高一数学 暑假练习 正弦定理余弦定理1

归纳小结
问题3 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？
（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？
（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
（1）求cos C；
（2）求△ABC的面积．
解答： （1）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋25－5b＝49，
解得b＝－3（舍）或b＝8．
（2）由（1）得： Δ
2 + 2 − 2 49 + 64 − 25 11
∴ cos =
=
=
．
2
2×7×8
14
1
1
= sin = × 8 × 5 sin 60° = 10 3．
2
2
2
a
b
h
A
c
B
初步应用
例1 如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h，4.5 km/h．3 h后两人相距多远？（精确到0.1 km）
C
Q
80°
B
O
D
3 h后两人相距16.4 km．
（详解参考教材P109例1的解析．）
= ｜｜2 − 2 ⋅ + ｜｜2
b
c
＝a2＋b2－2ab cos C，
C
同理可证：
a
B
所以c2＝a2＋b2－2abcos C．
a2＝b2＋c2－2bccos A，

高一数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD = BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．【答案】.【解析】因为BC边上的高AD=BC=a，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围.【考点】三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域.2.已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是的重心，,.代入得由于不共线，【考点】平面向量共线定理和余弦定理的应用.3.△中，若，则△的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由，结合余弦定理得，即有，此题也可运用正弦定理化边为角，从角来判定三角形的形状，可能不及运用余弦定理简便【考点】余弦定理和三角形形状的判定.4.在中，已知，则 .【答案】【解析】由得，由余弦定理，所以，即，在中，,那么.【考点】1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，．(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．【答案】（1）；（2）【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．试题解析：(1) 由整理得即又又因为，所以(2) 因为，所以故由即，所以．即．因为故所以【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．6.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.7.在△ABC中，，则A等于（）．A．60°B．120°C．30°D．150°【答案】B【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中．【考点】余弦定理．8.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（）A．05B．15C．13D．14【答案】C【解析】新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角。

正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识网络1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

A.6B.2 C.3 D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．42 B ．43 C ．46 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC C.32或3 D.34或3、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解． 的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．的长．1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 7的面积为( ) A.32B.3428．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 17．如图所示，货轮在海上以40 40 km/h km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°A2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b，那么26 6 6 ＝3－A.3 B.2 5 c 2＋3bc ＝3A.π B.π C.π或5π D.π或2π ＝3，c A.3 ．23 C.323 3，则边32＝13，则＝a ＋b －c 1为3，则(3－(3∶1023x 为2＝2sin 的面积为1sin ＝5，－π)A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. 3A.3 B.3 C.3或3 D.3或3D.＝，求出＝3，∵1AB ，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2，＝ 2. 3，π，则＝2＝1. A ＝csin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43， ∴．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R s in A －2sinB ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得，得 2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：答案：等腰三角形等腰三角形13解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab s in C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1， 即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC 年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. π. 3π2＝＝得5a ＝10b ＝2c 2b ＝5－b ＝2－，∴2＝2－＝2，c ＝ 5. 603×3×sin ＝1，∴∠3，sin A ＝sin B ，∴215. 21，那么6 6 46 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 42＋62－2×2×4×4×4×6×6×13＝6. ．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3A.3 2 C.5 2(3－2×((32. ＋3bc ＝＝－3bc 2bc ＝－32，：603153＝1153115. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B . 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1 ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|·||AC →|·|·sin sin A＝12×4×4×1×1×1×sin sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×4×1×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A.3 B ．23 C.3或23 D ．2 解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC π3. 在△ABD 中，中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×2×1×1×1×2×2×12＝ 3. 答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，，联想到余弦定理，代入得到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c C ．c D ．以上均不对．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c . 6．如果把．如果把直角三角形直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形三角形 B ．直角三角形．直角三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形 D ．由增加的长度决定．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( 的三个的三个内角内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的上的中线中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝＝－1，3，＝1ab ＝3，∴＝＝＝11，7，＝－132，43＝1，∴＝22. 1ab 431·32·22＝432 3. 答案：23 ＝ ＝49＋25－36 19，－19) ±12，又∵＝21或61. 答案：21或61 ，则角1ab ＝＝·1ab4＝78. 答案：723x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 18．已知△ABC AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝A C ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°60°. . 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 则îïíïìk 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的∴最小角的余弦余弦值为32＋42－222×2×3×3×817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；的长； (2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．的度数． 解：(1)由题意及由题意及正弦定理正弦定理得AB ＋BC ＋＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C＝. sin C ，所以＝，得sin C ＝，。