2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习

《代数方程》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。

2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。

3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。

4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。

5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。

6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。

7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。

【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。

要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 注：①n5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。

( A)x2 3x 1 0 (B)x2 2x 3 0
(C) 4x 1 1 (D) x 1
x 1 x 1
4、若关于x的方程 2x 3 m
无实数根，则m的取值范围是（ B ）
（A）大于零
（B）小于零
（C）不大于零 （D）不小于零
5、下列方程组中，属于二元二次
方程组的是（ C ）
A x2 y2 2x
4、写出原方程的根.
换元法呢?
例题：
1、解方程：
1 x2
1 x2
4 1 x2 4
例题： 2、 解方程：x 2 x 1 2
x2 x
解:设x2+x=y,则原方程可化为
2 y+1=
y
去分母并整理得 y2+y-2=0
解得 y1=-2, y2=1 当y1=-2时, x2+x=-2, △<0,无实数根
经检验x1=2,x2=-1是原方程的根. ∴原方程的根是 x1=2,x2=-1
1.解无理方程的思路是：
无理 方程
平方
有理 方程
2.解无理方程的一般步骤
1、通过两边同平方去掉根号，转化为有理方程。 2、解有理方程. 3、代入原方程进行检验。 4、写出原方程的根.
例题：
解方程 (1) x 1 x 7
代数方程复习（二）
分式方程、无理方程、二元二次方程组
相关概念
分式方程： 分母中含有未知数的有理方 程。
无理方程： 根号内xx含1y有未yx知6数5的3 方程。
x
二元二次 方程组4中x含有两1个未知数3，
方程组： 并且含有未知数的项的最高 次数为两次，这样的整式方 程组叫做二元二次方程组．
练习
1.下列方程中，不是分式方程的是( D )

上海市沪教版八年级数学第二学期代数方程练习题代数方程练题一．选择题（共4小题）1.下列方程组中，属于二元二次方程组的是()A。

3y=2x+xy-x=2B。

1/2+2y-x=xyx^2+y=1C。

x+5=y3x-y=-1D。

3y=x-1x+3y=52.在下列关于x的方程中，是二项高次方程的是()A。

81x^4-16=0B。

x^3=0C。

x^2-x=0D。

x^3-x=03.下列方程中，在实数范围内有解的是()A。

1/x=x-1/(x-1)B。

x-1+2=0C。

x^3+1=0D。

x^2-x+1=04.下列方程中，有实数根的方程是()A。

x^5+32=0B。

x^2+3x+2=0C。

x-2+1=0D。

x^2-5x+6=0二．填空题（共6小题）5.当m=____时，方程3-x/(mx(m+1))=1会出现增根。

6.方程2-x/(x(x+1))=的解是____。

7.将方程组：2x-y=1转化成两个二元二次方程组分别是x^2-5xy+6y^2=0和2x+y=1.8.可以根据方程x^2-4xy-5y^2=0的特点把它化成两个二元一次方程，它们分别是x-2y=0和x+5y=0.9.如果关于x的无理方程x+2-1+k=0没有实数根，那么k的取值范围是k<1.10.已知关于x的方程2x^2+mx-1=0是二项方程，那么m=-4.三．解答题（共8小题）11.甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速。

解：设原速度为v1，提速后速度为v2，则有v2=v1+20.设原行驶时间为t1，提速后行驶时间为t2，则有t2=t1-4.根据距离公式，有1600=v1*t1=（v1+20）*（t1-4）。

化简得v1*t1=1680-20t1，即t1=(1680-v1*t1)/20.因为安全行驶速度不得超过140千米/时，所以v1<=140.代入上式得t1<=9.因此，在现有条件下，列车还可以提速。

代数方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一 一元整式方程题型二 二项方程题型三 分式方程的定义题型四 列分式方程题型五 解分式方程题型六 根据分式方程解的情况求值题型七 分式方程无解问题题型八 分式方程的实际应用题型九 无理方程题型十 二元二次方程组及其解法【知识梳理】知识点一、整式方程：1字母系数：关于x 的方程20,0mx n ax bx c +=++=中，把用字母表示的已知数m 、n 、a 、b 、c 叫做字母系数.2.含字母系数的一元一次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！3．含字母系数的一元二次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n ；其中n 大于2的方程称为一元高次方程.5.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： 00,(,)0n ax b a b n +=≠≠是正整数.二项方程的解法：将方程0n ax b +=变形为n b x a =−，当n 为奇数时，n b x a=−；当n 为偶数时，如果0ab <，n b x a=±−；如果0ab >，那么方程没有实数根. 知识点二、分式方程：6.可化为一元二次方程的分式方程解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.知识点三、无理方程⎧⎪⎨⎪⎩无理方程的无理方程无理方程、有理方程、代数方程三者的解无理方程步骤的概念关系1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭根号根号里含有未知方程中含有；理解两点缺一不可！.数①② 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整式方程代数方程分式方程有理方程无理方程有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.3.无理方程的解法（1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；（2）一般步骤：.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①变形：当方程中只有一个含未知数的二次根式时，使这个二次根式；②去根号：方程，将这个方程化成有理方程；③解有理方程；④：由于去根号两边平方时，单独放在等号一边两边同时平方验根产生未知数的范围扩大而可能，因此验根必不可少增根 知识点四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题1.二元二次方程22(1)(2)(3)0(,,,,,(,42)2,ax bxy cy dx ey f a b c d f b c e a ⎧⎪⎪⎪+++++=⎨⎪⎪⎪⎩定义：仅含有未知数，并且含的最高次数是的方程；理解：；含有两个未知数；含有最高次数是.一般形式：是常数，且至少有一个不为零)解：能使二元二次方程左右两边两个未知数的项整式整式方程未知数的项一的值相等的的值.对未知数①②③ 2.二元二次方程组2(1)(2)⎧⎪⎨⎪⎩定义：仅含有，各方程是，并且含有的 最高次数是的；二元二次方程组的解:方程组中所含各方两个未知数整式方程未知数的项程的解.方程组公共 3.二元二次方程组的解法⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩基本思想二元二次方程组的解法题型一基本题型题型二(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.(2)题型一：解方程组⎧⎨⎩；二元二次方二方程程.元一次即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组⎧⎨⎩二元二次方程；二元二次方程.（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.4.列方程（组）解应用题()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩审题；；；一般：解方程；；作答列解决问题设元列方程步骤检验一元二次方程高次方程分式方程；列方程组解应用题列简单的解决问题；列解决问题列解决问题列解决问题无理方程方程组①②③④⑤⑥.【经典例题一 一元整式方程】【例1】（22-23八年级下·全国·课时练习）下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A ．212x x x =+B ．33x x x −−=C ．100991x x x −=−D ．()7110x x+= 【答案】C【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 212x x x =+分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； B. 33x x x −−=即为331x x x −=，分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意；C. 100991x x x −=−两边都是含未知数的整式，是整式方程；D. ()7110x x +=分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．【变式训练】1．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列方程中，是关于x 的一元三次方程的是（ ） A ．631x x += B ．4321x x x += C ．()323331x x x −=−− D ．()22210ax x ax −−+=（a 为非零常数）【答案】D【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即可．【详解】解：A ．631x x +=，整理，得：331x x +=，当x 为负数时，不是一元三次方程，不符合题意；B ．不是整式方程，不符合题意；C ．()323331x x x −=−−，整理得：330x −=，没有3次项，不符合题意； D ．()22210ax x ax −−+=（a 为非零常数）整理，得：3410ax ax −+=（a 为非零常数），是一元三次方程，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查一元三次方程的识别．熟练掌握一元三次方程的定义，是解题的关键．2．（21-22八年级下·上海·期末）方程x 3﹣x ＝0在实数范围内的解是【答案】x1＝0，x2＝-1，x3＝1．【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：x3﹣x ＝0，x （x2﹣1）＝0，x （x+1）（x ﹣1）＝0，x ＝0或x+1＝0或x ﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，故答案为：x1＝0，x2＝-1，x3＝1．【点睛】本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键．3．（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程：4322316320x x x x +−++=【答案】12x =，212x =，323x =−+，423x =−−【分析】方程两边同时除以2x 得：223223160x x x x +−++=，变形后令1x y x +=，则方程可化为223200y y +−=，求得152y =，24y =−，则可得152x x +=或14x x +=−，方程两边再同时乘以x 得到两个关于x 的一元二次方程，分别求解即可．【详解】解：由方程可知0x ≠，方程两边同时除以2x 得：223223160x x x x +−++=， ∴221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1x y x +=， 则22212x y x ++=， ∴22212x y x +=−， ∴方程可化为()2223160y y −+−=，整理得：223200y y +−=， 解得：152y =，24y =−， ∴152x x +=或14x x +=−，方程两边同时乘以x 得：25102x x −+=或2410x x ++=，解得：12x =，212x =，323x =−+，423x =−−． 【点睛】本题考查了解高次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【经典例题二 二项方程】【例2】（22-23八年级下·上海崇明·期中）下列方程中，是二项方程的为（ ）A ．221x x +=B ．20x x +=C ．380x −=D ．0x =【答案】C【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x ，另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可．【详解】解：A ．不是二项方程，方程右边不等于0，不符合题意；B ．不是二项方程，方程左边没有常数项，不符合题意；C ．是二项方程，符合题意；D ．不是二项方程，方程左边只有一项，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0，熟练掌握二项方程的定义是解决问题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（ ）A ．240x x −=是二项方程B ．11032x x +−+=是分式方程C ．23210x x −−=是无理方程D ．201x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程组 【答案】D【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A. 240x x −=不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意； B. 11032x x +−+=不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； C. 23210x x −−=不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；D. 201x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键．2．（22-23八年级下·上海闵行·期末）方程513022x +=的解是 ．（保留三位小数）． 【答案】 1.246− 【分析】先求出53x =−，再利用计算器求出即可． 【详解】解：513022x +=，53x =−，53 1.246x =−≈−，故答案为： 1.246−． 【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出53x =−是解此题的关键．3．（22-23八年级下·上海宝山·阶段练习）解方程：()4116404x −−=． 【答案】15=x ，23x =−．【分析】首先移项，再两边同时乘以4得到()42116x −=，开方得到()2116x −=，最后两边直接开平方即可得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．【详解】解：∵()4116404x −−=， ∴()42125616x −==， ∴()2116x −=，或()2116x −=−（舍去），则14x −=或14x −=−，解得15=x ，23x =−．【点睛】此题主要考查了解高次方程，解这类问题要把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，利用数的开方求解．【经典例题三 分式方程的定义】【例3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x −=+的根为2；③方程11224=−x x 的最简公分母为2(24)x x −；④1111x x x +=+−是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程4102x −=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=−x x 的最简公分母为2x(x -2)，故③错误；1111x x x +=+−是分式方程，故④正确；故选：B ．【点睛】此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·三模）下列结论正确的是（ ）A ．153y y +=是分式方程 B ．方程221624x x x −−+−＝1无解 C ．方程223x x x x x x =++的根为x ＝0 D ．解分式方程时，一定会出现增根【答案】B 【分析】根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断．【详解】解：A ．原方程中分母不含未知数，不是分式方程，所以A 选项不符合题意；B ．解方程，得x ＝﹣2，经检验x ＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解，所以B 选项符合题意；C ．解方程，得x ＝0，经检验x ＝0是原方程的增根，所以原方程无解，所以C 选项不符合题意；D ．解分式方程时，不一定会出现增根，只有使分式方程分母的值为0的根是增根，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知识． 2．（12-13八年级下·全国·课时练习）下列关于x 的方程①153x −=，②141=−x x ，③33x x −=−1，④11=−x a b 中，是分式方程的是 ( )（填序号）【答案】②【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数．【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.【点睛】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.3．（2021八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1）231x =+ （2）131x x =− （3）22x x+ （4）2211x x x =−− 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．【详解】（1）231x =+是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程，（2）131x x =−是分式方程，去分母可转化为3x=x -1，不是一元二次方程，（3）22x x +是分式，不是分式方程， （4）2211x x x =−−是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程，∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．【经典例题四列分式方程】【例4】（2023·河南周口·一模）“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担，增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学家的故事》以供学生课外阅读．现有A，B两个商家供货，A商家每本图书的售价比B商家每本图书的售价少2元，用2000元购买A商家图书的数量与用2200元购买B商家图书的数量相同．设A商家的图书每本售价为m元，可列方程为（）A．200022002m m=−B．220020002m m=+C．200022002m m=+D．200022002m m=−【答案】C【分析】由两商家图书销售单价间的关系，可得出B商家的图书每本售价为(2)m+元，利用数量=总价÷单价，结合用2000元购买A商家图书的数量与用2200元购买B商家图书的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：A商家每本图书的售价比B商家每本图书的售价少2元，且A商家的图书每本售价为m元，B∴商家的图书每本售价为(2)m+元．根据题意得：200022002m m=+．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为()A．18018032x x−=+B．18018032x x−=+C．18018032x x−=−D．18018032x x−=−【答案】B【分析】设小组原有x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180x元，出发时每名同学分担的车费为：180x2+，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系．【详解】解：设小组原有x人，根据题意可得：18018032x x−=+，故选：B．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．2．（2022·山东青岛·一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：．【答案】1615 81010 x x=+（）【分析】设当前参加生产的工人有x人，然后根据计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂，列出方程即可．【详解】解：设当前参加生产的工人有x人，依题意得：1615 81010)x x=+（．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程．3．（22-23八年级上·山东·单元测试）列方程解实际问题南宁到昆明西站的路程为828千米，一列普通快车与一列直达快车都从南宁开往昆明，直达快车的速度是普通快车速度的1.5倍，普通快车出发2小时后，直达快车出发，结果比普通快车先到4小时，求两车的速度．【答案】普通快车速度为46千米/时，直达快车速度为69千米/时【分析】设普通快车速度为x千米/时，则直达快车速度为1.5x千米/时，分别计算两车所用时间，根据题意列出方程即可.【详解】设普通快车速度为x千米/时．则直达快车速度为1.5x千米/时，828828241.5x x−=+解方程得x=46（千米/时）经检验x46=是原方程的解.1.5x=1.5⨯46=69（千米/时）答：普通快车速度为46千米/时，直达快车速度为69千米/时．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程是解决问题的关键．【经典例题五 解分式方程】【例5】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）分式方程1212x x =+−的解是（） A ．1x = B ．3x =C ．4x =−D ．3x =−【答案】C【分析】方程两边都乘()()12x x +−去分母，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：1212x x =+−，方程两边都乘()()12x x +−，得222x x −=+，解得：4x =−， 检验：当4x =−时，()()120x x +−≠，所以分式方程的解是4x =−． 故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·浙江·期中）若非负整数m 使得关于x 的一元二次方程()210m x x n −+−=有实数根，且实数n 满足分式方程23111n n n +=−−，则所有满足条件的m 的值的和为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】本题考查了分式方程的解法，根据一元二次方程根的情况求出字母的取值范围等知识．先解分式方程求出n =−4，即可得到关于x 的一元二次方程为()2140m xx −++=，根据方程有实数根求出1716m ≤，根据m 为非负整数且10m −≠，得到0m =，问题得解． 【详解】解：解分式方程23111n nn +=−−，得n =−4， 检验：当n =−4时，10n −≠， ∴原分式方程的解为n =−4，∴关于x 的一元二次方程为()2140m x x −++=，∵关于x 的一元二次方程为()2140m x x −++=有实数根， ∴()22414410b ac m ∆=−=−⨯−≥，解得1716m ≤，∵m 为非负整数且10m −≠， ∴0m =，∴所有满足条件的m 的值的和为0． 故选：A2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）已知25m −≤≤，若关于x 的分式方程2122x m x x−+=−−−有正整数解，则m 的值是 ． 【答案】2【分析】先解分式方程求得2mx =，再根据分式方程有正整数解，可得42=022m m −−≠，即4m ≠，即可求解．【详解】解：2122x m x x −+=−−−， 去分母得，2=2x m x +−−， 移项、合并同类项得，2x m =，系数化为1得，2mx =，∵分式方程2122x m x x −+=−−−有正整数解， 把2mx =代入2x -得，42=022m m −−≠，∴40m −≠，即4m ≠， ∵25m −≤≤， ∴2m =， 故答案为：2．3．（22-23八年级上·新疆喀什·期中）解方程 (1)21212339x x x −=+−− (2)242111x x x++=−−− 【答案】(1)无解(2)13x =【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点．（1）先将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：21212339x x x −=+−− 21212339x x x +=+−−去分母得∶ 32612x x −++=， 移项合并得∶39x =，解得∶ 3x =， 经检验 3x = 是增根， 所以分式方程无解；（2）解：242111x x x ++=−−−，242111x x x +−=−−−，去分母得：()()24121x x x −++=−+，解得：13x =．经检验 13x =是分式方程的解．【经典例题六 根据分式方程解的情况求值】【例6】（23-24八年级上·四川德阳·期末）若关于的不等式组35342122x x x a x ++⎧≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩无解，且关于y 的分式方程53122ay y y −−=−−有整数解，则满足条件的整数a 的值的和为（ ） A ．12 B ．10C ．9D ．16【答案】A【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a 的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且20y −≠，即可求得满足条件的所有整数a 的值．【详解】解：35342122x x x a x ++⎧≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩①②解不等式①，得1x ≤． 解不等式②，得1x a >−．因为关于x 的不等式组35342122x x x ax ++⎧≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩无解，可得：11a −≥． 解得2a ≥．解关于y 的分式方程53122ay yy −−=−−，得：61y a =−． ∵61a −为整数，2a ≥，6201a −≠−,∴2a =或3a =或7a =．∴满足条件的所有整数a 的和23712=++=． 故选：A ．【变式训练】1．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）若关于x 的分式方程243111x m xx x−−+=−−的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥−B ．3m ≥−且1m ≠C ．3m ≤D ．3m ≤且1m ≠【答案】B【分析】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先解分式方程，然后根据方程的解的情况列不等式组计算求解．【详解】解：243111x m xx x −−+=−− 整理，可得243111x m xx x −−−=−− 解得34m x +=，由题意可得304314m m +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得3m ≥−且1m ≠，故选：B ．2．（2023年重庆市渝北区高中指标到校招生文化测试数学模拟试题）如果关于x 的不等式组()14733x mx x −⎧<⎪⎨⎪−>−⎩的解集为1x <，且关于y 的分式方程2311my y y +=−−有非负数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是 ． 【答案】5− 【分析】本题考查一元一次不等式组及分式方程的解法．根据题意分别解出一元一次不等式组及分式方程得到m 的范围即可．【详解】解不等式14x m−<得4x m <+解不等式73(3)x x −>−得1x < 不等式组的解集为1x <41m ∴+≥ 3m ∴≥−解分式方程2311my y y +=−−得13y m =− 0y Q ≥且1y ≠3m ∴<且2m ≠ 33m ∴−≤<且2m ≠∴所有符合条件的整数m 的值为3,2,1,0,1−−−则所有符合条件的整数m 的值之和是321015−−−++=−． 故答案为：5−．3．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知3111a x x+=−−是关于x 的分式方程． (1)当5a =时，求方程的解；(2)若该方程的解为正数，求a 的取值范围． 【答案】(1)3x = (2)2a >且3a ≠【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解的定义，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．（1）将5a =代入原方程，解关于x 的方程即可求解；（2）先求出原方程的解，然后根据解为正数和分式有意义得出关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】（1）解：原方程为53111x x +=−−， 解得3x =，检验：当3x =时，10x −≠． ∴3x =是原方程的根；（2）解：解分式方程得2=−x a ， ∵分式方程的解是正数， ∴0x >且1x ≠， ∴20a −>且21a −≠， 解得：2a >且3a ≠，∴a 的取值范围是：2a >且3a ≠．【经典例题七 分式方程无解问题】【例7】（23-24八年级上·陕西安康·期末）若关于x 的方程15102x mxx x−=−−无解，则m =（ ） A ．85−B ．85C ．5D ．95−【答案】A【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握分式方程无解即最简公分母为0是解题关键．由题意可知5x =，再将5x =代入()21x mx−−=，求出m 的值即可．【详解】解：方程15102x mxx x −=−−去分母得：()21x mx−−=， 方程15102x mxx x −=−−无解，5x ∴=，将5x =代入()21x mx −−=，得：()2515m−⨯−=，解得：85m =−，故选：A ．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若关于x 的分式方程()6311x kx x x x+=−−−无解，则k 的取值是（ ） A ．3k =− B ．3k =−或5k =−C ．1k =D ．1k =或5k =−【答案】B【分析】本题考查分式方程的增根问题，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值即可．【详解】解：()6311x kx x x x+=−−−()631x x k x =+−−63x x kx k =+−+()53k x k +=+∵关于x 的分式方程()6311x k x x x x+=−−−无解，∴当50k +=时，即5k =−时，分式方程无解； 当50k +≠时，35k x k +=+，此时分式方程有增根， ∴()10x x −=，解得0x =或1x =∴当0x =时，即305k x k +==+，解得3k =−； ∴当1x =时，即315k x k +==+，无解；综上所述，k 的取值是5k =−或3k =−． 故选：B ．2．（23-24八年级上·山东聊城·期末）若关于x 的方程222x mx x =+−−无解．则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，方程两边同时乘以2x -，转化为整式方程，解得4x m =−，再根据题意即可求解，解题的关键是正确理解分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x 的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成ax b =的形式，如果0,0a b =≠，此时分式方程也无解．【详解】解：去分母得：24x x m =−+， 4x m =−，∵关于x 的方程222x m x x =+−−无解， ∴42x m =−=， 解得：2m =， 故答案为：2．3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知关于x 的分式方程2323x m x x−−=−． (1)当9m =时，求分式方程的解； (2)求m 为何值时，分式方程2323x m x x−−=−无解． 【答案】(1)32x =；(2)当3m =或6m =时，分式方程无解．【分析】（1）本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法即可解题．（2）本题考查了分式方程的无解的情况，即考虑整式方程无解及分式方程有增根的情况，分类讨论这两种情况下m 应满足的条件，即可解题．【详解】（1）解：当9m =时，分式方程为29323x x x −−=−， 去分母，得()()()292333x x x x x −−−=−，去括号，得22292639x x x x x −−+=−，移项合并同类项，69x =， 系数化1，得32x =，检验：当32x =时，()30x x −≠， 所以32x =是原分式方程的解．（2）解：2323x m x x −−=−， 方程两边同乘()3x x −，得()()()22333x x m x x x −−−=−，整理，得()39m x −=.①若整式方程无解，30m −=，解得3m =； ②若分式方程有增根，0x =或30x −=， 即当0x =或3x =时，分式方程无解． 当0x =时，方程()39m x −=无解；当3x =时，()339m −=，解得6m =．综上，当3m =或6m =时，分式方程无解．【经典例题八 分式方程的实际应用】【例8】（23-24八年级上·山东德州·期末）八年级3班的小王和小张同时从学校出发去距离15千米的夏津森林公园游玩，设小张每小时走x 千米，则根据题意可列方程：1515112x x −=+．题干中缺失的内容是（ ） A ．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张晚到半小时 B ．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张晚到半小时 C ．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张早到半小时 D ．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张早到半小时 【答案】D【分析】本题考查分式方程的实际运用，根据所给分式方程分析，即可解题． 【详解】解：小张每小时走x 千米，∴方程1515112x x −=+中，1x +表示小王比小张每小时多行1千米，15x 表示小张所用时间，151x +表示小王所用时间，1515112x x −=+表示小张所用时间比小王所用时间多半小时，即小王比小张早到半小时． 故选：D ．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）甲、乙两地相距160千米，一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4小时到达，那么这辆汽车原来的速度为（ ）A ．80千米/小时B ．90千米/小时C ．100千米/小时D ．110千米/小时【答案】A【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．。