2020江苏高考数学一轮复习学案：第30课__正余弦定理及其简单应用 含解析.docx

专题4.6正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C常见变形(1)a ＝2RsinA，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .考点一利用正、余弦定理解三角形【典例1】【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝()A ．42 B.30C.29D ．25【答案】A【解析】∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－32，∴AB ＝4 2.【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a ①求角B 的大小；②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．【解析】①在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a a sin B ＝a即sin B ＝tan B ＝3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.②在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

一、考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2．能运用正余弦定理解决三角形中有关问题。

二、知识梳理1．在△ABC 中，B =60°，C =75°，4=a ，则=b .【教学建议】本题考查的是正弦定理的应用，解题后总结利用正弦定理解决的解斜三角形的两类问题：（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边与其中一边的对角，求其余一边和其他两角。

及正弦定理的常见变式：（1）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；(2)化角为边：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===． 2．在△ABC 中，::3:5:7a b c =，则这个三角形中最大内角为 ．【教学建议】本题考查的是余弦定理的应用，利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边与它们的夹角，求第三边和其他两个角．注意等式结构，一般与边的平方和、差有关的，容易联想余弦定理。

3．已知锐角△ABC 的面积为33，4=BC ,3=CA ,则角C 的大小为【教学建议】本题主要考查三角形面积公式：C ab S sin 21=A bc sin 21=B ca sin 21==r c b a R abc )(214++=三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

2、结合课件点评。

必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。

题1：在△ABC 中，a =15，b =10，∠A =60°则=B cos .【点评】强调画图，条件中已知两边及一边的对角能求出什么？------若用正弦定理，可求出B sin .追问B sin 的值是一解，还是两解？这里的B 是锐角还是钝角？依据是什么？若用余弦定理做，怎么做？若b 变为18呢？B cos 有几解？题2：已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，且()()a b c a b c a c ++-+=，则B ∠= ．答案为：120︒.【点评】解三角形首先分析条件，进行模式识别.很明显本题是对余弦定理的直接使用.题3：在ABC ∆中，已知6A π=，c =，则ABC ∆的形状是___________. 【点评】问题：条件式中既含有边，又含有角？向哪个方向转化？——边？角？尝试后，发现转化为边和转化为角都可以。

1.3 正弦定理、余弦定理的应用1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点) 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)3．方向角与方位角的区分及应用．(易混点)[基础·初探]教材整理方位角例2的有关内容，完成下列问题．阅读教材P18方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方位角和方向角是同一个概念．( )(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.( )(3)从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，则∠ACB为75°.()(4)甲看乙南偏东30°，则乙看甲北偏西30°.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．图1­3­1【精彩点拨】 先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解． 【自主解答】 如图，作OE →＝F ，将F 沿A 到O ，O 到B 两个方向进行分解，即作▱OCED ，则OD →＝CE →＝F 1，OC →＝F 2.由题设条件可知，|OE →|＝10，∠OCE ＝50°，∠OEC ＝70°，所以∠COE ＝180°－50°－70°＝60°.在△OCE 中，由正弦定理， 得|F |sin 50°＝|F 1|sin 60°，|F |sin 50°＝|F 2|si n 70°，因此，|F 1|＝10sin 60°sin 50°≈11.3，|F 2|＝10 sin 70°sin 50°≈12.3.答：灯杆OA 所受的拉力为11.3 N ，灯杆OB 所受的压力为12.3 N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．[再练一题]1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．【解】F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得F＝302＋502－2×30×50cos 120°＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝50sin 120°70＝5314，所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.答：F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°.如图1­3­2，某公园内有一块边长为2的等边△ABC的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两份，点D在AB上，点E在AC上．设AD＝x(x≥0)，DE＝y，求用x表示y的函数关系式．图1­3­2【精彩点拨】 由S △ADE ＝12S △ABC 得出AE ，再在△ADE 中由余弦定理求DE .【自主解答】 ∵AB ＝BC ＝AC ＝2，∴S △ABC ＝12×2×2sin 60°＝3，∴S △ADE ＝12S △ABC ＝32.又S △ADE ＝12AD ·AE sin 60°＝34x ·AE ，由34x ·AE ＝32，得AE ＝2x. 在△ADE 中，由余弦定理得y 2＝x 2＋4x 2－2·x ·2x ·cos 60°＝x 2＋4x2－2，∴y ＝x 2＋4x2－2.又由AE <2可知2x<2，即x >1，∴1<x <2.∴y 关于x 的函数为：y ＝x 2＋4x2－2(1<x <2)．1．求解此类问题的关键是利用正、余弦定理建模，求解时，要分清已知哪些条件，如何把待求和已知化归到同一个三角形中．2．函数建模时，要注意函数的定义域，如本题(2)中隐含“AE＝2x∈(0,2)”．[再练一题]2.如图1­3­3所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，△BCD 是正三角形．图1­3­3(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．【解】(1)△ABD的面积S1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，由于△BCD是正三角形，则△BCD的面积S2＝34BD2.在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ，于是四边形ABCD的面积S＝12sin θ＋34(2－2cos θ)，∴S＝32＋sin⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3，0<θ<π.(2)由S＝32＋sin⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3及0<θ<π，得－π3<θ－π3<2π3，当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S取得最大值1＋32.[探究共研型]探究1间的距离？图1­3­4【提示】在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB.探究2 如图1­3­5，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)图1­3­5【提示】测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a 米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．(2015·湖北高考)如图1­3­6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.图1­3­6【精彩点拨】先利用正弦定理求出BC，再在Rt△BCD中求CD.【自主解答】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×3 3＝1006(m)．【答案】100 61．解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．[再练一题]3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图1­3­7中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．图1­3­7【解】①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N 的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)②第一步：计算AM.在△ABM中，由正弦定理，得AM＝d sin α2α1＋α2.第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理，得AN＝d sin β2β2－β1.第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理，得MN ＝AM2＋AN2－2AM×ANα1－β1.[构建·体系]1．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．(填序号)(1)北偏东10°；(2)北偏西10°；(3)南偏东10°；(4)南偏西10°.【解析】如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故答案为(2)．【答案】(2)2．如图1­3­8，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为________.【导学号：91730015】图1­3­8【解析】由正弦定理，得60－＝PBsin 30°，∴PB＝60×12sin 15°＝30sin 15°，∴h＝PB·sin 45°＝30sin 15°·sin 45°＝(30＋303)m.【答案】(30＋303)m3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为________．【解析】v实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝23(km/h)．所以实际航程为23×3＝6(km)．【答案】 6 km4．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图1­3­9所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要________元．图1­3­9【解析】∵S△＝12×20×30×sin 150°＝12×20×30×12＝150(m2)，∴购买这种草皮需要150a元．【答案】150a5．如图1­3­10，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？图1­3­10【解】在△ACD中，应用正弦定理得AC＝＋sin[180°－＋45°＋＝40sin 105°sin 45°＝40sin 75°sin 45°＝20(1＋3)(m)，在△BCD中，应用正弦定理得BC＝40sin 45°si n[180°－＋30°＋＝40sin 45°sin 45°＝40(m)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC×BC cos 60°＝206(m)．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·镇江高二检测)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于________．【解析】由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，∴sin A＝3 2，∴S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.【答案】6 32．有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________ m.【解析】如图，在△ABC中，由正弦定理可知：xsin 45°＝10sin 30°，∴x＝102(m)．【答案】10 23．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距________ m.【导学号：91730016】【解析】设炮台顶为A，底为D，两船分别为B，C，由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30 m，∴DB＝30 m，DC＝10 3 m，在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos 30°＝300，∴BC＝10 3 m，即这两条船相距10 3 m.【答案】10 34．(2016·南京高二检测)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1­3­11所示，且B＋D ＝180°，则AC的长为________ km.图1­3­11【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos B，在△ACD 中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos D，由cos D＝－cos B，并消去AC2得cos B＝12，所以AC＝7.【答案】75.如图1­3­12所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．图1­3­12【解析】由题意知，AC＝3BC，∠ABC＝120°，由正弦定理知，BCsin ∠CAB ＝ACsi n 120°，∴sin ∠CAB＝1 2，∴∠CAB＝30°，∴∠CAD＝60°－30°＝30°.【答案】30°6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为________．【解析】如图，由平行四边形法则可知，|OA→|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|OA→|2＝F2＋F2－2F·F cos(π－θ)．∵|OA→|＝G，∴2F2(1＋cos θ)＝G2，∴cos θ＝G2－2F2 2F2.【答案】G2－2F2 2F27．如图1­3­13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________ m.图1­3­13【解析】由题意可知，AC＝60sin 30°＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC＝s in 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC中，由正弦定理得ACsin ∠ABC＝BC∠BAC，于是BC＝120×222＋64＝24022＋6＝120(3－1)(m)．【答案】120(3－1)8.如图1­3­14，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图1­3­14【解析】 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD ) ＝cos ∠BAD ＝223， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 【答案】 3二、解答题9．如图1­3­15所示，有两条直线AB 和CD 相交成80°角，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OA ，OC 方向出发，速度分别是4 km/h ，4.5 km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1 km)?图1­3­15【解】 经过3小时后，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知PQ＝122＋13.52－2×12×13.5cos 80°≈16.4(km)．10．如图1­3­16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝43 7，求BC边上的高AD.图1­3­16【解】在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得7xsin C＝8xsin B，∴sin C＝78×437＝32，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABC中，AD＝AB sin B＝437AB，∴AD＝123或AD＝20 3.[能力提升]1.如图1­3­17，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.图1­3­17【解析】连结OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，∴OC＝507.【答案】5072．如图1­3­18所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C 在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________ m.图1­3­18【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得BCsin 45°＝CDsin 30°，BC＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 【答案】 10 63．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时.【导学号：91730017】【解析】 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100 ＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100，∴当x ＝514时，y 2有最小值，即两船相距最近． 【答案】5144．如图1­3­19，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝108，cos ∠ADC ＝－14.图1­3­19(1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．【解】 (1)因为cos B ＝108，所以sin B ＝368. 又cos ∠ADC ＝－14，所以sin ∠ADC ＝154.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝154×108－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×368＝64.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B＝BD sin ∠BAD，即3368＝BD 64，解得BD＝2.故DC ＝2，从而在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC＝32＋22－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以AC ＝4.。

导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题 .2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.自主梳理1. 三角形的有关性质(1) 在厶 ABC 中，A + B + C - __ ; (2) a + b ___ c , a — b <c ；⑶ a>b ? sin A _____ s in B ? A _____ B ；1 1(4)三角形面积公式：Si\ABC = ^ah = ^ab sin C 1=q ac sin B =1. （xx •上海改编）若厶ABC 的三个内角满足 sin A ： sin B ： sin C = 5 ： 11 ： 13,则a :b :c = ________ .2. ________________________ （xx •天津改编）在厶ABC 中,内角A B, C 的对边分别是 a ,b ,c ,若a 2— b 2= 3bc , sin C = 2^3sin B 贝U A = .3. （xx •烟台一模）在厶ABC 中，A = 60°, b = 1, △ ABC 的面积为，3,则边a 的值为(5)在三角形中有：sin 2 角形；sin( A + B ) = sin C, sinA = sin 2B ? A = B 或 ?三角形为等腰或直角三A + B厂=cosC2.4. （xx •山东）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a = . 2, b= 2, sin2 n5. （xx •北京）在厶ABC中，若b= 1, c=^3, C=，贝U a= _________课堂话动區|突破考点研祈热点MI MI-w -w -^r -MI MI探究点一正弦定理的应用例 1 (1)在厶ABC中, a= •. 3, b= 2, B= 45°，求角A C和边c；⑵在厶ABC中, a= 8, B= 60°, C= 75°,求边b 和c.、 1变式迁移 1 (1)在厶ABC中，若tan A= — , C= 150°,BC= 1,贝U AB= _________3⑵在厶ABC中，若a= 50, b= 25托,A= 45°，贝U B= ________ .探究点二余弦定理的应用例2 已知a、b、c分别是△ ABC中角A、B C的对边，且a2+ c2—b2= ac.(1)求角B的大小；⑵若c= 3a,求tan A的值.变式迁移2 在厶ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B= 牛，b= 13, a + c= 4,求a.探究点三正余弦定理的综合应用例3 在厶ABC中, a、b、c分别表示三个内角A B、C的对边，如果(a2+ b2)sin( A—B = (a2—b2)sin( A+ B，试判断该三角形的形状.AC cos B变式迁移3 （xx •天津）在厶ABC中, = .•AB cos C（1）证明：B= C⑵若cos A= —3,求sin j4B+专的值.1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用.2•在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.3. 在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法. “化繁为简” “化异为同”是解此类问题的突破口.（满分：90分）一、填空题（每小题6分，共48分）1. （xx •湖北改编）在厶ABC中，a= 15, b= 10, A= 60°，贝U cos B=2.在△ ABC中, AB= 3, AO 2, BO^10，贝U XB- XC- ________ .2A c —b3•在△ ABC中, sin 2="2^（a,b,c分别为角A,B,C的对边），则△ ABC勺形状为____4. （xx •苏州调研）在厶ABC中，若A= 60°, BC- 4 3, AO 4 2，则角B的大小为5. _____________________________ （xx •湖南改编）在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,若C= 120°, c= Q2a,则a, b的大小关系为.6. __________________________________________________________ 在△ ABC中, B= 60°, b2= ac,则厶ABC的形状为_________________________________________ .7. __________________________ （xx •广东）已知a, b, c分别是△ ABC的三个内角A, B, C所对的边，若a= 1, b =^3, A+ C= 2B,则sin C—.8. （xx •福建龙岩高三一模）在锐角△ ABC中，ADLBC垂足为D,且BD： DC： AD=2 :3 : 6,则/ BAC的大小为_________ .二、解答题（共42分）A9. （14分）（xx •浙江）在厶ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足cos?= ¥ AB- XC= 3.5（1）求厶ABC的面积；（2）若b+ c = 6,求a的值.10. （14分）（xx •陕西）在厶ABC中，已知B= 45°, D是BC边上的一点，AD= 10, AC =14 , DC= 6, 求AB的长.2 211. （14 分）（xx •重庆）设厶ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b + 3c —3a2=课IS境习IE 聃題is炳规把答凰4 2bc.（1）求sin A的值；（（n 、2sin i A+ —sin i B+ C+ 丁⑵求 --------- 匚 --------------- 的值.5. 1B = 2. vC 为钝角，•••nB必为锐角」B=7,解析 方法由正弦定理,12 n sin B'sin3边, •- A =——.•- a = b = 1.6 方法二 由余弦定理c 2= a 2 + b 2— 2ab cos C 得， 3= a + a + 1，即 a + a — 2 = 0, 解得a = 1, a = — 2（舍去）. 课堂活动区 例1解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角， 但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、 方法如下：在△ ABC 中，已知a 、b 和A ,求B.若A 为锐角, =b sin A 时，有一解；③当 b sin A <a <b 时，有两解；④当 角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当 a w b 时，无解. 解⑴由正弦定理拓—=侖得，sin 山三3•••a>b,.・. A >B ,「. A = 60° 或 A = 120°.当 A = 60° 时，C = 180°b sin C 6+ . 2c= __ =可利用正弦定理求其他的角和 无解三种情况.具体判断①当a > b 时，有一解；②当 a <b sin A 时，无解.若 A 为直 —45°— 60°= 75°,sin B 2当 A = 120° 时，C = 180 b sin C 疋-灵c= sin B综上，A = 60°, C = 75 或 A = 120°, C= 15°,⑵ v B= 60°, C = 75°a b—45°— 120°= 15°, c乖+忑,c = 2 , 6— .2 c =厂.,• A = 45°.c由正弦定理.sin A sin B sin C + a • sin B 厂 a • sin C 厂 得 b = = 4 6, c == 4 3+ 4.sin A、sin A Y• b = 4, c = 4 3+ 4.答案自主梳理 1. (1) n (2)>(3)>> (4) ^bc sin A (5) A + 4与 2.—A • B • C 2 2 sin A sin B sin Cb 22 2 2 2 2+ c — 2bc cos A a + c — 2ac cos B a + b — 2ab cos C2F Sin A 2F Sin B 2R sin Ca 2Rb 2R csin A : sin2R自我检测2 | 2 2b +c — aB: sin C2bc2,2 2 a + c — b 2ac2ab1. 5： 11 ：132.30 °3.莎4. -6变式迁移1 ⑴冷° (2)60或 120°解析 (1) •••在厶ABC 中，tanA = 3, C = 150° 1 A=——.又T BC= 1. 10 _ 5 BC- sin C =典 AB= sin A = ~^2~ a b ••• A 为锐角，••• sin •••根据正弦定理得 ⑵由b >a ，得BA ,由乔=乔， 得sin B = b s 丄仝牡x ，=二得 a 50 2 2， •/ 0°<B <180°,A B = 60° 或 B= 120° 222例 2 解(1) T a + c — b = ac , 2 2.2“a + c —b 1 • cos B = =~. T 0<B <n , •2ac 2⑵ 方法一 将c = 3a 代入a 2 + c 2— b = ac , b = 7a .亠 b 2 + c 2— a 2弭7 由余弦定理，得 cos A = =^4. 0<A < n , • sin A = ；：： 1 — cos ?A = 口 ,A sin A J 3•- tan A = = 士一. cos A 5方法二 将 c = 3a 代入 a 2+ c 2— b 2= ac , 得b = 7a .由正弦定理，得 sin B = 7sin 由(1)知，B =n , • sin A^ ^41. 又 b = 7a >a ,「. B >A ,2 5 .7 • cos A = 1 — sin A =^^. • tan方法三 T c = 3a ,由正弦定理，得2n sin A = A.cos A 5 ' sin C = 3sin A n T B = ■—, • C = n — (A + B ) 32 n • sin( — — A ) = 3sin A,3 .• 2 n 2 n . • • sin cos A - cos sin 3 3 3 1 • 〒cos A + ^sin A = 3sin T —A A = 3sin A, A = cos A 5 ' 变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2= a 2 + c 2— 2ac cos B 2 2 -2 2 2 , 、2 =a + c — 2ac cos3 n = a + c + ac = (a + c ) — ac .又a + c = 4, b =*/13, • ac = 3, a + c = 4，解得 a = 1, c = 3,或 a = 3, c = 1.ac = 3• 5sin A = 3cos A ,： tan 联立3系.2 2 2 2解 方法一 v(a + b )sin( A — B ) = (a — b )sin( A + B ) ? a [sin( A — B ) — sin( A + B )]2=b [ — sin( A + B ) — sin( A — EE)],22• 2 a cos A sin B = 2b cos B sin A, 由正弦定理，得 sin A cos A sin B = sin B cos B sin A , 得2A= 2B 或 2A= n — 2B, 2 2方法二 同方法一可得 2a cos A sin B = 2b cos B sin A ,变式迁移3 (1)证明 在厶ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B cos B 十口= .于是 sin B cos C — cos B sin C = 0, sin C cos C即 sin( B — C ) = 0.因为一 n <B — C < n ，从而 B — C = 0. 所以B= C⑵解由 A + B+ C = n 和(1)得 A= n — 2B,斗1故 cos 2 B =— cos( n — 2B ) =— cos A = 3. 又 0<2B < n ,于是 sin 2 B=寸 1 一 ---------2cos 2B =2,23从而sin 4 B = 2sin 2 B cos 2 B = 2cos 4 B= cos 2B — sin 72B=-7.所以sinsin 4 B cos 专 + cos 4 B sin4,2 — 7“318 课后练习区1. 解析根据正弦定理 a b sin A =sin B'• sin 2 A = sin 2 B,由 0<2A <2 n , 0<2B<2 n , 即厶ABC 是等腰三角形或直角三角形.由正、余弦定理，即得2,2 2 2,2 2• a 2( b 2 + c 2— a 2) = b 2( a 2 + c 2 — b 2),即(a 2— b 2)( c 2— a 2— b 2) = 0,二 a = b 或 c 2= a 2 + b 2,•三角形为等腰三角形或直角三角形.••• a等于1或3.例3解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关可得• 6：°= —^，解得sin B=f,又因为b<a，则B<A,故B为锐角,所以cos B= rJ 1 —sin 2B= ~~.(5(5解析由余弦定理得，cos A = AB +•謬=莫4—2 = 屉民3X 2X 1 = 2.3. 直角三角形2A 1 — cos A c — b 解析•/ sin 22= — 2 2 2 b b + c — a222••• cos A =-=「——? a 2+ b 2= C 2,符合勾股定理，c 2bc即厶ABC 为直角三角形. 4. 45°解析•/ BOAC •- A >B,所以角B 是锐角， BC ACAC. sin A皿写羽即 sin B =BC=—4：3— = 2，所以 B = 45 .22aba —b = ab , a — b =，因为 a >0, b >0,a + b4'2c ， 由正弦定理得，sin A —sin 5. a >b 解析 所以 因为 C = 120°, c = 2a ,2 2 . 2c 2= a 2 + b 2— 2ab cos C,2a 2 = a 2 + b 2— 2ab - 2 .所以 aba — b= ■ >0,所以 a >b .a + b6. 等边三角形解析 ■/ b 2= a 2 + c 2— 2ac cos B,「. ac = a 2+ c 2— ac , •(a — c )2= 0,二 a = c ,又 B = 60°, • △ ABC 为等边三角形. 7. 1 解析 由 A + C = 2B 及 A + B + C = 180° 知， 1 所以 由正弦定理知， = ，即sin sin A sin 60由 a <b 知，A <B 二 A = 30°,C = 180°— A — B= 180°— 30°— 60°= 90°/• sinC = sin 90 1.B = 60°. 1 A = 2.c n& & 解析则tan设/ BAD= a 1 a = 3, tan 3 ，/ DA(= 3 ,1 2，/• tan / BAC= tan( ata n a + tan 1 — tan a tan 31 1 + _ 32 =1. 1 1 1 —匚x ：3 2n•••/ BAC 勺大小为？9.解(1)因为 cos A = 一2A5，3 4所以 cos A = 2cos - — 1 =二，sin A=：.2 5 5(9(14(62sin由余弦定理得，A D + D C —A C cos / AD = 2AD- DC =100+ 36— 196 = 1 =2X 10X6 =— 2,•••/ ADC= 120°/ ADB= 60° . 在厶 ABD 中, AD= 10, B = 45°, / ADB= 60°,AB AD由正弦疋理得sin / AD B sin B ，AD- sin / ADB 10sin 60 •ABsi n B 10X ~2-5 J 6..2 2sin 4511.解 (1)b 2 + 3c 2— 3a 2 = 4 2bc ,,2224y J 2• b + c — a =^^bc.3 由余弦定理得，cos A = b + c — a- 口3，又 0<A < n,故 sin A = 1 — cos ?A = 3 …32bc(4(6(8(141 — cos2 A(8分)2sin A + 亍 sin A —22sin A又由 A B- AC= 3 得 bc cos A = 3,所以 bc = 5,1因此匕 S A ABC = q bc sin A = 2. .............................. ⑵由⑴知，bc = 5,又b + c = 6, 由余弦定理，得 a 2= b 2+ c 2— 2bc cos A = (b + c )2—■16bc = 20,所以 a =2 5.10.解 在厶 ADC 中, AD= 10, AC= 14, DG= 6,兀，亠 n/ 'IA + — ^|||B +C +*1 — cos2 A（14 分）2019-2020年高考数学大一轮复习4.8正弦定理和余弦定理应用举例学案理苏教版导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算关的实际问题.回扣教材务实墓础自主梳理1. 仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图所示）2•方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角 45°，是指北偏东 45°,即 东北方向. 3. 方向角：相对于某一正方向的水平角.（如图所示）① 北偏东a °即由指北方向顺时针旋转 a °到达目标方向. ② 北偏西a 。

第六节 正弦定理和余弦定理[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (2)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ， cos A ＞cos B ⇔A ＜B ⇔a ＜b. 4．三角形射影定理a ＝b cosc ＋c cos B b ＝a cos C ＋c cos A c ＝a cos B ＋b cos A5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形． ( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C. ( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A.(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c2R＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.]4．在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( ) A ．3 2 B ．6 2C ．2 6D ．3 6B [由正弦定理得a sin A ＝c sinC ，所以a ＝c sin A sin C ＝6×sin 45°sin 30°＝6 2.]5．(教材改编)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4C.π3 D.π2C [由2b sin A ＝3a 得2sin B sin A ＝3sin A. ∴sin B ＝32，又B 是锐角或直角． ∴B ＝π3.]【例1】 5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30C.29 D ．2 5(2)(2019·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( )A.3π4 B.π3C.π4 D.π6(1)A (2)C [(1)因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A. 又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以sin A ＝cos A ，即t a n A ＝1，又A 是三角形内角，则A ＝π4，故选C.]求.,求出正弦值，再求角，即已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解灵活利用式子的特点转化：如出现关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B．45°C ．60°D ．120°(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.(1)A (2)217 3 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.(2)因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×327＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，所以c ＝3.]【例2】 a ，b ，c .已知b sinC ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．233[由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.](2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.①求cos B ；②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.[解] ①由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.②)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6C [因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C ．由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.故选C.](2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B.①证明：A ＝2B ；②若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] ①证明：由b ＋c ＝2a cos B 得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B. 即2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ； 所以sin(A －B )＝sin B.又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＋(A －B )＝π或A －B ＝B ， 所以A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B.②由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，则sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B.由sin B ≠0得sin C ＝cos B. 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B. 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2，当C －B ＝π2时，A ＝π4，综上知A ＝π2或A ＝π4.►考法1 【例3】 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2019·广州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形(1)D (2)C [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由b 2＋c 2＝a 2＋bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.由sin B ·sin C ＝sin 2A 得bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc 得(b －c )2＝0，即b ＝c ，从而△ABC 是等边三角形，故选C.]►考法2 求解几何计算问题【例4】 (2019·哈尔滨模拟)如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．[解] (1)在△ADC 中，∵cos∠ADC ＝17，∴sin∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，则sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC ·cos B －cos∠ADC ·sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BADsin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7.►考法3 正、余弦定理与三角函数的交汇问题【例5】 (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得t a n B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，理求解；寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题面积的2倍．(1)求sin Bsin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ， 所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1.1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sinC －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即t a n A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6，故选B.]2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.π3[由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A. ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B. ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B. 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.]3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 2113 [在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.]4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.75° [如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22.又c >b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.]5．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形形式(边角转化)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_Ccos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab2．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题体验]1．(2019·启东中学检测)在△ABC中，A＝30°，AC＝23，BC＝2，则AB＝________.答案：2或42．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a＝________.答案：6 23．(2019·淮安调研)在△ABC中，若A＝60°，AC＝22，BC＝23，则△ABC的面积为________．解析：在△ABC中，A＝60°，AC＝22，BC＝23，由余弦定理，得cos A＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝12，代入数据化简得AB2－22AB－4＝0，解得AB＝6＋2(负值舍去)．故△ABC的面积S＝12AB·AC·sin A＝3＋ 3.答案：3＋ 31．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．[小题纠偏]1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为________．解析：因为asin A＝bsin B，所以sin B＝ba sin A＝2418sin 45°＝223.又因为a＜b，所以B有两个解，即此三角形有两解．答案：两解2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.解析：在△ABC中，因为sin B＝12，0＜B＜π，所以B＝π6或B＝5π6.又因为B＋C＜π，C＝π6，所以B＝π6，所以A＝2π3.因为asin A＝bsin B，所以b＝a sin Bsin A＝1.答案：1考点一利用正、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B ＝45.(1)若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； (2)若C －B ＝π4，求sin A 的值．解：(1)法一：在△ABC 中， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝45.因为c ＝2a ，所以⎝⎛⎭⎫c 22＋c 2－b 22c ×c 2＝45， 即b 2c 2＝920， 所以b c ＝3510.又由正弦定理得sin B sin C ＝bc ，所以sin B sin C ＝3510.法二：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35.因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ， 所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C .又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255， 所以sin B sin C ＝3510.(2)因为cos B ＝45，所以cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425.因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－2B ＝sin 3π4cos 2B －cos 3π4sin 2B ＝22×725－⎝⎛⎭⎫－22×2425＝31250. [由题悟法]1．正、余弦定理适用类型解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．判断三角形解的个数的注意点已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用]1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为________．解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13， 又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13， 可得b ＝2或b ＝3. 答案：2或32．(2018·苏州高三期中调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin B ＋sin C ＝m sin A (m ∈R)，且a 2－4bc ＝0.(1)当a ＝2，m ＝54时，求b ，c 的值；(2)若角A 为锐角，求m 的取值范围． 解：由题意得b ＋c ＝ma ，a 2－4bc ＝0. (1)当a ＝2，m ＝54时，b ＋c ＝52，bc ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，c ＝2.(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(b ＋c )2－2bc －a 22bc＝(ma )2－a 22－a 2a 22＝2m 2－3， 因为A 为锐角，所以cos A ＝2m 2－3∈(0,1)， 所以32＜m 2＜2，又由b ＋c ＝ma ，可得m ＞0， 所以62＜m ＜2，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2. 考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a 2c ，则△ABC 的形状一定是________．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形[类题通法]判定三角形形状的2种常用途径[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．[即时应用]1．(2019·宿迁期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为______________．解析：∵c ＝2a cos B ，∴由正弦定理，得sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A cos B ， 即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B ， ∴sin A cos B ＝cos A sin B ，可得tan A ＝tan B ， 又0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴A ＝B ， 故△ABC 的形状为等腰三角形． 答案：等腰三角形2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为________．解析：因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形考点三 与三角形面积有关的问题 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·徐州高三年级期中考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋2c ＝2b cos A .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)因为a ＋2c ＝2b cos A ，由正弦定理，得sin A ＋2sin C ＝2sin B cos A . 因为C ＝π－(A ＋B )，所以sin A ＋2sin(A ＋B )＝2sin B cos A .即sin A ＋2sin A cos B ＋2cos A sin B ＝2sin B cos A ， 所以sin A (1＋2cos B )＝0. 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12.又因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3. (2)由余弦定理a 2＋c 2－2ac cos B ＝b 2及b ＝23， 得a 2＋c 2＋ac ＝12，即(a ＋c )2－ac ＝12. 又因为a ＋c ＝4，所以ac ＝4， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×32＝ 3.[由题悟法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时应用](2018·镇江高三期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C .(1)求C 的大小；(2)若b ＝2a ，且△ABC 的面积为23，求c 的值．解：(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C ，得sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ， 所以sin(B ＋A )＝－2sin C cos C ， 所以sin C ＝－2sin C cos C . 因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0， 所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3. (2)因为△ABC 的面积为23， 所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.又b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＝28， 所以c ＝27.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·泰州模拟)在△ABC 中，BC ＝3，B －A ＝π2，且cos B ＝－35，则AC ＝________.解析：∵B －A ＝π2，∴cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－35，∴sin A ＝35，sin B ＝45. ∴由正弦定理，得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝3×4535＝4.答案：42．(2018·姜堰中学测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋ 14c 2，则a cos B c ＝________.解析：由已知及余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a ，所以a cos B c ＝58.答案：583．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝________.解析：b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为________． 解析：由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，所以sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，所以边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332.答案：3325．(2019·如东调研)设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＝23，c ＝3，C ＝2π3，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－ab ，即9＝12－ab ，故ab ＝3， 则S △ABC ＝12ab sin C ＝334.答案：3346．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°＜α＜30°.由正弦定理得m ＝sin (120°－α)sin α＝32·1tan α＋12＞32×3＋12＝2.答案：(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为________． 解析：由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝0，即2a cos A ＋a ＝0，所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°2．(2018·海门中学检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为________．解析：依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34. 答案：343．(2019·镇江调研)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝13，c ＝4，则b ＝________.解析：∵A ＝60°，a ＝13，c ＝4， ∴由余弦定理，得13＝b 2＋16－8b cos 60°， 即b 2－4b ＋3＝0， 解得b ＝1或3. 答案：1或34．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为____．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 答案：30°5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：346．(2019·无锡调研)在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－13x ＋40＝0的两根，则AB ＝________.解析：∵a ，b 是方程x 2－13x ＋40＝0的两根， ∴a ＋b ＝13，ab ＝40，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝132－3×40＝49， 则AB ＝7. 答案：77．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝________.解析：因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.答案： 28．(2019·苏州一模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，则a b ＋c ＋c a ＋b的值为________．解析：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 故a b ＋c ＋ca ＋b ＝a (a ＋b )＋c (b ＋c )(b ＋c )(a ＋b )＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2b 2＋ac ＋bc ＋ab ＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＋ab ＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2a 2＋c 2＋bc ＋ab ＝1. 答案：19．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解：(1) 法一：在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝3，即a 2＋c 2－b 2＝6c . ①由b cos A ＝1，得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝1，即b 2＋c 2－a 2＝2c . ② ①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.法二：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ，由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin C c ，代入上式得，c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得a cos B b cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan A tan B＝3. 又tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33， 解得tan B ＝33，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 10．(2019·盐城期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且sin ⎝⎛⎭⎫π4－C ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22. (1)求角C 的大小；(2)若c ＝33且sin A ＝2sin B ，求△ABC 的面积．解：(1)由sin ⎝⎛⎭⎫π4－C ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22， 得22(cos C －sin C )＋22(cos C ＋sin C )＝22， ∴cos C ＝12， 又0＜C ＜π，∴C ＝π3. (2)由c ＝33且sin A ＝2sin B ，可得a ＝2b ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝4b 2＋b 2－4b 2×12＝3b 2＝27， ∴b ＝3，a ＝6，则△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×3×32＝932. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝6sin A cos A ，所以cos A ＝0或sin B ＝3sin A .若cos A ＝0，则A ＝π2，在Rt △ABC 中，C ＝π3， 所以b ＝c tan C ＝213，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝12×213×7＝736； 若sin B ＝3sin A ，即b ＝3a ，由余弦定理得7＝a 2＋9a 2－2·a ·3a ·12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334. 答案：334或7362．(2019·苏州高三期中调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由b ＝a cos C ＋c sin A 及正弦定理可得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，所以sin(A＋C )＝sin A cos C ＋sin C sin A ，化简可得sin A ＝cos A ，所以A ＝π4.在△ACD 中，由余弦定理可得CD 2＝2＝b 2＋c 24－2b ·c 2·cos A ≥bc －22bc ，当且仅当b ＝c 2时取“＝”，所以bc ≤4＋22，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝24bc ≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值是2＋1. 答案：2＋13．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33， 所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13. 因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin ∠D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin ∠B ＝AB sin ∠ACB， 所以23sin ∠B ＝AB sin (π－2∠B )＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin ∠B cos ∠B ＝AB 233sin ∠B ， 所以AB ＝4.。