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二次函数应用(拱桥问题)

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文案大全 二次函数综合应用题（拱桥问题）

适用学科 数学 适用年级 初中三年级

适用区域 全国 课时时长（分钟） 60

知识点 二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用

教学目标 1.掌握二次函数解析式求法。

2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。

3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。

教学重点 1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；

2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标

教学难点 如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。

教学过程

一、 复习预习

平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解实用标准文档

文案大全 决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。

二、知识讲解

考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式

1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

2、顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）

顶点坐标（h，k）

直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值

3、双根式：y=a(x-1x)(x-2x)（a≠0） (1x,2x是抛物线与x轴交点的横坐标)

并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x轴有交点时才行

4、 顶点在原点：

5、过原点：)0(2abxaxy

6、 顶点在y轴：)0(2acaxy

)0(2aaxy实用标准文档

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考点/易错点2：建立平面直角坐标系

1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置

2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。

三、例题精析

【例题1】

【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式； 实用标准文档

文案大全 （2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

【答案】 （1）设抛物线的解析式为y＝ax2，

且过点（10，－4）

∴ 故

（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（）

则 ∴

（3）当d＝18时，

∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

【解析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．

【例题2】

【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m

速度上升，经过多少小时会达到拱顶?

【答案】解： 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 4101252aa×，yx1252dh24，hd412542×dh10418104076hh，.0762276..

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文案大全 顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）

设抛物线为y=ax²+k.

由B、D两点在抛物线上，有

解这个方程组，得 所以，

顶点的坐标为（0，） 则OE=÷0.1=（h）

所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.

【解析】 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式

【例题3】

【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y＝ax 2＋h

又知B (2，0)，D (2，3)

∴ 解得： m64m34633h)32(a0h)62(a226h41aO x CX y

D

B A E

F 实用标准文档

文案大全 ∴y＝－41x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE＝6

EF＝OE－OF＝3 t＝＝25.03＝12 (小时)

答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．

【解析】建立直角坐标系，求出解析式

四、课堂运用

【基础】

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．

(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

25.0EF实用标准文档

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【巩固】

1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时， 忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能， 要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?

【拔高】

1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?

．

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五、课程小结

（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；

（2）根据题意建立直角坐标系， 建立数学模型，解决实际问题；

（3）找到两个变量之间的关系； 掌握数形结合思想；

（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用

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六、课后作业

【基础】

1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．

求此抛物线的解析式。

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【巩固】

1、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施?

【拔高】

1、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥?

(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．

；

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二次函数拱桥应用题

二次函数拱桥应用题

二次函数的应用-拱桥问题

一、自学：

1、抛物线y=的顶点坐标是______,对称轴是______,开口向______；抛物线y=-3x2的顶点坐标是______，对称轴是______，开口向______．

2、图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB∥x轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。

3、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是 ，点B的坐标为 ；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为 。

二、探索学习：

例题：有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．

(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：

(2)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米。求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．

练习．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．

241x三、当堂练习：

1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=，当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）

A、5米 B、6米； C、8米； D、9米

2、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).

3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？

二次函数的应用(拱桥问题)教学设计 2

二次函数的应用(拱桥问题)教学设计 2

二次函数的应用3（拱桥问题）

苏州吴中区蓝缨学校 高崇理

【作品简介】本节内容为苏科版九年级下册第6章第4节内容，在此之前学生已经学习了二次函数概念、性质和图象，已经掌握了二次函数的一般知识，具备实际运用的能力。作为在苏州生活的同学，一定对苏州拱桥印象深刻，本节内容就是建立在身边熟悉的生活经验的基础上，研究课本中关于拱桥问题，进而巩固二次函数相关知识。本作品借助于视频、几何画板、ppt等数学教学多媒体手段，讲授了二次函数应用问题之拱桥问题。视频长8分钟左右。

【文本创作说明】

1、实用对象：

二次函数为苏科版九年级下知识，本节内容适合刚学完二次函数性质与图象的同学，用于预习新知；本节内容也可以作为中考复习同学，巩固二次函数相关知识，巩固数学方法解决实际问题的一般步骤。

2、内容分析：

本节内容是二次函数章节的结束内容，是对前面二次函数实际问题的深入。拱桥问题也是在中考中常出现内容，解决此类问题的方法具备代表性，它是用函数解决实际问题的典型例子，也和学生实际生活紧密相连，因此，学习本节内容对于巩固旧知和激发学生研究实际问题的乐趣具有十分重要的作用。

3、目标分析：

①知识与能力目标：体会二次函数拱桥问题模型，了解数学的实际应用价值，掌握用数学解决实际问题的一般方法及步骤。

②过程与方法目标：通过引导学生对实际问题的思考，培养学生善于发现实际问题，提高学生利用数学解决实际问题的兴趣。

③情感、态度、价值观目标：本节内容建立在学生家乡桥的基础上，培养学生热爱家乡的情感，同时激发学生勇于思考，善于创新，培养积极主动利用数学解决实际问题的态度。

4、重难点分析：

重点：理解二次函数解决实际问题的一般方法并能灵活运用

难点:灵活运用二次函数解决实际问题。

5、其他资源：

录屏软件，麦克风，几何画板，狸窝视频转换软件，会声会影视频编辑软件，ppt等 【教学设计】

一、 创设情景，激趣引入。

拱桥问题与二次函数(3)

拱桥问题与二次函数(3)

所在学校 党坝中学

学生姓名______________班级

《26.3.3桥拱问题与二次函数》

学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；

2．会解决桥洞水面宽度问题．

重 难 点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题

活动1：旧知回顾

一般地，因为抛物线2yaxbxc的顶点是最低（高）点，二次函数2yaxbxc可化为()2byaxa，所以当 x= 时，有最小（大）值为 。

活动2：探究新知 第25页探究3

如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？

分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。

解：以 为原点，以 为y轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2yax、2yaxk、2()yaxh、2()yaxhk、2yaxbxc（a≠0）五种中的） 。

由题意可知，此抛物线经过点（2， ）故可得：

故：此抛物线表示的二次函数为

当水面下降1m时，水面宽度为 ，故水面下降1m时，水面宽度增加 m.

提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。同学们可试一试本题选择其它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。

4 2

l y

x O 所在学校 党坝中学

学生姓名______________班级

活动3：课堂展示

有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为46 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为43 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？

实际问题与二次函数----拱桥问题(讲课)

实际问题与二次函数----拱桥问题(讲课)

22.3实际问题与二次函数----拱桥问题班级：姓名：

一、课前预习：

某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，根据图中的直角坐标系，你能求出涵洞所在的抛物线的解析式吗？

二、探究新知

图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m .水面下降1m时，水面宽度是多少？

思考：还有其它建立坐标系的方法吗？选择一种解答出来.

三、应用新知

1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其函数的表达式为𝑦=−125𝑥2,当水位线在AB位置时,水面宽AB=30米,这时水面离桥顶的高度h是米.

2.如图所示，有一建筑物从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，求水流落地点B离墙的距离OB.

3．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．

四、当堂达标

某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图:

(1) 建立适当的坐标系，求出抛物线的解析式；

(2) 若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围有多宽.

五、补偿提高

1.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用𝒚=−𝟏𝟒𝒙𝟐+𝟒表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？

2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图,已知球在A处出手时离地面𝟐𝟎𝟗 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?