二次函数---(拱桥问题)

专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）

➢ 知识指引

拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：

➢ 知识要点：

解决抛物线型问题的一般步骤：

（1）建立合适的平面直角坐标系；

（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；

(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；

（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.

➢ 知识小结：

（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算

（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.

➢ 典型例题：

类型一：与拱桥有关的水位升降问题

【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）

∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m ∴点C（0，2），点B（2，0）

代入，得{𝑏=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，

∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2

（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，

令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.

∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6

【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．

（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师

work Information Technology Company.2020YEAR 二次函数中抛物线形与拱桥问题

1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，

且过点（10，－4）

∴ 故

（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（）

则 ∴

（3）当d＝18时，

∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水

位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m

速度上升，经过多少小时会达到拱顶

解： 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的

顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2） 4101252aa×，yx1252dh24，hd412542×dh10418104076hh，.0762276..

设抛物线为y=ax2+k.

由B、D两点在抛物线上，有

解这个方程组，得 所以，

顶点的坐标为（0，） 则OE= ÷0.1=（h）

所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.

3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

二次函数拱桥应用题.doc

二次函数拱桥应用题

拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。它不仅能够承载重量，还可以美化环境。在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。

在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。

首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。

假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。

拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。

在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。

例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。

1 22.3（4.1）---（拱桥问题）

一．【知识要点】

1.现实生活中的抛物线：喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等，都给人留下抛物线的印象。如果把它们放到平面直角坐标系中，结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式，再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.

二．【经典例题】

1. 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m。

2.（6分）如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？

三．【题库】

【A】

1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系．则两盏景观灯之间的水平距离_________. 2

【B】

1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.

【C】

1．一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是 m．

【D】

1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m，y2m，y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．

（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．