高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)专题05 余弦定理、正弦定理(知识精讲)(解析版)

专题五余弦定理、正弦定理知识精讲一知识结构图二.学法指导1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形．(2)已知两边及一角解三角形．3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．4.适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角5.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．6．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如ab＝sin Asin B等.7.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.8.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．三.知识点贯通知识点1 已知两边与一角或已知三边，利用余弦定理解三角形余弦定理及其推论例1.（1）在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________cm ；【答案】60【解析】由余弦定理得： a ＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝60(cm)．（2） 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 【解析】根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×43＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.知识点二 余弦定理的综合应用余弦定理及其推论例题2：在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状. 【解析】 ∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由余弦定理可得：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形 知识点三 用正弦定理解三角形1在△ABC 中，.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .（R 为△ABC 外接圆的半径）变形：sin A ＝a 2R ，a ＝2R sin A ；sin B ＝b 2R ，b ＝2R sin B ；sin C ＝c2R ，c ＝2R sin C ．例题3 .已知△ABC 中，a ＝10，A ＝30°，C ＝45°，求角B ，边b ，c .【答案】B ＝105°，b ＝5(6＋2)，c ＝10 2. 【解析】 ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 又由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝10 2.b ＝a sin B sin A ＝10·sin 105°sin 30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．∴B ＝105°，b ＝5(6＋2)，c ＝10 2. 知识点四 三角形的面积三角形的面积公式为S ＝12ab ·sin C ＝12ac ·sin B ＝12bc ·sin A .例题4．在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .【答案】87【解析】 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35.∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin B ＝45. ∵C ＝π4，∴sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝c sin C， ∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107.∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.知识点五 测量距离问题三角形中与距离有关问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．例题5. 海上有A ，B 两个小岛相距10 海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063 海里C ．5 2 海里D ．5 6 海里【答案】D【解析】根据题意，可得如图．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，AB ＝10，∴C ＝45°.由正弦定理可得AB sin C ＝BC sin A ，即1022＝BC32，∴BC ＝56(海里)．知识点六 测量高度问题解决测量高度问题的一般步骤： (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.例题6.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【解析】 如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ， 则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝ABsin ∠ADB .∴BD ＝AB sin 60°sin 20°＝15.2×sin 60°sin 20°≈38.5(m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5×sin 80°≈38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. 知识点七 角度问题解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．例题7.如图，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)【解析】设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇， 则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9， ∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12， 即128t 2－60t －27＝0， 解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)． 根据正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝5314，则cos ∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角，∴θ＝45°－∠BAC ，sin θ＝sin(45°－∠BAC )＝sin 45°cos ∠BAC －cos 45°sin ∠BAC ＝112－5628.五 易错点分析易错一 三角形形状的判断例题8.在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状.【解析】 ∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由余弦定理可得：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形． ． 误区警示判断三角形的形状，一种方法，把条件转化成边的关系，然后利用因式分解，整理，找边的关系，进而判断三角形的形状；另一种方法，把条件转化成角的关系，然后利用三角函数公式，化简变形，求角的值或范围，进而判断形状。