2020-2021学年最新沪教版五四制八年级数学上册《一元二次方程的解法》3教学设计-评奖教案

板块一：利用判别式判断方程根的情况把24b ac -叫做一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根的判别式，通常用符号“∆（读作“dealt ”）”标号，记作24b ac ∆=-。

在实数范围内，一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定。

当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等实数根1,2x =当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等实数根122bx x a==-； 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根。

【例题1】 【基础、提高】当m 取什么值时，关于x 的方程22221)4840x m x m m +++++=（ ①有两个相等实数根 ②有两个不相等的实数根 ③无实数根 【尖子】已知关于x 的方程2310kx x +-=，请说明方程的根的情况.【例题2】 【基础、提高】如果关于x 的方程220x x m --=① 没有实数根，那么请说明方程第三讲一元二次方程的判别式22(1)0x mx m m +++=② 的根的情况。

【尖子】已知关于x 的方程2(21)(1)0mx m x m +-++=① 无实数根，那么请说明方程23204m x mx ++-=② 的根的情况。

【例题3】 【基础、提高】设0a b c +>>且a b c -<，求证：二次方程222222()0a x b a c x b ++-+=没有实数根。

【尖子】已知0a >，b a c >+。

判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明。

【例题4】 【基础、提高】已知关于x 的二次方程20x ax c ++=与20x bx d ++=，求证：当2()ab c d =+时，这两个方程中至少有一个方程有实根。

【尖子】若0a b c d >、、、，证明：在方程2102x ++=① ，2102x ++②，2102x +=③，2102x ++④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。

、知识讲解讨论：："a=0, 4a 2求根公式： 一兀二次方程 ax ，bx 弋=0@=0），当b -4ac-0时，它有两个实数根:求根公式推导: 求解一元二次方程:2ax bx c = 0(a = 0) 把常数项移到方程右边:ax 2 bx = -c方程两边同除以二次项的系数:方程两边同加上一次项系数一半的平方2 b c x x =-a/ + b 、2aa+ / b 、2二-c (——)2a 整理:（x +乎）2ab 2 -4ac 4 a 2 (1)当 b ?「4ac _ 0 时,b 2 -4ac 小利用开平方法，得x 2；*b 2-4acx 「b_ b2—4ac，即 x 「b_b2—4ac4a 22a 2a2a2(2)当 b -4ac ::: 0 时,b一4叭 0 ,方程没有实数根。

4a—b 、b 2 -4ac —b - \ b 2 -4acX 1 二,X 2 二2a2a、、亠 汪意： 2 b三、例题讲解 例1、用公式法解下列方程: 2(1) 5x 6x 1 =0 (2) x 2 - 2 二 2、、2x例2、用公式法解下列方程： (1) x 2 _2( , 5x _3) =1(2). 2(x 2 -1) = x(x-2) 1答案：x^i = x 2 二、5; x 1 = 1, x 2 - -3-2-2 例3、用适当的方法解下列方程: (1) x 2 ( 3 1)x =0 ； (2) (x 3)(x-5)=1 ；(3) x(x -6) = 2(x -8)；(4)1(x 3)2=1 ；43、用公式法解下列方程：(1) x 1 2 2=2、_2X ；(2) 9x 2-12x 4=0 ；[来源:]、捲一2恥仝;x —Uxn —5 ；无解;“ ‘ 43、x = ±3 ；捲=—1,x 2 =一 •x(x -5) =(2x -3)2 -6 ;(4)yy 2-12’五、课堂总结(1)2y2 -6 =0家庭作业2 (2) 27=4x22 (3) 3x = 5x答案：1、山=17^ =13^-24^ =1932、用适当的方法解下列方程:(4) x(x 一1) 3(x_1) =02(5) (x 1) =22(6) 3(x-7) = 2(7 -x)(1) 1(x 2)2=422(2) x -2x-8 =0[来源学科网Z,X,X,K](3)(2x -3)2 =x 2 (4) x(x 8) = 1632求当x 为何值时，二次式3x -6的值等于21；求当x 为何值时，二次式3x 2 -6的值与x-2的值相等;答案： 仁 y =±石 x 二 土空廐为=0, x 2 =5 ；为=1,x 2 =—3;x = T ±的；为=7,x 2 =里2 3 32、x = -2 _2 <2; N 二-2,x 2 =4;x^3,x 2 =1;x 二 一4 _4 22 63、(1) (2)。

沪教版八年级数学上册《一元二次方程的解法》教案及教学反思教学目标•学会使用四则运算和平方公式推导一元二次方程式•理解一元二次方程解的概念，掌握运用公式法解一元二次方程的方法•能够通过例题的计算、实例的解答及练习中的综合运用，掌握一元二次方程解法教学内容课程背景•学科：数学•年级：八年级上册•课程名称：一元二次方程的解法•课标要求：熟练掌握公式法解一元二次方程的解题方法，能综合运用所学知识解决实际问题教学过程第一节课•导入：通过提出一个生活案例引发学生思考和探讨•讲授：教师介绍使用平方公式推导一元二次方程式的方法，并针对性地讲解平方公式的概念和作用•练习：学生通过课堂练习巩固平方公式的掌握，并且掌握运用平方公式推导一元二次方程式的方法第二节课•导入：通过一个有趣的题目引发学生注意力，同时奠定一元二次方程解法的基础•讲授：教师详细讲解一元二次方程解的概念和解题方法，并介绍运用公式法解一元二次方程的思想和方法•练习：学生通过一些例题的练习，掌握运用公式法解一元二次方程的技巧第三节课•导入：通过举实际应用的例子，让学生了解一元二次方程的实际应用场景•讲授：教师进一步深入讲解运用公式法解一元二次方程的技巧和注意点，并提供不同难度的实例，让学生综合运用所学知识解决实际问题•练习：学生通过练习不同的实例，巩固所学知识，提升解决问题的能力教学反思教学策略在教学过程中，我采用了导入、讲授、练习的教学策略。

通过用一个有趣生动的问题或实际案例来导入课堂，引发学生热情和积极性。

然后就相关知识进行讲解，并通过适当的方式引导学生掌握解题的技巧和方法。

最后结合不同层次的练习巩固所学知识和技能。

教学方法在教学方法上，我采用了多种不同的教学方法。

比如在讲授平方公式的时候，我注重理解掌握，并采用小组互动的方式让学生巩固掌握；在解释解法的过程中，讲解方法详尽，重点归纳，强化练习题目，让学生独立思考满足课程的要求；而在综合练习环节，我注重让学生运用所学知识，并在训练中适当加强训练，提高学生思考和解题能力。

一、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

二、一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a++=≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项方程一根为00c⇔=，方程一根为10a b c⇔++=，方程一根为10a b c-⇔-+=，方程两根互为相反数0b⇔=，0ac≤．基本要求：了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数．较高要求：能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由已知方程的根求待定系数的值．三、一元二次方程的常用解法（1）直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b+=≥的一元二次方程．（2）配方法：解形如20(0)ax bx c a++=≠的一元二次方程，一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．④化成2()x m n+=的形式．第6讲一元二次方程的解法⑤若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是x =．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式 ②确定a 、b 、c 的值． ③计算24b ac -的值．④若240b ac -≥，则代入公式求方程的根． ⑤若240b ac -<，则方程无解．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．【例题1】 把下列方程化成一般式，并写出各项及其系数：（1）()()21319x x --= （2）()()223122x x x --=-（3）()235726m x mx m mx --+=-【例题2】 关于x 的方程()23213ax x x x b ++=-+是一元二次方程，则a 的取值范围是： ，它的一次项是 。

【例题3】 （1）已知关于x 的一元二次方程()()()()()()1223310a x x b x x c x x ++++++++= 有根0、1，求a: b: c .（2）若方程210x bx ++=与方程20x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。

第二节 一元二次方程的解法（1）【知识要点】一．一元二次方程的解法1.开平方法方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解.2.因式分解法一元二次方程的一边是0，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分 解法求解.3.配方法为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠，必须将方程形为2()x m n +=的形式。

配方法的步骤是：①把二次项系数化为1；②移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④将原方程变形为2()x m n +=的形式.二．一元二次方程解法的运用及其思想方法配方法对所有的一元二次方程都适用，开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用.我们在解一元二次方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷.一般情况下：（1）形如20(0)ax c ac +=<的一元二次方程用开平方法或因式分解法（平方差公式）解； （2）形如20(0)ax bx ab +=≠的一元二次方程用因式分解法（提取公因式法）来解；（3）形如20(0)ax bx c abc ++=≠的一元二次方程用因式分解法（十字相乘法）来解. 【学习目标】第十六章 学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程.第十七章 掌握配方法解方程及配方法的技巧.【典型例题】【例1】用开平方法解下列方程（1）242560x -= （221)x -=（3）2(12)9x -= （4）22(21)(3)y y +=-【分析】用开平方法解方程，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数常数的形式，再根据平方的定义求解。

另外，“整体”思想在解方程时还是十分有用的.【解答】（1）移项得：24256x =将方程各项都除以4得：264x x =∴= 所以，原方程的根是128,8x x ==-（22(1)x -即2(1)1x x -=-=所以原方程的根是1211x x ==（3） 利用开平方法，得123x -=或123x -=-解得1x =-或2x =所以，原方程的根是121,2x x =-=（4）利用开平方法，得213y y +=-或211(3)y y +=--解得23y =或4y =- 所以原方程的根是：122,43y y ==- 【点评】对于第（2）题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根式的简化，而第（3）、（4）是利用“整体”思想解方程.【例2】 用因式分解解下列方程（1）(3)(1)12x x +-= （2）2(13)5(31)x x x -=-（3）22(21)3(1)0x x +-+=【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这 两个因式中至少有一个等于零；反之也同样成立，由此可得方程的根。

利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n +=的形式； ④当0n ≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．一般一元二次方程的解法及韦达定理知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲内容分析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式242b b ac x a-±-=，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 填空：（1）221_______(____)2x x x -+=-；（2）221_______(_____)25x x -+=-； （3）22_______(____)bx x x a-+=-； （4）22224_______(2_____)b x x a-+=-．【答案】116，14；25x ，15；224b a ，2b a ；4b a x ，b a ．【解析】通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行解答． 【总结】本题考查通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行配方．【例2】 如果24x ax ++是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．都不对【答案】D【解析】通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平方两种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍．【总结】本题考查通过公式()2222a ab b a b ±+=±进行配方，要考虑两种情形．【例3】 若0m <且2x =时，等式2270x mx m -+-=成立，则m 值为________． 【答案】1-．例题解析【解析】当2x =时，可得2230m m --=，得13m =，21m =-，因为0m <，则1m =-． 【总结】本题考查一元二次方程的解及其应用．【例4】 如果一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________． 【答案】2430x x -+=等．【解析】一元二次方程根为1，则必有()200ax bx c a ++=≠中，0a b c ++=．【总结】一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，当0a b c ++=时，1x =；当0a b c -+=时， 1x =-；当0c =时，0x =．【例5】 解下列方程(配方法)：（1）2340x x +-=；（2）20.040.410x x ++=； （3）22240x mx m ++=；（4）20(0)ax bx c a ++=≠．【答案】（1）124,1x x =-=；（2）125x x ==-；（3）12,x x =； （4）略．【解析】（1）对原方程配方，得：232524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3522x +=±，得14x x ==-或，所以原方程的根为：1214x x ==-，；（2）对原方程配方，得：()250x +=，得5x =-，所以原方程的根为：125x x ==-；（3）对原方程配方，得：()222m x m +=，则x m +=，所以原方程的根为：12x x ==，； （4）由20 (0)ax bx c a ++=≠，得20 b c x x a a++=，配方得：2222244b b c b x x a a a a ++=-+，即2224()24b b acx a a -+=，①当240b ac ->时，解得：x =；②当240b ac -=时，解得：2bx a=-； ③当240b ac -<时，解得：x 无实根．综上，①当240b ac ->时，解得：1x =，2x =②当240b ac -=时，解得：122b x x a==-； ③当240b ac -<时，解得：x 无实根．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例6】 解下列方程（求根公式法）：（1）22(1)x x =-；（2）20.20.11x x -=；（3）21)0x x +++；（4）22220x mx m n -+-=．【答案】（1）原方程无解；（2）122.52x x ==-，；（3）1213x x =-=-- （4）12x m n x m n =+=-，．【解析】（1）2220x x -+=，122a b c ==-=，，，得：2440b ac -=-<，所以方程无解； （2）20.20.110x x --=，0.20.11a b c ==-=-，，，得：240.81b ac -=，则0.10.90.4x ±==，所以原方程的根122.52x x ==-，；（3）)121a b c ===，，2416b ac -=，得：x所以原方程的根1213x x ==-（4）2212a b m c m n ==-=-，，，得2244b ac n -=，得：x =，所以原方程的根12x m n x m n =+=-，．【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．【例7】 解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）20(0)mx nx p m --=≠；（2）(5)(3)(6)145x x x x --++=．【答案】（1）略；（2）12x x ==（1）a m b n c p ==-=-，，，得：2244b ac n mp -=+，①当240n mp +≥时，解得：x =②当240n mp +<时，解得：x 无实根．综上，①当240n mp +≥时，解得：12x x = ②当240n mp +<时，解得：x 无实根．（2）2650x x --=，1165a b c ==-=-，，，得：24261b ac -=，所以原方程的根为12x x =． 【总结】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．【例8】 用指定的方法解下列方程： （1）2123x x -=（配方法）；（2）()232175x -=（开平方）；（3）2(1(1x x =+（因式分解）； （4）231270x x ++=（公式法）．【答案】（1）1266x x ==；（2）1232x x ==-，；（3）1203x x ==-，；（4）12x x ==．【解析】（1）对原方程配方，得：()2639x -=，所以6x -=所以原方程的解为：1266x x ==；（2）开平方，得：215x -=±，所以原方程的解为：1232x x ==-，；（3）((2110x x -+=，((110x x ⎡⎤-=⎣⎦，所以原方程的解为：1203x x ==-，；（4）∵3127a b c ===，，，∴2460b ac -=，∴x ==所以原方程的根为12x x =【总结】本题主要考查用适当方法求解一元二次方程的根．【例9】 已知：202(21)22x x x x ++=--，求x 的值． 【答案】3x =【解析】由题知2210x x ++≠得1x ≠-，由2221x x --=得123,1x x ==-，所以3x =． 【总结】本题主要考查()010a a =≠，且考查求解一元二次方程的根．【例10】 x 为何值时，代数式22102191x x x -++的值等于零．【答案】123325x x ==，．【解析】由题知2102190x x -+=，得()()23530x x --=，得：123325x x ==，．【总结】本题主要考查分式为零且考查求解一元二次方程的根．【例11】 阅读下面的例题：解方程2||20x x --=解：当0x ≥时，原方程化为220x x --=，解得：1221x x ==-，（舍） 当0x <时，原方程化为220x x +-=，解得：1221x x =-=，（舍） ∴原方程的根是1222x x ==-， 请参照例题解方程2|1|10x x ---=． 【答案】1212x x ==-，．【解析】当10x -≥，即1x ≥时，原方程化为20x x -=，解得：()1201x x ==舍，； 当10x -<，即1x <时，原方程化为220x x +-=，解得：()1221x x =-=，舍； 所以原方程的根为1212x x ==-，．【总结】本题考查绝对值方程及一元二次方程的解法．【例12】 解下列关于x 的方程方程：（1）22(2)(3)0kx k x k +-+-=； （2）(5)(3)(2)(4)49x x x x -++-+=；（3）2222(3)230x a b x a ab b +--+-=．【答案】（1）略；（2）1266x x ==-，；（3）1222a bx b a x -=-=，． 【解析】（1） ①当0k =时，原方程化为：430x --=，解得：34x =-；②当0k ≠时，方程是一元二次方程，()223a k b k c k ==-=-，，，得：24416b ac k -=-+，1若4160k -+>，即4k <时，()()2222k k x k k--±--±==，2若，4160k -+=即4k =时，()122k x x k--==，3若4160k -+<，即4k >时，x 无实根．综上， ①当0k =时，34x =-；②当0k ≠时，若4k <时，()()1222k k x x k k ----==；若4k =时，122k x x k-+==；若4k >时，x 无实根．（2）原方程化为一般式，得：22720x -=，所以6x =±，故1266x x ==-，；（3）原方程可化为()()220x a b x a b +---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得：1222a bx b a x -=-=，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，注意对含字母系数的方程的分类讨论．【例13】 已知：2212231447y x x y x x =-+=++，，求x 为何值时，12y y =．【答案】12322x x =-=-，．【解析】由12y y =，得：22231447x x x x -+=++，整理得：22760x x ++=，分解因式，得：()()2230x x ++=，所以12322x x =-=-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法．【例14】 解关于x 的一元二次方程24(3)x x mx -=-，其中m 是满足不等式310320m m +>⎧⎨->⎩的整数．【答案】1241x x =-=，．【解析】由310320m m +>⎧⎨->⎩，得1332m -<<，又由于24(3)x x mx -=-，整理得：()21340m x x -+-=，它是一元二次方程，得1m ≠，又m 是整数，所以0m =， 即一元二次方程为2340x x +-=，解得1241x x =-=，． 【总结】本题考查一元二次方程及不等式组的解法及其应用．【例15】 求关于x 的方程：225582220x y xy y x +++-+=的实数解． 【答案】1x =．【解析】由225582220x y xy y x +++-+=，得()()()22222110x y x y ++-++=，得：1x =． 【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．【例16】已知152a b c +-=-，求a b c ++的值．【答案】20．【解析】由152a b c +--，得：)))222112302++=，所以102030-===，解得：2612a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以20a b c ++=．【总结】本题考查一元二次方程的解法及用配方法解方程．【例17】 已知a b c ，，是有理数，试证明关于x 的方程： 2222220x ax a b c bc -+--+=的根也是有理数． 【答案】略．【解析】由2222220x ax a b c bc -+--+=，可得：()()220x a b c ---=，所以12x a b c x a b c =+-=-+，，由于a b c ，，是有理数， 所以a b c a b c +--+、也是有理数，所以即证． 【总结】本题考查一元二次方程的解法的应用．【例18】 已知关于x 的方程：224(1)3240x m x m m k --+-+=，当m 取任意有理数 时，方程的根都是有理数，求k 的值或者是k 的取值范围．【答案】54k =-．【解析】解：()2141324a b m c m m k ==--=-+，，， 得()()22241614324b ac m m m k =-=---+24241616m m k =-+-， 当m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，∴24b ac -是完全平方式，∴161636k -=，∴54k =-．【总结】本题综合性较强，主要考查学生对方程的根是有理数的理解．韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a -+=≠的两个根,由解方程中的公式法得, 22124422b b ac b b acx x a a-+----==，． 那么可推得1212b cx x x x a a +=-⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．【例19】 若方程2(1)0x m x m -++=有解，利用适当的方法解这两个根，分别是___________________________；若这两个根互为相反数则m 的值是_______________；若两个根互为倒数，则m 的值是_______________． 【答案】121x m x ==，；1-；1．【解析】利用十字相乘法因式分解得到方程的两根，后依据相反数和倒数的概念得出相应m例题解析知识精讲模块二：韦达定理的值．【总结】本题考查一元二次方程的解法．【例20】 如果1x ，2x 是方程22360x x +-=的两个根，那么12x x +=_____________；12x x ⋅=_______________．【答案】32-；3-．【解析】由韦达定理，可得：1232x x +=-，123x x =-．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的应用．【例21】 若方程：2980kx x -+=的一个根为1x =，则k =________；另一个根为________． 【答案】1；8x =．【解析】将1x =代入方程，可得：1k =，再由韦达定理可得：128x x =，得另一根为8x =．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的应用．【例22】 ．【答案】2102x +=．【解析】由12bx x a +==-，1212c x x a ==，可得方程为：2102x +=． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a=的应用．【例23】 是关于x 的方程210(0)ax bx a ++=≠的两根，求b 的值． 【答案】1-．【解析】由韦达定理，得：121bx x a+==-=-，121cx x a=-=，而1c =，所以得：1a =-，代入可得：1b =-． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a=的应用．【例24】 已知12x x ，是方程2133022x x --=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x -；（3）2212x x +；（4）12||x x -．【答案】（1）2-；（2）-或3）42；（4）． 【解析】解：由韦达定理，得：126x x +=，123x x =-．（1）原式=12122x x x x +=-； （2）原式()()()1212126x x x x x x =+-=-=±6=±=±•=±（3）原式=()21212242x x x x +-=； （4）原式12x x -．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用．【例25】 已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x -+=两个根，求这个直角三角形的周长． 【答案】7．【解析】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ，且c 是斜边长，由题知，4a b +=，72ab =， 由勾股定理，可得：222c a b =+，所以3c =，所以直角三角形的周长7a b c ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．【例26】 已知方程：240x x a -+=的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围． 【答案】3a <．【解析】解：设方程的两根为1x ，2x ，由13x >，23x <，可得：()()12330x x --<，即()1212390x x x x -++<，而由韦达定理可得124x x +=，12x x a =， 所以3490a -⨯+<，即3a <．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用．【例27】 已知2212510520.1m m n n mn n m--=+-=≠+，，求的值． 【答案】5-．【解析】由22510m m --=，可得：25120m m --=，整理得：21520m m+-=， 又由于2520n n +-=，所以可知1m、n 是方程2520x x +-=的两根， 由韦达定理，可得：15n m+=-． 【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．【例28】 已知αβ，是方程：2240x x --=的两根，求代数式3+8+6αβ的值． 【答案】30．【解析】由题及韦达定理可得：2240αα--=，2αβ+=，得：224αα=+． 3+8+6αβ=286ααβ⋅++=()2486ααβ+++=22486ααβ+++ =()224486ααβ++++=()81430αβ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，运用了降次等的思想方法．【习题1】 完成下列填空：（1）2222_____(__)x x x -+=-； （2）2(2_____)______________1y -=+； （3）223_______93(____)x x ++=+．【答案】（1）2，2；（2）1，244y y -；（3）63x ，3． 【解析】略【总结】本题考查了完全平方式的应用．【习题2】 完成下列填空： （1） 对于方程232x x =，用____________法解比较好，其根为______________； （2） 对方程2(21)4x -=，用____________法解比较好，其根为______________； （3）对方程22360x x --=，用___________法解比较好，其根为_______________．【答案】（1）因式分解，12203x x ==，；（2）直接开平方，121322x x =-=，； （3）公式法，1235735744x x +-==，． 【解析】略【总结】本题考查了一元二次方程的解法，要灵活运用．【习题3】 已知2+20x ax a +-=的两根互为倒数，则a 的值为________． 【答案】3．【解析】由韦达定理得，121x x =，即21a -=，得：3a =． 【总结】本题考查了韦达定理的应用．【习题4】 用指定的方法解下列方程：（1）20(0)ax bx a -=≠（因式分解）；（2）2249610()x a a a -+-=为已知数（直接开平方）；随堂检测（3）25690x x +-=（配方法）；（4）2340x -=（求根公式）．【答案】（1）120b x x a ==，；（2）12311322a ax x --==，；（3）12x x =；（4）12x x ==【解析】（1）由题知()0x ax b -=，所以原方程的解为：120bx x a==，；（2）原方程可变形为：()()22231x a =-，得()231231x a x a =--=-或，所以原方程的解为：12311322a ax x --==，；（3）26955x x +=，22263935555x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2354525x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，35x +=，所以原方程的解为：12x x ==；（4）由题知23,4,450a b c b ac ===--=，得：x =，所以原方程的解为：12x x == 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【习题5】 用适当的方法解下列方程：（1）21x x -=；（2）22(23)3(23)0x x ---=；（3）2320x -+=； （4）2(35)5(35)40x x +-++=．【答案】（1）12x x =；（2）123924x x ==，；（3）12x x =（4）124133x x =-=-，．【解析】（1）由题知211145a b c b ac ==-=-=-=，，， 所以，所以原方程的解为：12x x ==； （2）由题知()()2322330x x ---=⎡⎤⎣⎦，()()23490x x --=，所以原方程的解为：123924x x ==，；（3）由题知)220-+=，得：20=，所以原方程的解为：12x x ==（4）由题知()()3513540x x +-+-=，得：()()34310x x ++=，所以原方程的解为：124133x x =-=-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【习题6】 解关于x 方程：（1）2221x ax a -+=； （2）20x px q -+=． 【答案】（1）1211x a x a =+=-，；（2）略．【解析】（1）()21x a -=，1x a -=±，所以1211x a x a =+=-，；（2）由20x px q -+=，配方得：22222p p x px q ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得：22424p p q x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．①当240p q ->时，解得：x =②当240p q -=时，解得：122p x x ==； ③当240p q -<时，原方程无实数根．综上， ①当240p q ->时，解得：12x x ==； ②当240p q -=时，解得：122p x x ==-； ③当240p q -<时，原方程无实数根．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意对含字母系数的方程的分类讨论．【习题7】 如果2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，求n 的值． 【答案】2．【解析】令2296(1)5x n x n -+++=0，则()29615a b n c n ==-+=+，，， 得：()()222436136572144b ac n n n -=+-+=-， 因为2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，所以240b ac -=，即721440n -=，所以2n =．【总结】本题考查一元二次方程240b ac -=时，代数式()20ax bx c a ++≠是完全平方式．【习题8】 用配方法说明：不论x 为何值，代数式257x x -+的值总大于0，再求出当x 为何值时，代数式257x x -+有最小值，最小值是多少？ 【答案】略．【解析】22222555357572224x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于任意的x ，都有2502x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以2533244x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即253024x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以257x x -+的值总大于0；当52x =时，代数式257x x -+有最小值，且最小值为34． 【总结】本题考查用配方法解决一些最大值最小值问题，是后面学习二次函数最大值最小值的基础．【习题9】 已知关于x 的方程2(1)(21)30()m x m x m m -+-+-=为实数有两根12x x ，，其中1200x x ><，且12||||x x >，求m 的取值范围．【答案】112m <<． 【解析】因为方程有两根，所以10m -≠，即1m ≠；由韦达定理，可得：12121mx x m -+=-， 1231mx x m -=-，因为1200x x ><，且12||||x x >，所以120x x +>，120x x <， 即1230011m m m m --><--且，解得：112m <<． 【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．【习题10】 解方程||3||20x x x -+=．【答案】1212x x ==，，3x =． 【解析】由题知：0x ≠，分两种情况讨论：（1）当0x >时，原方程转化为2320x x -+=，解得：1212x x ==，，都符合；（2）当0x <时，原方程转化为2320x x --=，解得()120x x =>=舍，．综上，原方程的根为1212x x ==，，3x ． 【总结】本题结合一元二次方程和绝对值方程，分类讨论解方程．【习题11】 已知关于x 的方程2(1)0k x px k --+=有两个正整数根，求整数k 和p 的值． 【答案】23k p ==，．【解析】设12x x 、是原方程的两根，因为12x x 、是正整数根，所以121200x x x x +>>，且都是正整数，由韦达定理，得：121211p k x x x x k k +==--，，所以1k k -是正整数， 所以111111k k k -+=+--是正整数，即11k -是正整数，所以2k =， 代入原方程可得：220x px -+=，方程的两根为1212x x ==，，所以3p =． 【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合．【习题12】 已知实数a b ≠，且满足2(1)33(1)a a +=-+，23(1)3(1)b b +=-+，求 【答案】23-．【解析】因为a 、b 是方程()()21331x x +=-+，即2510x x ++=的两根， 所以由韦达定理，可得：51a b ab +=-=，，所以00a b <<，．所以2b a a b ⎛--=-+= ⎝ 代入可得：原式=23-．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=-，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察，另外化简二次根式时注意符号的变化．【作业1】 已知代数式239x x m -+是一个完全平方式，则m =_____________．【答案】274．【解析】因为代数式是一个完全平方式，所以2481120b ac m -=-=，解得：274m =． 【总结】本题考查了完全平方式的知识，可用配方法，也可用根的判别式来解决问题．【作业2】 以下说法正确的有几个：（1）方程20x =，有两个根；（2）方程24x x =两边同除以x ，解得方程的解为4x =；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程21()2x x -=-无解；（4）对于方程22(1)(3)x x -=+，因为无论x 取何值，1x -和3x +都不可能相等，所以方程无解．【答案】只有（1）正确．【解析】（1）120x x ==；（2）方程的解为1240x x ==，；（3）方程化简整理，得：214x =-，虽然此方程无解，但是题目中给出的原因是错误的；（4）原方程可化为1313x x x x -=+-=-+或（），所以方程有解． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法及根的情况．课后作业【作业3】 如果12x x ，是方程25750x x -+=的两根，求下列各式的值： （1）1211x x +；（2）2212x x +． 【答案】（1）75；（2）125-．【解析】由韦达定理得1212715x x x x +==，．（1）原式=121275x x x x +=；（2）原式=()212121225x x x x +-=-．【总结】本题考查了韦达定理的应用．【作业4】 用适当的方法解下列方程：（1）249x =；（2）23210x x -=； （3）22350x x --=； （4）2(4)5(4)x x -=-； （5）23420x x --=；（6）2(1)5(1)40y y -+-+=．【答案】（1）1277x x ==-，；（2）1270x x ==，；（3）12512x x =-=，；（4）1249x x ==，；（5）12x x =6）1203y y ==-，． 【解析】（1）直接开平方，得：1277x x ==-，；（2）由题知()3210x x -=，得：1270x x ==，； （3）由题知()()1250x x +-=，得：12512x x =-=，； （4）由题知()()490x x --=，得：1249x x ==，；（5）由题知2342440a b c b ac ==-=--=，，，则，得：12x x ==； （6）由题知()30y y +=，得：1203y y ==-，．【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业5】 用适当的方法解下列方程：（1）224(2)(31)0x x ---=；（2）2(31)3(31)20x x ---+=；（320-=； （4）212205250x x --=．【答案】（1）1213x x ==-，；（2）12213x x ==，；（3）12x x =（4）12153526x x ==-，．【解析】（1）因式分解得：()()()()223122310x x x x -+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()5530x x ---=， 所以原方程的解为：1213x x ==-，；（2）由题知()()32330x x --=，所以原方程的解为：12213x x ==，；（3）由题知2450a b c b ac ===--=则，得x =，所以原方程的解为：12x x ==（4）由题知()()2156350x x -+=，所以原方程的解为：12153526x x ==-，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业6】 用适当的方法解下列关于x 方程：（1）22+21()x ax a a +=为已知常数；（2）2220()x ax a a +-=为已知常数； （3）22320()x xb b b --+=为已知常数．【答案】（1）1211x a x a =-=--，；（2）122x a x a ==-，；（3）1223bx b x =-=，． 【解析】（1）由题得：()21x a +=，所以1x a +=±，所以原方程的解为：1211x a x a =-=--，； （2）因式分解，得：()()20x a x a -+=，所以原方程的解为：122x a x a ==-，； （3）因式分解，得：()()320x b x b +-=，所以原方程的解为：1223bx b x =-=，． 【总结】本题考查一元二次方程的解法，要能灵活应用简便方法解方程．【作业7】 若2+317=0x x αβ-，是方程的两个根，求2+2ααβ-的值． 【答案】20．【解析】由韦达定理，得：317αβαβ+=-=-，． 原式=()()231717320αααβαβ+--=-+=--=． 【总结】本题考查了韦达定理的应用以及整体代入思想的运用．【作业8】 已知关于x 的方程2(1)31(1)x m mx x mx -+=+-（）（）有一个根是0，求另一个根及m 的值．【答案】另一根为1x =，m 的值1-．【解析】原方程可整理为()()110mx x m +---=，得：1211x x m m=-=--，．因为10m-≠，所以10m --=，解得：1m =-，代入可得方程的另一根为1x =． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程，并考查了分式的意义．【作业9】 已知22620(0)mm mn n n n--=≠，求的值． 【答案】1223-或．【解析】由0n ≠可将原方程化简为：2620m mn n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，令m x n =，可得：()()21320x x +-=，解得：121223x x =-=，，即121223m m n n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 【总结】本题考查一元二次方程的应用，合理利用可节省解题时间．【作业10】 解关于x 的方程25||30x x --=．【答案】12x x == 【解析】原方程可变为2530x x --=，由题知2513461a b c b ac ==-=--=，，，则，得x =，所以x，得：12x x == 【总结】本题考查一元二次方程的解法，还有绝对值方程的解法．【作业11】 已知方程22120x x --=的两根是αβ，，设1=+C αβ，222=+C αβ，．．．，=+n n n C αβ（n 是正整数）．（1） 求3C 的值；（2） 求证：11=2C 12n n n C C +-+ ． 【答案】（1）80；（2）略．【解析】由题知：212αβαβ+==-，．（1）()()33223212212C αβααββααββ=+=+=+++()222212αβαβ=+++()()22212αβαβαβ⎡⎤=+-++⎣⎦()222212122⎡⎤=-⨯-+⨯⎣⎦80=；（2）()11122n n n n n n C C αβαβ+++-=+-+()2121112n n n n ααββααββ----=+-+ ()()212122n n αααβββ--=-+-111121212n n n C αβ---=+=，得证． 【总结】本题考查了一元二次方程的根与一元二次方程之间的关系，要灵活应用，并要掌握降次的方法．。

一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程?哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x -++=；（3）()()3210x y --=； （4）42=0x x-；（5）21323x x -=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +-=+；（8）2(3)8(3)a x a -=≠．【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例2】 当k ________时，方程2(3)60k x kx --+=一元二次方程． 【答案】3k ≠．【解析】令二次项系数不为0，即30k -≠，解得：3k ≠． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________．【答案】230x x +=， 1， 0． 【解析】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0． 【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念．【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3-，且有一个根是1-的一元二次方程． 【答案】2340x x --=等．【解析】一次项为3x -，二次项系数任意定，再把1x =-代入用常数项配凑．例题解析【总结】本题考查了一元二次方程项与系数的相关概念以及方程的根的概念．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx -++=有一个根是1x =-，求m 的值． 【答案】4m =．【解析】将1x =-代入的：(21)350m m --+=，解得：4m =． 【总结】本题考查了方程的解得概念．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +-=-+是一元二次方程．【答案】0或－1． 【解析】 整理得：212(3)20mmx x m x +-+--=① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x -+--=， 由21210m m ⎧+=⎨-≠⎩， 解得：1m =-；② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x -+--=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =-或．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +-+=．（1）方程为一元二次方程，a 的取值是? （2）方程为一元一次方程，a 的取值是? 【答案】（1）1a =-； （2）0a =． 【解析】（1）令21210a a ⎧+=⎨-≠⎩， 解得：1a =-；（2）令211150a a ⎧+=⎨-+≠⎩，解得：0a =．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【答案】a b 、异号或0a =且0b =．【解析】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程， 当a b 、异号时，原方程有实数根；（2）当0a =时，原方程为等式，当0b =时，原方程有无数解； 综上：当a b 、异号时或0a =且0b =时，原方程有实数根． 【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c -+=，20a c -+=，试求方程的解．【答案】122x x =-=，【解析】由2(2)(2)0a b c -+-+=，2((0a b c ++=，得：原方程的解为：122x x =-=，【总结】本题考查了方程的解得概念．【例10】 已知方程2510mx nx -+=和2340mx nx +-=有共同的根2，试求n 的值．【答案】2132n =．【解析】把2x =代入得： 202104640m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，②×5－①得：32210n -=解得：2132n =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系．【答案】1a b +=-．【解析】设这个公共根是m ，则2200m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，将两个方程相减得：()()0a b m b a -+-=， 解得：1m =，将1m =代入原方程得：1a b +=-． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【例12】 若a 是方程220x x --=的一个根，则代数式2a a -的值是_______． 【答案】2．【解析】由已知，得：220a a --=， 移项，得：22a a -=．【总结】本题考查了方程的解得概念以及整体代入思想的运用．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +-+-=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】由已知得：2322a b a b +=⎧⎨-=⎩；2321a b a b +=⎧⎨-=⎩；2320a b a b +=⎧⎨-=⎩；1322a b a b +=⎧⎨-=⎩；0322a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【例14】 已知a 是方程220000x x --=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示． 【答案】2a +．【解析】由已知，得：220000a a --=，两边同时除以a ，得：200010a a --=，20001a a∴=+． 2000320001a∴=++原式20003a =+200021a =++2a =+． 【总结】本题考查了方程的根的概念．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x -=的根是____________； （2） 方程280x x -=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k -=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________．【答案】（1）1231x x ==-，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x a x a =，． 【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x -=± (8)0x x -=① 12x -= ②12x -=- ①0x = ②80x -=∴1231x x ==-，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥．直接开平方：x a -=① x a -= ②x a -=∴12x a x a ==，．【总结】本题考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】D【解析】将x n =代入方程得：20n mn n ++=，即：(1)0n m n ++= ∵0n ≠， ∴10m n ++=， ∴1m n +=-， 故选择D ．【总结】本题考查了方程的解的概念．【例17】 方程：2331()()()0442x x x -+--=的较小的根是（） A ．34B ．34-C ．12D ．58【答案】A【解析】提公因式，得：331()()0442x x x --+-=，整理得：35()(2)044x x --=，∴123548x x ==，，∵3548> ，故选择D ． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x -=；（2）(3)(3)9x x +-=．【答案】（1）12x x =2）12x x ==-． 【解析】（1）2325x = （2）299x -=2310x =218x =x = x =±∴12x x = ∴12x x ==-． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x -=-．【答案】（1）120x x ==，； （2）12337x x ==，．【解析】（1）(30x x -= （2）7(3)3(3)x x x -=-①0x = ②30x -= 7(3)3(3)0x x x ---=∴120x x ==， (3)(73)0x x --= ① 30x -= ②730x -=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x -+=；（2）22((1x =+．【答案】（1）1218x x ==；（2）1211x x ==--， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法21()08x -= (1x =±+108x -= ①1x += ②(1x +=-+∴1218x x ==； ∴1211x x ==--， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=；（2）2(41)10(14)240x x -+--=． 【答案】（1）1235136x x ==-，； （2）1213144x x ==-，．【解析】（1）因式分解法 （2）把41x -看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x -+= 2(41)10(14)240x x ----= ①36350x -= ②10x += (4112)(412)0x x ---+= ∴1235136x x ==-，； (413)(41)0x x -+= ① 4130x -= ②410x +=∴1213144x x ==-，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．【例22】 解关于x 的方程：2249x =．【答案】1x =，2x =．【解析】直接开平方：3x =±① 3x = ②3x =-解得：1x =，2x = ． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b -+-=； （2）22222()4()0a b x abx a b ----= （3）222210m x mx x mx -+-+=． 【难度】★★★【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =-；（2）当a b ≠时，1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； 当0a b =±≠时， 0x =；当0a b ==，原方程有无数解；（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，211x m =-；当0m =时，1x =-； 当1m =时，1x =． 【解析】（1）22220x ax a b -+-=， [()][()]0x a b x a b -+--=， ∴1x a b =+，2x a b =-；（2）①当220a b -≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b ----= [()()][()()]0a b x a b a b x a b --+++-= ∴1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； ②当220a b -=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =；③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解； （3）整理得：22()(12)10m m x m x -+-+=① 当20m m -≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程1(1)1mx m x---[1][(1)1]0mx m x ---= ∴11x m=，211x m =-；②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =-； ③当1m =时，原方程为：10x -+=，解得：1x =；综上：当01m m ≠≠且时，11x m=，211x m =-；当0m =时，1x =-； 当1m =时，1x =；【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．【例24】 已知关于x 的一元二次方程22(320m x x m -++-=的一个根为0，求m 的值．【答案】m =【解析】由已知得：0m ≠，即m ≠ 将0x =代入，得：220m -=解得：m =．又m ≠∴m =【总结】本题考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，对于二次项系数是参数的一元二次方程首要考虑的是二次项系数不为0，再根据题意进行计算．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a -=≠；（2）25||60x x --=．【答案】（1）当a c 、同号时，12x x == 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==-，．【解析】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2560x x --= ∴2cx a=(6)(1)0x x -+=当a c 、同号时，12x x == ∵10x +> ∴60x -= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==-，． 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠． 【答案】121x x a b a b==+-，． 【解析】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠ [()1][()]0a b x x a b ---+=∴121x x a b a b==+-，． 【总结】本题考查了含参的一元二次方程的解法，多利用因式分解法，个别不能用因式分解法进行求解的题目可以尝试我们下节课学习的求根公式法．【例27】 方程2(2016)2015201710x x -⋅-=的较大的根是a ，方程2201620170x x --=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值． 【答案】0．【解析】2(2016)2015201710x x -⋅-= 2201620170x x --= 222016(20161)(20161)10x x --+-= 20171x x-2222016(20161)10x x ---= (2017)(1)0x x -+=2(20161)(1)0x x +-=∴1220171x x b ==-=，；∴122112016x x a =-==，；∴2017()0a b +=．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，要从系数中找寻规律进行求解．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x -= B ．210x x ++= C ．211x x ++=D ．221x x x +=-【答案】B【解析】A 选项是分式方程；C 选项等号左边不是整式，不是一元二次方程，是下学期将会 学到的无理方程；D 选项化简后为10x +=是一元一次方程；故选择B 选项． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题2】 关于x 的方程2(3)10m x mx +-+=是不是一元二次方程? 【答案】不一定．【解析】当30m +≠即3m ≠-时，原方程是一元二次方程； 当30m +=即3m =-时，原方程是一元一次方程． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +-+-=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________．【答案】121412k kx k ≠-+--；；；．【解析】略．随堂检测【总结】本题考查了一元二次方程的概念，注意写项和系数时要带着前面的符号．【习题4】 若方程2()0x a b -+=有解，则b 的范围是_______． 【答案】0b ≤．【解析】移项，得：2()x a b -=-， 由方程有解，得：0b -≥，∴0b ≤． 【总结】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程有实数解的条件．【习题5】 关于x 的方程20x nx m ++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A ．00m n ==，B ．00m n =≠，C ．00m n ≠≠，D ．00m n ≠=，【答案】B【解析】将0x =代入，得：0m =当00m n ==，时，120x x ==，与题意矛盾， 故00m n =≠，，选择B ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题6】 方程2243x x a ==与的解相同，求a 的值． 【答案】12．【解析】由已知得两个方程是同一个方程，将24x =左右两边同时乘以3，得：2312x =， ∴12a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x -+=+（直接开平方）； （2）20ax abx bc cx --+=（0a ≠）（因式分解）．【答案】（1）12485x x ==， ；（2）12cx x b a=-=， ．【解析】（1）29(44)4(1)x x x -+=+ （2）∵0a ≠,原方程为一元二次方程 229(2)4(1)x x -=+ 整理得：2()0ax ab c x bc ---= 3(2)2(1)x x -=±+ax c xb-① 3(2)2(1)x x -=+ ②3(2)2(1)x x -=-+ ()()0ax c x b +-= 解得：12485x x ==，； 解得：12cx x b a=-=，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =； （2）2x x =； （3）(3)(1)5x x +-=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠．【答案】（1）1211x x =-=-； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =-=，； （4）121c bx x b a-==-，．【解析】（1）(1x =±- （2）20x x -=① 1x ②(1x - ， (1)0x x -=，解得：1211x x =-=-； 解得：1201x x ==，；（3）整理得：2235x x +-= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程， 2280x x +-=， 2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠， (4)(2)0x x +-=，()()1b a xc b x----解得：1242x x =-=，； [()()](1)0b a x c b x ----=， 解得：121c bx x b a-==-，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx --=+-=和有共同的根是1-，求a 的值． 【答案】1a =．【解析】将1x =-代入，得：310250a b a b +-=⎧⎨--=⎩，① ×2+②，得：770a -=， 解得：1a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x -+-=． 【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x -=--，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x -=+---， 2(2016)(2014)(2016)x x x -=--， 2(2016)(2014)(2016)0x x x ----=， (2016)(40302)0x x --=， 解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．【习题11】 已知：若224250a a b b -+-=成立，求方程20ax bx c +=的解．【答案】12312x x =-=，．【解析】由已知，得：22(2)(1)30a b c -+-+-=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +-=，分解因式，得： (23)(1)0x x +-=． 解得原方程的解为：12312x x =-=，．【总结】本题考查了几个非负数的和为零的应用和一元二次方程的解法．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【答案】略．【解析】设这个公共根是m ，则222000am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=． ∵22131()024m m m ++=++>，∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．【总结】本题综合性较强，主要考查了几个方程的公共根的概念及应用．课后作业【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a -=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +-=+D 232057x +-= 【答案】B【解析】A 、C 、D 选项均符合定义，B 选项中未强调二次项系数不等于0，故选择B ． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=-+是恒等式，则a b c ++=____________． 【答案】（1）222(1)(1)x x x -+=+； 240x x -=； （2）－10．【解析】（1）根据题意得：222(1)(1)x x x -+=+ 化简，得：240x x -=；（2）化简得：2(1)(1)(12)0a x b x c -+-++= 由题意，得：1112a b c ===-，，， ∴10a b c ++=-．【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式及应用．【作业3】 方程22(2)0p x px q -++=是一元二次方程成立的条件是（）．A ．p ≠B ．p ≠C ．p ≠D ．0p =【答案】C【解析】令220p -≠，解得：p ≠．【总结】本题考查了一元二次方程成立的条件．【作业4】 如果方程2(1)0x m x m -++=的两个根互为相反数，那么有（）．A ．0m =B ．1m =-C ．1m =D ．以上结论都不对【答案】B【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x -=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；② 设方程的根为12x a x a ==-，，（0a ≠）代入得：22(1)0(1)0a a m m a a m m ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =-．【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=-+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0 B ．-1，0 C ．1，-1 D ．无法确定【答案】C【解析】由已知得：22110(1)(1)0a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+-+=⎪⎩，1211x x ∴==-，，故选择C ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x +-+； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x -++-+=； （3）2(35)5(35)40x x +-++=； （4）2220()x ax a a +-=为已知常数．【答案】（1）121x x ==， （2）12x x ==-；（3）124133x x =-=-，； （4）122x a x a =-=，．【解析】（1）2(1(30x x +-+=， （2）整理得：22640x -=，[(11](0x x +--=， 232x =，解得：121x x ==， 解得：12x x ==-；（3）2(35)5(35)40x x +-++= （4） 2220()x ax a a +-=为已知常数351354x x +-+-2x a xa-(351)(354)0x x +-+-=， (2)()0x a x a +-=解得：124133x x =-=-，； 解得：122x a x a =-=，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++-=的一个根，求n 的值．【答案】n =【解析】将1x =代入得：21250n ++-=， 解得：n = 【总结】本题考查了方程的根的概念．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x --+-=+． 【答案】 ①当2b a b a ≠-≠且时，122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ②当20b a =-≠时，43x =； ③ 当0b a =≠时，23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解．【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b ----+-=2a b ab-2a b ab-22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +----+=；①当(2)()0a b a b +-≠时，即2b a b a ≠-≠且时，原方程为一二次方程，(2)()()(2)a b x a b a b x a b ++---[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++---= 解得：122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ②当20b a =-≠时，原方程为22340a x a -+=，解得：43x =； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a --=，解得：23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解；综上：①当2b a b a ≠-≠且时，122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ② 20b a =-≠时，43x =； ③当0b a =≠时，23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解． 【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值． 【答案】0．【解析】由已知得：2112220ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．【总结】本题考查了方程的解得概念．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【答案】67x y +=-或．【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++-=67x y x y+-+(6)(7)0x y x y +-++= 解得：67x y +=-或． 【总结】本题考查了特殊方程的解法．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +--++=是一元二次方程．【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =-⎧⎨=⎩；12m n =-⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩．【解析】由已知得：2122210m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪-≠⎩；2122010m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪-≠⎩；21122m n ⎧+=⎨-=⎩；21022m n ⎧+=⎨-=⎩；解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =-⎧⎨=⎩；12m n =-⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．。

一元二次方程的解法（二）3、公式法适用范围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根4、分解因式法适用范围：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

解下列方程．（1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=0上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方式解一元二次方程。

１．四个人打麻将，突然着火了，他们都没有注意到。

消防员赶到了，冲里面大喊道：里面有多少人？这时，刚好有一个人出牌：四万！消防员又问：死了多少人？这时，又有一个人出牌：两万！消防员大惊，慌忙问道：剩下的人呢？只听哗啦一声，紧接着，传了一声尖叫：糊了。

例1、已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a ---例2．用公式法解下列方程．（1）4x 2-3x+2=0例3．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m-1）12+m x +（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元一次方程m 是否存在？若存在，请求出．例4．解方程（1）4x 2=11x （2）（x-2）2=2x-4解：例5．已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab+--的值． 解：原式=例6．解方程：0)3(2)3(2=-+-x x x一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=362-±B ．x=362±C ．x=332-±D ．x=3232± 2．下列命题①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、综合提高题1．已知（x+y ）（x+y-1）=0，求x+y 的值．2.已知关于x 的方程：02)1()1(22=-++-x k x k（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根。