(江苏版)2018年高考数学一轮复习 专题9.7 抛物线(讲)

专题9.7 抛物线【知识清单】1.抛物线的标准方程及几何性质对点练习：【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B2. 抛物线的定义及应用平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 对点练习：【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】3. 直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=12||y y -=对点练习：【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0(【解析】（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2p由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p =所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(x ,y ),(x ,y )P Q ，线段PQ 的中点00(x ,y )M 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. 选择题或填空题与椭圆、双曲线综合趋势较强，解答题增多.【重点难点突破】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是( )A ．2B ．1C ．21D ．41 【答案】C【解析】当直线b x y +-=与抛物线相切于P 点时，到直线02=++y x 的距离最小，把b x y +-=代入2x y =得02=-+b x x ，由于相切041=-=∆∴b 得41-=b ，因此⎪⎭⎫⎝⎛-41,21P ，此点到准线41-=y 的距离为21. 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为( ) A ．y 2=4x B ．y 2=8x C ．x 2=4y D ．x 2=8y 【答案】B【1-3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为( ).A ．12B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】圆07622=--+x y x 化为16)3(22=+-y x ，)0(2>-=p px 与圆16)3(22=+-y x 相切，12-=-∴p，即2=p . 【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【领悟技法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【触类旁通】【变式一】如图，过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6xC ．y 2＝3x D ．y 2【答案】C【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B ．【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素． 2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解. 考点2 抛物线的定义及应用【2-1】过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ）A ．8B ．10C ．6D ．4 【答案】A【解析】由于42=p ，因此2=p ，根据焦点弦公式82621=+=++=p x x AB . 【2-2】【2017届浙江省温州市高三第二次模拟】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点．若（为坐标原点），则_______.【答案】 【解析】设，则由抛物线的定义可得，则，故，故直线的方程为代入抛物线方程整理可得，则，则，所以，应填答案。

【基础巩固】一、填空题1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ， PF ⊥x 轴，则k ＝________. 【答案】2【解析】由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，PF ＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2. 2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________． 【答案】y ＝112x 2或y ＝－136x 2【解析】分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.3．(2017·苏州测试)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________. 【答案】8【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.4．(2017·兰州诊断)抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．【答案】3 3【解析】由图可知弦长AB ＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝12×23×3＝3 3.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则QF ＝________. 【答案】36．(2017·扬州中学质检)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为________．【答案】8【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7．(2017·南通调研)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，PF ＝________. 【答案】43【解析】如图，令l 与y 轴交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，BF ＝2，所以AB ＝233，若P (x 0，y 0)，则x 0＝233，代入x 2＝4y 中，则y 0＝13，所以PF ＝PA ＝y 0＋1＝43.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．【答案】2 6二、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．10．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上． (1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解 (1)双曲线的离心率e ＝1＋4a2＝5，又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)， 又p >0，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，【能力提升】11．(2017·镇江调研)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________． 【答案】92【解析】因为点P 在抛物线上，所以d 1＝PF －12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝PF ＋PA －12≥AF －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号．12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________．【答案】22【解析】如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立．13．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．【答案】314．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . (1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．解 (1)由题意得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离等于PO ，由抛物线的定义得点P 到准线的距离为PF ，所以PO ＝PF ，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 在线段OF 的中垂线上， 所以p 4＝34， p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x .(2)四边形AEBF 为菱形，理由如下：由抛物线的对称性，设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20，y 0在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为3y 0， 所以点A 处切线的方程为y －y 0＝3y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16y 20，。

江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题9平面解析几何第77练抛物线理含解析[基础保分练]1．(2018·无锡模拟)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝________.2．已知抛物线y 2＝4x 上的任意一点P ，记点P 到y 轴的距离为d ，又定点A (4,5)，则PA ＋d 的最小值为________．3．(2019·淮安质检)若定义图形与图形之间的距离为一个图形上的任意一点与另一个图形上的任意一点的距离中的最小者，则直线x ＋y ＋5＝0与抛物线y 2＝2x 的距离等于________． 4．已知直线y ＝k (x ＋3)(k >0)与抛物线C ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝3FB ，则k 的值等于________．5．(2018·扬州质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF ＝32MN ，则∠NMF ＝________. 6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为________． 7．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.8．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．9．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC ＋BD 的最小值为________．10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于点M (点M 位于第一象限)，与它的准线相交于点N ，且点N 的纵坐标为4，FM ∶MN ＝1∶3，则实数p ＝________.[能力提升练]1．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________cm.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >2)的焦点为F ，准线为l ，过点F 斜率为3的直线l ′与抛物线C 交于点M (M 在x 轴的上方)，过M 作MN ⊥l 于点N ，连结NF 交抛物线C 于点Q ，则NQQF＝________.4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________________．5．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则NT ＝________.6．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若PF ＝32，则直线l 的方程为________________．答案精析基础保分练1．8 2.34－1 3.924 4.32 5.π66．2 2解析 由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，直线AP ：y ＝p －0p 2－⎝⎛⎭⎪⎫－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＝x ＋p 2，圆心O (0,0)到直线AP 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 22＝2p 4，由题意以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 42＝2， ∴p ＝2 2. 7．6解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2，准线方程与双曲线方程联立可得，x 23－p 212＝1，解得x ＝±3＋p 24，因为△ABF 为等边三角形， 所以32AB ＝p ， 即32·23＋p 24＝p ，解得p ＝6.8．4解析 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上， ∴8＝2px 0，①点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4. 9．2解析 由题意知F (1,0)，AC ＋BD ＝AF ＋FB －2＝AB －2，即AC ＋BD 取得最小值时，当且仅当AB 取得最小值．依抛物线定义知，当AB 为通径，即AB ＝2p ＝4时为最小值，所以AC ＋BD 的最小值为2. 10. 2解析 设准线与x 轴交于点A ， 过点M 作MB ⊥AN ，垂足为B . 设MN ＝3m ，FM ＝BM ＝m ， 由题意得△MNB ∽△FNA ， ∴NB AN ＝BM AF， ∴22m 4＝mp，∴p ＝ 2. 能力提升练 1．3.6 2.2 3．2解析 由抛物线定义可得MF ＝MN ，又斜率为3的直线l ′的倾斜角为π3，MN ⊥l ，所以∠NMF ＝π3，即△MNF 为正三角形， 作QQ ′⊥l ，则∠NQQ ′＝π3，NQ QF ＝NQ QQ ′＝1cosπ3＝2. 4．y 2＝6x解析 ∵以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°， 由抛物线的定义，可得AB ＝AF ＝BF ， ∴△ABF 是等边三角形， ∴∠FBD ＝30°， ∵△ABF 的面积为93＝34BF 2， ∴BF ＝6，F 到准线的距离为BF sin30°＝3＝p ，此抛物线的方程为y 2＝6x ，故答案为y 2＝6x . 5．3解析 画出图形如图所示．由题意得抛物线的焦点F (0,1)，准线为y ＝－1.设抛物线的准线与y 轴的交点为E ，过M 作准线的垂线，垂足为Q ，交x 轴于点P . 由题意得△NPM ∽△NOF ， 又FM →＝MN →，即M 为FN 的中点， ∴MP ＝12OF ＝12，∴MQ ＝12＋1＝32，∴MF ＝MN ＝32.又TM TF ＝TN ＋FM TN ＋2FM ＝MQFE ，即TN ＋32TN ＋3＝322＝34， 解得TN ＝3. 6.2x －y －2＝0解析 ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴抛物线焦点为F (1，0)，准线为l ：x ＝－1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵P 在第一象限， ∴直线AB 的斜率k >0，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1,2＝2k 2＋4±2k 2＋42－4k42k2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，∵过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ， 设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 可得y 0＝12(y 1＋y 2)，∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋4k 2－2k ＝4k，得到y 0＝2k ，∴x 0＝1k2，可得P ⎝⎛⎭⎪⎫1k 2，2k， ∵PF ＝32，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 22＋4k 2＝32，解得k 2＝2， ∴k ＝2，直线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0， 故答案为2x －y －2＝0.。

专题9.7 抛物线一、填空题1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝______．【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2)2，解得p ＝2. 2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝______． 【解析】由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝______．4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为______．【解析】由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .5．(2017·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于______．【解析】记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)有且只有一个公共点，则______．7．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．【答案】8【解析】设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p 2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.8．(2017·邢台模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________．【答案】2【解析】由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，则|AA 1|＋|BB 1|≥6，即2|MM 1|≥6，所以|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离为3－1＝2.9．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的边长为________．【答案】8＋43或8－4 3【解析】由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x －，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y ＝23＋4或y ＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.10．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为________．【答案】π2【解析】由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2. 二、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．12.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。

1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)答案 D解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0， ∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2016·金华一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.4．(2016·合肥模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切， 所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54 D.74(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案 (1)C (2)4解析 (1)∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ， 交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 引申探究1．若将本例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值． 解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22 ＝16＋4＝25，即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.2．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案 D解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233D ．2 答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，⎝⎛⎭⎫－p2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴5＋⎝⎛⎭⎫p 22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.(2)设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为Q 、P ， 由抛物线的定义知，|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b 2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )， 所以|MN ||AB |≤12(a ＋b )32(a ＋b )＝33，即|MN ||AB |的最大值为33. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由k AB＝k DE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)．思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2016·天津模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．(1)解由已知，得x＝4不合题意，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为3，所以|3k|1＋k2＝3，解得k＝±22，所以直线l 的斜率为±22. (2)证明 设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4， 直线AB 的斜率为4－x 0y 0， 直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，y 2＝4x ，消去x 得(1－x 04)y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 是AB 中点，所以y 1＋y 22＝y 0， 即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2， 即线段AB 中点的横坐标为定值2.7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (14分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m)．[3分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[5分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0， 消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[7分] 设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m .(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)， 即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．[9分] 得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[12分] 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12， 而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)． ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[14分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1．(2016·太原模拟)若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．2 D.14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1ay ， 所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a ＝14， 故选D.2．(2016·浙江统一检测)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x答案 C 解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)·(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p 2，0)， ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2， 即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2， 即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.4．(2016·绵阳模拟)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A.3716B.115C ．3D ．2 答案 D解析 直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于|PF |，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离， 所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D. 5．(2016·九江一模)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3 答案 D解析 设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，则y 1＝42，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝42或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－22，则B (1，－22)，∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3，故选D.*6.(2016·济南模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 的值为( )A.13B.23C.223D.23答案 C解析 抛物线C 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|F A |＝2|FB |，得|AM |＝2|BN |，从而点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |， 从而点B 的横坐标为1，点B 的坐标为(1,22)，所以k ＝22－01－(－2)＝223，故选C.7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12. 方法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________.答案 2解析 如图， 由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，∴|BP |＝12|AB |＝|BM |. ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2. 9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意，c ＝2，c a ＝12， 可得a ＝4，b 2＝16－4＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3.从而|AB |＝6.*10.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________． 答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条．当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，所以4<r 2<16，即2<r <4.11．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2016·金华十校模拟)抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，以A (x 1，y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线E 上．(1)过Q (0，－3)作抛物线E 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线E 的方程；(2)求△ABC 面积的最小值．解 (1)设过点Q (0，－3)的抛物线E 的切线l ：y ＝kx －3，联立抛物线E ：x 2＝2py (p >0)得x 2－2pkx ＋6p ＝0，Δ＝4p 2k 2－4×6p ＝0，即pk 2＝6.∵点F (0，p 2)，点F 到切线l 的距离d ＝|p 2＋3|k 2＋1＝2， 化简得(p ＋6)2＝16(k 2＋1)，∴(p ＋6)2＝16(6p ＋1)＝16(p ＋6)p， ∵p >0，∴p ＋6>0，得p 2＋6p －16＝(p ＋8)(p －2)＝0，∴p ＝2，因此抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)已知直线AB 不会与坐标轴平行，设直线AB ：y －y 1＝k (x －x 1)(k >0)，B (x B ，y B )，联立抛物线方程得x 2－2pkx ＋2p (kx 1－y 1)＝0，则x 1＋x B ＝2pk ，则x B ＝2pk －x 1，同理可得x C ＝－2p k－x 1.∵|AB |＝|AC |⇔1＋k 2|x B －x 1|＝1＋1k2|x C －x 1| ⇒k (x B －x 1)＝x 1－x C ⇒x 1＝p (k 2－1k )k ＋1， ∴|AB |＝1＋k 2|x B －x 1|＝1＋k 2(2pk －2x 1)＝2p 1＋k 2(k 2＋1)k (k ＋1). ∵k 2＋1k ≥2，k 2＋1k ＋1＝k 2＋1k 2＋2k ＋1 ≥ k 2＋1k 2＋1＋(k 2＋1)＝22(当且仅当k ＝1时等号成立)， 故|AB |≥22p ，△ABC 面积的最小值为8p 2.*13.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和(－12，32)．(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和(－12，32)， ∴r 2＝(－12)2＋(32)2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1. ∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ， 得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－k k， 即B (1－2k k 2，1－k k)， ∴k BQ ＝k 1－2k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0， ∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A (－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1)， ∴k AQ ＝－1k， ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k 1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2， 由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1，∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。

§9.7抛物线考纲展示►1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.了解抛物线的简单应用，掌握其几何性质.3.理解数形结合思想.考点1 抛物线的定义及应用抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．答案：距离相等焦点准线[教材习题改编]动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案：y2＝4x解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.抛物线的定义：关注应用．过抛物线y2＝8x的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于点A，B，则|AB|＝________.答案：16解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AB|＝1＋12·x1＋x22－4x1x2＝2×122－16＝16.解法二：过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x 2－12x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12. 由抛物线定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋4＝16.[考情聚焦] 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等． 主要有以下几个命题角度： 角度一到焦点与定点距离之和最小问题[典题1] [2017·江西赣州模拟]若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的点M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)[答案] D[解析] 过点M 作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M 的坐标为(2,2)．角度二到点与准线的距离之和最小问题[典题2] [2017·河北邢台摸底]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．[答案] 5[解析] 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，则|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度三到定直线的距离最小问题[典题3] 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 [答案] B[解析] 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.角度四焦点弦中距离之和最小问题[典题4] 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．[答案] 2[解析] 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.[点石成金] 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点2 抛物线的标准方程与性质1.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________. 答案：(1)y 2＝2px (p >0) (2)y 2＝－2px (p >0) (3)x 2＝2py (p >0) (4)x 2＝－2py (p >0) 2．抛物线的几何性质答案：O (0,0) y ＝0 x ＝0 1(1)[教材习题改编]若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________． 答案：－18解析：抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1ay ，∴－14a ＝2，∴a ＝－18.(2)[教材习题改编]将抛物线C 1：x 2＝12y 绕原点逆时针旋转90°，得到抛物线C 2，则C 2的焦点坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0 解析：易知抛物线C 2的方程为y 2＝－12x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0.抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号．抛物线x 2＋2py ＝0的焦点到准线的距离为4，则p ＝________. 答案：±4解析：抛物线x 2＋2py ＝0的标准方程为x 2＝－2py ，依题意知|p |＝4，所以p ＝±4.求抛物线的标准方程：待定系数法．抛物线的开口向左，过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段AB 的长为4，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－4x解析：依题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，易得|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2， 所以所求抛物线方程为y 2＝－4x .[典题5] (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1) [答案] B[解析] 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y[答案] D[解析] ∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.则x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x . x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意得p21＋32＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .[点石成金] 1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 的值即可．2．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．3．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.若抛物线y 2＝4m x 的准线经过椭圆x 27＋y23＝1的左焦点，则实数m 的值为________．答案：12解析：抛物线y 2＝4m x 的准线方程为x ＝－1m ，椭圆x 27＋y23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m ＝－2，所以实数m ＝12.考点3 焦点弦问题[典题6] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． [解] (1)由题意得，直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)，得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[点石成金] 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0. 由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B ，则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y A x A ＝k OA . ∴直线AC 经过原点O .考点4 直线与抛物线的位置关系[典题7] 已知A (8,0)，B ，C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC→＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )， 则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )．∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0，①∴由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ，将b ＝－y 代入①，得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则l ：y ＝k (x －8)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)，由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋64k 2＝96.② 将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x ， 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0. ∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2＞0， 即－24＜k ＜24， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝16k 2－4k2，x 1x 2＝64.代入②式，得64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k＋64k 2＝96. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12.∵k ＝±12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24，∴这样的直线l 不存在．综上，不存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足OM →·ON →＝97. [点石成金] 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t ＞0)作不过原点O的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由题意知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －t ，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2.设△PAB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t32.[方法技巧] 1.求抛物线的标准方程时，一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下几个结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以AF 为直径的圆与y 轴相切； (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[易错防范] 直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．真题演练集训1．[2015·浙江卷]如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案：A解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知，焦点F (1,0)，作准线l ， 则l 的方程为x ＝－1.∵ 点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1. 在△CAN 中，BM ∥AN ， ∴ |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：B解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，解得p ＝4，故选B.3．[2016·四川卷]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 答案：C解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则由|PM |＝2|MF |，得M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫p ＋t 22p 3，t 3. 当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0； 当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝tp ＋t 22p ＝1p t ＋t2p，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p ≤12p |t |·|t |2p＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时等号成立，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C.4．[2016·天津卷]设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案： 6解析：抛物线的普通方程为y 2＝2px ，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，l ：x ＝－p 2.由|CF |＝2|AF |，得|AF |＝32p ，不妨设点A (x ，y )在第一象限，则x ＋p 2＝3p2，即x ＝p ，所以y ＝2p .易知△ABE ∽△FCE ，|AB ||CF |＝|AE ||EF |＝12，所以|EF |＝2|AE |，所以△ACF 的面积等于△AEC 的面积的3倍，即S △ACF ＝92， 所以S △ACF ＝12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.5．[2016·浙江卷]若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案：9解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.课外拓展阅读对抛物线的标准方程认识不准而致误分析[典例] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433[解析] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4x －，y ＝12p x 2，消去y ，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0. 设点M 的横坐标为a ，易知在点M 处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′x ＝a ＝a p ， 又因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x3±y ＝0，其与切线平行，所以ap ＝33，即a ＝33p ， 代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．[答案] D。