1.2数列的极限讲解

证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数 n,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn

C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;

a 2

a 2

0.
推论2：设 lim n
xn

A, lim n
yn

B
且存在正整数
N，当
n N 时，有 xn yn，则
A B.
1.2.3 数列极限存在的准则
（1）夹逼准则
定理4： 设数列 {xn}, {yn}, {zn}, 满足
1） 存在正整数 N， 当n N时， 有 yn xn zn
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
问题1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限
11, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......,1 ,.....
23456
n
0
2 1, 1 , 1 ,
23
1 , 1 , 1 ,......, 456
1 ,..... n
0
3 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......, (1)n ,..... 0
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于
xn
1
=
(1)n1
1 n

1 n
给定 1 , 由 1 1 , 100 n 100
只要 n 100时,

2024/9/27
17
目录
上页
下页
返回
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
2024/9/27
9
目录
上页
下页
返回
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
12
目录
上页
下页

2. (收敛数列的有界性). 若数列 收敛，则该数列一定有界.
即, M 0, 使 xn M ( n 1, 2 , ) . 逆
否
若数列 无界，则该数列发散.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
目录 上页 下页 返回 结束
3. (收敛数列的保号性).
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
敛
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n ) 发
xn (1)n1 趋势不定 散
目录 上页 下页 返回 结束
定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
lim
n
xn
极限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
发散数列可能存在收敛子列.
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
目录 上页 下页 返回 结束
作业 P47 1
Thanks for your attention!
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
N
[
1
]
也可由
xn 0
1 (n1)2
取N
1
1
N 与 有关, 但不唯一.

A , 所以
,
0 , 正整数
K1
当 k K 1时 , x 2 k A
又 lim x 2 k 1 A , 所以 , 对以上 正整数 K 2
k
当 k K 2时 , x 2k 1 A .
取 N max{ 2 K 1 , 2 K 2 1 }, 当 n N 时由以上知
xn A ,
1 n
0 lni mxnyn
2)xn
2n,
yn
1 n
2 lni mxnyn
福 州 大 学 2020/4/21
5
(c)
若
{
x
n
}
是任意数列，而
lim
n
yn
0
问
lni mxnyn 0？
不一定
1)xn
1, 2n
yn
1 n
2)xn
2n,
yn
1 n
0 lni mxnyn 2 lni mxnyn
(d) 若
11
,
42 2
P5为
12P5
为1
4
11, 1 82
,
1 22
213
,L
,
Pn
为
限1 P 位n 为1 2 置坐12标21 2 为 14 2 1318L nllniimm(1[121 ([)11n 12214((2 )n1 n 1122 (122)当)n12121n)]n 1
时
2 3]
1 2
,
P
n的极 1 6
不一定
问 lnim（xn yn) 是否存在？
0 1 ) x n( 1 )n ,yn( 1 )n 1 lni m （xnyn)
2)xn( 1 )n,yn( 1 )n lni m（xnyn) 不存在，