指数函数的图像与性质 ppt课件

你还能发 现指数函数图 象和底数的关 系吗？
y
y 1 x 2
y 1 x 3
在第一象限 沿箭头方向
底增大
y 3x y 2x
底互为倒2
0 y 1 x
x
3
观察右边图象，回答下列问题：
y (1)x 3
y=3X
问题一：
y (1)x
图象分别在哪几个象限？ 2
解析： 设指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)， 由题意得 a2＝4，∴a＝2， ∴f(x)＝2x， ∴f(－3)＝2－3＝18.
设问2：得到函数的图象一般步骤：
列表、描点、连线作图
在同一直角坐标系画出y 2 x
的图象，
y，
1 2
x
并思考：两个函数的图象有什么关系？
x
… -3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
① y x2
√⑤ y x
√② y 8 x
⑥ y 52x21
√③y(2a1)x ( a 1 且 a 1 )
2
④ y (4)x
⑦ y xx
⑧ y 10x
[题后感悟] 判断一个函数是否为指数函数只 需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这 一结构形式，其具备的特点为：
例题 已知指数函数 fxaxa0 ,a1
--66
--44
--22
22
44
66
8
7
6
y
1
x
5
2
4
3
2
1
-6
-4
-2
y 2x
2
4
6
认识
分组画出下列四个函数的图象： (1)y=2x (2)y=(1／2)x (3)y=3x (4)y=(1／3)x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
研究
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺
剩余 2
4
8
16
(1)x尺 2
提炼
y 2x, y (1)x 2
设 问 1 : 以 上 两 个 函 数 有 何 共 同 特 征 ？ (1)均为幂的形式 ; (2)底数是一个正的常数 ; (3)自变量x在指数位.置 定义 : 一般地，函 y数 ax(a0,a1)叫做指数 函数，其x是 中自变量，函数域 的是 定义 R。
如 y(2)x在 x1处 无 意 义 ! 2
(3)a1时 对 于 x R , 都 有 a x 1 ! 是 一 个 常 量 ,没 有 研 究 的 必 要 !
在规定以后，对于任何x R，a x 都有意义，
且 a x >0. 因此指数函数的定义域是R，
值域是(0,+∞).
例题
（口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？
的图像经过点 3 , , 求f0、 f1、 f3
的值.
分析：指数函数的图象经过点 3, ，
故 f 3 ，
1
即 a3
于是有
，解得a x
f x 3
3
想一
想
思考：确定一个指数函数
所以：
需要什么条件？
f 0π0 1,
f
1
1 π3
3 π,
f 3 π1 1.
π
例题：已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求 f(－3)的值．
y2 ax
(a1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0a1)
1
1
1
0
x
0
1
0x
x
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指数函数 y a x 的图像及性质
a>1
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象 y=1
(0,1)
当 x > 0 时，y > 01.
x
当 x < 0 时0，y > 1； x
定 义 域 : R 当 x < 0 时，. 0< y < 1
当 x > 0 时， 0< y < 1。
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
深入探究
一般地，函 y数 ax(a0,a1)叫做指 函数，其x是 中自变量，函数域 的是 定 R。
思考 (1)为什么定义域为R？
(2)为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？
认识：关于底数a范围的说明a：0,a1
(1)a0时 当 x>0时 ， ax=0！
当 x0 时 ， ax无 意 义 ！
(2)a0时 对 于 x 的 某 些 数 值 , 可 使 a x 无 意 义 !
指数函数的图像 与性质
问题 引入
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16个
总数
21
22
23
24
2x
问题 引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
[题后感悟] 求指数型函数图象所过的定 点，只要令指数为0，求出对应的x与y的 值，即为函数图象所过的定点．
2.函数 y＝a2x＋b＋1(a>0，且 a≠1， b∈R)的图象恒过定点(1,2)，求 b 的值．
指数函数的图象 函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)恒过定点 ________．
利用指数函数y＝axa>0且a≠1恒过定点0， 1的性质求解.
[解题过程] 原函数可变形为y－3＝ax－3(a>0， 且a≠1)， 将y－3看做x－3的指数函数， ∵x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4. ∴y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)恒过定点(3,4)． 答案： (3,4)
Y y=2x
答：四个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限
问题二： 图象的上升、下降与底数a有联系吗？O
Y=1
X
答：当底数＿a >＿1 时图象上升；当底数＿0<＿a＿<＿1时图象下降．
底数a由小变大时函数图像在第一象限内按＿＿逆＿＿
时针方向旋转.
问题三： 图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1)＿．
y 2 x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
x … -3 -2 -1.5 -1 -0.5
y ( 1 ) x … 8 4 2.8 2 1.4 2
0 0.5 1 1.5 2
3…
1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
88 77 66 55 44 33 22 1