2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第一章 1.1 集合

集合的概念与运算考纲要求1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．知识梳理1．集合元素的三个特征：______、______、______.2．元素与集合的关系是____或______关系，用符号____或____表示．3．集合的表示法：______、______、图示法．4．常用数集：数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集符号5．集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______.6．子集、真子集及其性质：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)；若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则A B(或B A)；∅⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.若集合A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空真子集有____个．7．集合相等：若A⊆B，且____，则A＝B.8．集合的并、交、补运算：集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义9（1）、并集的性质：①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A.（2）、交集的性质：①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.（3）、补集的性质：①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________；⑥∁U(A∩B)＝(∁U A)________(∁U B)；⑦∁U(A∪B)＝(∁U A)________(∁U B)．（4）、①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.（5）、记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.基础自测1．设M＝{x|x≤211}，a＝2 014，则下列关系中正确的是()．A．a⊆M B．a∉M C．{a}∉M D．{a}⊆M2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(ACU)∪B为()．A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}3．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为()．A．a≤1 B．a＜1 C．a≥1 D．a＞14．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．45．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__________．6、设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)例题分析一、集合的概念【例1－1】已知a∈R，b∈R，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2 018＋b2 018＝__________.【例1－2】已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则2 018a的值为__________．跟踪训练1、1、已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．2、已知全集S＝{1，3，x3－x2－2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果∁S A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，说明理由.二、集合间的基本关系及运算【例2－1】设集合M ＝{y |y ＝||cos 2x －sin 2x ，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ||x－1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]【例2－2】已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .求满足B ⊆A 的实数a 的取值范围．【例2－3】设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．【例2－4】设全集为U ，在下列条件中，是B ⊆A 的充要条件的有________．①A ∪B ＝A ；②(∁U A)∩B ＝∅； ③∁U A ⊆∁U B ；④A ∪(∁U B)＝U.跟踪训练21、已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{ x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是_ _______2、设集合()⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,)2(2,222，()}{R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,122,，若≠⋂B A ∅，则实数m 的取值范围是________．三、Venn 图及其应用【例3－1】 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)【例3－2】设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M跟踪训练31.设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <3}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x ≤2}2. 如下图所示，I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(A ∩B)∩CB ．(A ∩∁I B)∩C C ．(A ∩B)∩∁I CD ．∁I (B ∩A)∩C四、新信息题【例4－1】．设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.*,A N B N ==B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C.{|01},A x x B R =<<=D.,A Z B Q ==跟踪训练41、已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个.2、定义A ⊗B ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ，设A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，则A ⊗B 中所有元素的和为( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．183.(2016·江苏启东期末)A ，B 是非空集合，若a ∈A ，b ∈B ，且满足|a －b|∈A ∪B ，则称a ，b 是集合A ，B 的一对“基因元”．若A ＝{2，3，5，9}，B ＝{1，3，6，8}，则集合A ，B 的“基因元”的对数是________．4.已知有限集A＝{a1，a2，a3，…，a n}(n≥2，n∈N)．如果A中元素a i(i＝1，2，3，…，n)满足a1a2…a n＝a1＋a2＋…＋a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{－1＋52，－1－52}是“复活集”；②若a1，a2∈R ，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4；③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．其中正确的结论有________．(填上你认为所有正确结论的序号)五、易错点【1】已知集合A＝{x|x2＋x －2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a＝()．A．－12或1 B．2或－1 C．－2或1或0 D．－12或1或0【2】若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则由m的可取值组成的集合为__________．【3】设集合A＝{x|2a≤x＜a+ 4}，B＝{x|x<2或x>6}，则A∩B=∅,则a的取值范围是()．A．{a|1≤a≤2} B．{ a |1≤a≤2,或a》4}C．{ a |1<a<4} D．{ a | a≤4}随堂练习1、设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于()．A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]2．已知集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B，且log x y∈N*}，则集合C中的元素个数是()．A．9 B．8 C．3 D．43．已知集合，，则等于（）．A．B．C．D．4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()．5．已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．确定性互异性无序性2．属于不属于∈∉3．列举法描述法4．N*(N＋)N Z Q R C5．有限集无限集6．2n2n－12n－27．B⊆A8．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}9．(1)①⊇②⊇③A④A⑤＝(2)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U⑥∪⑦∩(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)基础自测1．D解析：∵2 014＜211＝2 048，∴{2 014}⊆M，故选D.2．C解析：易知U A＝{0,4}，所以(U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.3．B解析：在数轴上表示出两个集合，可以看到，当a ＜1时，A∩B≠∅.故选B.4．D解析：由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D.5．1解析：∵A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，a2＋4＞3，∴a＋2＝3，a＝1.6、解：∵∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．故选C.【例1－1】1解析：由题意知b＝0，因此集合化简为{a,0,1}＝{a2，a,0}，因此a2＝1，解得a＝±1.经检验a＝1不符合集合元素的互异性，故a＝－1.故a2 018＋b2 018＝1.【例1－2】1解析：当a＋2＝1，即a＝－1时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，∴不符合题意．当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，①a＝0符合要求．②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2相同，不符合题意．当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．综上所述，a＝0.∴2 018a＝1.跟踪训练1、1、解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－32.当a＝－1时，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当a＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12满足题意，故a＝－32.2、解：由题意得x3－x2－2x＝0，∴x(x＋1)(x－2)＝0，解得x＝0，或x＝－1，或x＝2.当x＝0时，集合A不满足元素的互异性，故舍去；当x＝－1或x＝2时，经检验满足条件．∴实数x存在，且x＝－1或x＝2.【例2－1】解：y＝||cos2x－sin2x＝||cos2x∈[0，1]，所以M＝[0，1]；因为⎪⎪⎪⎪x－1i<2，||x＋i<2，又因为x∈R，根据复数模的定义，x2＋1<2，即x2<1，所以－1<x<1，从而N＝(－1，1)，所以M∩N＝[0，1)．故选C.【例2－2】解：由于2a≤a2＋1，当2a＝a2＋1时，即a＝1时，函数无意义，∴a≠1，B＝{x|2a＜x＜a2＋1}．①当3a＋1＜2，即a＜13时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，要使B⊆A成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2a≥3a＋1，a2＋1≤2，即a＝－1.②当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，B＝⎩⎨⎧x⎪⎪⎭⎬⎫23<x<109，此时不满足B⊆A；③当3a＋1＞2，即a＞13时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，要使B⊆A成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2，a2＋1≤3a＋1，即1≤a≤3.又a≠1，故1＜a≤3.综上所述，满足B⊆A的实数a的取值范围是{a|1＜a≤3}∪{a|a＝－1}．【例2－3】【例2－4】答案 ①②③④ 解析 由韦恩图知①②③④均正确．跟踪训练21、解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2.当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m ≤4．2、解析 ①若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m <0矛盾； ③若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12>2－22，所以12≤m ≤2＋ 2.综上所述，m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.【例3－1】 D 解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}， A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故题图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.【例3－2】解：作出V enn 图．当M ∩P ≠Ø时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P .当M ∩P ＝Ø时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ∉M }＝Ø＝M ∩P .故选B .跟踪31.解：图中阴影部分的集合表示∁U M 与集合N 的交集，又∁U M ＝{x |x ≤2}，故可知(∁U M )∩N ＝{x |1＜x ≤2}．故选C.答案 B2.解析 在集合B 外等价于在∁I B 内，因此阴影是A ，∁I B 和C 的公共部分．例4-1.选D 跟踪42、解：当x ＝0，y ＝1或x ＝0，y ＝2时，xy ＋xy＝0；当x ＝2，y ＝1时，xy ＋x y ＝4；当x ＝2，y ＝2时，xy ＋xy ＝5，∴A ⊗B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ＝{0，4，5}，0＋4＋5＝9，故选C .3.答案 13解析 由题意知，2，1；2，3；2，8；3，1；3，6；3，8；5，3；5，6；5，8；9，1；9，3；9，6；9，8都是A ，B 的“基因元”，共13对． 4.答案 ①③ 解析 ∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由一元二次方程根与系数的关系，知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ>0，可得t<0或t>4，故②错．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2，∴a 1＝1，于是1＋a 2＝a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确． 易错点1、 D2、 3≤m3、 B随堂练习1、A2．D3．C4．B5.【答案】（1）；（2）（1），（2）由可得若，则，即若，则，即，综上所述，。

第1节集合的概念与运算考试要求1。

通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2。

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集;5。

能使用韦恩（Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.知识梳理1。

集合的概念(1）一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合,集合中的每一个对象称为该集合的元素.（2)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(3）集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法等.（4）集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集。

(5)特别地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R,复数集记作C.2.集合间的基本关系（1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B）,那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或B⊇A.(2)真子集：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集,记为A B或B A.（3)空集：空集是任何集合的子集。

(4）相等:如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等。

3。

集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为S,则集合A的补集为∁SA图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}｛x｜x∈A，且x∈B｝｛x|x∈S，且x∉A｝4。

集合的运算性质(1）A∩A＝A,A∩∅＝∅,A∩B＝B∩A。

（2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。

(3）A∩(∁S A ）＝∅，A∪(∁S A)＝S，∁S(∁S A)＝A.[常用结论与微点提醒]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个。

B A⊆；⊆，∴，而B AB={2,3} ,C={2-∞，-4）∪（，-2]∪[3，x2-4ax+3a2<0(x-3a)(x-a)<0，2-<解得(1)=至多有一个元素，则}04．下列表述中正确的是 （只填序号）：⑴若A B A B A =⊆ 则, ；⑵若B A B B A ⊆=，则 ；⑶)(B A A)(B A ；⑷ ()()()B C A C B A C U U U =．答案：⑴、⑵、⑷5．已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 ． 答案：0,1,3x ≠-6．满足M a ⊆}{},,,{d c b a 的集合M 的个数为_____________．答案：77．某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有x 人，则x 的取值范围是 ．答案：Z x x ∈≤≤，214 8．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根则()U C M N= ．答案：1|4x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭ 9．集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=满足,AB φ≠，,AC φ=实数a 值为 ．答案：2a =- 10．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++=====．答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M 11．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(， m = ．答案：1m =或2 12．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,则m 的取值范围为 ． 答案：3≤m13．设⊗是集合A 中元素的一种运算，如果对于任意的,,x y x y A ≠±∈，都有x y A ⊗←，则称运算⊗对集合A 是封闭的，若{|2,,}M x x a b a b z ==+∈，则对集合M 不封闭的运算是 （选填：加法、减法、乘法、除法）． 答案：除法14．设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-, 那么()()U U C M C N 等于________________．答案： (){}2,2- 二、解答题：。

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉A A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A⇒A＝B A＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合{x|x∈A且x∈B} A∩B 并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A或x∈B} A∪B 补集全集U中不属于A的元素组成的集合{x|x∈U，x∉A} ∁U A[常用结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}C[∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．故选C.]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]集合的含义与表示1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1C [由已知得a ≠0，则ba＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集. 2看这些元素满足什么限制条件.3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.集合间的基本关系A x x 2x xB x x x A ．B ⊆A B ．A ＝BC ．AB D ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 的子集个数为( ) A ．5 B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则AB ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] [规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.易错警示：B ⊆A A ≠∅，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.为()A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． (1)C (2)[2，＋∞) [(1)由A ⊆C ⊆B 得C ＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C. (2)A ＝{x |0≤x ≤2}，要使A ⊆B ，则a ≥2.]集合的基本运算►考法1 集合的运算【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－1,1}，则下列关系正确的是( ) A ．M ∪N ＝{－1,1,3} B ．M ∪N ＝{x |－1≤x ＜3} C ．M ∩N ＝{－1}D ．M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}(1)C (2)B (3)B [(1)由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1,2}．(2)法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. 法二：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2} C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A ＝{1,3,9,27}，B ＝{y |y ＝log 3x ，x ∈A }＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}． 故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.] 自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

§1.1集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．(√)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．答案 4解析因为(A∪B)⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝________.答案(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．题组三易错自纠5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有()A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案ACD解析易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析因为B⊆A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．答案0或1或－1解析易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.集合的含义与表示1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1； 当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．给出下列四个命题： ①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}；②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________． 答案 4解析 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．(3)已知集合A ＝{x |x 2－2 021x ＋2 020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 [2 020，＋∞)解析 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2 020， 故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 跟踪训练1 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆B D ．B ＝A答案 B解析 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}， 所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 所以B A ，故选B.(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 解析 A ＝{x |－1≤x ≤6}． ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m <－2.符合题意． 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m <－2或0≤m ≤52.集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．[－1,2) D ．(－1,2)答案 C解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．(2)(2020·沈阳检测)已知全集U ＝{1,3,5,7}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5}答案 B解析由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U(A∪B)＝{7}．故选B.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2答案 D解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．可知a≥2.本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，由B⊆A结合数轴观察(如图)．可得a≤1.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2(1)(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A等于()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}答案 C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案 D解析在数轴上画出集合A，B(如图)，观察可知a >－1.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．例1 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．例2 (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集答案 AD解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b＝1∈P ，故可知A 正确． 当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确． 当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确． 根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．例3 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.。

全国卷五年考情图解高考命题规律把握说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题. 1.考查形式本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.2.考查内容从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算．常用逻辑用语主要从两个方面考查：充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常以比较大小的方式命题．基本不等式一般不单独考查.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①集合的交、并、补集运算问题；②充分条件、必要条件的判断问题；③含有一个量词的命题的否定问题；④一元二次不等式的解法及基本不等式的应用.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节集合[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N)Z Q R＋2.关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B).A⊆B或(B⊇A)真子集如果A⊆B且A≠B A B或B A集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素)A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集设A⊆U，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集∁U A＝{x|x∈U且x∉A}[常用结论]1．非常规性表示常用数集{x|x＝2(n－1)，n∈Z}为偶数集，{x|x＝4n±1，n∈Z}为奇数集等．2．集合子集的个数对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.3．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}． ( )(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1. ( )(4)直线y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈AD ．a ∉AD [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]2．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，则集合M ∪N 的子集的个数为________．64 [∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}， ∴M ∪N ＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M ∪N 的子集有26＝64个．]3．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________.[答案] {x |x 是直角} 4．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝1的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13 [由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13，故方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13.]5．已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.(－2,1) (－∞，3) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，A ∪B ＝{x |x ＜3}．]考点1 集合的概念与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.]2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． －32 [由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.]3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 0或98 [当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.] 4．已知a ，b ∈R ，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 020＋b 2 020＝________.1 [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.](1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T 2，T 4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T 3.考点2 集合的基本关系 判断两集合关系的方法(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．(1)B (2)D (3)(－∞，3] [(1)由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }， 所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 所以BA ，故选B.(2)因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．][母题探究]1．(变问法)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围．[解] 因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．2．(变问法)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围． [解] 若A ⊆B ，则⎩⎨⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.3．(变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，试求m 的取值范围．[解] 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1＜m ＋1，即m ＜2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ＞4或⎩⎨⎧m ≥2，m ＜－12，即m ＞4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个A [由题意知，M ＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．] 2．若集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[－2,2) [①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．]考点3 集合的基本运算 集合运算三步骤集合的运算(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}(2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}(3)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(1)C(2)A(3)C[(1)∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.(2)∵∁U A＝{－1,3}，∴(∁U A)∩B＝{－1}，故选A.(3)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.][逆向问题] 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}D[法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．法二：(Venn图)如图所示．]集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数(1)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1C．a＞2 D．a≥2(1)D(2)D[(1)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.(2)B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，又A∩B＝B，故B⊆A.又A＝{x|x＜a}，结合数轴，可知a≥2.]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．如T(1)．(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到，如T (2)．提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．[教师备选例题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合AB ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30C [如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合AB 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B 中元素的个数为45.故选C.]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)B [A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a ＞0)，f (0)＝－1＜0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎨⎧ f (2)≤0，f (3)＞0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故选B.] 1.(2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0}，B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(－2,1)C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)A [由题意得A ＝{x |x ＜2或x ＞3}，B ＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |x ＜1}．]2.(2019·洛阳模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}D [依题意得A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，故选D.]3．已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }．若A ∩B ＝{4}，则a ＝________. 3 [因为A ∩B ＝{4}，所以a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3.]第二节 充分条件、必要条件[最新考纲] 1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.3. 理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系①判定定理中前提是结论的充分条件；②性质定理中结论是前提的必要条件；③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．3．充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”则“q ⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”，则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”，则“p ⇐r”)．[常用结论]1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q 的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要条件. ( )(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．已知m，n为两个非零向量，则“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2＜θ＜π，则cosθ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n 的夹角不为钝角．故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.]2．设x∈R，则“x3>1”是“|x|>1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x3>1可得x>1，由|x|>1可得x>1或x<－1，故“x3>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件．故选A.]3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]4.△ABC中，“sin A＝45”是“cos A＝－35”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分[△ABC中，sin A＝45，所以cos A＝±35，所以“sin A＝45”是“cos A＝－35”的必要不充分条件．]考点1 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如p是q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然BA ，∴“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.(3)|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|⇔AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＞AB →2＋AC →2－2AB →·AC →⇔⇔AB →·AC →＞0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故AB →·AC →＞0⇔AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.][逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p，q，若p是q的必要不充分条件，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，但p⇒/q，其等价于p⇒q，但q⇒/p，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件D[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]考点2 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 又S 为非空集合，则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解]由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n＝________.3或4 [由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3， 当n ＝4时，方程有整数根2. 综上可知，n ＝3或4.]第三节全称量词与存在量词[最新考纲] 1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词．通常用符号“∀x”表示“任意x”．(2)存在量词：“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．通常用符号“∃x”表示“存在x”．2．全称命题和存在性命题命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，都有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)3.全称命题和存在性命题真假的判断(1)全称命题为真，严格证明；全称命题为假，列举反例；(2)存在性命题为真，列举特例；存在性命题为假，严格证明．[常用结论]含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，p(x)的真假性相反．()(2) 命题“末位数字都是0的整数能被5整除”的否定为“末位数字都不是0的整数不能被5整除”．( )(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． ( )(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题． ( )[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ≥0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＜0 C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＜0B [由全称命题的否定是存在性命题知选项B 正确．故选B.] 2．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝1 B ．∃x 0∈R ，sin x 0＝0C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0C [当x ＝10时，lg 10＝1，则A 为真命题；当x ＝0时，sin 0＝0，则B 为真命题；当x ≤0时，x 3≤0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则D 为真命题．故选C.]3．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [因为0≤x ≤π4，所以0≤tan x ≤1，又因为∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ，故m ≥1，即m 的最小值为1.]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是存在性命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]考点1 全称命题、存在性命题 (1)全称命题与存在性命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与存在性命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真存在性命题真存在一个对象使命题真否定为假全称命题、存在性命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，xx－1＞0”的否定是( )A．∃x＜0，xx－1≤0B．∃x＞0,0≤x≤1C．∀x＞0，xx－1≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为( ) A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B(2)D[(1)因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B.(2)由存在性命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]全称(存在性)命题的否定方法：∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x)，简记：改量词，否结论．全称命题、存在性命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列四个命题：其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(1)D (2)D [(1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x ＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)时，总有成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x 0＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故p 2是真命题；对于p 3，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断p 3是假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 13x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的图象可以判断p 4是真命题．]因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是存在性命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1.命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃x 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0D [“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )＞n ”，全称命题的否定为存在性命题，故选D.]2．已知命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0≤x 0，则綈p 为________，是________命题(填“真”或“假”)．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，都有cos x ＞x 假 [綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，都有cos x ＞x ，此命题是假命题．]考点2 由命题的真假确定参数的取值范围 根据命题真假求参数的方法步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)． [母题探究]1．(变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． [解] 依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2， 由⎩⎨⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0.所以实数m 的取值范围为(－2,0)．2．(变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．[解] 若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎨⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎨⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，存在性命题可转化为能成立问题． (2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．1.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12A [当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－12)∪(－4,4) [命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]第四节 不等式的性质与一元二次不等式[最新考纲] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b ＜0⇔a ＜b .(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b ，ab＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，a b＜1⇔a ＜b .2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a>b，c<0⇒ac<bc；a >b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(6)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n≥2，n∈N)；(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔1a>1 b.3．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅[常用结论]1．若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m；若b＞a＞0，m＞0，则ba＞b＋ma＋m.2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立⇒a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2. ( )(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R. ( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．函数f(x)＝3x－x2的定义域为( )A．[0,3] B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)A[要使函数f(x)＝3x－x2有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.]2．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( )A．A≥B B．A＞BC．A≤B D．A＜BB[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，∴A＞B，故选B.]3．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.]4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b ＝________.－14 [由题意知x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2(经检验知满足题意)．∴a ＋b ＝－14.]考点1 比较大小与不等式的性质 比较大小的5种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)．(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．(4)不等式的性质法．(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．1.若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0C．ac＞bc D.ba≤b＋ca＋cB[(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]2．若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为( )A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥qB[法一： (作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·⎝⎛⎭⎪⎫1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(b＋a)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.法二：(特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C; 令a＝－1，b＝－2，则p<q，排除选项D.故选B.]3．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则( )A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3bC．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|C[法一：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．故选C.法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.]4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．[5,10] [法一：(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二：(运用方程思想)由⎩⎨⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.](1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T 2，T 3.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T 1，T 4.考点2 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤解下列不等式：(1)3＋2x －x 2≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )． [解](1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅； 当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. [母题探究] 将本例(2)中不等式改为x 2－(a ＋1)x ＋a <0(a ∈R )，求不等式的解集．[解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．解含参不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．[教师备选例题]解不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．[解] 对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8.(1)当Δ＜0，即－2＜a＜2时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；(2)当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；(3)当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a＞2或a＜－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2＜a＜2时，解集为∅.1.(2019·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为( )。