2021版江苏高考数学一轮复习集训60 二项式定理

第59课二项式定理[最新考纲]内容要求A B C二项式定理√1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n当k<n＋12(n∈N＋)时，是递增的当k>n＋12(n∈N＋)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项取最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)假设(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，那么a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项． (3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，那么n ＝________.6 [(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n .依题意，得C 2n ＝15，解得n＝6(n ＝－5舍去)．]3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项是________．7 [由题意知n 2＋1＝5，解得n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k 2k －8C k 8.令8－4k3＝0得k ＝6，那么展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.]4．(2021·北京高考)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)60 [依二项式定理，含x 2的项为展开式的第3项．∴展开式中T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2，那么x 2的系数为60.]5．(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝________.－1 [(1＋x )5＝1＋C 15x ＋C 25x 2＋C 35x 3＋C 45x 4＋C 55x 5. ∴(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的项为(C 25＋C 15a )x 2，依题意得10＋5a ＝5，解得a ＝－1.]通项公式及其应用(1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________. 【导学号：62172322】(2)(2021·山东高考)假设⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，那么实数a＝________.(1)30 (2)－2 [(1)法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5·a 5－r r .令10－52r ＝5，解得rx 5的系数为－80，那么有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.] [规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1] (1)假设⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，那么正整数n 的最小值等于________．(2)(2021·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)(1)5 (2)10 [(1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n ，假设T r ＋1是常数项，那么6n －15r 2＝0，即n ＝54r . 又n ∈N ＋，故n 的最小值为5.(2)(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝25－r ·C r 5·.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]二项式系数与各项系数和(1)(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么奇数项的二项式系数和为________．(2)假设(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________.【导学号：62172323】(1)29 (2)0 [(1)∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.从而C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－2)4＝1.又令x＝0，得a0＝(1－0)4＝1.因此a1＋a2＋a3＋a4＝0.][迁移探究1]假设本例(2)中条件不变，问题变为“求a0＋a2＋a4的值〞，那么结果如何？[解]在(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝34.②由①＋②，可得a0＋a2＋a4＝12(34＋1)＝41.[迁移探究2]假设将本例(2)变为“假设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2016x2 016(x∈R)，那么a12＋a222＋…＋a2 01622 016的值为________．〞－1[令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.令x＝12，那么a0＋a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝0，∴a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝－1.][规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n，此题常因把“n的等量关系表示为C4n＝C8n〞，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值〞求出a0与各项系数的和．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.[变式训练2](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，那么a＝________.3[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]二项式定理的应用(1)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，那么C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝________.(2)设a∈Z，且0≤a<13，假设512 012＋a能被13整除，那么a＝________.(1)－1＋i(2)12[(1)x＝2i1－i＝－1＋i，C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i.(2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012·522 012－C12021·522 011＋…＋C2 0112 012·52·(－1)2 011＋C2 0122 012·(－1)2 012＋a，∵C02 012·522 012－C12021·522 011＋…＋C2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除．且512 012＋a能被13整除，∴C20212021·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.][规律方法] 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，表达数形结合和方程思想的应用．2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．(2)运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数；②二项式定理的逆用．[变式训练3] 设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n .假设点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图59-1所示，那么a ＝________.图59-13 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)． 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.][思想与方法]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)提醒二项展开式的规律，一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．[易错与防范]1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然一样，但具体到它们展开式的某一项时是不一样的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项〞“项的系数〞“项的二项式系数〞等概念，注意项的系数是指非字母因数所有局部，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．课时分层训练(三)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，假设M －N ＝240，求展开式中二项式系数最大的项. 【导学号：62172324】[解] 依题意得，M ＝4n ＝(2n )2，N ＝2n ， 于是有(2n )2－2n ＝240，(2n ＋15)(2n －16)＝0， ∴2n ＝16＝24， 解得n ＝4.要使二项式系数C r 4最大，只有r ＝2， 故展开式中二项式系数最大的项为T 3＝C 24(5x )2·(－x )2＝150x 3. 2．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .假设13a ＝7b ，求m 的值．[解] (x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m ，同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·(2m )！m ！ m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！.∴m ＝63．(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 【导学号：62172325】[解] 令x ＝1，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2， 得a 1＋a 3＋a 5＋a 7 ＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)法一：∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.4．二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．[解] (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝256，∴2n＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r3， 令8－4r3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.5．假设⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．[解] 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T r ＋1， 由T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r8x 16－3r 4，∴r 为4的倍数， 又0≤r ≤8，∴r ＝0,4,8. 故有理项为T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120C 08x16－3×04＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48x16－3×44＝358x ， T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128C 88x16－3×84＝1256x 2.(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，那么：⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＋1C r ＋18且⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12r －1C r －18⇒r ＝2或r ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 28x16－3×24＝7x 52，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 38x16－3×34＝7x 74.6．(1)2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；8的近似值．(准确到小数点后三位)[解] (1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.8＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 282＋C 383≈1.172.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·苏州期中)设f (x ，n )＝(1＋x )n ，n ∈N ＋. (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；(2)n ∈N ＋，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1；(3)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ×2n －1.[解] (1)展开式中系数最大的项是第4项为C 3n x 3＝20x 3. (2)C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ]＝14(4＋1)n＝5n 4. (3)证明：因为k C k n ＝n C k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…C n －1n －1)＝n ×2n －1. 2．f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．[解] (1)由得C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. ∵m ∈N ＋，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时， m ＝5，n ＝3，∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33＝59， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.3．(2021·南京模拟)设集合S ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N ＋，n ≥2)，A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(A ，B )的个数为P n .(1)求P 2，P 3的值； (2)求P n 的表达式．[解] (1)当n ＝2时，即S ＝{1,2}，此时A ＝{1}，B ＝{2}，所以P 2＝1. 当n ＝3时，即S ＝{1,2,3}．假设A ＝{1}，那么B ＝{2}，或B ＝{3}，或B＝{2,3}；假设A ＝{2}或A ＝{1,2}，那么B ＝{3}．所以P 3＝5.(2)当集合A 中的最大元素为“k 〞时，集合A 的其余元素可在1,2，…，k －1中任取假设干个(包含不取)，所以集合A 共有C 0k －1＋C 1k －1＋C 2k －1＋…＋C k －1k －1＝2k－1种情况．此时，集合B 的元素只能在k ＋1，k ＋2，…，n 中任取假设干个(至少取1个)，所以集合B 共有C 1n －k ＋C 2n －k ＋C 3n －k ＋…＋C n －k n －k ＝2n －k －1种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k 〞时， 集合对(A ，B )共有2k －1(2n －k －1)＝2n －1－2k －1对．当k 依次取1,2,3，…，n －1时，可分别得到集合对(A ，B )的个数，求和可得P n ＝(n －1)·2n －1－(20＋21＋22＋…＋2n －2)＝(n －2)·2n －1＋1.4．(2021·苏锡常镇调研一)在杨辉三角形中，从第3行开场，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如图59-2所示．图59-2(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？假设存在，试求出是第几行；假设不存在，请说明理由；(2)n 、r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．[解] (1)杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0,1,2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k nC k ＋1n ＝k ＋1n －k＝45，那么3n －7k ＝－3,4n －9k ＝5， 解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(2)假设有n ，r (n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列， 那么2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ，即2·n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＝n ！r ！(n －r )！＋n ！(r ＋2)！(n －r －2)！，2·n ！(r ＋2)！(n －r －2)！＝n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＋n ！(r ＋3)！(n －r －3)！.所以有2(r ＋1)(n －r －1)＝1(n －r －1)(n －r )＋1(r ＋1)( r ＋2)，2(r ＋2)(n －r －2)＝1(n －r －2)(n －r －1)＋1(r ＋2)(r ＋3)，经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0.两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，而由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．。

§10.3二项式定理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)二项展开式T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项的通项公式二项式系数二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n2.二项式系数的性质＋C m n.(1)C0n＝1，C n n＝1，C m n＋1＝C m－1n(0≤m≤n)．C m n＝C n－mn(2)二项式系数先增后减中间项最大．当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2Cnn，当n 为奇数时，第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为12Cn n -或12Cn n+.(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n＋…＝2n －1. 概念方法微思考1．(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式有何区别与联系？提示 (a ＋b )n 的展开式与(b ＋a )n 的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示 不一定最大，当二项式中a ，b 的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r 项．( × ) (2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( √ ) 题组二 教材改编2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 答案 B解析 T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝C r 52r x r ，当r ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 3．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．120 答案 B解析 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 6－2r，当6－2r ＝0，即当r ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.题组三 易错自纠5．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A ．C m nB ．C m ＋1n C ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项为T m ＝C m －1n(－y )m －1x n－m ＋1，所以系数为C m －1n(－1)m －1. 6．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n (a 为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 答案 C解析 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，则二项式的展开式通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 51556rx -，令15－5r 6＝0，得r ＝3，则其常数项为C 35a 3，根据题意，有C 35a 3＝80，可得a ＝2.7．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________． 答案 1解析 因为所有二项式系数的和是32，所以2n ＝32，解得n ＝5. 在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5中，令x ＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.多项展开式的特定项命题点1 二项展开式问题例1 (1)(2020·山东模拟)⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 4的系数是( ) A ．－210 B ．－120 C ．120 D ．210答案 B解析 由二项展开式，知其通项为T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1x 10－r (－x )r ＝(－1)r C r 10x 2r －10， 令2r －10＝4，解得r ＝7. 所以x 4的系数为(－1)7C 710＝－120.(2)(2019·浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案 162 5解析 该二项展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r ，当r ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当r ＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.命题点2 两个多项式积的展开式问题例2 (1)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 答案 A解析 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.(2)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30. 故选C.命题点3 三项展开式问题例3 (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 方法一 利用二项展开式的通项求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用排列组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个因式取y ，剩余的三个因式中两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．11 C ．－19 D ．51 答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫x －1x 5－r 当r ＝5时，常数项为C 55＝1，当r ＝3时，常数项为－C 12C 35＝－20， 当r ＝1时，常数项为C 45C 24＝30.综上所述，常数项为1－20＋30＝11.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．跟踪训练1 (1)(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为( ) A ．－3 B ．－2 C ．1 D ．4 答案 B解析 (x －1)4的通项为T r ＋1＝C r 4x 4－r (－1)r ，(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为C 34(－1)3＋C 24(－1)2＋C 14(－1)＝－2，故选B.(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案 12解析 通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，令10－r ＝7， ∴r ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.(3)(1＋2x －3x 2)5展开式中x 5的系数为________． 答案 92解析 方法一 (1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5， 所以x 5的系数为C 05C 5525＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.方法二 (1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.二项式系数的和与各项系数的和问题命题点1 二项式系数和与系数和例4 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( ) A ．－1 B ．1 C ．27 D ．－27 答案 A解析 依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.(2)(2019·宣城调研)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为( ) A ．1 B ．2 C ．129 D ．2 188答案 C解析 令x ＝0得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128， 又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1. 故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 命题点2 二项式系数的最值问题例5 (2019·马鞍山模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．7 答案 D解析 根据⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r 20·420-3rx ，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项． 思维升华 (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 3＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)当n 为偶数时，展开式中第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2Cn n；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为12Cn n -或12Cn n+.跟踪训练2 (1)(2019·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．212 答案 A解析 由题意知C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. (2)已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6. (3)(2019·合肥质检)已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________. 答案 3解析 当x ＝0时，(－1)5＝－1＝a 0.当x ＝1时，(m －1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33－1＝32，则m －1＝2，m ＝3.。

1．(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中，沙洋中学联考)在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为( )A ．－240B ．－60C ．60D ．240答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 6(－2)r x 12－3r ， 令12－3r ＝0得r ＝4，即常数项为T 5＝C 46(－2)4＝240.2.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为( ) A ．80 B ．－80 C ．－40 D ．48答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80，故选B.3．(2019·十堰调研)若⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n 展开式的通项为 C r n (x 6)n －r 32r x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝C r n 1562n r x - ，r ＝0,1,2，…n ，则依题设，由6n －152r ＝0， 得n ＝54r ，∴n 的最小值等于5. 4．(2020·广州海珠区模拟)(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80答案 D解析 (2x －y )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－y )r ，当r ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D.5．(2019·江淮十校考前最后一卷)已知(x ＋1)(2x ＋a )5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x 3项的系数是( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，可得(x ＋1)(2x ＋a )5的展开式中各项系数和为2(2＋a )5＝2.∴a ＝－1.二项式(2x －1)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r ＝25－r ·(－1)r ·C r 5·x 5－r ， 所以(x ＋1)(2x －1)5的展开式中含x 3项的系数为22(－1)3C 35＋23(－1)2C 25＝40. 6．在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( ) A ．50 B ．70 C ．90 D ．120答案 C解析 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5. 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝C r 53r 352r x －，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90. 7．(多选)二项式(2x －1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项答案 CD解析 本题考查二项式系数的性质．因为二项式(2x －1)7展开式的各项的二项式系数为C r 7(r ＝0,1,2,3,4,5,6,7)，易知当r ＝3或r ＝4时，C r 7最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项．8．(多选)对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，以下判断正确的有( ) A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项答案 AD解析 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫1x n －r (x 3)r ＝C r n x 4r －n ， ∴当n ＝4r 时，展开式中存在常数项，A 选项正确，B 选项错误；当n ＝4r －1时，展开式中存在x 的一次项，D 选项正确，C 选项错误．故选AD.9．(2020·镇江质检)(x －x )6的展开式中，含x 5项的系数为________．答案 15解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·62r x －，令6－r 2＝5，得r ＝2， 故含x 5的系数为C 26＝15. 10．(2019·晋城模拟)(2－3x )2(1－x )7的展开式中，x 3的系数为________．答案 －455解析 依题意，x 3的系数为4C 37×(－1)3－12C 27(－1)2＋9C 17(－1)＝－455.11．已知⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝________，展开式中常数项为________．答案 －2310 解析 在⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中， 令x ＝1，得(a ＋1)·35＝81，解得a ＝－23， 所以⎝⎛⎭⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为 1x ·C 45·2x ＝10. 12．(2019·怀化模拟)若在⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则⎝⎛⎭⎫x －2x ·⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中的常数项为________． 答案 －120解析 由⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项， 则展开式共6项，即n ＝6－1＝5，又⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝25－r C r 5x 5－2r ，则⎝⎛⎭⎫x －2x ·⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中的常数项为22C 35－2·23C 25＝－120.13．已知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ等于( )A.π4B.π4或3π4C.π3D.π3或2π3答案 B 解析 由二项式定理知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数为C 35cos 2θ，⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数为C 14×54，所以C 35cos 2θ＝C 14×54，解得cos 2θ＝12，解得cos θ＝±22，又θ∈(0，π)，所以θ＝π4或3π4，故选B. 14.⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35的展开式中常数项是________． 答案 －1 683解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35表示五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ,2x ，1x ，1x，－3，则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ，1x，－3，－3，－3，则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.15．(2019·衡水中学调研卷)设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a和b 对模m 同余，记为a ≡b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ≡b (mod10)，则b 的值可以是( )A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 021答案 D解析 a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a ≡b (mod10)，所以b 的值可以是2 021.16．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋24x n 展开式中前三项的系数和为163，求： (1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1,2C 1n ，4C 2n .由题意得1＋2C 1n ＋4C 2n ＝163，可得n ＝9.(1)设展开式中的有理项为T r ＋1，由T r ＋1＝C r 9(x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫24x r ＝2r C r 91834r x -， 又∵0≤r ≤9，∴r ＝2,6.故有理项为T 3＝22C 29·18324x -⨯＝144x 3， T 7＝26·C 69·18364x -⨯＝5 376. (2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r C r 9≥2r ＋1C r ＋19，2r C r 9≥2r －1C r －19， ∴173≤r ≤203， 又∵r ∈N ，∴r ＝6，故展开式中系数最大的项为T 7＝5 376.。

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核心考点·精准研析考点一排列、组合的基本问题1.某校根据2017版新课程标准开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )A.30种B.35种C.42种D.48种2.在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个3.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有________种安排办法.4.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)世纪金榜导学号【解析】1.选A.按照所选的3门课程中A类的情形分两类:第一类,2门A类选修课,1门B类选修课,有种方法;第二类,1门A类选修课,2门B类选修课,有种方法,所以由分类加法计数原理得不同的选法共有+=12+18=30(种).2.选C.按照首位的大小分类:(1)开头为231的,有一个.(2)开头为23的,第三位从4,5中选一个,有种,余下的后两位,有种,共有=4个.(3)开头为2,第2位从4,5中选一个,有种,余下的后3位,有种,共有=12个.(4)开头为3,后四位由1,2,4,5全排列,有4!=24个.(5)开头为4,第二位为1,2中的一个,有2种方法,后三位有3!=6种方法,共有2×6=12个.(6)开头为43,第三位从1,2中选一个,有2种方法,后两位有2!种方法,共有2×2=4个.(7)开头为435的,只有1个,所以由分类加法计数原理得所求的数共有1+4+12+24+12+4+1=58(个).3.方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类情况下,划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下算法: ··+··=8 640(种).方法二:采取“总方法数减去不符合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在前排的八人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是·.在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐在前排,且乙、丙坐两排的八人坐法,”这个数目是····.其中第一个因数表示甲坐在前排的方法数,表示从乙、丙中任选出一人的方法数,表示把选出的这个人安排在前排的方法数,下一个则表示乙、丙中未安排的那个人坐在后排的方法数,就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为·-····=8 640(种).答案:8 6404.分类讨论:第一类:不含0的,按照分步乘法计数原理: = 10×3×24=720;第二类:包含0的,按照分步乘法计数原理: =10×3×3×6=540,所以一共有1 260个没有重复数字的四位数.答案:1 2601.求解有限制条件的排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法2.两类含有附加条件的组合问题的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,用直接法分类复杂时,可用间接法求解.考点二排列、组合的综合问题【典例】1.从A,B,C,D,E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.24B.48C.72D.1202.把20个不加区别的小球放入1号,2号,3号的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的方法种数为________.3.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n!!”如下:当n为偶数时,n!!=n··……6·4·2,当n为奇数时,n!!=n··……5·3·1,现有四个结论:①(2018!!)·(2019!!)=2019!,②(2n)!!=2n,③2018!!的个位数字是8,④<,则四个结论中正确的是________.【解题导思】序号联想解题1 由“A不参加物理、化学竞赛”联想到分类:A参加,A不参加.2 由题意知小球没有区别,及盒子内球数不小于编号数,联想到先在2,3号盒子里分别放上1,2个球,变成了挡板问题.3 看到双阶乘,联想到阶乘.【解析】1.选C.因为A参加时参赛方案有=48(种);A不参加时参赛方案有=24(种),所以不同的参赛方案共72种.2.先在编号为2,3的盒内分别放入1个,2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1个,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中,即可共有C=120种方法.答案:1203.因为(2018!!)·(2019!!)=(2018×2016×…×6×4×2)×(2019×2017×…×5×3×1)=2019×2018×2017×…×5×4×3×2×1=2019!所以①是正确的.因为(2n)!!=··……6·4·2=2n··……3·2·1=2n, 所以②是正确的.因为由②知道2018!!中有因数5,也有因数2,所以个位数字是0,所以③是错误的.因为对任意正整数n,都有<,所以=,<,=,<,…,=,<,把上面的2n个式子作乘法,得<,所以两边开方得<,所以④是正确的.答案:①②④解决排列、组合的综合问题的关键点(1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个原理作最后处理.(2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一,避免出现重复或遗漏.(3)对于选择题要谨慎处理,注意答案的不同形式,处理这类选择题可采用排除法分析选项,错误的答案都有重复或遗漏的问题.(4)熟记排列数、组合数公式及其变形,准确计算.1.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72【解析】选D.分两步:第一步,先排个位,有种选择;第二步,排前4位,有种选择.由分步乘法计数原理,知有·=72个.2.某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出,要求A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序的种数为( )A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020【解析】选C.当A,B节目中只选一个时,共有=960种演出顺序;当A,B节目都被选中时,由插空法得共有=180种演出顺序.所以一共有960+180=1140种演出顺序.3.已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n,求证:.【证明】(用分析法)原不等式等价于<,左边==···…·,于是只要证明<即可,联想到“糖水不等式:若0<a<b,m>0,则0<<<1”及不等式的可乘性,所以···…·<··…=,所以原不等式成立.考点三二项式定理命题精解读考什么:(1)考查二项展开式的通项及由通项求某一项的系数或常数项.(2)考查应用赋值法求某些数列的和.怎么考:求二项展开式的通项或某指定项的系数或常数项,或知道某项系数或二项式系数,反求参数的值,考查二项展开式中组合思想的应用.新趋势:结合二项展开式的特征,与数列求和或不等式等知识交汇考查二项式定理.学霸好方法1.求解二项式定理问题的关键(1)熟记二项式定理,会用组合思想解决展开式的通项,或某些指定项.(2)熟悉二项展开式的特征,掌握赋值法解某项数列求和问题.2.交汇问题解决与数列、不等式等知识交汇问题时,先用赋值法构造求和模型,再转化为熟悉的问题.二项展开式的通项及其应用【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.802.的展开式中常数项为( )A. B.160 C.- D.-160【解析】1.选C.展开式的通项公式为T r+1=(x2)5-r=2r x10-3r,令10-3r=4可得r=2,则x4的系数为22=40.2.选A.的展开式的通项为T r+1=x6-r=x6-2r,令6-2r=0,得r=3,所以展开式中的常数项是T4==.如何解决与二项展开式的通项有关的问题?提示:(1)求展开式中的特定项或其系数.可依据条件写出第k+1项,再由特定项的特点求出k值即可.(2)已知展开式的某项或其系数求参数.可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k+1项,由特定项得出k值,最后求出其参数.二项式系数的性质与各项的和【典例】1.(2019·郑州模拟)若二项式的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式所有项的系数之和为( )A.-1B.1C.27D.-272.(2019·盐城斯模拟)在的展开式中,x3的系数等于-5,则该展开式的各项的系数中最大值为( )A.5B.10C.15D.203.(2019·襄阳模拟)设(x2+1)(2x+1)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,则a0+a1+a2+…+a10的值为________. 世纪金榜导学号【解析】1.选A.依题意得2n=8,解得n=3,取x=1,得该二项展开式每一项的系数之和为(1-2)3=-1.2.选B.的展开式的通项为T r+1=x5-r·=(-a)r x5-2r,令5-2r=3,则r=1,所以-a×5=-5,即a=1,展开式中第2,4,6项的系数为负数,第1,3,5项的系数为正数,故各项的系数中最大值为=10.3.在所给的多项式中,令x=-1可得(1+1)×(-2+1)8=a0+a1+a2+…+a10,即a0+a1+a2+…+a10=2.答案:2如何求解二项式系数或展开式系数的最值问题?提示:求解二项式系数或展开式系数的最值问题一般分两步:第一步,要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个.第二步,若是求二项式系数的最大值,则依据(a+b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解.若是求展开式系数的最大值则在系数均为正值的前提下,求最大值只需解不等式组即可求得答案.二项式定理的综合应用【典例】1.(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.802.(2019·枣阳模拟)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为世纪金榜导学号( )A.10B.20C.30D.60【解析】1.选D.(2x-y)6的展开式的通项公式为T r+1=(2x)6-r(-y)r,当r=2时,T3=240x4y2,当r=3时,T4=-160x3y3,故x4y3的系数为240-160=80.2.选C.(x2+x+y)5的展开式的通项为=(x2+x)5-r·y r,令r=2,则T3=(x2+x)3y2,又(x2+x)3的展开式的通项为(x2)3-k·x k=,令6-k=5,则k=1,所以(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为=30.如何求解(a+b)m(c+d)n或(a+b+c)n展开式的某一项的系数?提示:(1)若n,m中一个比较小,可考虑把它展开得到多个,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.(2)若三项能用完全平方公式,那当然比较简单;若三项不能用完全平方公式,只需根据题目特点,把“三项”当成“两项”看,再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数.(3)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2.(4)分别得到(a+b)n,(c+d)m的通项公式,综合考虑.1.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,则n等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选C.展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,由已知得=2n=64,所以n=6.2.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得,m为常数,若a5=-7,则a0= ( )A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.因为(x+m)5的通项公式为T r+1=x5-r m r,a5x5=x·x5-1m1+(-2)x5=(5m-2)x5,所以a5=5m-2,又因为a5=-7,所以5m-2=-7,所以m=-1,所以常数项a0=(-2)×(-1)5=2.3.在的展开式中,含x5项的系数为( )A.6B.-6C.24D.-24【解析】选B.由=-+-…-+,可知只有-的展开式中含有x5,所以的展开式中含x5项的系数为-=-6.4.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.【解析】设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②①-②得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.答案:31.(2019·湘潭模拟)若(1-3x)2 020=a0+a1x+…+a2 020x2 020,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020的值为( )A.22 020-1B.82 020-1C.22 020D.82 020【解析】选B.由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=(1-9)2 020=82 020,所以a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=82 020-a0=82 020-1.2.的展开式中常数项为( )A.-30B.30C.-25D.25【解析】选C.=x2-3x+,的展开式的通项为T r+1=(-1)r,易知当r=4或r=2时原式有常数项,令r=4,T5=(-1)4,令r=2,T3=(-1)2·,故所求常数项为-3×=5-30=-25.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021年高考数学一轮复习二项式定理同步检测（含答案）题型归纳二项式定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式，以下是二项式定理同步检测，请考生及时练习。

1.二项式6的展开式中的常数项是()A.20B.-20C.160D.-160解析二项式(2_-)6的展开式的通项是Tr+1=C(2_)6-rr=C26-r(-1)r_6-2r.令6-2r=0，得r=3，因此二项式(2_-)6的展开式中的常数项是C26-3(-1)3=-160.答案 D2.若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为().A.6B.10C.12D.15解析 Tr+1=C()n-rr=(-2)rC_，当r=4时，=0，又nN_，n=12.答案 C3.已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是().A.28B.38C.1或38D.1或28解析由题意知C(-a)4=1 120，解得a=2，令_=1，得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.答案4.设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中_的系数为().A.-150B.150C.300D.-300解析由已知条件4n-2n=240，解得n=4，Tr+1=C(5_)4-rr=(-1)r54-rC_4-，令4-=1，得r=2，T3=150_.答案 B.设aZ，且013，若512 012+a能被13整除，则a=().A.0B.1C.11D.12解析 512 012+a=(134-1)2 012+a被13整除余1+a，结合选项可得a=12时，512 012+a能被13整除.答案 D.已知00)与y=|loga_|的大致图象如图所示，所以n=2.故(_+1)n+(_+1)11=(_+2-1)2+(_+2-1)11，所以a1=-2+C=-2+11=9.答案 B二、填空题. 18的展开式中含_15的项的系数为________(结果用数值表示).解析 Tr+1=C_18-rr=(-1)rCr_18-r，令18-r=15，解得r=2.所以所求系数为(-1)2C2=17.答案 17.已知(1+_+_2)n的展开式中没有常数项，nN_且28，则n=________.解析 n展开式中的通项为Tr+1=C_n-rr=C_n-4r(r=0,1,2，，8)，将n=2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n=5.答案 n=5.若(cos+_)5的展开式中_3的系数为2，则sin=________.解析由二项式定理得，_3的系数为Ccos2=2，cos2=，故sin=cos2=2cos2-1=-. - .设二项式6(a0)的展开式中_3的系数为A，常数项为B.若B=4A，则a的值是________.解析由Tr+1=C_6-rr=C(-a)r_6-r，得B=C(-a)4，A=C(-a)2，B=4A，a0，a=2.答案 2三、解答题.已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n;(2)求展开式中的常数项.解 (1)由题意，得C+C+C++C=256，即2n=256，解得n=8.(2)该二项展开式中的第r+1项为Tr+1=C()8-rr=C_，令=0，得r=2，此时，常数项为T3=C=28..已知等差数列2,5,8，与等比数列2,4,8，，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式.等差数列2,5,8，的通项公式为an=3n-1，等比数列2,4,8，的通项公式为bk =2k ，令3n-1=2k ，nN_，k N_，即n===，当k =2m-1时，mN_，n=N_，Cn=b2n-1=22n-1(nN_)..已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2+1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a的值.解 5的展开式的通项为Tr+1=C5-rr=5-rC_，令20-5r=0，得r=4，故常数项T5=C=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n=16，得n=4.由二项式系数的性质知，(a2+1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4=54，解得a=..已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解 (1)C+C=2C，n2-21n+98=0.n=7或n=14，当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423=，T5的系数为C324=70，当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C727=3 432.(2)C+C+C=79，n2+n-156=0.n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大，12=12(1+4_)12，9.410.4，k=10.展开式中系数最大的项为T11，T11=C2210_10=16 896_1二项式定理同步检测和答案的所有内容就是这些，祝愿更多的考生可以梦想成真。

2021年高考数学总复习第60讲：二项式定理1．(2020·北京昌平区期末)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B ．154C ．－38D ．38C [因为T r ＋1＝C r 6·⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r，可得r ＝1时，x 2的系数为－38，C 正确．]2．(2020·湖南怀化期末)将(3＋x )n 的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [依题意C n －2n ·32＝90，得到C n －2n ＝10，解得n ＝5.]3．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．－3 C ．1D ．1或－3D [令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.]4．(2020·福建福州期末)若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 0＝( ) A ．－32 B ．－2 C ．1D ．32D [∵x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，∴取x ＝2，∴a 0＝32.] 5．(2017·全国卷Ⅲ) (x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80C [因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80—40＝40.]6．(2020·北京西城区期末)在(1－x )5的展开式中，x 2的系数为________．10 [(1－x )5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5(－x )r ，令r ＝2，所以x 2的系数为C 25(－1)2＝10.]7．(2020·吉林长春质检(一))⎝⎛⎭⎫2x 3－1x 8展开式中常数项为________． 112 [由题意，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(2x 3)8－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 828－r (－1)r x 3(8－r )－r ，令3(8－r )－r ＝0，解得r ＝6，所以常数项为T 7＝C 6828－6(－1)6＝112.]8．(2020·辽宁实验中学期末)(1＋2x )8⎝⎛⎭⎫1＋y44的展开式中x 2y 2的系数是________． 42 [∵(1＋2x )8⎝⎛⎭⎫1＋y 44＝[1＋C 18·2x ＋C 28·(2x )2＋…＋C 88·(2x )8]·⎝⎛⎭⎫1＋y ＋3y 28＋y 316＋y 4256，故展开式中x 2y 2的系数是C 28·22·C 24·⎝⎛⎭⎫142＝42.]9．(2020·湖南益阳期末)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (x －3)5展开式中含x 项的系数为( ) A ．－112 B ．112 C ．－513D ．513C [当项⎝⎛⎭⎫x ＋1x 出x 时，5个括号(x －3)均出(－3)；当项⎝⎛⎭⎫x ＋1x 出1x 时，5个括号(x －3)有2个出x,3个出(－3)；所以展开式中含x 的项为x C 55x 0(－3)5＋1x C 35x 2(－3)3＝－513x .所以含x 的项的系数为－513.]10．(交汇创新)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2019＝()A ．iB ．－iC ．－1＋iD ．－i －1D [因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1.]11．(交汇创新)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312D [对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32. 所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.]12．(多空题)(2019·浙江卷)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．162 5 [由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.]13．(多空题)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，。

第3讲二项式定理一、知识梳理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为T k＋1＝C k n a n－k b k．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.3．三个易错点(1)二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(3)二项式系数的最值与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、习题改编1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.答案：402．(选修2-3P31例2(2)改编)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.答案：203．(选修2-3P41B 组T5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r.( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－12．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：1803．(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2.故x 2的系数为－15.答案：－15求二项展开式的特定项或系数(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为________．(2)在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________．【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 5x 5－3r 2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 25⎝⎛⎭⎫－122＝52.(2)⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2. 【答案】 (1)52(2)－2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤(1)利用通项将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．1.⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 6x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________． 解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10⎝⎛⎭⎫－12kx10－2k3，由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，因为k ∈N ，所以r 应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.答案：454x 2，－638，45256x －2二项式系数与各项系数和问题(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405(2)若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( ) A ．1 B ．513 C ．512D ．511【解析】 (1)由题意知4n 2n ＝64，得n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C. (2)令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.【答案】 (1)C (2)D“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．1.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A ．63x B ．4x C ．4x 6xD ．4x或4x 6x 解析：选A.令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n<32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . 2．若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：选D.(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39，所以a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D.多项式的展开式问题(多维探究) 角度一 几个多项式的和的展开式问题在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2项的系数是( )A ．55B ．66C ．165D ．220【解析】 展开式中x 2项的系数是C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312，所以x 2项的系数是C 312＝220.故选D. 【答案】 D几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．角度二 几个多项式的积的展开式问题(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24(2)(2020·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________．【解析】 (1)展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.(2)(ax ＋1)6的展开式中x 2项的系数为C 46a 2，x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. 【答案】 (1)A (2)25求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n 的展开式问题的思路(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b )2·(c ＋d )n ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )n ，然后分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )m ，(c ＋d )n 的通项，综合考虑．角度三 三项展开式的定项问题(1)(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( )A ．－210B ．210C ．30D ．－30(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60【解析】 (1)(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.【答案】 (1)A (2)C三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝62，则log n 25等于________．解析：令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2（2n －1）2－1＝2n ＋1－2＝62，解得n ＝5，所以log n 25＝2.答案：22．在⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中，x 3的系数是_________________________________． (用数字作答)解析：由题意得，⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中含x 3的项为x C 46(2x )2(－1)4＋⎝⎛⎭⎫－1x C 26(2x )4(－1)2＝－180x 3，所以展开式中x 3的系数为－180.答案：－1803．在⎝⎛⎭⎫2＋x －x 2 0182 01712的展开式中，x 5项的系数为________． 解析：T r ＋1＝C r 12(2＋x )12－r ·⎝⎛⎭⎫－x 2 0182 017r，要出现x 5项，则r ＝0，T 1＝(2＋x )12，所以x 5项的系数为22C 1012＝4C 1012＝264.答案：264[基础题组练]1.⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A ．－3 2 B ．3 2 C ．6D ．－6解析：选D.通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B. 3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n 2n ＝2n＝64，n ＝6.故选C.4．在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．－5 B ．－15 C ．－25D ．25解析：选B.因为(1－x )5＝(－x )5＋5x 4＋C 35(－x )3＋…，所以在(1－x )5·(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为5－2C 35＝－15.故选B.5．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C.令x ＝1，得1＋2＋22＋…＋2n ＝1×（2n ＋1－1）2－1＝2n ＋1－1.6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝( )A ．8B ．10C ．12D ．1解析：选A.(x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)·(x ＋2)4，所以(x ＋2)4的展开式中x 3的系数为C 14·21＝8，所以a 5＝8.故选A.7．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x －15展开式中的常数项是( )A ．12B ．－12C ．8D ．－8解析：选B.⎝⎛⎭⎫1x －15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 5－r(－1)r ＝(－1)r C r 5xr －5，当r －5＝－2或r －5＝0，即r ＝3或r ＝5时，展开式的常数项是(－1)3C 35＋2(－1)5C 55＝－12.故选B.8.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．21 C ．31D ．51解析：选D.因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x 5＝C 05(x ＋1)5＋C 15(x ＋1)4·1x＋C 25(x ＋1)3·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 35(x ＋1)2·⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 45(x ＋1)1·⎝⎛⎭⎫1x 4＋C 55⎝⎛⎭⎫1x 5. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为C 05·C 55·15＋C 15·C 34·13＋C 25·C 13·12＝51.故选D. 9．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：选B.令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 10．(2020·海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B ．12C ．1D ．2解析：选D.由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.11．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n －12C ．2n ＋1D ．3n ＋12解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ， 则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12.12．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D.对(x ＋2)9＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.13．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．解析：二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(x y )4－k ·(－y x )k ＝(－1)k C k 4x 4－k 2y 2＋k 2，令4－k 2＝2＋k 2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6. 答案：614.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，则r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322. 答案：6322 15．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝________，展开式中的第五项为________． 解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n （n －1）2＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 48·124·x ＝358x . 答案：8 358x 16．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________．解析：(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. 因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！. 所以m ＝6.答案：6[综合题组练]1．已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：选C.因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63，故选C.2．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析：选D.512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.3．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．解析：由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案：64．设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：155．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)因为a 0＝C 07＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)因为(1－2x )7的展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， 解得n ＝8(n ＝1舍去)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4 (r ＝0，1，…，8)，要求有理项，则4－3r4必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)设第r＋1项的系数为a r＋1最大，则a r＋1＝2－r C r8，则a r＋1a r＝2－r C r82－（r－1）C r－18＝9－r2r≥1，a r＋1 a r＋2＝2－r C r82－（r＋1）C r＋18＝2（r＋1）8－r≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7x52，T4＝7x74.。