运用函数思想 实现问题解决

函数思想在中学数学解题中的应用摘要：随着我国教育的不断变革，在教学过程中涉及到的学科思想越来越重要，尤其对于中学数学教学来说，这个特点十分明显。

中学时期的教学对学生们是至关重要的，受到社会各界广泛的关注。

对于中学教学科目来说，数学这门科目是十分重要的，学生们在做数学题的时候，需要具有较强的数学知识作为基础，并能够熟练的应用函数思想进行解题。

学生们在学习数学过程中能够合理地运用函数知识解决相关问题，就可以极大的提升学生们的学习效率。

本文主要围绕函数知识在中学数学解题中的应用展开分析。

关键词：函数知识；中学数学解题；应用措施引言现阶段在中学数学教学过程中要求学生们学会合理的利用函数知识解决相关问题。

数学这门学科对学生们数字理解能力、逻辑推理能力要求都比较严格，一旦学生们数学基础知识十分薄弱，那么对于解决数学问题来说也将十分困难。

函数知识作为中学数学教学内容重要的一部分，在数学解题过程中发挥着十分重要的作用。

函数将各个变量之间的关系描述得十分清楚。

在中学数学解题中应用函数知识就是将数学题目中部分数量关系利用函数表达式呈现给学生们，之后让学生们根据函数表达式建立数学模型来解决相关问题。

在数学解题中，应用函数知识解题就表明题中的各个数量关系是不断变化的，并且存在着某种联系，能够形成某个特定的公式，从而方便学生们在解题过程中了解各个数量的变化趋势，以此更加高效地解决相关数学问题。

一、函数思想在中学数学解题中的应用现状（一）函数思想在中学数学解题中学生的应用不积极对于中学生来说，在解决数学问题的时候，利用学过的数学知识进行解决是不可避免的。

大部分的数学题都是需要学生们从题目中找出有用的信息，并利用所学知识将各个信息建立联系，以此来方便解决整个题目。

在数学解题过程中，应用函数知识就是找出题目中各个变量之间的关系来进行解答。

但是在实际教学过程中，大部分的学生们由于函数知识基础薄弱。

因此，在解决数学问题的时候，也不善于运用函数知识解决。

运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学是一门研究数量，结构，空间以及变化等概念的学科。

在数学中，二次函数和一次函数是两个重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。

本文将介绍如何运用数学思想解决二次函数、一次函数以及方程等综合问题。

首先让我们来回顾一下二次函数和一次函数的定义。

二次函数是指形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数，且a≠0。

二次函数的图像通常是一个抛物线。

在解析几何中，二次函数也可表示为二次曲线的方程。

解决二次函数和一次函数问题的关键是要理解函数的性质和图像的特点。

下面我们将给出一些实际问题，并运用数学思想解决这些问题。

问题一：一辆汽车行驶的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。

已知一辆汽车行驶1小时可以行驶80公里，行驶5小时可以行驶多少公里？解决方法：根据题目中所给的信息，可以得到一次函数的表达式为f(x)=80x，其中x表示行驶的时间，f(x)表示行驶的距离。

根据一次函数的性质，我们可以算出行驶5小时可以行驶的距离为f(5)=80×5=400公里。

问题二：一个球从离地面10米的地方自由下落，设t表示下落的时间（秒），可知球下落的高度与下落的时间t的关系可以用二次函数来表示。

球下落的高度与时间的关系式是h(t)=-4.9t²+10，其中h(t)表示球的下落的高度。

求解以下问题：1) 球下落1秒的高度是多少？2) 球从离地面10米的地方自由下落，球何时落地？解决方法：1) 根据题目中所给的二次函数的表达式，可以算出球下落1秒的高度为h(1)=-4.9×1²+10=5.1米。

2) 球何时落地意味着球的高度为0，根据二次函数的性质，我们可以将h(t)置为0，解方程-4.9t²+10=0。

通过求解这个方程，可以得到t≈1.45秒。

所以球大约在1.45秒时落地。

通过以上两个问题的解答，我们可以看到，在实际问题中，运用数学思想能够帮助我们解决各种类型的问题。

用函数思想解题李光荣教学目标：掌握函数的性质，培养学生用函数的思想解题，提高分析解决问题的能力。

教学重点：用函数思想解题教学难点：构造函数，研究函数的性质。

教学过程：一、 课题引入：函数是高中数学中的重要内容。

函数思想是一种重要的数学想方法。

那么，什么是函数的思想？函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系。

是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决。

二、典例分析分析：构造函数 98()99f x x - ，易证()f x 在(99)-?单调递减，且()1f x >，()f x 在99,)+?单调递减，且()1f x <。

所以9n =时，n a 最小。

10n =时，n a 最大。

点评：数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项即为相应的解析式。

因此，在解决数列问题时应注意利用函数的思想求解。

点评：用函数思想解题的思维过程探求变量→构建函数→研究函数性质→解决问题 98{},99n n a a n =-1310},,0,S ,,n n n n S a S n S >=变式1:若{a 等差数列前项和为且则为多少时最大?说说你的思维过程.111112log (a 1)12321231,a n n n n n a +++>-++++L 例2 已知不等式对一切大于的自然数都成立求的取值范围.分析：构造函数1111()1232f n n n n n =+++++++L ，将不等式转化为了min 12()log (1)123a f n a >-+，从而转化为求()f n 的最小值。

（答案：112a <<） 点评：针对恒成立问题，函数最值是一种非常有郊的方法。

变式2 A （0，1） B （1，2） C （0，2） D （2，+∞）解析：解析： 32012,(1)(1)f(x)11,2x f a f b a b a b +-=--\-=-\+=Q 构建函数f(x)=x 由已知得为奇函数且单调递增等式等价于f(a-1)=f(1-b)即点评：利用函数的单调性与奇偶性可解决有关方程、不等式的问题。

函数思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 了解函数思想的重要性了解函数思想的重要性是高中数学学习中的重要一环。

函数思想可以帮助我们更好地理解问题，提高问题解决的效率。

通过了解函数思想，我们可以更快地找到问题的核心，从而更快地解决问题。

函数思想也可以帮助我们建立起对数学知识体系的整体认识，提高数学思维的深度和广度。

在高中数学学习中，函数思想是贯穿始终的一个重要内容。

无论是在解代数方程还是解几何问题，函数思想都扮演着重要的角色。

了解函数思想可以让我们更好地理解数学概念，提高解题的速度和准确性。

所以，掌握函数思想对于高中数学学习来说是至关重要的。

1.2 高中数学解题的特点高中数学解题的特点主要包括题目形式简单、题目类型多样、涉及知识面广泛、考察思维能力强等特点。

在高中数学学习中，学生需要掌握各种数学概念和方法，能够灵活运用这些知识解决各类数学问题。

高中数学解题通常需要考虑多个因素，需要学生进行一定的逻辑推理和分析，以找到解题的有效方法。

另外，高中数学解题还常常涉及到多个知识点的综合运用，需要学生具有整合和综合能力，能够将所学知识有机地结合起来解决问题。

由于高中数学解题的特点，学生在解题时往往需要一定的思维方法和技巧，能够快速准确地分析问题并找到解决方法。

因此，深入理解和灵活运用函数思想在高中数学解题中具有重要的意义，可以帮助学生更好地应对各种数学问题，提高解题效率和准确性。

2. 正文2.1 函数思想在代数方程中的应用在高中数学中，代数方程是一个重要的内容，通常涉及到未知数的关系和等式的求解。

函数思想在代数方程中的应用可以帮助我们更加清晰地理解和解决这些问题。

我们可以将代数方程中的未知数看做自变量，而等式则可以看做一个函数关系。

通过建立数学模型，我们可以将复杂的代数方程简化成一个函数方程，从而更好地进行求解和分析。

函数思想可以帮助我们对代数方程的图像进行理解和分析。

通过绘制函数图像，我们可以直观地看到方程的解和特性，从而更好地理解方程的含义和求解方法。

函数思想在解题中的应用摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。

关键词：函数思想；解题；应用；引言函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明．1、 利用函数的单调性解题单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛．例1 解不等式05110)1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。

观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 5125)12(33+>+⋅++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+=∵3x 及x 5均为增函数．∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()12(x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+12． 解得11<<-x 或2-<x ,此即为原不等式的解． 例２解方程0)3)12(2)(12()392(322=+++++++x x x x 解：构造函数)32()(2++=m m m f ，则方程变为)3()12(x f x f -=+又因)(m f 在R 上是单调递增函数，故有x x 312-=+．解得51-=x ．经检验知51-=x 是方程的解．规律概括：不等式问题往往可通过构造函数的方法将问题转化为函数的图像或单调性问题．２、利用函数的奇偶性解题奇偶性是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．例３已知：4040221052345234)57473()57473(x a x a x a a x x x x x x x x ++++=-++---++ 试求4020a a a +++ 的值．分析：设52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f ．即可知)()(x f x f =-即)(x f 是偶函数,从而使问题获解．解：构造函数52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f . ∵52345234]5)(7)(4)(7)(3[]5)(7)(4)(7)(3[)(--+-+-------+-+-=-x x x x x x x x x f 52345234)57473()57473(-++---++=x x x x x x x x)(x f =∴)(x f 为偶函数．∴404022104040332210x a x a x a a x a x a x a x a a ++++=++-+-从而039531=====a a a a∴1024)57473()57473()1(554020=-++---++==+++f a a a规律概括：仔细观察目标式的结构特征，运用构造函数的方法，将问题转化为函数问题是一种常用的解题策略．本题正是通过构造函数，并利用函数的奇偶性从而使问题顺利获解．3、 利用函数值域解题求函数的值域,涉及到众多的数学知识,构成了中学数学的重要横向知识体系,同时也为利用函数值域解题提供了广阔天地．尤其对某些含参数的不等式,在分离参数的基础上,通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围,从而避免了对参数的繁琐讨论． 例4 当m 为何值时,方程02122=--+m x x 有实根 分析：x x m 2122-+=则方程有根的条件,即转化为函数的值域问题． 解：方程变形为x x m 2122-+=． 令)0(12,212≥-=-=t t x x t 则则45)21(1222+--=++-=t t t m ∵4545)21(,02≤+--≥t t 则 ∴452≤m 解得2525≤≤-m 即当2525≤≤-m 时，原方程有实根． 规律概括：如果函数用解析式表示)(x f y =，则解析式可看作关于y x ,的方程，反之，方程0)(=-y x f 又可看作函数)(x f y =，于是使关于x 的方程0)(=-y x f 有解的y 的范围，即是函数)(x f y =的值域．４、利用一次函数的保号性解题某些数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数)(x f 在区间],[b a 上函数值的符号问题,从而使问题获解．例５ 设c b a ,,为绝对值小于１的实数，求证：01>+++ca bc ab证明：∵11,11,111)(1<<-<<-<<-+++=+++c b a bc a c b ca bc ab 且∴当0=+c b 时，有0112>-=+++c ca bc ab ．当0≠+c b 时，构造函数1)()(+++=bc x c b x f ，由0)1)(1(1)1(>++=+++=c b bc c b f ；0)1)(1(1)1(>--=++--=-c b bc c b f ．知对11<<-x ，都有0)(>x f 成立，所以0)(>a f ，即01>+++ca bc ab ．规律概括：不等式问题通常可以通过构造一次函数的方法将问题转化为一次函数在某一区间上的函数值的符号问题从而使问题得以解决．５、利用二次函数的性质解题二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如q mn p n m ==+,的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决．例６已知b a c R a +>∈+2,，求证：ab c c a ab c c ab c -+<<-->222;．证明：构造函数0,0)1(,2,2)(2><+>+-=a f b a c b cx ax x f 又因知由，故函数图像与x 轴在1=x 的两边各有一个交点，从而有0442>-=∆ab c ，即ab c >2．解方程02)(2=+-=b cx ax x f ，得a ab c c x a ab c c x -+=--=2221,． ∴aab c c a ab c c -+<<--221，即ab c c a ab c c -+<<--22 规律概括：将目标式构造成二次函数，并利用二次函数的性质解题是一种重要的方法，往往是利用二次函数的图像与x 轴的交点和判别式来求解．总结：从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思想的应用相当广泛，函数思想在解题当中所具有神奇力量也可见一斑．但这些方面都涉及到最基础知识．构造函数，利用函数思想解题，需要解题者不断强化训练，在解题过程当中“悟出”函数来．只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果．。