于是只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0，即9−9+c <0，解得c <0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0)；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0，则存在t ∈[1,3]，使g (t )=t 2−3t +c <0．于是只需g(t)在[1,3]上的最小值g (32)=(32)2−3∙32+c <0，解得c <94； ∴实数c 的取值范围是(−∞，94)；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，则方程t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，(一元二次方程根的分布问题)因△=(3+c )2−4c =c 2+2c +9=(c +1)2+8>0，故t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上不可能有两个相等的实数解，令ℎ(t )=t 2−(3+c)t +c ．则ℎ(1)ℎ(3)≤0，所以−2∙(−2c )≤0，解得c ≤0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0]．【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.【典题5】 已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)．在x ∈(−1,0)时，f (x )=2x +2−x ．(1)试求f(x)的表达式；(2)若对于x ∈(0,1)上的每一个值，不等式t ·2x ·f (x )<4x −1恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f (0)=0，设x ∈(0,1)，则−x ∈(−1,0)，则f (x )=−f (−x )=−(2x +2−x )，故f (x )={2x +2−x 0−2x −2−x x ∈(−1,0)x =0x ∈(0,1)(2)由题意，t ·2x ·f (x )<4x −1可化为t ·2x ·(−2x −2−x )<4x −1化简可得t >−4x +14x +1，(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)令g (x )=−4x +14x +1=−1+24x +1， (分离常数法) 易得g (x )在(0,1)上递减，∴g (x )<g (0)=−1+240+1=0，故t ≥0．(t 可取到0)【点拨】① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；② 判断形如y =a∙f (x )+b m∙f (x )+n 函数的单调性，可用分离常数法；比如y =−x+12x+1，y =2x 2−3x 2+1，y =2x−1+12x +1等.巩固练习1(★) 设a =0.60.4,b =0.40.6,c =0.40.4，则a,b,c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 【答案】 B【解析】∵a =0.60.4，c =0.40.4，由幂函数y =x 0.4的性质可得a >c ，b =0.40.6，c =0.40.4，由指数函数y =0.4x 的性质可得b <c ，∴b <c <a ．故选：B ．2(★★) 已知实数a ，b 满足12>(12)a >(√22)b >14，则( )A ．b <2√b −aB ．b >2√b −aC ．a <√b −aD ．a >√b −a【答案】B 【解析】由12>(12)a ，得a >1，由(12)a >(√22)b ，得(√22)2a >(√22)b ，得2a <b ， 由(√22)b >14，得(√22)b >(√22)4，得b <4．由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2，∴1<a <2，2<b <4．取a=32,b =72，得√b −a =√72−32=√2，有a >√b −a ，排除C ；b >2√b −a ，排除A ；取a =1110,b =3910得，√b −a =√3910−1110=√145，有a <√b −a ，排除D ．故选：B ．3(★★) 设a >0,b >0，下列命题中正确的是( )A ．若2a +2a =2b +3b ，则a >bB ．若2a +2a =2b +3b ，则a <bC ．若2a −2a =2b −3b ，则a >bD ．若2a −2a =2b −3b ，则a <b 【答案】 A【解析】∵a ≤b 时，2a +2a ≤2b +2b <2b +3b ，∴若2a +2a =2b +3b ，则a >b ，故A 正确，B 错误；对于2a ﹣2a =2b ﹣3b ，若a ≥b 成立，则必有2a ≥2b ，故必有2a ≥3b ，即有a ≥32b ，而不是a >b 排除C ，也不是a <b ，排除D ．故选：A ．4(★★) 方程4x+1−3×2x+2−16=0的解是 .【答案】 x =2【解析】4x+1－3•2x+2－16=0即为4•(2x )2－12•2x －16=0令2x =t 则有4t 2－12t －16=0，解得t =4,t =－1(舍)所以2x =4,x =2故答案为x =2．5(★★) 若方程(14)x +(12)x −1+a =0有正数解，则实数a 的取值范围是 .【答案】(−3,0)【解析】设t =(12)x ，则有：a =－[(12)2x +2(12)x ]=－t 2－2t =－(t +1)2+1． 原方程有正数解x >0，则0<t =(12)x <(12)0=1， 即关于t 的方程t 2+2t +a =0在(0,1)上有实根．又因为a =－(t +1)2+1．所以当0<t <1时有1<t +1<2，即1<(t +1)2<4，即－4<－(t +1)2<－1，即－3<－(t +1)2+1<0，即得：－3<a <0，故选：B ．6(★★★) 已知函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)在[−2,1]上的值域为[m,4]，且函数g(x)=3m−1x 在(0,+∞)上是减函数，则m +a = ．【答案】 1【解析】当a >1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a =4，m =116， 函数g (x )=3m−1x =−1316x 在(0,+∞)上是增函数，不满足题意；当0<a <1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a －2=4，a =12，此时m =12，函数g(x)=3m−1x =12x 在(0,+∞)上是减函数，满足题意； 综上知m +a =1．故答案为：1．7(★★★) 设不等式4x −m(4x +2x +1)≥0对于任意的x ∈[0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(−∞,13]【解析】由4x －m(4x +2x +1)≥0，得m(4x +2x +1)≤4x ，即m ≤4x 4x +2x +1=11+12x +14x ， ∵x ∈[0,1]，∴12x ∈[12,1]，则(12x )2+12x +1=(12x +12)2+34∈[74,3]，∴11+12x +14x ∈[13,47]，则m ≤13．8(★★★)已知f(x)=a−23x+1(a∈R)：(1)证明f(x)是R上的增函数；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)略，提示：定义法(2) a=1【解析】(1)证明：对任意x∈R都有3x+1≠0,∴f(x)的定义域是R，设x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=23x2+1−23x1+1=2(3x1−3x2)(3x1+1)(3x2+1)∵y=3x在R上是增函数，且x1<x2∴3x1<3x2且(3x1+1)(3x2 +1)>0⇒f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)∴f(x)是R上的增函数．(2)解：若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0⇒a=1下面证明a=1时f(x)=1−23x+1是奇函数∵f(−x)=1−23−x+1=1−2⋅3x1+3x=1−2(3x+1)−21+3x=−1+21+3x=−f(x)∴f(x)为R上的奇函数∴存在实数a=1，使函数f(x)为R上的奇函数．9(★★★)设函数f(x)=a x−a−x(a>0且a≠1)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0对一切x∈R恒成立的t 的取值范围；(3)若f(1)=32，g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．【答案】(1)奇函数(2)−3<t<5(3) m=2【解析】(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)=a−x－a x=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)=a x－a－x (a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2+tx)<f(x－4)，∴x2+tx>x－4，即x2+(t－1)x+4>0恒成立，∴△=(t－1)2－16<0，解得－3<t<5；(3)∵f(1)=32，∴a －1a =32，即2a 2－3a －2=0， 解得a =2或a =－12(舍去)，∴g(x)=a 2x +a −2x －2mf(x)=(2x －2−x )2－2m(2x －2−x )+2， 令t =f(x)=2x －2−x ，由(1)可知f(x)=2x －2−x 为增函数，∵x ≥1，∴t ≥f(1)=32， 令ℎ(t )=t 2−2mt +2=(t −m )2+2−m 2 (t ≥32)，若m ≥32，当t =m 时，ℎ(t )min =2−m 2=−2，∴m =2； 若m <32时，当t =32时，ℎ(t )min =－2，解得m =2512>32，无解；综上，m =210 (★★★) 已知函数f (x )=a ∙4x −2x+1+a +3.(1)若a =0，解方程f (2x )=−5；(2)若a =1，求f(x)的单调区间；(3)若存在实数x 0∈[−1,1]，使f (x 0)=4，求实数a 的取值范围.【答案】 (1) x =1 (2) 单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0](3){a|1≤a ≤1+√52}【解析】⑴若0a =, 由()25f x =-，即21235x +-+=-，解得x =1 ⑵若1a =,则()1424x x f x +=-+，设12,x x R ∈，且12x x <，()()21f x f x -=221424x x +-+()111424x x +--+ ()()212144222x x x x =---()()212122222x x x x =-+-21220x x ->当[)12,0,x x ∈+∞时,有212220x x +->，()()2121222220x x x x ∴-+->， ()()21f x f x ∴>,()f x ∴在[)0,+∞上是增函数; 当(]12,,0x x ∈-∞时,有212220x x +-<，()()2121222220x x x x ∴-+-<，()()21f x f x ∴<,()f x ∴在(],0-∞上是减函数()f x ∴的单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0] ⑶设2x t =,由[]01,1x ∈-,得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且()1242323x x f x a a a t t a +=⋅-++=⋅-++ ∴存在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得2234a t t a ⋅-++=,即2210a t t a ⋅-+-= 令()221g t a t t a =⋅-+-,若0a ≠,则函数()g t 的对称轴是1t a = 由已知得:方程()0g t =在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实数解, ()()12012g g ⎛⎫∴⋅≤ ⎪⎝⎭,或由不等式()1得:()582550,145a a a ⎛⎫-⋅-≤∴≤≤ ⎪⎝⎭ 由不等式组()2得: 012285851a a a a a a >⎧⎪⎪≤≤⎪∴≤≤≤≤⎪⎪≥⎪⎪≥⎪⎩所以,实数a 的取值范围是{a|1≤a ≤1+√52}。

指数与指数函数图像及性质（教师版）指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次⽅根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开⽅数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

(4),||,a n a n ?=?为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n ma a =()1,,,0>∈>*n N n m a(2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另⼀种表⽰形式；②根式与分数指数幂可以进⾏互化；③0的正分数指数幂等于0；④0的负分数指数幂⽆意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sra a a +=?()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.⽆理数指数幂(1)⽆理数指数幂的值可以⽤有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适⽤于⽆理数指数幂。

4．指数函数的概念：⼀般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是⾃变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第⼀课时【典例精讲】题型⼀根式、指数幂的化简与求值1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a2.(1,)n a n n N+=>∈,,||,a na n=?为奇数为偶数；3.1(0,,,)nmnmna a m n Nma-+=>∈且为既约分数，=a a（）.【例1】计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.正确解析：（18 =-；（2|10|10 =-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||() a b a b a b =-=->.温馨提醒：中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.【变式1】求下列各式的值：（1（*1,n n N>∈且）；（2.【例2】计算)213010.027256317----+-+【答案】)213013411479 0.027256310.349641 7330 ----+-+=-+-+=【变式2】化简34]的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234，故选B【变式3】1332-?×76- ?0＋148422323??- ________.【答案】2【解析】原式＝1323?? ???×1＋342×142－13223??= .题型⼆根式、指数幂的条件求值1. 0a >时，0;ba > 2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r s a a =则r s =； 4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a-+=两边平⽅得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平⽅得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得2216.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b是⽅程2640x x-+=的两根，且0,a b>>求a ba b-+的值.【答案】5【⽅法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，⼀般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代⼊，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy+==且x y<，求11221122x y-+的值.【答案】3【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答⼀是难以想到应⽤“⽴⽅差”公式，⼆是应⽤“⽴⽅差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++?=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进⼀步代⼊计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）121217++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---???? ??；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()2733362213421313a a aa a a ===? C.⽆理数指数幂na (n 是⽆理数)不是⼀个确定的实数 D. ()()()?≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131--???? ??+--a a a a 为 ( )A.3232-+a a C. 3232--a a D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简???? ??+????+ ++???? ??+-----2141811613212121212121的结果是 ( ) A.13212121--???? ??- B.132121--- C.32121-- D. --3212121第⼆课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

《第四章 指数函数与对数函数》 《4.2.2指数函数的图像和性质》教案【教材分析】本节课在已学指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。

另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。

【教学目标与核心素养】 课程目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【教学重难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质． 【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】 一、情景导入请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测指数函12,()2x x y y ==数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-117页，思考并完成以下问题1.结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？2.指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、指数函数的图象和性质四、典例分析、举一反三题型一指数函数的图象问题题点一：指数型函数过定点问题例1函数y＝a x－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．【答案】(3,4)【解析】因为指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．题点二：指数型函数图象中数据判断例2函数f(x)＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D.0＜a ＜1，b ＜0【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.题点三：作指数型函数的图象例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝－2x .【答案】见解析【解析】如图．(1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位长度得到的；(2)y ＝－2x 的图象与y ＝2x 的图象关于x 轴对称． 解题技巧：（指数函数的图像问题）1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a 如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.2.因为函数y=ax 的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b 均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).3.指数函数y=ax 与y=(1a )x(a>0,且a≠1)的图象关于y 轴对称.4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.跟踪训练一1、如图是指数函数:①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是( )A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c2、已知函数f(x)=a x+1+3的图象一定过点P,则点P 的坐标是 .3、函数y=的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?【答案】1.B2.(-1,4)3.原函数的图象关于y 轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).【解析】1、解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y 轴右边,底数越小,图象向下越靠近x 轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y 轴右边,底数越大, 图象向上越靠近y 轴,故有d<c.故选B.(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D 四点, 将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值, 所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知b<a<1<d<c.故选B. 答案:B2、解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a 0+3=4恒成立,故函数f(x)=a x+1+3恒过(-1,4)点.3、解:∵y=(12)|x|={(12)x,x≥0,(12)-x ,x<0,∴其图象由y=(12)x(x≥0)和y=2x (x<0)的图象合并而成.||1()2x而y=(12)x(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y 轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).题型二指数函数的性质及其应用 题点一：比较两个函数值的大小 例4比较下列各题中两个值的大小: （1）1.72.5与1.73 （2）0.8−√2与0.8−√3 （3）1.70.3与0.93.1【答案】(1)1.72.5<1.73(2)0.8−√2<0.8−√3（3）1.70.3>0.93.1【解析】(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R 上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73(2)(单调性法)由于0.8−√2与0.8−√3的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R 上是减函数.又0.8−√2<0.8−√3（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.70.3>1.70=1,则1.70.3>0.93.1题点二：指数函数的定义域与值域问题 例5求下列函数的定义域与值域 (1)y=21x−4; (2)y=(23)-|x|.【答案】(1)定义域为{x|x ∈R,且x≠4},值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)定义域为R,值域为[1,+∞). 【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,∴函数的定义域为{x|x ∈R,且x≠4}.∵1x−4≠0,∴21x−4≠1.∴y=21x−4的值域为(0,1)∪(1,+∞).（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y=(23)-|x|=(32)|x|≥(32)0=1.故y=(23)-|x|的值域为[1,+∞).解题技巧：（指数函数的性质及其应用） 1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:(1)定义域的求法.函数y=a f(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x ∈D; ③求t=f(x)的值域t ∈M;④利用y=a t的单调性求y=a t(t ∈M)的值域. 2.比较幂的大小的常用方法:跟踪训练二1、比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2). 2、比较下列各题中两个值的大小: ①2.53,2.55.7; ②1.5-7,(827)4;③2.3-0.28,0.67-3.1.【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4. 2.①2.53<2.55.7..②1.5-7>(827)4.③2.3-0.28<0.67-3.1.【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1, 若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x 是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4. 故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4; 当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R 上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7. ②(化同底)1.5-7=(32)-7=(23)7,(827)4=[(23)3]4=(23)12,构造函数y=(23)x.∵0<23<1,∴y=(23)x 在R 上是减函数.又7<12,∴(23)7>(23)12,即1.5-7>(827)4. ③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本118页习题4.2 【教学反思】本节通过运用指数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.2.2 指数函数的图像和性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.核心素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【重点与难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。

指数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和基本性质。

2. 能够绘制和分析指数函数的图像。

3. 掌握指数函数在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式指数函数是一种特殊类型的函数，形式为f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。

指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。

2. 指数函数的图像特点(1) 当a > 1 时，指数函数的图像上升。

(2) 当0 < a < 1 时，指数函数的图像下降。

(3) 指数函数的图像经过点(0, 1)。

3. 指数函数的性质(1) 单调性：当a > 1 时，指数函数单调递增；当0 < a < 1 时，指数函数单调递减。

(2) 指数函数的值域为正实数。

(3) 指数函数的图像具有无限多条切线，且切线斜率恒为a。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决实际问题，深入理解指数函数的图像与性质。

2. 利用数学软件或图形计算器绘制指数函数的图像，帮助学生直观地感受指数函数的特点。

3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的思考和探索能力，巩固所学知识。

四、教学评估1. 通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评估学生对指数函数定义、图像和性质的理解程度。

2. 布置课后作业，要求学生绘制指数函数的图像，并运用指数函数解决实际问题，以评估学生的应用能力。

3. 在课程结束后，进行一次小测验，检验学生对指数函数的整体掌握情况。

五、教学资源1. 教学PPT或教案文档，包含指数函数的定义、图像和性质的相关知识点。

2. 数学软件或图形计算器，用于绘制指数函数的图像。

3. 练习题和案例分析题，供学生巩固所学知识和应用实践。

六、教学步骤1. 引入指数函数的概念，引导学生思考指数函数在实际生活中的应用场景。

2. 讲解指数函数的定义与表达式，引导学生理解指数函数的基本形式。

3. 利用数学软件或图形计算器，绘制不同底数的指数函数图像，引导学生观察和分析指数函数的图像特点。

第14讲指数函数及其性质1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；2．理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小；3．掌握指数函数图象通过的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质。

一、指数函数的概念1、定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是指数函数的底数．2、注意事项：指数函数x y a =的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果0a =，当0,0,0,.x xx a x a ⎧>⎨≤⎩当时恒等于当时无意义（2）如果0a <，如(4)x y =-，当11,42x =时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果1,11x a y ===，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠．二、指数函数的图象与性质1>a 10<<a 图象性质定义域R 值域),0(+∞过定点)1,0(单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数三、比较指数幂的大小比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．四、简单指数不等式的解法1、形如()()>f x g x a a 的不等式，可借助=x y a 的单调性求解；2、形如()>f x ab 的不等式，可将b 化为a 为底数的指数幂的形式，再借助=x y a 的单调性求解；3、形如>xxa b 的不等式，可借助两函数=xy a ，=xy b 的图象求解。

考点一：指数函数的概念辨析例1．（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3xy =-B ．()12112x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC【变式训练】（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．231x y =⋅-D ．(0x y m m =>且1)m ≠【答案】AD【解析】由指数函数的定义知，A 、D 选项是指数函数.选项B ：111333x xy -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，不是指数函数.选项C ：231x y =⋅-不是指数函数.故选：AD.考点二：利用指数函数的概念求参例2．若函数()()1xf x a =-为指数函数，则a 的取值范围是________【答案】12a <<或2a >，【解析】()()1xf x a =-为指数函数，则011a <-<或11a ->，解得：12a <<或2a >，故答案为：12a <<或2a >.【变式训练】若函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则（）A ．1a =或3a =-B ．0a >且1a ≠C ．1a =D ．3a =-【答案】C【解析】因为函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则222140a a a ⎧+-=⎨+>⎩，且41a +≠，解得1a =，故选：C考点三：指数函数过定点问题例3．函数()()2630,1x f x aa a -=+>≠恒过定点（）A ．()0,1B ．()3,4C ．()3,3D ．()3,1【答案】B【解析】由题设，当260x -=，即3x =时，0(3)34f a =+=，所以函数过定点()3,4.故选：B【变式训练】函数x m y a n +=+(0a >且)1a ≠恒过定点(1,2)-，m n +=__．【答案】4-【解析】令0x m +=可得x m =-，此时有1y n =+.由题意可得1m -=，12n +=-，所以1m =-，3n =-，所以4m n +=-．故答案为：4-．考点四：指数函数的图象辨析例4．若()x bf x a -=的图像如图，（a ，b 是常数），则（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】由图可知函数在定义域上单调递减，所以01a <<，则11a>，所以1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，又()01bf a-=<，即0111b a a ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b <.故选：D 【变式训练】函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54313，12B 354，13，12C ．12，13354，D ．13，12，543【答案】C【解析】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，5113423>>>.故选：C ．考点五：利用单调性比较指数幂的大小例5．已知103307321123..,.,b c -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将a ，b ，c 按照从小到大的顺序排列为（）A ．c ，b ，aB ．b ，a ，cC ．c ，a ，bD ．b ，c ，a【答案】C【解析】因函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则()0303322101233..,a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<=⇒∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()132210133,c c ⎛⎫⎛⎫=<=⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又10.33>，则10332233.⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >.因函数 1.1x y =在R 上单调递增，则07111..b =>.所以b ＞a ＞c ．故选：C ．【变式训练】（多选）下列结论正确的是（）A ． 2.531.7 1.7<B ． 2.530.80.8<C ．220.90.8--<D ．0.3 3.11.70.8>【答案】ACD【解析】对于A ， 1.7x y =在定义域上是增函数， 2.532.53, 1.7 1.7<∴< ，故A 正确；对于B ，0.8x y =在定义域上是减函数， 2.532.53,0.80.8∴ ，故B 错误；对于C ，2y x -=在()0,+∞上是减函数，220.80.9,0.90.8--<∴< ，故C 正确；对于D ，0.33.10.3 3.11.710.81, 1.70.8>∴ ，故D 正确；故选：ACD.考点六：解指数型不等式例6．不等式2821()33x x--＞的解集是（）A ．()2,4-B ．(),2-∞-C ．()4,+∞D ．()(),24,-∞-+∞ 【答案】A【解析】∵228211()333xx x --⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴x 2﹣8＜2x ，解得﹣2＜x ＜4．故选：A ．【变式训练】解关于x 的不等式143237x x ≤-⋅+≤．【答案】(][],01,2-∞ 【解析】由143237xx≤-⋅+≤得4323714323x x x x⎧-⋅+≤⎨≤-⋅+⎩，即()()()()2421021220x x x x⎧-+≤⎪⎨--≥⎪⎩，解得224x ≤≤或21x ≤，可得12x ≤≤或0x ≤.所以不等式的解集为(][],01,2-∞ .考点七：指数型函数的单调性例7．函数1(2y =）A ．(],1-∞-B ．[2，＋∞）C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令220x x -++≥，则12x -≤≤，故函数的定义域为[]1,2-，设22192()24t x x x =-++=--+，12x -≤≤，则当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为增函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为减函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.而w =90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故w =11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时30,2w ⎡⎤∈⎢⎣⎦.而12wy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故12y ⎛= ⎪⎝⎭在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.故选：C.【变式训练】函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【答案】[1,)+∞【解析】令()22u x x x =-+，根据二次函数的性质，可得函数()u x 在(,1]-∞单调递增，在[1,)+∞单调递递减，又由15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数的性质，可得函数15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.考点八：指数型函数的奇偶性例8．函数()2121x x f x -=+的奇偶性是（）A ．是奇函数，不是偶函数B ．是偶函数，不是奇函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，()()11211221211212xxx xxxf x f x ------====-+++，()f x ∴是奇函数，不是偶函数.故选：A.【变式训练】已知3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，则实数k =（）A ．1B ．-1C ．0D ．e【答案】B【解析】因为3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，3y x =为奇函数，故()e e x xg x k -=+为奇函数，()010g k ∴=+=，1k ∴=-.经检验成立，故选：B.考点九：指数型函数的值域例9．函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为______.【答案】[]3,0-【解析】∵[]2,0x ∈-，且12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减，且20114,122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则[]11,42x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得[]14,12x⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，∴[]113,02x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]3,0-.故答案为：[]3,0-.【变式训练】函数22221x x y =+⋅-在区间［-1，1］上的最大值为___________.【解析】令[],12,1xx t ∈-=，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以22221x x y =+⋅-即为21,22,21y t t t ⎡⎤∈+-⎢⎣=⎥⎦.因为对称轴为1t =-，所以221y t t =+-在.1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当2t =时，222217y =+⨯-=为最大值.故答案为：71．如果函数()23xf x a =⋅和()()32x bg x -+=都是指数函数，则b a =（）A ．18B ．1C ．9D ．8【答案】D【解析】根据题意可得1212a a =⇒=，(3)03b b -+=⇒=-，则3182ba -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D2．函数()33xf x =-的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】函数3x y =经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数()33xf x =-，则经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B3．函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，则m n +=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，即32man -=+恒成立，则有3012m n -=⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，所以4m n +=.故选：B.4．函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出()232f x x x =-+的单调递减区间，其中()23124f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D5．如图所示：曲线1C ，2C ，3C 和4C 分别是指数函数x y a =，x y b =,x y c =和x y d =的图象,则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（）A ．1a b c d <<<<B ．1a b d c <<<<C ．1b a c d <<<<D ．1b a d c<<<<【答案】D【解析】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：11c d >，即c d >，11b a <，即b a <，所以1b a d c <<<<，故选：D6．已知有三个数22a -=，0.94b =，0.258c =，则它们的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b<c<a【答案】B【解析】0.9 1.842b == ，0.250.7582c ==，又2x y =在R 上单调递增，20.75 1.8222-∴<<，即a c b <<.故选：B.7．不等式224xx->的解集为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,2)(1,)-∞⋃-+∞【答案】C 【解析】因为222222422220xxxxx x x x -->⇔>⇔->⇔-->，所以(2)(1)0x x -+>，解得2x >或1x <-，所以不等式的解集为：(,1)(2,)-∞-⋃+∞.故选：C.8．（多选）已知函数()22x x f x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【解析】由题意得：函数()22x x f x -=-的定义域为R对于选项A ：函数()f x 是一条连续的曲线，当x 趋向于负无穷时，2x -趋近于正无穷，2x 趋近于零，所以22x x --趋近于负无穷，当x 趋向于正无穷时，2x -趋近于零，2x 趋近于正无穷，所以22x x --趋近于正无穷，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于选项B ：因为函数2x -在R 上单调递减，函数2x 在R 上单调递增，所以()f x 是R 上的增函数，故B 正确；对于选项C ：()f x 的定义域关于原点对称，又()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，故C 正确；对于选项D ：()f x 是R 上的增函数，无最值，所以D 错误.故选：ABC9．（多选）函数()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．方程()0f x =在R 上有解C ．函数()f x 的图象过定点()0,1D ．当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数【答案】ABD【解析】()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()11xxx x f x f x a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎝-=-⎭⎭，故()f x 为定义域，A 正确；()001101f a a ⎛⎫=-⎪=⎭-⎝= ，故方程()0f x =在R 上有解，B 正确，C 错误；当1a >时，函数xy a =在R 上单调递增，11xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，D 正确.故选：ABD10．函数y =__________．（结果写成集合或区间）【答案】(,1]-∞【解析】由题设550x -≥，则55x ≤，即1x ≤，所以定义域为(,1]-∞.故答案为：(,1]-∞11．已知函数()42x x m f x +=，若()f x 为奇函数，则()2f =______.【答案】154【解析】法一：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即4422x x x xm m --++=-，化简得()()1220x x m -+⋅+=，解得1m =-，故()412x x f x -=，所以()224115224f -==；法二：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，故()004002m f +==，解得1m =-，经检验满足题意，故()412x x f x -=，()224115224f -==.故答案为：15412．函数211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R 的值域为_________.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R ，由复合函数的单调性可得，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以max 1()(0)2f x f ==，又21102x +⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()f x 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.13．若函数()14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[)4,8【解析】要使函数()f x 为R 上的增函数，应有114024122a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<.故答案为：[)4,8.14．已知函数()824x xx a f x a ⋅+=⋅（a ∈R 且0a ≠）是偶函数．（1）求实数a 的值；（2）求函数()()2y f x f x =+的值域．【答案】（1）1a =；（2）[)4,+∞.【解析】（1）()412228x x xx x a f x a a ⋅+=+⋅=⋅，因为()f x 为偶函数，所以对R x ∀∈都有()()0f x f x --=，即1122022x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭恒成立，即112102x x a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭-⎭恒成立，110a∴-=，解得1a =.（2）由（1）可知1()22x xf x =+，所以()()221122222x x x x y f x f x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭，令1222x x t =+≥=（当0x =时取等号），则222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，所以所求函数为2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭，则函数2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭在[)2,+∞上单调递增，所以4y ≥，即函数()()2y f x f x =+的值域为[)4,+∞.15．已知集合A 为不等式49280x x -⋅+≤的解集，（1）若集合{}21R B x m x m m =≤≤-∈，且B A B = ，求m 的取值范围；（2）求函数()1114·242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在定义域A 上的值域.【答案】（1）(],2-∞；（2）[]1,2【解析】（1）49280x x -⋅+≤，即()229280x x -⋅+≤∴128x ≤≤，即[]0,3A =又∵B A B = ，∴B A ⊆，∴①当B =∅时，21,1m m m >-∴<②当B ≠∅时,213121m m m -≤⎧∴≤≤⎨≥⎩，∴综上所述：m 的取值范围为：(],2-∞.（2）()211111424424222x x x x f x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,3是单调减函数∴1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2442g t t t =-+在11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调减函数，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调增函数∴当t =１２时，()min 1f x =当1t =时，()max 2f x =∴()f x 在定义域A 上的值域为[]1,21．给出下列函数：①13y x ＝；②3x y -＝；③3x y -＝；④π3x y -＝.其中指数函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，函数13y x ＝的自变量x 在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数3x y -＝的底数30-<，故不是指数函数；对于③，函数3x y -＝中的指数式3x 的系数不为1，故不是指数函数；对于④，函数π3x y -＝的底数满足π30<-<1，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.2．若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12【答案】C 【解析】由题意可得21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =.故选：C.3．若函数()f x 是指数函数，且()123f -=，则（）A ．()3x f x =B ．()x f x =C ．()13x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3xf x ⎛= ⎝⎭【答案】B【解析】()f x 为指数函数，∴可设()(0x f x a a =>且)1a ≠，()221123f a a -∴-===，解得：a =()x f x ∴=.故选：B.4．函数y =的定义域为（）A．(-∞B．(-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C 【解析】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥．故选：C.5．对任意实数1a <且0a ≠关于x 的函数()14x y a =-+图象必过定点()A ．()0,4B ．()0,1C ．()0,5D ．()1,5【答案】C 【解析】∵1a <且0a ≠，∴1－a ＞0且1－a ≠1，故函数()1x y a =-是指数函数，过定点(0，1)，则()14xy a =-+过定点(0，5).故选：C.6．函数()1x f x a a =-（0,1a a >≠）的图象可能是（）A．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当1a >时，()10,1a ∈，因此()10101af <=-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递增，故A 、B 均不符合；当01a <<时，11a >，因此()1010f a =-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递减，故C 符合，D 不符合．故选：C ．7．函数21()5x ax f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．{}4a a ≤-∣B ．{2}a a ≤-∣C ．{}2a a ≥-∣D ．{4}a a >-∣【答案】C 【解析】设222()24a a g x x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，其图象开向上，对称轴为直线2ax =-．函数21()5x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[1,2]上是减函数，()g x ∴在区间[1,2]上是增函数，又()g x 在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，12a∴-≤，解得2a ≥-．故选：C.8．定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，有（）A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()11f x f x -=+，所以3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当1x ≥时，()31x f x =-为单调递增函数，定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以当1x <时，()f x 单调递减，因为112323<<，所以211323⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ，即231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.9．不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(3,2)-【解析】函数2x y =在R 上单调递增，则22233(1)233(1)212()22233(1)2x x x x x x x x x -------<<--⇔--⇔<，即260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集为(3,2)-.故答案为：(3,2)-10．函数()21222x x f x +=-+的定义域为M ，值域为[]1,2N =，则M =______．【答案】(],1-∞（答案不唯一）【解析】因为函数的值域为[]1,2N =，所以2112222x x +≤-+≤，所以21212202210x x x x ++⎧-≤⎨-+≥⎩，即22(22)0(21)0x x x ⎧-≤⎨-≥⎩，故022x <≤，所以1x ≤，则函数的定义域为(],1M =-∞．实际上，只要[]0,1x ∈即可满足条件，即M 可以为[]0,1并上任意一个(),0-∞的子集均可.故答案为：(],1-∞（答案不唯一）11．函数()1421x x f x +=--的单调递增区间是_________．【答案】[)0,∞+【解析】()()214212221x x x x x f +=--=-⋅-令20x t =>，()()222112f t t t t =--=--，当1t ≥时，即0x ≥，()f t 单调递增；当01t <<时，即0x <，()f t 单调递减；因为2x t =单调递增，所以函数()1421x x f x +=--的单调递增区间为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+12．函数()2235x x f x --=的单调减区间是_________.【答案】(),1-∞/(),1-∞【解析】令()225,2314,t y t x x x ==--=--，根据复合函数单调性可知，内层函数在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增.故答案为：(),1-∞.13．函数23()2x ax f x --=是偶函数．（1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2xax f x --=的值域．【答案】（1）0a =，23()2x f x -=；（2）证明见解析；（3）1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由函数()f x 是偶函数，得(1)(1)f f -=，即131322a a +---=，解得0a =．所以23()2x f x -=.（2）由（1）知，23()2x f x -=，令120x x <<，则2212x x >，()()2212102221x x f x f x -=>=，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数.（3）由（2）知，23()2xf x -=在(,0)-∞上是减函数，所以23()2x f x -=在[2,0]-上也是减函数，则(0)()(2)f f x f ≤≤-，所以1()28f x ≤≤．即函数23()2x ax f x --=的值域为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．已知函数()x f x a =（a >0且a ≠1），且函数f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值之差为32．（1）求实数a 的值；（2）若()()()g x f x f x =--，当a >1时，解不等式22())2(1g x x g x +>-．【答案】（1）a =2或12a =；（2）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】（1）当a >1时，f (x )在[－1，1]上是增函数，所以13(1)(1)2f f a a ---=-=，解得a =2；当0<a <1时，f (x )在[－1，1]上是减函数，所以13(1)(1)2f f a a ---==-，解得12a =．综上，a =2或12a =．（2）由（1）知a =2，则()22x x g x -=-，所以g (x )是严格增函数，由22())2(1g x x g x +>-，得2221x x x +>-，解得12x >-．所以，不等式的解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．。

指数函数的图像和性质教课方案一、教材分析( 一 ) 教材的地位和作用本课时主要学习指数函数的图像和性质看法，经过指数函数图像的研究归纳其性质。

“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数 ( 指数函数的反函数 ) 的准备知识。

本节课的要点是指数函数的图像及性质，难点在于弄清楚底数 a 关于函数变化的影响。

经过这部分知识的学习进一步深入学生对函数看法的理解与认识，使学生获取较系统的函数知识并领会研究函数较为完好的思想方法，其余还可类比学习后边的其余函数。

( 二) 教课目标知识维度：初中已经学习了正比率函数、反比率函数和一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，可以从初中运动变化的角度认识函数初步转变到从会集与对应的看法来认识函数。

能力维度：学生利用描点法画出函数的图像，并描述出函数的图像特色，可以为研究指数函数的性质做好准备。

素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有必定的领会，已初步认识了数形联合的思想。

1、知识与技术目标：(1)掌握指数函数的看法 ( 能理解对 a 的限制以及自变量的取值可推行至实数范围 );(2)会做指数函数的图像 ;(3)能初步掌握指数函数的图像，性质及其简单应用。

2、过程与方法目标：经过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，由图像研究指数函数的性质。

利用性质解决实质问题，培育学生研究、归纳分析问题的能力。

3、感情态度与价值观目标：(1)在学习的过程中领会研究详尽函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的广泛联系与互相转变，培育学生用联系的看法看问题(2)经过教课互动促进师生感情，激发学生的学习兴趣，提升学生抽象、概括、分析、综合的能力经过研究领会“数形联合”的思想 ; 感觉知识之间的关系性 ; 领会研究函数由特别到一般再到特别的研究学习过程 ; 体验研究函数的一般思想方法。

( 三 ) 教课要点和难点教课要点：指数函数的图象和性质。

《指数函数的图像及其性质》教案设计马荣学号：********班级：数学与应用数学4班《指数函数及其图像的性质》教案设计【教材版本】本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学（1）》（人教版）第二章第二节（2.5，2.6）《指数函数及其性质》【设计思想】1．体现数学教学是数学活动的教学．2．运用“数形结合”的思想．3．实现教学媒体与数学内容的有效整合如图，本章节内容是在学生学习了函数的概念以及函数的一些基本性质后，从右图也可以看出本节内容在全章的位置.从函数的角度和层面来研究相关三角问题，对于函数的研究，学生已经具备了一定的知识基础和对简单的具体函数的研究经验，结合指数函数的特殊性，教材改变了研究函数由性质到图像的研究策略，而是先得出指数函数的图像，再由图像归纳性质这一途径.为此通过用数学工具（几何画板）画出函数图像学生容易接受.指数函数的图像和性质在指数函数的研究中是一个基础和前提，对进一步加深对函数图像的研究将起着至关重要的作用根据学生的实际情况，我将《指数函数的图像及其性质》划分为两节课（探究指数函数图象，指数函数的图像及其性质），这是第一节课“探究指数函数的图象”。

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

【学生分析】1.认知发展分析（1）学生在上一节系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上锻炼了一定的观察能力，观察具有整体到局部的特点，从一般到特殊的顺序。

（2）对指数函数的学习是学生对函数概念及性质的第一次应用。

教材在之前的学习中给出了两个实际例子（细胞分裂问题和放射性物质根据时间剩留问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。

本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

2．知识结构分析（1）初中的轴对称图形初步积累了研究函数图像的方法与经验（2）学生能熟练掌握几何画板的基本操作【教学目标】（一）知识目标：①掌握指数函数的定义与性质②能画出指数函数的图像③根据图像能分析概括指数函数的性质。