【新课标】2018年最新沪教版(五四制)八年级数学下册同步练习：梯形

2017-2018学年（新课标）沪教版五四制八年级下册22.2 平行四边形一、课本巩固练习1、如图所示，ABCD中，M,N,P,Q分别为AB,BC,CD,DA上的点，且AM=BN=CP=DQ,求证四边形MNPQ 为平行四边形。

2、如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．求证：四边形AFCE是平行四边形。

思考：若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．二、基础过关一、判断题1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形。

（ ）2.在四边形ABCD 中，如果AB=BC ，CD=AD,那么四边形ABCD 一定是平行四边形。

（ ）3.如果在四边形中，有一组对边平行且相等，那么这个四边形一定是平行四边形。

（ ）4.若在四边形中，一组对边相等，另一组对角相等，那么此四边形一定是平行四边形。

（ ）5.如果四边形的一条对角线把四边形分成两个全等的三角形，那么此四边形一定是平行四边形。

（ ）6. 有两组内角分别相等的四边形一定是平行四边形。

（ ）7．如图，在ABCD 中，AC 为对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足， 求证：BE ＝DF ．8、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

9. 如图，在Rt △ABC 中， ∠BAC=90°，延长BA 到D ，使AD=AB 21,点E,F 分别为边BC ，AC 的中点。

1）求证：四边形AEFD 是平行四边形。

2）若BC=10cm,求DF 的长。

3）若BC=10cm ，且∠C=30°，求四边形AEFD 的面积。

10、已知：如图43-1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm。

1．掌握等腰梯形的性质定理、判定定理，并能应用这些定理进行计算和证明；2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容，归纳总结梯形的性质与判定． 1．在箭头上填上适当的条件2．回顾等腰梯形的性质与判定，完成下表：边 角 对角线 对称性等腰梯形 两底平行 两腰相等同底上的两底角相等对角线相等轴对称等腰梯形的判定方法 边 两腰相等的梯形 角 同底上两底角相等的梯形 对角线对角线相等的梯形练习一组对边平行，另一组对边不平行有一个角是直角两腰相等四边形梯形直角梯形等腰梯形1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，有如下四个结论：①AC ＝BD ； ②AC ⊥BD ； ③等腰梯形ABCD 是中心对称图形； ④△AOB ≌△DOC ．则正确的结论是（ ） A 、①④ B 、②③ C 、①②③ D 、①②③④2．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝65°，∠C ＝75°，则∠D ＝________，∠A ＝_______．3．如图，在梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠B ＝60°，AC ⊥AB ，那么∠ACD ＝ ___ ___．参考答案：1．A ； 2．105°，115°； 3．30°．（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：已知：如图，AM 是△ABC 的中线，D 是线段AM 的中点，AM ＝AC ，AE ∥BC ． 求证：四边形EBCA 是等腰梯形．证明：∵AE ∥BC ，∴∠AED ＝∠MCD ，∠EAD ＝∠CMD ．∵AD ＝MD ，∴△AED ≌△MCD ． ∴AE ＝CM ．∵BM ＝CM ，∴AE ＝BM ．∴四边形AEBM 是平行四边形． ∴EB ＝AM ．而AM ＝AC ，∴EB ＝AC ．∵AE ∥BC ，EB 与AC 不平行，∴四边形EBCA 是梯形． ∴梯形EBCA 是等腰梯形．例题2：（1）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，其中AB ＝4，CB ＝8，AD ＝2，则腰CD 的取值范围是__________．参考答案：210CD <<（平移一条腰，构造平行四边形和三角形）（2）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且∠B ＋∠C ＝90°，E 、F 分别是两底的中点，联结EF ，若AB ＝8，ODABCCDABD B ACEDBAC DMAEBC参考答案：（1）点B 坐标为（4，8）， ()()108041022=-+-=AB由28410105+++=+t ，得t ＝11 ；此时点P 在CB 上（2）证法一：作OF ⊥AB 于F ，BE ⊥OA 于E ，DH ⊥AB 于H ，则 BE ＝OC ＝8．∵ OF AB BE OA ⋅=⋅,∴ 8==BE OF ，DH ＝4． ∴ t t S 2421=⨯⨯=（0≤t ≤10） （3）点P 只能在AB 或OC 上，（ⅰ）当点P 在AB 上时，设点P 的坐标为（x ，y ）由COAB APD S S 梯形41=∆； 得 14521=⨯⨯y ，得y ＝528由 142=t ，得t ＝7； 由 ()495281022=⎪⎭⎫⎝⎛+-x ，得529=x . 即在7秒时有点)535,545(1P ；（ⅱ）当点P 在OC 上时，设点P 的坐标为（0，y ）由COAB OPD S S 梯形41=∆； 得 14521=⨯⨯y ，得y ＝528此时t ＝5216)5288(14=-+； 即在1652秒时，有点)535,0(2P .故在7秒时有点)535,545(1P 、在1652秒时，有点)535,0(2P 使PD 将梯形COAB 的面积分成1:3的两部分．此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

（一） 梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）；不平行的两边叫做梯形的腰；两底之间的距离叫做梯形的高。

（二） 直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

（三） 等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

（四） 等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。

等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形性质定理3：等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴。

（五） 等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形等腰梯形梯形有一个角是直角梯形中几种常见的添加辅助线方法：梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质。

⑴作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理。

如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形，使问题更便于解决。

⑵过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两腰拉到同一三角形中，并且三角形的另一边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中。

⑶延长梯形两腰交于一点：这样做同样可以使梯形问题转化为三角形的问题。

⑷过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形。

⑸连结梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形。

第六讲梯形与梯形有关的计算【例题1】【基础】在等腰梯形中，上底：腰：下底1:2:3=，则下底的度数是多少？【提高、尖子】（2000年3月19日第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第5题）用四条线段：14d=作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形c=，7b=，9a=，13中，中位线的长的最大值为（）。

八年级数学（下）《梯形》同步测试题一、选择题1.等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰长与下底的夹角是（ ）.A.5°B.60° .45° D.30°2.等腰梯形的高是腰长的一半,则底角为（ ）.A.30°B.45°C.60°D.90°3.下列命题中，真命题是（ ）.A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形D.有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形4.如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD=6cm,BD=9cm,AB=8cm,E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，那么四边形EFGH 的周长是（ ）.A.14cmB.15cmC.16cmD.17cm图1 图2 图35.如图2,等腰梯形ABCD,周长为40,∠BAD=60°,BD 平分∠ABC,则CD 的长为（ ）.A.4B.5C.8D.106.下列四边形中，两条对角线一定不相．．等．的是（ ）. A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形7．如图3,等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD 的面积是（ ）. A.1516 B.516 C.1532 D.17168.在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是 （ ）.A B C D9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB>CD ，如果∠D>∠C ，那么AD 和BC 的关系是（ ）A .AD>BCB .AD=BC C .AD<BCD .不能确定10.腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么此梯形的一个底角是（ ）A .30°B .45°C .60°D .75°二、填空题11.直角梯形两底之差等于高，则其最大角等于_______.12.如图4，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=CD，则AC=_______，∠BAD=_____，∠BCD=_____，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为_______．ADB C图413.等腰梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形最多有________对.14.在四边形ABCD中AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需添加的条件是_____（填一个正确的条件即可）15.如图5,梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=9cm,BC=8cm,CD=7cm,M是AD的中点,过M作AD的垂线交BC于N,则BN等于_____cm.2图5 图616.如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，若∠B=60°，AC⊥AB，那么∠DAC= ．3017.如图7，在等腰梯形ABCD中AD//BC，AB=DC，CD=BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E=40°，则∠ACD=____________度.15图7 图818.如图8,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于点O，有如下结论：①∠DAC=∠DCA；②梯形ABCD是轴对称图形；③△AOB≌△AOD；④AC=BD.请把其中正确结论的序号填写在横线上__________.19.等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，BC=BD，则∠A= .20.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8㎝，则AD= .三、解答题21.(12分)如图9,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积.图922.(12分) 如图10，等腰梯形ABCD中，AB//CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求梯形的各个内角.图1023.(14分) 如图11，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.图1124.(14分)如图12，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数．4．图1225.如图13（尺寸单位：㎜）所示甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等，有两种面积相等的矩形铝板可供选用.第一种长500㎜，宽300㎜；第二种长600㎜，宽250㎜.为了充分利用材料，应选第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙零件共个.2答案一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9. A 10.B二、11. 135°; 12. BD ，∠CDA ，∠ABC ，等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的两个角相等; 13. 3; 14. ∠B=∠C 等; 15.2; 16.30°; 17.15; 18.②④. 19.108°； 20.85㎝ 三、21. 解:因为ABCD 是等腰梯形,AD=3cm,BC=5cm,过点A 作AE ⊥BC 于E, 因为∠B=45°,∠BAE=45°,所以BE=AE,BE=21(5-3)=1,所以AE=1,所以 S 梯形ABCD =21(5+3)×1=4(cm 2). 22. 解：因为AB//CD ，DC=AD=BC ，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠DAB=∠B ， 所以∠1=∠2=∠3，所以∠B=∠DAB=∠2+∠3=2∠2，又AC ⊥BC ，所以∠2+∠B=90°，所以∠B=60°，所以∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120°.23. 证明:因为AB//CD,BE=DC,且BE 在AB 的延长线上,所以CD//BE,CD=BE,所以四边形DBEC 是平行四边形,所以CE=DB,因为AD=BC,所以梯形ABCD 是等腰梯形,所以AC=BD,所以AC=CE.24.过点A 作AE//DC 交BC 与E,]∵AD//BC ，四边形AEDC 是平行四边形．∴EC=AD=3，DC=AE ，∴BE=BC-CE=7-3=4．∵等腰梯形两腰相等，∴AB=CD=4,∴AE=AB=BE=4，∴△ABE 是等边三角形，∴∠B=60º．25.选第一种铝板，最多能剪甲、乙两种零件2个，共计4个.剩余边角料面积=500×300－（100+300）×200－（100+300）×150=10000㎜2。

2017-2018学年（新课标）沪教版五四制八年级下册期中试卷八年级数学（满分100分，时间90分钟）题号一二三四五总分得分一、选择. 1. 下列函数中，是一次函数的是（）A．y=x2+2 B．C．y=kx+b（k、b是常数）D．y=x﹣12. 对于一次函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）A．点（﹣1，3）在此函数图象上B． y的值随x值的增大而增大C．图象经过第一、二、三象限D．图象与x轴、y轴的交点分别为（，0），（0，1）3. 下列说法正确的是（）A．x2+3x=0是二项方程B．xy﹣2y=2是二元二次方程C．是分式方程D．是无理方程4. 下列方程中，有实数解的是（）A．=﹣1 B．=﹣x C．D．=0=05. 一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6. 如图，在四边形ABCD 中，若已知AB ∥CD ，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件是（ ）A ． ∠DAC=∠BCAB ． ∠DCB+∠ABC=180°C ． ∠ABD=∠BDCD ． ∠BAC=∠ACD二、填空7. 当x=时，一次函数y=2x ﹣1的值为0．8. 已知一次函数y=（1﹣m ）x+m ﹣2，当m 时，y 随x 的增大而增大． 9. 六边形ABCDEF 的内角和等于 ．10. 平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B=2：1，则∠B 的度数为 ． 11. 解方程﹣=，设y=，那么原方程化为关于y 的整式方程是 ．12. 一次函数的图象过点（0，3）且与直线y=﹣x 平行，那么函数解析式是 ． 13. 方程的根是 ．14. 解关于x 的方程：b(x-1)=x+1 (b ≠1) ，可得x=________. 15. 已知关于x 的方程出现增根，则a 的值等于 .16. 如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．17. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则不等式kx+b＞x+a的解集是．18.一次函数y=﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．则过B、C两点直线的解析式为___________三、简答19. 画出函数y=x﹣4的图像，求出该图像与坐标轴交点的坐标；并写出其向上平移3个单位后的图像的解析式.20. 解方程：．21. 解方程组：．22. 马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．四、解答23. 如图，已知E、F分别为▱ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分．24. 小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．（1）图中a= ，b= ；（2）求小明的爸爸下山所用的时间．25. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y 正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式．（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOM，求P坐标.（3）在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．八年级数学答案一、选择1. B2. D3. B4. C5. A6. A二、 填空7.8. m ＜1 9. 720° 10. 60° 11. 3y 2﹣4y ﹣3=0 12. y=﹣x+3 13. 214.11-+b b15. 16. 1 17. x ＜﹣2 18. 371+=x y 三、简答19.图准确2分，与x 轴交点（4,0） 与y 轴交点（0.-4）2分，平移后解析式：1-=x y 2分20. 解方程：．解答：解：方程化为， 1’ 两边平方得：， 1’∴，x 2﹣6x+9=15﹣x ，即x 2﹣5x ﹣6=0 2’ x=﹣1或x=6 1’ 经检验，x=﹣1是增根，所以原方程的根为x=6 1’21. 解方程组：．解答：解：由方程②得：（x+y）2=1，x+y=1，x+y=﹣1，2’即组成方程组或，2’解这个两个方程得：或，即原方程组的解为：或．2’22. 马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．解答：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得1’-- +10，3’解得x=80．2经检验，x=80是原方程的根．1’答：马小虎的速度是80米/分．1’23. 如图，已知E、F分别为▱ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分．解答：证明：连接EN、FM，∵EM⊥AC，FN⊥AC，∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，∴EM∥FN，1’∵四边形ABCD是平行四边形，1’∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAM=∠FCN，1’∵DE=BF，∴AE=CF，1’在△AEM和△CFN中∴△AEM≌△CFN（AAS），3’∴EM=FN，∵EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，2’∴EF与MN互相平分．124. 小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．（1）图中a= 8 ，b= 280 ；2’+2’（2）求小明的爸爸下山所用的时间．解答：解：（1）由图象可以看出图中a=8，b=280，故答案为：8，280．（2）由图象可以得出爸爸上山的速度是：280÷8=35米/分，小明下山的速度是：400÷（24﹣8）=25米/分，2’∴小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：（400﹣280）÷（35+25）=2分，∴2分爸爸行的路程：35×2=70米，2’∵小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．∴小明和爸爸下山所用的时间：（280+70）÷25=14分．2’. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A 的直线交y 正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式．（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOM，请直接写出点P的坐标．（3）在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵直线AB的函数解析式y=﹣2x+12，∴A（6，0），B（0，12）．2又∵M为线段OB的中点，∴M（0，6）．1’设直线AM的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故直线AM的解析式y=﹣x+6；2’（2）设点P的坐标为：（x，﹣x+6），∴AP==|x﹣6|，过点B作BH⊥AM于点H，∵OA=OM，∠AOM=90°，∴∠AMO=45°，∴∠BMH=45°，∴BH= 6×=3，1’∵S△ABM=S△AOM，S△AOM=OA•OM=×6×6=18，S△ABP=AP•BH=×|x﹣6|×3，1’∴×|x﹣6|×3=18，解得：x=0或12，2’故点P的坐标为：（0，6）或（12，﹣6）．(3) （6，-6）、（6,6）、（-6,18）每个点1分。

第二十二章 四边形 第3节 梯形 同步测试题一.选择题1.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60°，CD ＝2，则梯形ABCD 的面积是( )A.33B.6C.36D.122．等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝8，AB ＝10，CD ＝6，则梯形ABCD 的面积是( )A.516B.1516C.1716D.15323．如图，平行四边形ABCD 是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是( )．A. 1∶2B. 2∶3C. 3∶5D. 4∶74．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则梯形的面积等于( )A.302cmB.60c 2cmC.902cmD.169c 2cm5.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则下列结论：①EF∥AD；②ABO DCO S S △△；③△OGH 是等腰三角形；④BG＝DG ；⑤EG＝HF ． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝CD ，且AC⊥BD，AC ＝6，则梯形的高为________.8. 如图，G 是△ABC 的重心，DGC S △＝4，S △ABC ＝________.9. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，MN ＝6，则BC ＝_____.10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为______．11.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝7，若E 为DC 的中点，射线AE 交BC 的延长线于F 点，则BF ＝______．12.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝42，∠B ＝45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于_________.三.解答题13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E.(1)求证：梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．14．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD ，BC 的中点，E ，F 分别是BM ，CM的中点．(1)求证：四边形MENF 是菱形；(2)若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论．15．(1)探究新知：如图，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)结论应用：①如图，点M ，N 在反比例函数)0(>=k xk y 的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置，如图所示．请判断MN与EF是否平行．【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】作DE⊥AC于E，由题意，∠DAC＝∠DCA＝30°，DE＝1，AE＝CE3，AD＝DC ＝2，作双高，在Rt△ADF中，DF3，AF＝1＝BG，所以下底AB＝1＋2＋1＝4，面积＝1(24)333 2+=2.【答案】B ；【解析】作双高，解得高＝2282215-=，所以面积为()161021516152⨯+⨯=. 3.【答案】A ；【解析】等腰梯形的上底长等于腰长，可推算出底角＝60°，上底长与下底长的比是1:2.4．【答案】A ；【解析】平移对角线，所得三角形面积就是梯形的面积，三角形面积1125302=⨯⨯=. 5.【答案】D ；【解析】根据梯形的中位线推出①，求出△ABD 和△ACD 的面积，都减去△AOD 的面积，即可判断②；只有等腰梯形ABCD ，才能得出∠OBC＝∠OCB，再根据平行线性质即可判断③；根据三角形中位线推论可得出G 、H 分别为BD 和AC 中点，即可判断④；根据三角形的中位线得出EH ＝FG ，即可得出EG ＝FH ，即可判断⑤．6.【答案】B ；【解析】连接AE ，延长交CD 于H ，可证AB ＝DH ，CH ＝两底的差，EF 是△AHC 的中位线，EF ＝12两底的差，EG ＋FG ＝12两腰的和，故△EFG 的周长是9.二.填空题7.【答案】32；【解析】过D 点作DE ∥AC ，交BC 于E ，作DF ⊥BE 于F ，则∠BDE ＝90°，BD ＝DE ＝AC ＝6，所以DF ＝BF ＝EF ＝6232=.8.【答案】24；【解析】由于G 是△ABC 的重心，可得AG ＝2GD ，BD ＝CD ，根据等高三角形的面积比等于底之比，可求出S △ABD ＝12；同理D 是BC 中点，可得出S △ABC ＝2S △ABD ＝24．9.【答案】8；【解析】∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ∵M 、N 分别是BD 、CE 的中点，∴由梯形的中位线定理得：MN ＝12（DE+BC ）＝12×32BC ＝6，∴BC ＝8． 10．【答案】3；【解析】连接BD ，过D 作DE ⊥BC ，在Rt △DCE 中，CE ＝12，DE ＝3，BE ＝1＋12＝32，所以BD ＝2233()()322+=，因为B 是C 关于MN 的对称点，所以BD 就是PC ＋PD 的最小值.11．【答案】12；【解析】△ADE ≌△FCE ，AD ＝CF ，所以BF ＝5＋7＝12.12.【答案】52或2或423； 【解析】当AB ＝AE 时，CF ＝423-，当AE ＝BE 时，CF ＝52，当AB ＝AE 时，CF ＝2. 三.解答题13．【解析】解：（1）∵AE∥BD，∴∠E＝∠BDC．∵DB 平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠BDC．∵∠C＝2∠E，∴∠ADC＝∠BCD．∴梯形ABCD 是等腰梯形（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）．（2）由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC ＝AD ＝5，∵在△BCD 中，∠C＝60°，∠BDC＝30°，∴∠DBC＝90°．∴DC＝2BC ＝10．14．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB＝CD ，∠A＝∠D．∵M 为AD 的中点，∴AM＝DM ．∴△ABM≌△D CM ．∴BM＝CM ．∵E、F 、N 分别是MB 、CM 、BC 的中点，∴EN、FN 分别为△BMC 的中位线，∴EN＝12MC ，FN ＝12MB ，且ME ＝BE ＝12MB ，MF ＝FC ＝12MC ． ∴EN＝FN ＝FM ＝EM ．∴四边形ENFM 是菱形．（2）解：结论：等腰梯形ABCD 的高是底边BC 的一半．理由：连接MN ，∵BM ＝CM ，BN ＝CN ，∴MN⊥BC．∵AD∥BC，∴MN⊥AD．∴MN 是梯形ABCD 的高．又∵四边形MENF 是正方形，∴△BMC 为直角三角形．又∵N 是BC 的中点，∴MN＝12BC ． 15．【解析】(1)证明：分别过点C ，D 作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ．垂足为G ，H ，如图1，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．图1∴CG ∥DH∵△ABC 与△ABD 的面积相等∴CG ＝DH∴四边形CGHD 为平行四边形∴AB ∥CD.(2)①证明：连结MF ，NE ，如图2，设点M 的坐标为(11,x y )，点N 的坐标为(22,x y )，∵点M ，N 在反比例函数)0(>=k xk y 的图象上，图2∴1122,x y k x y k ==．∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝1y ，OF ＝2x ．∴EFM S △＝111122x y k =；EFN S △＝221122x y k =. ∴EFM EFN S S =△△．由(1)中的结论可知：MN ∥EF ．②如图3所示，MN ∥EF ．图3。

2017-2018学年（新课标）沪教版五四制八年级下册《13.3、13.4》同步测试题（范围：13.3一次函数与一次方程、一次不等式 13.4二元一次方程组的图象解法）一、慎重选择，展示技巧！（每小题4分，共32分） 1.函数y=12-x+3与x 轴的交点的横坐标为（ ）A ．-3B ．6C ．3D ．-6 2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图1所示，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3.如图2，直线y kx b =+与x 轴交于点A （-4，0），则当y ＜0时，x 的取值范围是（ • ）A ．x ＞-4B ．x ＞0C ．x ＜-4D ．x ＜4.已知一次函数y kx b =+的图象如图3所示，则当0＜x ＜1时，y 的取值范围是（ • ）A ．y ＞0B ．y ＜0C ．-2＜y ＜0D ．y ＜-25.如果直线y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为（a ，b ），则下列方程组中解是x ay b =⎧⎨=⎩的是（ • ）A ．3624y x y x -=⎧⎨+=-⎩ B ．3624y x y x -=⎧⎨-=-⎩ C ．3624x y x y -=-⎧⎨+=⎩ D ．3624x y x y -=-⎧⎨-=⎩6.直线AB ∥y 轴，且A 点坐标为（1，-2），则直线AB 上任意一点的横坐标都是 1，我们称直线AB 为直线x=1，那么直线y=2与直线x=-3的交点的坐标是（ ）A ．（-3，2）B ．（2，3）C ．（-2，-3）D ．（-3，-2）7.对于函数y=-x+4，当x ＞1时，y 的取值范围是（ ）A ．y ＜5B ．y ＞5C ．y ＜3D ．y ＞ 3xyO3 2y x a =+1y kx b =+图1 图28.已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，则直线y=2x+1与y=-x+4的交点坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（1，3） C ．（-1，-1） D ．（-1，5）二、精心填空，展示耐心！（每小题4分，共24分）9.关于x 的方程3x+4a=2的解是正数，则a ．10.用加减法解方程组53x y x y +=⎧⎨-=⎩得其解为，则直线y=-x+5和y=x-3的交点的坐标为．•11.已知关于x 的方程ax-5=6的解为x=3，则一次函数y=ax-11与x •轴的交点的坐标为．12.二元一次方程113y x =+和230x y -=的图象的交点的坐标为．13.已知3x-2y=0，且x-1＞y ，则x 的取值范围是．14.直线y=2x+1b 与y=x+2b 的交点坐标是（4，3），则当x_______时，直线y=2x+1b •上的点在直线y=x+2b 上相应的点的上方． 三、全面作答，展示智慧！（共34分） 15.（8分）已知一次函数y 1=-2x+1，y 2=x-2． ⑴当x 分别满足什么条件时，y 1=y 2，y 1＜y 2，y 1＞y 2？⑵在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象，并用自己的话归纳出⑴中的答案与函数图象之间的关系．16.（8分）利用图象法解二元一次方程组：图3124x y y x +=⎧⎨-=⎩．17.（9分）在同一直角坐标系中画出一次函数y 1=-2x+1与y 2=2x-3的图象，并根据图象解答下列问题：⑴直线y 1=-x+1、y 2=2x-2与y 轴分别交于点A 、B ，请写出A 、B 两点的坐标；⑵写出直线y 1=-2x+1与y 2=2x-3的交点P 的坐标；⑶求△PAB 的面积．18.（9分）某学校为改善老师的办公条件，计划购买若干台电脑，现从两个电脑城了解到某品牌同一型号的电脑每台标价都是4000元，但学校集体购买都有一定的优惠．甲电脑城的优惠方法是：第一台按标价收费，其余每台可优惠15%.则甲电脑城的总收费y 1（元）与学校所买电脑的台数x 之间的关系式是．乙电脑城的优惠方法是：每台都优惠12%.则乙电脑城的总收费y 2（元）与学校所买电脑的台数x 之间的关系式是．⑴学校在什么情况下到甲电脑城购买更优惠？⑵学校在什么情况下到乙电脑城购买更优惠？四、自主探索，展示素质！（10分）19.某产品每件的成本是100元，为了解市场对该产品的认可规律，销售部门分别按两种方案组织了试销售，情况如下：方案A：固定以每件140元的价格销售，日销售量为50件；方案B：每天都适当调整售价，发现日销售量y （件）近似是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表所示：x（元）130 140 150 y（件）70 50 30 如果方案B中的第四天的售价为155元、第五天的售价为160元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？备用题：1.张翔有将平时的零用钱节约一些存起来的习惯，他已经存了98元，从现在起每月固定存8元．⑴请写出张翔存款的总数y1（元）与从现在开始的月数x之间的函数关系式；⑵张翔的好朋友李飞以前没有存过零用钱，知道张翔存了98元零用钱后决定从现在起每个月存14元.请你在同一平面直角坐标系中分别画出张翔和李飞的存款总数与月份数的函数关系的图象．一年以后李飞的存款总数是多少？超过张翔了吗？•至少多少个月后李飞的存款总数才超过张翔？2.有两条直线y=kx+b和y=ax+3，学生甲求得它们的交点坐标为（2，-1），学生乙因抄错了a而求得它们的交点坐标为（1，4）.请求出这两条直线的解析式．《13.3、13.4》同步测试题参考答案： 1.B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B 9.＜1210.41x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩11.（3，0） 12.（3，2）13.x ＜-214.x ＞415.⑴当y 1=y 2时，-2x+1=x-2，-3x=-3，所以x=1；当y 1＞y 2时，-2x+1＞x-2，-3x ＞-3，所以x＜1；当y 1＜y 2时，-2x+1＜=x-2，-3x ＜-3，所以x ＞1；即，当x=1时，y1=y2；当x＜1时，y1＞y2；当x＞1时，y1＜y2..⑵y1与y2的图象如图1所示．利用图象也能得出⑴中相同的答案，即两条直线的交点的横坐标就是y1=y2时x的值；直线y1=-2x+1位于直线y2=x-2上方的部分所对应的x 的取值范围就是第2问的答案；直线y1=-2x+1位于直线y2=x-2下方的部分所对应的x的取值范围就是第3问的答案.16.主要步骤是：⑴分别列表得到两个二元一次方程的两组解；⑵分别描点画出两个方程的图象；⑶找到两条直线的交点的坐标；⑷根据坐标写出方程组的解.答案为：12xy=-⎧⎨=⎩．17.①A（0，1）、B（0，-2）；②P（1，-1）；③1.5 .18.y1=4000+（1-15%）×4000（x-1），化简得y1=3400x+600；y2=（1-12%）×4000x，化简得y2=3520x；⑴当y1＜y2时，3400x+600＜3520x，即x＞5.所以当学校所买电脑的台数超过5时，去甲电脑城更优惠．⑵当y1＞y2时，3400x+600＞3520x，即x＜5.所以当学校所买电脑的台数小于5时，去乙电脑城更优惠．19.设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把x=130，y=70和x=140，y=50分别代入函数关系式中，得7013050140k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2330kb=-⎧⎨=⎩.所以，函数关系式为y=-2x+330．当x=155时，y=20；当x=160时，y=10.则方案A的总利润为（140-100）×50×5=10000（元）；方案B的总利润为30×70+40×50+50×30+55×20+60×10=7300（元）．所以，前5天中销售方案A获得的总利润大．备用题答案：1.⑴y1=98+8x；⑵设李飞的存款总数为y2，则y2=14x．图象略．当x=12时，y1=98+12×8=98+96=194；y2=14×12=168．所以一年后李飞的存款总数为168元，还没有超过张翔．当y2＞y1时，14x＞98+8x，x＞1613, 所以，至少17个月后李飞的存款总数才会超过张翔．2.根据题意得231214ak bk b+=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，解得295abk=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以两条直线得解析式分别为y=-5x+9，y=-2x+3.。

【巩固练习】一.选择题1. 某花木场有一块等腰梯形ABCD 的空地，其各边的中点分别是E 、F 、G 、H 测量得对角线AC ＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH 场地，则需篱笆总长度是（ ）A. 40米B. 30米C.20米D.10米2. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝CB ，若∠ABD ＝25°，则∠BAD 的大小是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3. 如果过三角形重心的一条直线将该三角形分成两个直角三角形，则该三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠BCD ＝60°，AD ＝2，AC 平分∠BCD ，则BC 长为( )．A.4B.6C.34D.335. 等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°6. 若一个等腰梯形的周长为30cm ，腰长为6cm , 则它的中位线长为（ ）A. 12cmB. 6cmC. 18cmD. 9cm二.填空题7. 顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________.8. 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，•AD ＝•6cm ，•BC ＝•8cm ，•∠B ＝•60•°，•则AB ＝_______cm ．9. 如图，E 为△ABC 的重心，ED ＝3，则AD ＝______.10．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若AD ＝3，AB ＝4，BC ＝7，则∠B ＝______11.下面图1的梯形符合_____________条件时，可以经过旋转和翻折成图案2．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．14. 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC， BD平分∠ABC，∠A＝60°.过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结EF，求证：△DEF为等边三角形.15. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠ADC＝105°，AD＝6，且AC⊥AB，求AB的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】四边形EFGH是边长为5米的菱形.2.【答案】C ；【解析】由题意，∠ABD ＝∠CDB ＝∠CBD ＝25°，所以∠BAD ＝∠ABC ＝25°＋25°＝50°.3．【答案】C ；【解析】等腰三角形中线和高线重合.4．【答案】B ；【解析】过D 点作DE ⊥AC 于E ，由题意，DE ＝1，AC ＝2AE ＝过A 点作AF ⊥BC 于F ，AF BC ＝2CF ＝2×3＝6.5.【答案】B ；6.【答案】D ；【解析】等腰梯形的上底＋下底＝30－6－6＝18，它的中位线等于11892cm ⨯=. 二.填空题7.【答案】菱形；8.【答案】2；【解析】作双高，在Rt 2.9.【答案】9；【解析】∵E 为△ABC 的重心，ED ＝3，∴AE＝2ED ＝6，∴AD＝AE ＋ED ＝6＝3＝9．10．【答案】60°；【解析】作双高，在Rt 三角形中求得高为2，所以∠B ＝60°.11.【答案】两腰相等且有一角为60度；12.【答案】18°； 【解析】由题意1122PF BC AD PE ===，所以△PEF 为等腰三角形，∠PFE ＝∠PEF ＝18°.三.解答题13．【解析】解：过D 作DH ⊥BC 于H ，∵在直角梯形中，∠C ＝45°，AD ＝1，BC ＝4，∴DH ＝CH ＝BC －AD ＝4－1＝3，∴AB ＝DH ＝3，∵E 为AB 中点，EF ∥DC ∴BE ＝32，∠BFE ＝∠C ＝45° ∴BE ＝BF ，EF ＝.223 14.【解析】证明：因为DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，所以∠ABC ＝∠A ＝60°.又因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝30°因为DC ∥AB ，所以∠BDC ＝∠ABD ＝30°，所以∠CBD ＝∠CDB ，所以CB ＝CD因为CF ⊥BD ，所以F 为BD 中点，又因为DE ⊥AB ，所以DF ＝BF ＝EF由∠ABD ＝30°，得∠BDE ＝60°，所以△DEF 为等边三角形.15．【解析】解： 过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则∠AED ＝∠DEC ＝90°.∵ AC ⊥AB ， ∴ ∠BAC ＝90°.∵ ∠B ＝60°, ∴ ∠ACB ＝30°.∵ AD ∥BC ， ∴ ∠DAC ＝∠ACB ＝30°.∴ 在Rt △ADE 中，DE ＝12AD ＝3，AE ，∠ADE ＝60°. ∵ ∠ADC ＝105°，∴ ∠EDC ＝45°.∴ 在Rt △CDE 中， CE ＝DE ＝3.∴ AC ＝AE ＋CE ＝3+.A D CB E。

八下期末复习---梯形压轴专练1．直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD=CD =4，∠B ＝45°，点E 为直线DC 上一点，联接AE ，作EF AE 交直线CB 于点F ．（1）若点E 为线段DC 上一点（与点D 、C 不重合），（如图1所示），① 求证：∠DAE ＝∠CEF ； ② 求证：AE=EF ； （2）联接AF ，若△AEF 的面积为217，求线段CE 的长．（第26题图1）ＢＡＣＦＤ Ｅ （第26题备用图）ＢＡＣＤ2、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90A ，4==MB AM ，5=AD ，11=BC ，点P 在线段BC 上，点P 与B 、C 不重合，设x BP =，MPD ∆的面积为y （1）求梯形ABCD 的面积（2）写出y 与x 的函数关系式，并指出x 的取值范围 （3）x 为何值时，ABCD MPD S S 梯形41=∆3．（已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=4．E 是直线AD 上一点，连接BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．连接BF ． （1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE=EF ．②设DE=x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域． （2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍？若存在，直接写出DE 的长；若不存在，请说明理由．4．如图，矩形OMPN 的顶点O 在原点，M 、N 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数x y 6=的图像与PN 交于C ，与PM 交于D ，过点C 作CA ⊥x 轴于点A ，过点D 作DB ⊥y 轴于点B ，AC 与BD 交于点G ． （1）求证：AB//CD ；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E ，使以 B 、C 、D 、E 为顶点，BC 为腰的梯形是等腰梯 形？若存在，求点E 的坐标；若不存在请说明理由．5．已知：如图1，在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,EF 是梯形中位线.46AB BC ==，,60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM BC ⊥，垂足为M ，过点M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，联结PN ，设EP x =．① 当点N 在线段AD 上时（如图2），设四边形ABMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；② 当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（第4题图）G OyAxB CD NPMA BCD E F 图1A BCD E F N PM图2A BCD EF PNM 图36．其中第（1）小题5分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值； （3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．7．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，BC = 8，60B ∠=︒，点M 是边BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、CD 上的两个动点（点E 与点A 、B 不重合，点F 与点C 、D 不重合），且120EMF ∠=︒．（1）求证：ME = MF ； （2）试判断当点E 、F 分别在边AB 、CD 上移动时，五边形AEMFD 的面积的大小是否会改变，请证明你的结论；（3）如果点E 、F 恰好是边AB 、CD 的中点，求边AD 的长．DCBAPQ(第6题图)A BCDME F （第7题图）A BCD ME F （备用图）8．如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=AB=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。

（新课标）沪教版五四制八年级下册22.1 多边形一、课本巩固练习1、画出图中多边形的所有对角线。

2、求出下列图中的x值。

3、用图中填辅助线的方法能推导出五边形的内角和的吗？R4、已知一个多边形的每一个内角都是160°，它是几边形？5、如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是多少？6、如果一个多边形的每一个外角都等于20度，那么这个多边形的内角和是多少度？7、在一个多边形中，它的内角中最多有几个是锐角？二、基础过关1、n边形内角和等于1440°这个多边形是几边形？2、如果八边形的每一个内角都相等，则它的一个内角等于多少度？3、n边形由一个顶点可引__________________________条对角线，共有____________条对角线。

4、一个多边形的每一个内角比每一个外角的3倍20°，求这个多边形的内角和。

5、五边形共有______________条对角线。

6、正方形的对角线长为10，它的面积是多少？7、填空题：1.四边形任意相邻内角互补，那么四边形是 。

2.一个四边形的四边长分别是a,b,c,d ，且有)(22222bd ac d c b a +=+++，则此四边形是。

3. 一个多边形的内角和为1440°，则它的边数为4.若平行四边形中有一个内角为90°，则其余三个角的度数之比为： 。

5. 如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm8、已知一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数。

9、已知一个多边形的每个内角都相等，且一个内角比一个外角大36°，求这个多边形的边数。

梯形及中位线内容分析本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．知识结构模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形： 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形． 特殊梯形等腰梯形： 两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1 等腰梯形在同一底上的两个内角相等． 等腰梯形性质定理2 等腰梯形的两条对角线相等． 另外： 等腰梯形是轴对称图形； 【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1 在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． 等腰梯形判定定理2 对角线相等的梯形是等腰梯形．【例1】 （1）在周长为30cm 的梯形ABCD 中，上底CD =5cm ，DE ∥BC 交AB 于点E ，则△ADE 的周长为___________cm ；（2）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACB =90°，且AC 平分∠BAD ，∠D =120°，CD =3cm ，则梯形的周长是_________cm ． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCD【例2】直角梯形一腰长为12cm，这条腰和一个底边所成的角为60°，则另一腰长为___________cm，若上底为3cm，则梯形的面积为__________．【难度】★【答案】【解析】【例3】（1）等腰梯形的两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角为________；（2）等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是_________．【难度】★【答案】【解析】【例4】等腰梯形的高是腰长的一半，则其中的一个底角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【难度】★★【答案】【解析】【例5】如右图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，有下列四个结论：（1）AC=BD；（2）梯形ABCD是轴对称图形；（3）∠ADB=∠DAC；（4）△AOD≌△ABO．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】【解析】AB CDO【例6】 下列图形中，两条对角线一定不相等的是（） A ．正方形 B ．矩形C ．等腰梯形D ．直角梯形【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 下列四边形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．梯形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．矩形【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 如右图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDOABCEF G【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ． 求证：AB =DC ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD相交于点O ，∠1=∠2． 求证：梯形BDEC 是等腰梯形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABDCABDEO 12ABDCE【例14】 如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S=时x 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例15】 已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例16】 如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动.设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域； （2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A BCDQP DCBA解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；② 移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③ 延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直 的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．【例17】 如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB AD CD ===，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】模块二：辅助线知识精讲例题解析 A BCDEABCD【例19】 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A.．2b a + B ．3b a + C ．2b a - D ．3b a -【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥，若两底长分别为a b 、，试列出这个梯形的面积S 用a b 、表示的等式．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BOC =60°，AC =10cm ，求梯形的高DE 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】OABCDABCDFEABCDEO【例23】 如图，在梯形ABCD 中，()0//9012AD BC BC AD D BC CD >∠===，，，45ABE ∠=，若AE =10，则CE =__________．【难度】★★★ 【答案】 【解析】三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．模块三：中位线知识精讲ABC D E【例24】 （1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是 ；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是 ； （3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是 ； （4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是 ； （5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是 ；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是 ； （7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是 ；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是 ； （9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例25】 （1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，DEF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为 ；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例26】 如图，ABC 中，B ∠，C ∠的平分线BE ，CF 相交于点O ，AG BE ⊥于点G ，AH CF ⊥于点H ．（1）求证：//GH BC ；（2）若9AB =厘米，14AC =厘米，18BC =厘米，求GH 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析HGOF ECBA【例27】 如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥，点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图所示，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交OB 于点F ，求证：CE =2OF ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例30】 如图所示，在四边形ABCD 中，CD AB >，E 、F 分别是AC 、BD 的中点．求证：1()2EF CD AB ≥-． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABC DEFA BCD MN OABCDEFOA B CDEFNDC【例31】 如图1所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作AF BD ⊥，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证1()2FG AB BC AC =++．（1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例32】 如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A ．2S +6S =4SB ．1S +7S =4SC ．2S +3S =4SD ．1S +6S =4S【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例33】 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，延长AD 、BC ，分别交FE 的延长线于点H 、G ；求证：AHF BGF ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 有两个角相等的梯形是（）A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．一般梯形D ．直角梯形或等腰梯形 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 下列命题中，真命题是（ ）A ．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B ．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C ．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形D ．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测【习题3】 已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是 ( )A ．78°或120°B ．102°或60°C ．120°或78°D ．60°或120° 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 下列命题，错误命题的个数是 ( ) ①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点； ③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形； ④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图，在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，且AD AB ⊥，4AD =，6AB =．求AC 的长．【难度】★★【答案】 【解析】【习题6】 等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB CD E【习题7】 如图，四边形ABCD 中，AD 不平行BC ，现给出三个条件：①CAB DBA ∠=∠，②AC BD =，③AD BC =．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出ABCD 是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点，5AB =，7CD =．求四边形EFGH 的周长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =4，AD =4，CD=B =60°，∠C =30°，E 为AB 上一个动点(与A 、B 不重合)，EF //CD ，交BC 于点F ，联结DE 、CE . （1）求梯形ABCD 的面积；（2） 设BE =x ，四边形CDEF 的面积为y ，求出y 与x 的函数解析式；（3）是否存在这样的点E ，使四边形CDEF 的面积为梯形ABCD 面积的三分之二． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】BD CAHFE DCBA AB CDEF【习题10】 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27?（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 能识别四边形ABCD 是等腰梯形的条件是 （） A ．AD //BC ， AB =CD B ．∠A ：∠B ：∠C ：∠D =3：2：3:2 C ．AD //BC ，AD ≠BC ，AB =CD D ．∠A +∠B =180°，AD =BC 【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业【作业2】 （1）在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，下底BC 为8cm ，上底AD 为6cm ，∠ADB =60°，那么AC 的长为__________；（2）已知梯形的中位线长为9厘米，上底长是下底长的一半，那么下底的长是__________厘米． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】 若梯形中位线被它的两条对角线分成三等份，则梯形的两底之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 如图所示，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ， 则图中阴影部分的面积等于( )A ．abB ．12abC ．14ab D ．2ab【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB CDEF【作业6】 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ⊥CD ，AB =BC =20，DC =4，AE ⊥BC于E ，求：（1）AE 的长；（2）梯形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 已知，如图在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 是腰BC 的中点，MN ⊥AD ，垂足为点N ，求证：梯形ABCD 的面积为MN AD ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 已知，如图，在△ABC 中，D 、G 分别是边AB 、AC 上的点，且BD =CG ，点M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过M 、N 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图，已知ABC 的周长为1，联结ABC 三边的中点构成第二个三角形，再联结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（ ）A ．12007B ．12008C ．200712D ．200812【难度】★★★ 【答案】 【解析】CB AABCDMNABCD PMNGQ【作业10】 如图，在三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点E 、F 、G 分别是CA 、AB 、BC的中点，EF ：GD =7:3，点M 、N 分别是FG 、ED 的中点，MN =7.5cm ，DE =5cm ，CD =6cm ，求△ABC 的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 如图（1）所示，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是梯形中位线，AB =4，BC =6，60B ∠=；（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，连接PN ，设EP =x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变?若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；② 当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEFGMN【作业12】如图所示，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为x秒．（1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与x的函数关系式，并求S的最大值．（2）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1 : 3的两部分?求出此时点P的坐标．【难度】★★★Array【答案】【解析】。

2017-2018学年（新课标）沪教版五四制八年级下册22.7 平面向量一、选择题1.下列各量中，不是向量的是 （ ）A.浮力B. 风速C. 位移D.密度 2．下列说法中正确的是（ ）A. 相反向量是平行向量B. 平行向量是相等向量C.平行向量的方向相同D.平行向量的方向相反 3．下列说法中错误的是（ ）A. 如果向量b 与向量a 平行，那么存在唯一的实数m 使得a mb =；B. 如果m 、n 为实数，那么a mn a n m )()(=；C. 如果m 、n 为实数，那么a n a m a n m +=+)(；D. 如果m 、n 为实数，那么b m a m b a m +=+)(． 4． 如果CD AB =，那么下列结论中，正确的是（ ） A .DB AC =B.BD AC =C.BC AD =D.CB AD =．5．在Rt △ABC 中，∠C=90º,点D 是斜边AB 的中点，b CA a CB ==,那么CD 等于（ ）A.b a 2121+B.||21||21b a +C.||21b a -D.||21||21b a -． 6.在△ABC 中，→→→→==b CA a BC ,，则→AB 等于（ ）A.→→+b aB.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→b a C.→→-b a D.→→-a b7．在□ABCD 中，O 是对角线的交点,那么._________21=-AC AB 8．如果向量a 、x 满足关系式x x a=+)(3，用向量a 表示向量x ，则x ＝．9．. 计算：)216(31)32(32a b b a---+-=_________．10.已知在 AABCD 中，→→→→==b AD a AB ,，(1)试用→→b a ,表示→→DB AC ,；(2)当→→b a ,满足什么条件时，AC 和DB 垂直； (3)当→→b a ,满足什么条件时，AC 和DB 相等。

11、作图：已知向量,a b ，平行四边形法则作图：a b +；a b -.12、已知AD 是△ABC 的中线，试用,,AB AD AC 表示向量,BD DCDCBAba13、如图，□ABCD 和梯形EFGH 中，EF ∥HG 。

DA CB A ' 梯形经典题：1.梯形ABCD 中，BC AD //， 1=AD ，4=BC ，︒=∠70C ，︒=∠40B ， 则AB 的长为 ．【答案】3.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ´处，若∠A ´BC ＝20°，则∠A ´BD 的度数为（ ）．A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】C .3．杨伯家小院子的四棵小树E F G H 、、、刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形【答案】A .4.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A.17172 B.17174 C. 17178 D.3 【答案】C .5.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =7cm ，AD =18cm ，DC =21cm,点P 从A 开始沿 AD 边向点D 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始，沿CB 向点B 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设移动的时间为ts ,求：（1）t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？解：（1）由PD =CQ ,得18－t =2t ,t =6 ∴当t =6时四边形PQCD 为平行四边形.（2）作DE ⊥BC 于E ，PF ⊥BC 于F ，易证四边形ABED 是矩形，四边形PFED 是矩形，△PFQ ≌△DEC∵CE ＝BC －BE =BC －AD ＝3cm, ∴GF =BC =3cm, ∴CQ －PD ＝6cm ，∴2t －（18－t ）=6, ∴t =8ＦD∴当t=8秒时，四边形PQCD为等腰梯形.6.如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论.证明:(1)由四边形ABCD是等腰梯形可知AB=DC∠BAD=∠CDA∵DC=AD∴AB=AD由AD=DC DE=CF∴AE=DF .易得△ABE≌△DAF∴BE=AF.(2)由全等可知∠EAF=∠ABE,由∠BPF=∠ABE+∠BAP∴∠BPF=∠BAE=120°.7.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．DBA证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC．∵AC=BD，∴DE=BD，∴∠1=∠E∵∠2=∠E，∴∠1=∠2又AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．8.画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．画法：①画ΔABE，使.②延长BE到C使EC=4cm.D EPBACEDCBA③ 分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D ．四边形ABCD 就是所求的等腰梯形．梯形ABCD 周长＝4＋12＋5×2＝26cm ，答：梯形周长为26cm ，面积为24．9.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，对角线AC ⊥BD ，AD ＝4cm ，BC ＝10cm ，求梯形的面积．O A B C DFE解：过D 作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，作DE ⊥BC 于E ．∵四边形ACFD 是平行四边形，∴DF ＝AC , CF ＝AD ＝4．∵AC ⊥BD ，AC ∥DF ，∴∠BDF ＝∠BOC ＝90°．∵AC ＝BD ，∴BD ＝DF ，∴BF ＝BC +CF ＝14，DE ＝21BF ＝7． 10.等腰梯形的两底之差为8，高为4，则等腰梯形的锐角为( )A ．30° B. 45° C ．60° D ．75°解：如图，关键是作辅助线，将AD 平移到BC 上.即CF ＝8，由于等腰△CDF ． DE 是高，所以CE=4．A BCDF E所以△CDE 是等腰直角三角形．故∠C =45°答案选B .11.梯形上、下底长分别是2cm 和7cm ，一腰长为3 cm ，则另一腰x 的长度取值范围是 ．【分析】：如图，要求CD 的取值情况，需先将梯形分成平行四边形与三角形，所以可求得DF ＝3，EC ＝5，故的范围可在△CDE 中求出．DC A 解得： .12.已知AD //BC , ∠ADC 和∠BCD 的平分线交于点M ,求证:CD =AD +BC .证明：在DC 上截取DE ＝DA ，连接EM.因为DM 平分∠ADC ,所以∠ADM ＝∠EDM ＝21∠ADC. 又因为DM ＝DM ,所以△ADM ≌△ED M （SAS ）.所以∠AMD ＝∠EMD ，ED ＝AD .因为CM 平分∠BCD ,所以∠DCM ＝∠BCM ＝21∠BCD . 因为AD //BC ,所以∠ADC ＋∠BCD ＝180°,∠DCM ＋∠MDC ＝90°.所以∠CMD ＝90°所以∠EMD ＋∠EMC ＝90°，∠AMD ＋∠BMC ＝90°.所以∠EMC ＝∠BMC.又因为CM ＝CM ,所以△CBM ≌△CEM （ASA ）,所以EC ＝BC.所以CD ＝EC ＋ED.即CD ＝AD ＋BC.方法二：延长DM 与CB 的延长线交于F.因为AD //BC ,所以∠ADF ＝∠F.因为DM 平分∠BCD ,所以∠ADF ＝∠CDF.所以∠CDF ＝∠F.所以CD ＝CF.因为CM 平分∠BCD ,所以根据“三线合一”性质得DM ＝FM.因为∠AMD ＝∠BMF ,F A D C B M E M B C D A所以△ADM ≌△BFM （AAS ）.所以AD ＝BF .所以CD ＝CF ＝BC ＋BF ＝AD ＋BC.方法三：取CD 的中N ，连接MN证明M 是中点后，MN 就是中位线，所以2MN ＝AD ＋BC ，而△AMB 是直角三角形（CM ⊥DM 上面已经证明）.则MN 是斜边CD 上的中线，所以2MN ＝CD.所以CD ＝AD ＋BC.13.四边形ABCD 中，AD //BC ,AB =BC +AD ,A E 平分∠BAD 交CD 于点E 求证：BE ⊥ AE.证明：延长AE 、BC 交于F.因为AD //BC ,所以∠DAF ＝∠F ，∠D ＝∠ECF.因为AE 平分∠BAD ,所以∠BAF ＝∠DAF.所以∠BAF ＝∠F.所以AB ＝BF ＝BC ＋CF.因为AB ＝BC ＋AD ,所以AD ＝CF .所以△ADE ≌△FCE （ASA ）.所以AE ＝EF.所以BE 是等腰三角形底边AF 上的中线.所以根据“三线合一”性质得BE 是等腰三角形底边AF 上的高.所以BE ⊥AE.14．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =998，CD =1001，AD =1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC =90°的点P 的个数为（ ）.A ．0 B.1 C.2 D.不小于3的整数.E B C DA F解：取AD 的中点M ，连接BM 并延长交CD的延长线于N ，连接CM.因为AB //CD ,所以易证△ABM ≌△NDM.所以AB =DN ，MB ＝MN.因为四边形ABCD 是等腰梯形, 所以BC ＝AD ＝1999.因为AB =998，CD =1001，所以CN ＝CD ＋DN ＝CD ＋AB ＝1999. 所以BC ＝CN .所以△BCN 是等腰三角形.所以CM 是底边BN 上的中点.所以根据“三线合一”性质得CM ⊥BN .所以AD 的中点M 即为所求的P 点之一.设BC 的中点为O ，以O 为圆心，OM 为半径作圆O ，过O 作OE ⊥AD ,则OM 为梯形ABCD 的中位线.所以OM //AB //CD.因为AB 与AD 不垂直,所以OE 与OM 不重合,所以OE ＜OM ,所以AD 与圆O 的位置关系是“相交”,所以圆O 与AD 有两个交点P1、P2（其中一个就是M ）.而根据“直径所对的圆周角是直角”知： ∠BP1C ＝∠BP2C ＝90°.即满足条件的点P 的个数为2,所以本题应该选择“C”.15.已知AD ‖BC ，AB ⊥BC ， DE 平分∠ADC ，E 是AB 的中点，请你猜想 AD ，BC ，CD 有什么数量关系并证明.解： AD ，BC ，CD 的是关系是：AD ＋BC ＝CD.证明：延长DE 、CB 交于F .因为AD//B C ,所以∠ADE ＝∠F ，∠A ＝∠EBF .又因为AE ＝BE ,所以△ADE ≌△BEF.所以AD ＝BF ,因为∠ADE ＝∠CDE .所以∠F ＝∠CDE . 所以CD ＝CF.因为CF ＝BC ＋BF ＝BC ＋AD,所以AD ＋BC ＝CD.N EC A DB F16.如图，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ，E 是CD 的中点，且AE 平分∠BAD.（1）如果AD =2，BC =3，求AB 的长 .（2）∠AEB 的大小确定吗？如果确定，请求出∠AEB 的大小；如果不确定，请说明理由.解： (1）延长AE 、BC 交于F.因为AD //BC ,所以∠DAF ＝∠F ，∠D ＝∠ECF. 因为AE 平分∠BAD ,所以∠BAF ＝∠DAF.所以∠BAF ＝∠F.所以AB ＝BF ＝BC ＋CF.因为DE ＝CE ，∠D ＝∠ECF ，∠DAE ＝∠F.所以△ADE ≌△FCE （AAS ）.所以AD ＝CF ＝2,因为BC ＝3.所以AB ＝3＋2＝5.(2）∠AEB 大小是确定的，总等于90°.理由：由（1）知△ADE ≌△FCE .所以AE ＝EF .因为AB ＝BF .所以BE 是等腰三角形底边AF 上的中线.所以根据“三线合一”性质得BE 是等腰三角形底边AF 上的高,所以BE ⊥AE.所以∠AEB ＝90°.易错题1：下列结论中，正确的是（ ）A ．有一组邻角相等的梯形是等腰梯形．B ．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形．C ．有一组对角互补的梯形是等腰梯形．D ．有两组角分别相等的四边形是等腰梯形．错解分析：对梯形的概念和性质，判别认识不清，或忽略了某个条件．B ．错在概念不清，等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形，故B 错误．正确解答：C ．易错题2：若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（ ）A ．21或29B ．29C ．21或22D ．21或21或29 错解：分类讨论⑴ 上底为3，腰为4，下底为11．⑵ 上底为4，腰为3，下底为11．⑶ 上底为3，腰为11，下底为4．故选D ．错解分析：虽然考虑问题的全面，但是未抓住问题的本质，通过简单作图，很容易发现⑴⑵不能构成等腰梯形；不满足三角形三边的关系．正确解答：B .易错题：1.若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（ ）. EB C DA F【典型错误】分类讨论：① 上底为3，腰为4，下底为11.② 上底为4，腰为3，下底为11.③ 上底为3，腰为11，下底为4.故选D .【错因分析】虽然考虑问题全面，但是未抓住问题的本质，通过简单作图，很容易发现①②不能构成等腰梯形；不满足三角形的三边的关系. 【正确解答】①如图，若AD =3，AB =CD =4,BC =11,连接AC ,在△ACD 中，AD +CD >AC ,即AC <7,在△ABC 中，AC >BC -AB =7,即AC >7,矛盾.②若AD =3，AB =CD =4,BC =11,同①.③若AD =3，AB =CD =11,BC =4或AD =4，AB =CD =11,BC =3,在△ACD 中，AD +CD >AC ,即AC <14,在△ABC 中，AC >AB-BC 即AC >8,所以8< AC <14,这种情况符合三角形三边的关系。

梯形的性质经典题1． 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则下列一定不会是∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值的是（ ） A ．2∶3∶1∶4 B ．1∶2∶2∶1C ．2∶2∶3∶1D ．3∶4∶3∶3 解析：保证∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C 即可． 1． 答案：C2． 给出下列结论：①等腰梯形的对角线相等；②等腰梯形是轴对称图形；③等腰梯形的两个邻角相等；④同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.其中正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：等腰梯形两个邻角必须是同一底上的两个内角才相等，如果不是同一角上的两个邻角，则不一定相等，所以③不正确． 2． 答案：B3． 若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（ ） A ．21 B ．29 C ．21或29 D ．21或22或29解析：设第三边长为x ，则4＜x ＜18，由于这个梯形是等腰梯形，所以第四边长必定是腰长，所以x ＝11． 3． 答案：B 4． 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝１，BC ＝4，∠C ＝70°，∠B ＝40°，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：过点A 作AE ∥DC ，则四边形AECD 为平行四边形，∠AEB ＝∠C ＝70°，则∠BAE ＝70°，所以AB ＝AE ＝3．4． 答案：B 5． 等腰梯形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 5． 答案：C解析：本题考查三角形中位线定理及等腰梯形的性质，因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以对角线AC ＝BD ，又因为E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，所以四边形EFGH 的形状是菱形，故选C ．6． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，设AD ＝a ，BC ＝b ，则四边形AEFD 的周长是（ ） A ．3a ＋b B ．2(a ＋b) C ．2b ＋a D ．4a ＋bABCDEA DBED CA BEFO第6题 第8题 第11题 第12题 解析：对角线互相垂直的等腰梯形的高等于中位线的长． 6． 答案：A7． 已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，则此等腰梯形的周长为____________．解析：分别过点A 、D 作底边的垂线，垂足分别为点E 、F 。

——梯形1．熟练掌握梯形概念及性质，能准确应用；2．掌握等腰梯形的判定及性质，熟练应用进行几何计算、证明；3．掌握梯形常见辅助线的添加．梯形及梯形的有关概念（l）梯形：的四边形叫做梯形．（2）底：对边叫做梯形的底（通常把的底叫上底，的底叫下底）．（3）腰：一组对边叫做梯形的腰．（4）高：距离叫做梯形的高．（5）直角梯形：的梯形叫做直角梯形．（6）等腰梯形：的梯形叫做等腰梯形．等腰梯形的性质：等腰梯形两底平行，两腰相等.（定义往往可以做为性质定理直接运用）等腰梯形在同一底上的两个角相等.等腰梯形的对角线相等.对称性：等腰梯形是轴对称图形.对称轴是上底（下底）的垂直平分线.等腰梯形的判定方法：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．建议20分钟题型Ⅰ辅助线---平移腰（★★★）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17，求CD 的长．A BC D【答案】过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，又∵AB ∥CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形， ∴DE ＝BC ＝17，CD ＝BE ，在R t △DAE 中，由勾股定理，得AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64， ∴AE ＝8，∴BE ＝AB －AE ＝16－8＝8， 即CD ＝8．A BCDE解析：平移一腰，即将梯形转化为三角形、平行四边形．（★★★）如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长．（用两种方法解题）AB CD【答案】34cm．题型Ⅱ辅助线---作梯形的高（★★★）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC，BD=BC，求∠DBC的大小．【答案】30°．AB CD（★★★）如图：点C 在线段AB 是垂直平分线上，且BC AC ⊥，CD ∥AB ，AB=AD ，E 为BD 中点．求证：AE 、AD 三等分BAC ∠．【答案】过点C 作CH ⊥AB ，交AB 于点H ，过点D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，∵CD//AB ， ∴CH=DF ，又Θ△ABC 是等腰直角三角形，CH ⊥AB ， ∴CH=AH=BH ，ΘCD//AB ，CH=AH ，∴四边形AHCF 是正方形， 设AC=BC=1，∴AB=2，AD=AB=2，∴AF=CH=2AB =22， 在直角△DFA 中， AF=22=2AB =2CD， 则∠ADF=30°，∠FAD=60°， 又∵∠FAC=45°，则∠CAD=∠FAD-∠DAC=15°，∵AD=AB ，E 是BD 中点，AE 是∠DAB 的平分线， ∴∠BAE=∠EAD ，∵∠DAB=∠FDA=30°， 故∠BAE=∠EAD=15°，故∠CAD=∠DAE=∠EAB=15°， 即AE 、AD 三等分∠BAC ．题型Ⅲ辅助线---平移对角线（★★★）等腰梯形ABCD 中，已知AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，DE ＝8cm ，求它中位线长．【答案】8cm ．（★★★）如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，BD ＝6cm ，求梯形ABCD 的面积．A BCD【答案】过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E.又AD ∥BC ，∴四边形ACED 是平行四边形. ∴AC ＝DE ，S △ADC ＝S △ECD . ∵S △ADC ＝S △DAB ， ∴S △DAB ＝S △ECD ， ∴S △DBE ＝S 梯形ABCD ，ACDB E∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC ＝BD ， ∵AC ＝DE ，∴BD ＝DE ＝6cm ，∵AC ⊥BD ，AC ∥DE ， ∴DE ⊥BD ，∴S 梯形ABCD ＝S △DBE ＝BD ·DE ＝×6×6＝18（cm 2）．ABCED解析：平移一对角线，将梯形转化为三角形、平行四边形．题型Ⅳ辅助线---延长两腰（★★★）如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论．A BCD【答案】证明：延长AD 、BC 相交于点E ，如图所示，∵AC ＝BD ，AD ＝BC ，AB ＝BA ， ∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA. ∴EA ＝EB.又AD ＝BC ，∴DE ＝CE ，∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°， ∴∠EDC ＝∠EAB ，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四边形ABCD是等腰梯形．A BCDE评析：延长两腰，将梯形转化为三角形．（★★★）如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长．（用两种方法解题）A BCD【答案】方法一：分别延长AD、BC相交于点E，∵AB∥CD，∴∠1＝∠B，∵∠ADC＝∠E＋∠1，∴∠ADC＝∠E＋∠B，∵∠ADC＝2∠B，∴∠E＝∠B，∠1＝∠E，∴AE＝AB，DE＝DC，∴AE＝AD＋DE＝AD＋DC＝8，∴AB＝AE＝8．A BCDE1方法二：过C作CE∥AD交AB于E，证明CE＝BE＝AD．题型Ⅴ辅助线---连结顶点和一腰的中点并延长与底边构造全等（★★★）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD 的中点，求证：CE⊥BE．AB CDE解析：证两直线垂直可利用90°，线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一，由已知AB ＝2，CD＝1，BC＝3，所以转化线段，构造CD＋AB＝BC的情况，可延长CE交BA的延长线于F，可证△CDE≌△FAE，从而AF＝CD，CE＝EF，即得BF＝BC，再利用等腰三角形的性质得CE⊥BE【答案】延长CE交BA的延长线于F，∵CD∥BF，∴∠D＝∠EAF，∠DCE＝∠F，∵DE＝AE，∴△CDE≌△FAE，∴AF＝CD＝1，EF＝CE，∵AB＝2，BC＝3，∴AB＋AF＝BC，即BF＝BC，∴BE⊥CE．AB CDEF（★★★）如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC．（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？AB CDE【答案】（1）延长DE 交CB 延长线于F ，证明△AED ≌△BEF ， ∴AD ＝BF ，DE ＝EF ， ∵CD ＝AD ＋BC ， ∴CD ＝CB ， ∴CE ⊥DE ．（2）DE ⊥CE. ∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°， ∵∠EDC ＝∠ADC ，∠ECD ＝∠BCD ， ∴∠EDC ＋∠ECD ＝×180°＝90°， ∴∠DEC ＝90°，即DE ⊥CE ．ABCDEF1．根据已知条件，挖掘添加辅助线的引号信息 已知 ，添加 ； 已知 ，添加 ； 已知 ，添加 ；已知，添加；2．转化思想：辅助线添加都是将梯形其分割、拼接成三角形、矩形或平行四边形等问题来解决，领会这一思想在数学中的重要应用．建议10分钟1．若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm．2．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）A．19 B．20 C．21 D．22AB CD3．如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）A．130 B．140 C．150 D．160A BCDE4．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD ＝30，BC＝70，求BD的长．AB CD【答案】1．24；2．D；3．C；4．证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，∴DE＝AC，CE＝AD，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝ED，∵BD⊥AC，∴BD⊥DE，在R t△BDE中，BD2＋DE2＝BE2，即2BD2＝1002，BD＝50．ABCED11。

三角形与四边形的综合题1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（）．（A）①②③（B）①④⑤（C）①②⑤（D）②⑤⑥2．把“直角三角形、等腰三角形、•等腰直角三角形”填入下列相应的空格上：（1）正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成．3．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，•②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）．（A）三角形（B）矩形（C）菱形（D）梯形4．小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．•再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（• ）．1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是.2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．3．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BC E ，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E＝ °9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．1如图1，在四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得．） 问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论． 问题二：如图3，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．ABCD AB CD =E F 、BC AD 、EF BA CD 、M N 、BME CNE ∠=∠BD BD H HE HF 、HE HF =12∠=∠BME CNE ∠=∠ADBC AB CD O AB CD =E F 、BC AD 、EF DC AB 、M N 、OMN △ABC △AC AB >D AC AB CD =E F 、BC AD、EF BA G 60EFC ∠=°GD AGD△AC DF E NM O BC DH A FN M 1 2 图1图2 图3ABDF GE2已知中，为边的中点， 绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、 当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．3已知：的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．（1）如图l ，若为锐角三角形，且，过点F 作，交直线AB 于点G ，求证：；（2）如图 2，若，过点F 作，交直线AB 于点G ，则FG 、DC 、AD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．Rt ABC △90AC BC C D ==︒，∠，AB 90EDF ∠=°，EDF ∠D AC CB E F ．EDF ∠D DE AC ⊥E 12DEF CEF ABC S S S +=△△△．EDF ∠D DE AC 和DEFS △CEFS △ABC S △ABC △ABC △45ABC ∠=°FG BC ∥FG DC AD +=135ABC ∠=°FG BC ∥AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2FAE CB DFG（图2）AE CDG BF（图1）4已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5已知：如图，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交，易证：，若： （1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。

A BC DE FEABC DA BCDE（3） （4） （5）（1）平移梯形一腰：即过梯形上底或下底的一个端点做一腰的平行线，将梯形分成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给问题。

（2）平移一条对角线：过梯形上底或下底的一个端点做一条对角线的平行线，将梯形割补成与之2等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给问题。

（3）做高：过上底的两个端点做梯形的高线，将梯形分成两个三角形和一个矩形。

（4）延长梯形两腰交于一点：构成两个三角形。

（5）连结上底的一端点与一腰的中点，交下底的延长线与一点，将梯形割补成与之等积的三角形。

热身练习1、下列说法正确的是 （ ）A ．有一组对边平行的四边形是梯形B ．一组对边平行且不相等的四边形是梯形C ．直角梯形是有两个角是直角的四边形D ．有两个角相等的梯形是等腰梯形 2、等腰梯形中，下列判断正确的是（ ）A.两底相等B.两个角相等C.同底上两底角互补D.对角线交点在对称轴上 3、等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD 的面积是（ ）.A.1516B.516C.1532D.17164、等腰梯形的上底、下底、高之比为1:3:1，则下底角的度数是（ ） A.30º B.45º C.60º D.75º5、以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形（ ） A.只能画一个 B.能画出2个 C.能画出无数个 D.不能画出6、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD=AD ，若∠DCB=110º，∠CBD=30º，那么∠ADB 等于 （ ）A.80ºB.90ºC.100ºD.110º7、等腰梯形两底AD=4,BC=10,面积等于21，则∠C= 。

8、已知梯形的上、下底分别为6、8，一腰长为7，另一腰长a ，则另一腰a 的范围是 ，若这一腰长为奇数，则此梯形为 梯形。