二次函数与实际问题(拱桥)

所在学校 党坝中学

学生姓名______________班级

《26.3.3桥拱问题与二次函数》

学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；

2．会解决桥洞水面宽度问题．

重 难 点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题

活动1：旧知回顾

一般地，因为抛物线2yaxbxc的顶点是最低（高）点，二次函数2yaxbxc可化为()2byaxa，所以当 x= 时，有最小（大）值为 。

活动2：探究新知 第25页探究3

如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？

分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。

解：以 为原点，以 为y轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2yax、2yaxk、2()yaxh、2()yaxhk、2yaxbxc（a≠0）五种中的） 。

由题意可知，此抛物线经过点（2， ）故可得：

故：此抛物线表示的二次函数为

当水面下降1m时，水面宽度为 ，故水面下降1m时，水面宽度增加 m.

提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。同学们可试一试本题选择其它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。

4 2

l y

x O 所在学校 党坝中学

学生姓名______________班级

活动3：课堂展示

有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为46 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为43 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？

第1页 共5页 22.3实际问题与二次函数(3)教案

学情分析：

通过前几节课的学习，学生已经学习了二次函数定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，已接触了最大利润,最大面积等问题，体验了如何从实际问题中抽象出二次函数模型，为本节课的学习奠定了基础。在本节中，需要建立适当的直角坐标来分析和解决问题。

教学目标：

1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．

2.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.

3.在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想,培养学生分析问题、解决实际问题的能力, 感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.

教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．

教学难点：建立适当的平面直角坐标系,实际问题转化为数学问题.

教学过程：

一、复习回顾：

1.问题：解决前几节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意什么？

(1)由于抛物线cbxaxy2的顶点是最低（高）点，当abx2时,

二次函数cbxaxy2有最小（大）值abac442 .

(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.

(3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.

2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的解析式.

解：设所求二次函数解析式为)0(9)8(2axay

∵ 函数图象经过点（0，1）

∴19)80(2a

解得：81a

∴所求的二次函数解析式是 9)8(812xy

即12812xxy

第2页 共5页 O x y

O x y

O x y

二次函数实际问题拱桥问题教学设计

在一个阳光明媚的早晨，小镇上热闹非凡，孩子们在公园里欢快地追逐，家长们则在长椅上聊着天。突然，有个大新闻传开了！镇上要修一个新拱桥，听说可是个了不起的工程。大家都在猜测，这座桥到底长什么样，会不会成为镇上的新地标。于是，镇上的老师决定趁机给孩子们上一堂生动的数学课，讲讲二次函数和拱桥的关系。

老师开始描述拱桥的形状，哎呀，真是个好比喻！想象一下，一条弯弯的河流，两岸都是青翠欲滴的树木。桥就像一弯新月，优雅地跨越在水面上，简直美得让人心醉。孩子们听得津津有味，心里想着：“这桥要是能给我们带来更多的玩耍地方，那就太棒了！”老师趁热打铁，接着说起二次函数，嘿，数学原来也可以这么有趣！

“你们知道吗？这座桥的形状其实跟我们学的二次函数有很大关系。”老师一边说，一边在黑板上画出一个漂亮的抛物线。“这条线就像桥的拱顶，既稳固又美观。你们看，这就是数学的魅力啊，能够让我们理解生活中的许多事物！”孩子们纷纷点头，心里想着：“原来数学还可以这样用，真是大开眼界！”

老师开始介绍拱桥的高度和宽度，利用二次函数的公式，让孩子们算一算。“好吧，假设桥的顶点在5米高，宽度是10米，那我们该怎么表示这个拱桥的形状呢？”孩子们开始动手，翻看书本，试图找到答案。这个时候，有个小朋友大声说：“我觉得应该是

y = ax² + bx + c！”其他小朋友也跟着附和，气氛瞬间变得热烈起来。

随着讨论的深入，孩子们开始意识到，拱桥的设计不仅仅是个数学问题，更是一个涉及力学、美学和工程学的综合挑战。老师幽默地说：“这可不像盖个小房子，得想得周到，考虑到每一个细节，就像做一道美味的菜肴！”孩子们忍不住哈哈大笑，心里暗想：“等我们长大了，也要建这样一个桥，带着我们的梦想！”

为了让孩子们更深入地理解，老师还带来了一个小实验。她拿出一个大气球，慢慢放气，气球在重力作用下开始变形。孩子们看到这一幕，恍若明白了：这就是拱桥的力量啊！一个好的设计，能承受多大的压力，正如同这个气球的形状。每个孩子都显得异常兴奋，开始大胆地讨论各自的想法，争先恐后地分享对桥的构想。

1

2023中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题（提优篇）

1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为(  )

A．4√3米 B．5√2米 C．2√13米 D．7米

2. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形𝑂𝐴𝐵𝐶构成，长方形的长𝑂𝐴是12 m，宽𝑂𝐶是4 m．按照如图所示的平面直角坐标系，抛物线可以用𝑦=−16𝑥2+𝑏𝑥+𝑐表示．在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是(  )

A．2 m B．4 m C．4√2 m D．4√3 m

3. 【测试2】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面上升1.5 m，水面宽度为(  )

A．1 m B．2 m C．√3 m D．2√3 m

4. 【例4】如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加(  )

A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m

5. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为𝑦=−125𝑥2，当水面离桥拱顶的高度𝐷𝑂是4 m时，这时水面宽度𝐴𝐵为(  )

A．−20 m B．20 m C．10 m D．−10 m

6. 某大学的校门（如图所示）是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门的高是米． 2

7. 如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的能围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13米的空隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为