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二次函数---拱桥问题中能否通过问题

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1 22.3（3.2）---拱桥问题中能否通过问题

一．【知识要点】

1.常用“定宽比高”法解决拱桥问题中能否通过问题。

二．【经典例题】

1.一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m．

（1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；

（2）求安装护栏所需钢管的总长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽20m,拱顶距离水面4m.

(1)在如图1所示的坐标系中,求抛物线的解析式;

(2)在正常水位基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,试写出用d表示h的函数解析式;

(3)设正常水位时桥下的水深2m,且桥下水面的宽度不得小于18m才能保证过往船只顺利通行,当水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下通行?

2 3.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线．

（1）建立如图的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）此球能否准确投中？

（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

4.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？

、

3 5.如图，有一个横截面是抛物线的运河，一次，运河管理员将一根长6m的钢管（AB）一端在运河底部A点，另一端露出水面并靠在运河边缘的B点，发现钢管4m浸没在水中（AC＝4米），露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角（钢管与抛物线的横截面在同一平面内）

（1）以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该运河横截面的抛物线解析式；

（2）若有一艘货船从当中通过，已知货船底部最宽处为12米，吃水深（即船底与水面的距离）为1米，此时货船是否能安全通过该运河？若能，请说明理由；若不能，则需上游开闸放水提高水位，当水位上升多少米时，货船能顺利通过运河？（船与河床之间的缝隙忽略不计）

6．（2021年绵阳期末第22题）如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．

（1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；

（2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．

4 三．【题库】

【A】

1.地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是40m；③小球的高度h＝30m时，t＝1.5s；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是（ ）

A．①④ B．①② C．①②④ D．②③

【B】

【C】

1.如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽为AB（单位：米），AB＝10，以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系，y轴与抛物线交于点C，抛物线解析式为y＝﹣x2+h．

（1）求点C坐标；

（2）若菜农身高为米，则在她直立的情况下，在大棚内的横向活动范围有几米？

5

【D】

1.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）

（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）

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专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)

专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)

专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）

➢ 知识指引

拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：

➢ 知识要点：

解决抛物线型问题的一般步骤：

（1）建立合适的平面直角坐标系；

（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；

(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；

（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.

➢ 知识小结：

（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算

（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.

➢ 典型例题：

类型一：与拱桥有关的水位升降问题

【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）

∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m ∴点C（0，2），点B（2，0）

代入，得{𝑏=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，

∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2

（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，

令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.

∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6

【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．

（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？

拱桥问题与二次函数(3)

拱桥问题与二次函数(3)

所在学校 党坝中学

学生姓名______________班级

《26.3.3桥拱问题与二次函数》

学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；

2．会解决桥洞水面宽度问题．

重 难 点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题

活动1：旧知回顾

一般地，因为抛物线2yaxbxc的顶点是最低（高）点，二次函数2yaxbxc可化为()2byaxa，所以当 x= 时，有最小（大）值为 。

活动2：探究新知 第25页探究3

如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？

分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。

解：以 为原点，以 为y轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2yax、2yaxk、2()yaxh、2()yaxhk、2yaxbxc（a≠0）五种中的） 。

由题意可知，此抛物线经过点（2， ）故可得：

故：此抛物线表示的二次函数为

当水面下降1m时，水面宽度为 ，故水面下降1m时，水面宽度增加 m.

提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。同学们可试一试本题选择其它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。

4 2

l y

x O 所在学校 党坝中学

学生姓名______________班级

活动3：课堂展示

有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为46 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为43 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？

二次函数拱桥应用题doc

二次函数拱桥应用题doc

二次函数拱桥应用题.doc

二次函数拱桥应用题

拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。它不仅能够承载重量，还可以美化环境。在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。

在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。

首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。

假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。

拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。

在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。

例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。

二次函数拱桥问题技巧

二次函数拱桥问题技巧

二次函数拱桥问题技巧

拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。

首先，我们需要明确二次函数的定义。二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。

在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。

为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。然后，我们需要考虑到已知条件。例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。

在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。

除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。这些值就是拱桥的支点的位置。