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二次函数拱桥问题技巧

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二次函数拱桥问题技巧

拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。

首先，我们需要明确二次函数的定义。二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。

在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。

为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。然后，我们需要考虑到已知条件。例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。

在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。

除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。这些值就是拱桥的支点的位置。

此外，二次函数模型还可以帮助我们预测拱桥的承重能力。我们可以通过求解二次函数在某个特定位置的函数值，来估计拱桥在该位置的荷载。通过计算不同位置的荷载，我们可以绘制出拱桥的荷载分布曲线，从而帮助我们合理布置桥面和加强结构。

在实际问题中，我们还可以将二次函数与其他函数进行组合，以建立更为复杂的模型。例如，我们可以将二次函数与线性函数组合，来描述拱桥上的道路和人行道。通过这样的模型，我们可以进一步分析拱桥的使用效率和通行能力。

在完成二次函数拱桥问题的分析和建模后，我们还需要对结果进行验证和优化。例如，可以通过数值方法来验证二次函数模型的有效性，并对模型进行修正。此外，还可以进行仿真实验，验证模型所得结果与实际情况的吻合程度，并进一步优化拱桥的设计。

总结起来，二次函数是一种强大的工具，可以帮助我们分析和解决拱桥问题。在建立二次函数模型时，我们需要清晰明确地定义自变量和因变量，并考虑到已知条件。通过求解这些条件和优化方法，我们可以确定二次函数的参数。利用二次函数模型，我们可以求解桥面的最大高度、支点位置和荷载分布等问题。此外，我们还可以将二次函数与其他函数组合，建立更为复杂的模型。最后，我们需要对模型进行验证和优化，以确保其在实际应用中的准确性和有效性。拱桥问题的求解不仅仅是数学知识的应用，更是一种综合性的思维和创新的过程。

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专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)

专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)

专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）

➢ 知识指引

拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：

➢ 知识要点：

解决抛物线型问题的一般步骤：

（1）建立合适的平面直角坐标系；

（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；

(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；

（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.

➢ 知识小结：

（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算

（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.

➢ 典型例题：

类型一：与拱桥有关的水位升降问题

【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）

∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m ∴点C（0，2），点B（2，0）

代入，得{𝑏=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，

∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2

（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，

令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.

∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6

【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．

（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？

二次函数---拱桥问题中能否通过问题

二次函数---拱桥问题中能否通过问题

1 22.3（3.2）---拱桥问题中能否通过问题

一．【知识要点】

1.常用“定宽比高”法解决拱桥问题中能否通过问题。

二．【经典例题】

1.一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m．

（1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；

（2）求安装护栏所需钢管的总长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽20m,拱顶距离水面4m.

(1)在如图1所示的坐标系中,求抛物线的解析式;

(2)在正常水位基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,试写出用d表示h的函数解析式;

(3)设正常水位时桥下的水深2m,且桥下水面的宽度不得小于18m才能保证过往船只顺利通行,当水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下通行?

2 3.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线．

（1）建立如图的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）此球能否准确投中？

（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

4.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？

2023年中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题(提优篇)

2023年中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题(提优篇)

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2023中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题（提优篇）

1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为(  )

A．4√3米 B．5√2米 C．2√13米 D．7米

2. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形𝑂𝐴𝐵𝐶构成，长方形的长𝑂𝐴是12 m，宽𝑂𝐶是4 m．按照如图所示的平面直角坐标系，抛物线可以用𝑦=−16𝑥2+𝑏𝑥+𝑐表示．在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是(  )

A．2 m B．4 m C．4√2 m D．4√3 m

3. 【测试2】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面上升1.5 m，水面宽度为(  )

A．1 m B．2 m C．√3 m D．2√3 m

4. 【例4】如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加(  )

A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m

5. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为𝑦=−125𝑥2，当水面离桥拱顶的高度𝐷𝑂是4 m时，这时水面宽度𝐴𝐵为(  )

A．−20 m B．20 m C．10 m D．−10 m

6. 某大学的校门（如图所示）是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门的高是米． 2

7. 如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的能围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13米的空隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师

work Information Technology Company.2020YEAR 二次函数中抛物线形与拱桥问题

1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，

且过点（10，－4）

∴ 故

（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（）

则 ∴

（3）当d＝18时，

∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水

位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m

速度上升，经过多少小时会达到拱顶

解： 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的

顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2） 4101252aa×，yx1252dh24，hd412542×dh10418104076hh，.0762276..

设抛物线为y=ax2+k.

由B、D两点在抛物线上，有

解这个方程组，得 所以，

顶点的坐标为（0，） 则OE= ÷0.1=（h）

所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.

3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．