2019届江苏高考数学一轮复习专题突破五 高考中的圆锥曲线问题

高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线的两条渐近线的方程为。

2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为。

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线的焦点坐标为▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为▲． 11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ 8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ Y二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练圆锥曲线一、填空题1、（2018江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ． 2、（2017江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是32．3、（2016江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4、（南京市2018高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．5、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．6、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）直线30x y -=为双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线，则b 的值为 ▲ ．7、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 8、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4)P -到抛物线28y x =-的准线的距离为 ．9、（苏州市2018高三上期初调研）若双曲线()2210x y m m-=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值是10、（徐州市2018高三上期中考试）双曲线2213y x -=的离心率为 ▲ ．11、（徐州市2018高三上期中考试）已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2221(0)12x y b b-=>的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ▲ ．13、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知双曲线1222=-y a x 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方程为14、（2016江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .15、（扬州市2017届高三上学期期中）抛物线)0(22>=p py x 的准线方程为21-=y ，则抛物线方程为16、（扬州市2017届高三上学期期中）双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，直线xy 34=与双曲线相交于A 、B 两点。

课时达标检测(五十） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，上、下顶点分别是B 1，B 2，C 是B 1F 2的中点，若B 1F 1―→·B 1F 2―→＝2，且CF 1―→⊥B 1F 2―→.(1)求椭圆的方程；(2)点Q 是椭圆上任意一点，A 1，A 2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA 1，QA 2与直线x ＝433分别交于E ，F 两点，试证：以EF 为直径的圆与x 轴交于定点，并求该定点的坐标．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B 1(0，b )， 则C ⎝⎛⎭⎫c 2，b 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧B 1F 1―→·B 1F 2―→＝2， CF 1―→⊥B 1F 2―→，即⎩⎪⎨⎪⎧(－c ，－b )·(c ，－b )＝2，⎝⎛⎭⎫－3c 2，－b 2·(c ，－b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－c 2＝2，b 2＝3c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝3，c 2＝1，从而a 2＝4，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)得A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 设Q (x 0，y 0)，易知x 0≠±2，则直线QA 1的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，与直线x ＝433的交点E 的坐标为433，y 0x 0＋2⎝⎛⎭⎫433＋2，直线QA 2的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，与直线x ＝433的交点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫433，y 0x 0－2⎝⎛⎭⎫433－2， 设以EF 为直径的圆与x 轴交于点H (m,0)，m ≠433， 则HE ⊥HF ，从而k HE ·k HF ＝－1，即y 0x 0＋2⎝⎛⎭⎫433＋2433－m ·y 0x 0－2⎝⎛⎭⎫433－2433－m ＝－1，即43y 20x 20－4＝－⎝⎛⎭⎫433－m 2，① 由x 204＋y 203＝1得y 20＝3(4－x 20)4.② 所以由①②得m ＝433±1，故以EF 为直径的圆与x 轴交于定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫433＋1，0或⎝⎛⎭⎫433－1，0. 2．(2018·江苏省淮安市高三期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 24＋y2＝1的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q .(1)若AP ＝PQ ，求直线l 的斜率；(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M ，N ，求证：AP ·AQMN 2为定值．解：(1)依题意，椭圆C 的左顶点A (－2,0)， 设直线l 的斜率为k (k ＞0)，点P 的横坐标为x P ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．① 又椭圆C ：x 24＋y 2＝1，②由①②得，(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0， 则－2·x P ＝16k 2－44k 2＋1，从而x P ＝2－8k 21＋4k 2.因为AP ＝PQ ，所以x P ＝－1.所以2－8k 21＋4k2＝－1，解得k ＝32(负值已舍)． (2)证明：设点N 的横坐标为x N .结合(1)知，直线MN 的方程为y ＝kx .③ 由②③得，x 2N ＝41＋4k 2.从而AP ·AQ MN 2＝2(x P ＋2)(2x N )2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k2＋24×41＋4k 2＝12，即证． 3.如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ―→·FB ―→＝1，|OF ―→|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1，又∵AF ―→·FB ―→＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1. ∴a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)， ∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1， 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－43m ，x 1x 2＝2m 2－23.∵MP ―→·FQ ―→＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0. 即2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，当m ＝1时，M ，P ，Q 三点不能构成三角形，不符合条件，故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.二、重点选做题1．(2018·淮阴中学模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的顶点A 1，A 2，B 1，B 2，SA 1B 2A 2B 1＝4，直线y ＝x ＋2与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线A 1P 交y 轴于点F ，直线A 1B 1交B 2P 于点E .若设B 2P 的斜率为k ，探究EF 是否过定点？若有求出其定点，若没有，说明理由．解：(1)因为直线y ＝x ＋2与圆O 相切，所以22＝b ，即b ＝1， 又因为SA 1B 2A 2B 1＝4，所以12×2a ×2b ＝4，所以a ＝2，所以椭圆C 的方程：x 24＋y 2＝1，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)可知A 1(－2,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)，因为B 2P 的斜率为k ，所以直线B 2P 的方程为y ＝kx ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 其中xB 2＝0，所以x P ＝－8k1＋4k 2， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2， 则直线A 1P 的斜率kA 1P ＝1－4k 21＋4k 2－8k 1＋4k 2＋2＝－2k ＋12(2k －1)，直线A 1P 的方程为y ＝－2k ＋12(2k －1)(x ＋2)，令x ＝0，则y ＝－2k ＋12k －1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ＋12k －1， 因为直线A 1B 1的方程为x ＋2y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，y ＝kx ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－42k ＋1，y ＝－2k －12k ＋1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42k ＋1，－2k －12k ＋1， 所以EF 的斜率k 0＝－2k ＋12k －1＋2k －12k ＋142k ＋1＝－2k2k －1，所以直线EF 的方程为y ＝－2k2k －1x －2k ＋12k －1， 所以2k (x ＋y ＋1)－(y －1)＝0，所以可求定点为(－2,1)，即直线EF 是过定点(－2,1)． 2．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为22，动直线y＝x ＋m 交椭圆M 于不同的两点A ，B ，T (1,1)．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)试问：△TAB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得c a ＝22，b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，c ＝1，椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 由题意得，Δ＝16m 2－24(m 2－1)＞0，即m 2－3＜0， 所以－3＜m ＜ 3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2|x 1－x 2| ＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝433－m 2. 又由题意得，T (1,1)到直线y ＝x ＋m 的距离d ＝|m |2. 假设△TAB 的面积存在最大值，则m ≠0，S △TAB ＝12|AB |d ＝12×433－m 2×|m |2＝23(3－m 2)m 2.由基本不等式得，S △TAB ≤23·(3－m 2)＋m 22＝22，当且仅当m ＝±62时取等号，而m ∈(－3，0)∪(0，3)，所以△TAB 面积的最大值为22. 故△TAB 的面积存在最大值，且当m ＝±62时，△TAB 的面积取得最大值22.三、冲刺满分题1．(2018·苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程；(2)过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．解：(1)由题意可知：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1，椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)， 由题意PQ 的方程：y ＝k (x －2)－2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0，由根与系数的关系可知：x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2，由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.2．如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2. 试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由． 解：(1)由条件可得c 2＝a 2－b 2＝1，故F 点坐标为(－1,0)．依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14，解得k ＝±12，故直线AB 的斜率为12或－12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直，即直线AB 斜率存在且不为零．由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3.设D 点坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ，所以3k 4k 2＋3－4k 24k 2＋3－x D×k ＝－1，解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0. 因为△GFD ∽△OED ， 所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝⎛⎭⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3，整理得8k 2＋9＝0.因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.。

微专题5 高考中的圆锥曲线问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C 的标准方程是 ( )A .x 212-y 2=1B .x 2-y 23=1 C .x 29-y 23=1D .x 223-y 232=12.设F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,若∠F 1PF 2=90°,c=2,S △PF 2F 1=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )A.π5 B.π4 C.π6 D.π33.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的中心为O ,一个焦点为F ,若以O 为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A.[√22,1) B .(0,√32] C.[√32,1) D .(0,√22]4.已知M ,N 为双曲线x 24-y 2=1上关于坐标原点O 对称的两点, P 为双曲线上异于M ,N 的点,若直线PM 的斜率的取值范围是[12,2],则直线PN 的斜率的取值范围是 ( )A.(18,12)B.[-12,-18] C.[18,12] D.[-12,-18]∪[18,12]二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知离心率为√22的椭圆C :x 22+y 2b 2=1(0<b<√2)与y 轴的正半轴交于A 点, P 为椭圆上任意一点,则|PA|的最大值为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线Γ:x 2=my (m ≠0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是Γ上两个不同的动点,且∠AFB=θ(θ为常数),2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点M 作l 的垂线,垂足为N ,若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,实数λ的最小值为√2-√3,tan θ的值为 . 三、解答题(共48分)7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.图5-18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-√6,0), 且过点T(√6,√22).(1)求椭圆C的方程;(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB面积的最小值为16.(1)求抛物线的方程;(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.图5-210.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l 与线段CB的交点为P.(1)求点P的轨迹Γ的方程;(2)已知Q 为曲线Γ上一动点,M (3,0),过O (O 为坐标原点)作线段QM 的垂线交曲线Γ于E ,D 两点,求|DE ||QM |的取值范围.答案1.B 由题意得ba=tan 60°=√3,又双曲线C过点(√2,√3),所以(√2)2a 2-(√3)2b2=1,联立方程得{ba =√3,2a 2-3b 2=1,解得{a 2=1,b 2=3,所以双曲线C 的标准方程是x 2-y 23=1,故选B .2.D 由题意知{|PF 1|2+|PF 2|2=16,12|PF 1||PF 2|=3,化简得(|PF 1|-|PF 2|)2=4,结合图形(图略),可得|PF 1|-|PF 2|=2=2a ,所以a=1,b=√22-12=√3,所以渐近线方程为y=±√3x ,所以双曲线的两条渐近线的夹角为π3,故选D .3.A 由于以O 为圆心,以b 为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O 为圆心,以c 为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c ≥b ,则 c 2≥b 2=a 2-c 2,所以2c 2≥a 2,所以1>e ≥√22,故选A.4.C 设M (x 0,y 0),N (-x 0,-y 0),P (m ,n )(m ≠±x 0),则k PM =n -y 0m -x 0,k PN =n+y 0m+x 0.因为点P ,M ,N 均在双曲线x 24-y 2=1上,所以m 24-n 2=1,x 024-y 02=1,两式相减得(m -x 0)(m+x 0)4-(n-y 0)(n+y 0)=0,化简得n -y0m -x 0·n+ym+x 0=14,即k PM ·k PN =14,又12≤k PM ≤2,即12≤14k PN≤2,解得18≤k PN ≤12,故选C .5.2 由椭圆C 的长半轴长a=√2,离心率e=c a =√2=√22,知c=1,所以b=√a 2-c 2=1,所以椭圆C的方程为x 22+y 2=1,所以 A (0,1).设P (x ,y ),由两点间的距离公式可得|PA|=√x 2+(y -1)2=√2-2y 2+y 2-2y +1=√4-(y +1)2, 因为-1≤y ≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.6.√33 因为2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2,所以M 为线段AB 的中点.设|AF|=x ,|BF|=y ,根据抛物线的定义,知|MN|=x+y 2,因为|AB|2=x 2+y 2-2xy cos θ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以λ2=(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|2|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=x 2+y 2-2xycosθx 2+y 2+2xy4=4(1-2+2cosθx y +yx+2)≥4(1-2+2cosθ4)=2-2cos θ,当且仅当x y =yx 时取等号.因为λ的最小值为√2-√3,2-2cos θ=(√2-√3)2,解得cos θ=√32,又0<θ≤π,所以θ=π6,所以 tanθ=√33.7.(1)因为椭圆C 的离心率为ca =√32,所以a 2-b 2a 2=34,即a 2=4b 2,所以椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2,又椭圆C 过点P (2,-1),所以4+4=4b 2,解得b 2=2,a 2=8, 所以椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1.(4分)(2)由题意,知直线PA ,PB 的斜率均存在且不为0,设直线PA 的方程为y+1=k (x-2)(k ≠0), 联立方程,得{x 2+4y 2=8,y =k (x -2)-1,消去y 得(1+4k 2)x 2-8(2k 2+k )x+16k 2+16k-4=0, (6分)所以2x 1=16k 2+16k -41+4k 2,即x 1=8k 2+8k -21+4k 2,因为直线PQ 平分∠APB ,且PQ 与x 轴平行,所以直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数, 设直线PB 的方程为y+1=-k (x-2)(k ≠0),同理可得x 2=8k 2-8k -21+4k 2. (9分)又{y 1+1=k (x 1-2),y 2+1=-k (x 2-2),所以y 1-y 2=k (x 1+x 2)-4k , 即y 1-y 2=k (x 1+x 2)-4k=k ·16k 2-41+4k 2-4k=-8k1+4k 2,x 1-x 2=16k1+4k 2. 所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-8k1+4k 216k 1+4k 2=-12,为定值.(12分)8.(1)解法一 依题意得{a 2-b 2=6,6a2+12b2=1,解得{a 2=8,b 2=2,(2分)所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(4分)解法二 依题意得c=√6,2a=√2(√6-√6)+(√22-0)=4√2,(2分)所以a=2√2,于是b 2=a 2-c 2=2, 所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(4分)(2)由题意知,直线l 的斜率存在,设直线l 的斜率为k.①当k=0时,可设直线l 的方程为y=y 0(-√2<y 0<√2,且y 0≠0),A (-x 0,y 0),B (x 0,y 0),则x 028+y 022=1,所以S=12|2x 0|·|y 0|=|x 0|·|y 0|=2√y 02·(2-y 02)≤2·y 02+(2-y 02)2=2,当且仅当y 02=2-y 02,即|y 0|=1时取等号,此时0<S ≤2. (6分)②当k ≠0时,可设直线l 的方程为y=kx+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立得{y =kx +m ,x 28+y 22=1,消去y ,整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-2)=0,(7分)由Δ=(8km )2-4(1+4k 2)·4(m 2-2)>0,得8k 2+2>m 2 (*), 则x 1+x 2=-8km1+4k2,x 1x 2=4(m 2-2)1+4k2,所以可得AB 的中点M (-4km1+4k 2,m1+4k 2). (9分)因为|PA|=|PB|,所以PM ⊥AB ,所以k PM =m1+4k 2+1-4km 1+4k 2-0=-1k ,化简得1+4k 2=3m ,结合(*)可得0<m<6.又点O 到直线l 的距离d=√1+k2,|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=4√1+k 2·√8k 2+2-m 21+4k 2,所以S=12|AB|·d=12·4√1+k 2·√8k 2+2-m 21+4k 2·√1+k 2, (11分)即S=23√6m -m 2=23√-(m -3)2+9. 所以,当m=3时,S 取得最大值2,即0<S ≤2.综上,△OAB (O 为坐标原点)的面积S 的取值范围为(0,2]. (12分)9.(1)不妨设点A 在第二象限,点B 在第一象限. 设直线OA :y=kx (k<0),与抛物线方程联立,化简得x 2-2pkx=0,解得x=0或x=2pk ,则A (2pk ,2pk 2),由于以AB 为直径的圆恒过原点O ,所以OA ⊥OB , 所以直线OB 的斜率为-1k,同理可得B (-2p k ,2pk2).(2分)所以S △AOB =12|OA||OB|=12√(4p 2k 2+4p 2k 4)(4p 2k 2+4p 2k 4)=2p 2√2+k 2+1k 2≥ 4p 2,当且仅当k=-1时等号成立.所以4p 2=16,p=2,即抛物线的方程为x 2=4y. (6分)(2)由(1)知y=x 24,则y'=x2,k MA =2k ,k MB =-2k.所以直线MA 的方程为y-4k 2=2k (x-4k ),直线MB 的方程为y-4k2=-2k(x+4k),(9分)联立两直线方程,得{y -4k 2=2k (x -4k ),y -4k 2=-2k (x +4k ),解得x=2(k 2-1)k ,y=-4, 由于x=2(k 2-1)k∈R,所以点M 在定直线y=-4(x ∈R)上. (12分)10.(1) 如图D 5-1,连接PA ,图D 5-1由于l 是线段AC 的垂直平分线, 所以|PC|=|PA|,所以|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=6>4=|AB|.(2分)所以点P 的轨迹是以B ,A 为焦点,以6为长轴长的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0), 则2a=6,2c=4,从而得a=3,c=2,b 2=a 2-c 2=5,故点P 的轨迹Γ的方程为x 29+y 25=1. (4分)(2)由题意知,直线QM 的斜率存在.当直线QM 的斜率为0时,|QM|=6,DE 为椭圆Γ的短轴, 则|DE|=2√5,所以|DE ||QM |=2√56=√53. (5分)当直线QM 的斜率不为0时,设直线QM 的方程为y=k (x-3),Q (x 0,y 0), 故直线DE 的方程为y=-1k x ,由{y =k (x -3),x 29+y 25=1得(5+9k 2)x 2-54k 2x+81k 2-45=0,Δ=(-54k 2)2-4(5+9k 2)(81k 2-45)>0,3+x 0=54k 25+9k 2, 即x 0=27k 2-155+9k 2,所以|QM|=√(x 0-3)2+(y 0-0)2=√(1+k 2)(x 0-3)2=30√1+k 29k 2+5. (8分)由{y =-1k x ,x 29+y 25=1得(5k 2+9)x 2=45k 2,所以|DE|=√1+(-1k )2·|√5|√5k 2+9|=6√5√1+k 25k 2+9,所以|DE ||QM |=6√5√1+k25k 2+9√29k 2+5=√55·2√5k 2+9.(10分)令t=√5k 2+9>3,则|DE ||QM |=√55·9(t 25-95)+5t =√525(9t-56t )(t>3),设g (t )=9t-56t(t>3),则g'(t )=9+56t2>0,所以g (t )在(3,+∞)上是增函数,于是g (t )>9×3-563=253,所以|DE ||QM |>√525×253=√53.综上,|DE||QM|的取值范围是[√53,+∞). （12分）。

高考数学精品复习资料2019.5江苏省20xx 年高考一轮复习备考试题圆锥曲线一、填空题1、（20xx 年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

2、（20xx 年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ．3、（20xx 年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。

4、（20xx 届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ，则该双曲线的离心率为 ▲5、9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（20xx 届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市20xx 届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲8、（南通市20xx 届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy中，曲线C 且过点,则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市20xx 届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲Y10、（徐州市20xx 届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市20xx 届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ 二、解答题1、（20xx 年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

（2019年全国一卷理科）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．323AP PB =u u u r u u u r从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． （2019年全国二卷理科）21．（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.21．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>． 由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2k y x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k k u k -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k ++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t +=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==. 因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t=±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。

【2019最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理苏教1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．答案 2解析如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝OB＋BN＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝.2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为______________．答案＋＝1解析设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由OP＝OF＝O F′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝＝＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1. 3．(2017·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为________．答案22解析设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝，则CD＝|x1－x2|＝.又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，所以S四边形ACBD＝d1·CD＋d2·CD＝(d1＋d2)·CD＝··2ab1＋k2b2＋a2k2＝ab·.令t＝，则t2＝＝1＋2ab·kb2＋a2k2＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，所以S四边形ACBD的最大值为ab.由条件，得ab＝2c2，即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝.4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝OB＝2，又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．答案－＝1解析由题意得，双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.题型一求圆锥曲线的标准方程例1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为______________．答案＋＝1或＋＝1解析设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1＝，PF2＝.由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2，即a＝.由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴．故在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝，∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．(2015·天津改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________________．答案x2－＝1解析双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1.题型二圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2015·湖南改编)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A 作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为3，则p的值为________．答案(1) (2) 6解析(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝.(2)由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∴F，AB＝AF＝p，可得A(p，p)．易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×12＝p2＝3，∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________． 答案 －1解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 为，设椭圆另一焦点为E. 当x ＝时，代入抛物线方程得y ＝±p，又因为PQ 经过焦点F ，所以P 且PF⊥OF. 所以PE ＝ ＝p ，PF ＝p ，EF ＝p.故2a ＝ p ＋p,2c ＝p ，e ＝＝－1. 题型三 最值、范围问题例3 设椭圆M ：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P(1，)为椭圆M 上一点，求△PAB 面积的最大值．解 (1)双曲线的离心率为， 则椭圆的离心率e ＝＝，由⇒⎩⎨⎧a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为＋＝1. (2)由得4x2＋2mx ＋m2－4＝0，由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2<m<2.∵x1＋x2＝－m，x1x2＝，∴AB＝|x1－x2|＝·＋－4x1x2＝·＝·.又P到直线AB的距离d＝，则S△PAB＝·AB·d＝···|m|3＝＝1－22≤·＝，当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，∴(S△PAB)max＝.思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围．(2016·盐城一模)如图，曲线Γ由两个椭圆T1：＋＝1(a>b>0)和椭圆T2：＋＝1(b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼”．(1)若“猫眼曲线”Γ过点M(0，－)，且a，b，c的公比为，求“猫眼曲线”Γ的方程；(2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k 无关的定值；(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值．(1)解由题意知，b＝，＝＝，∴a＝2，c＝1，∴T1：＋＝1，T2：＋x2＝1.(2)证明 设斜率为k 的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段CD 的中点为M(x0，y0)， ∴x0＝，y0＝， 由得－＋4＋＝0.∵k 存在且k≠0，∴x1≠x2且x0≠0， 故上式整理得·＝－， 即k·kOM＝－.同理，k·kON＝－2，∴＝.(3)解 设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y2b2＋x2c2＝1，整理得(b2＋2c2)x2＋2mc2x ＋m2c2－b2c2＝0， 由Δ＝0，化简得m2＝b2＋2c2， 取l1：y ＝x ＋.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x2a2＋y2b2＝1，化简得(b2＋2a2)x2＋2ma2x ＋m2a2－b2a2＝0. 由Δ＝0，得m2＝b2＋2a2， 取l2：y ＝x －，l1，l2两平行线间距离 d ＝，又AB ＝，∴△ABN 的面积最大值为S ＝·AB·d ＝.题型四定值、定点问题例4 (2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)因为AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，故EA＋EB ＝EA＋ED＝AD.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，所以EA＋EB＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，AB＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以MN＝|x1－x2|＝.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到m的距离为，所以PQ＝2＝4.故四边形MPNQ的面积S＝MN·PQ＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2016·北京)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：AN·BM 为定值．(1)解 由已知＝，ab ＝1.又a2＝b2＋c2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝. ∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y ＝1. 当x0≠0时，直线PA 方程为y ＝(x －2)， 令x ＝0，得yM ＝. 从而BM ＝|1－yM|＝. 直线PB 方程为y ＝x ＋1. 令y ＝0，得xN ＝. ∴AN＝|2－xN|＝.∴AN·BM＝·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y0x0－2＝·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋2y0－2x0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2 ＝＝4.当x0＝0时，y0＝－1，BM ＝2，AN ＝2， ∴AN·B M ＝4. 故AN·BM 为定值． 题型五 探索性问题例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C1：x2＋y2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．解(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)．(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，∴由圆的性质知MC1⊥MO，∴·＝0.又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，解得m＝±.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴<x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中<x≤3.(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x2－3x＋y2＝0，其中<x≤3，化简得(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0，其中<x≤3，记f(x)＝(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2，其中<x≤3.若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)＝0.当Δ＝0时，解得k2＝，即k＝±，此时方程可化为25x2－120x＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x＝∈，∴k＝±满足条件．当Δ>0时，①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0⇒k＝0⇒另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；②若x＝是方程的解，则f＝0⇒k＝±⇒另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0⇒－<k<.故在区间上有且仅有一个根，满足题意．综上所述，k的取值范围是－≤k≤或k＝±.思维升华(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．(2016·苏州、无锡、常州、镇江二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：AP⊥OM；(3)试问：·是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．(1)解因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，所以a2＝2c2，所以a2＝2b2.又因为椭圆C过点(1，)，所以＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程＋＝1.(2)证明设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)，将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中，化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，解得x1＝，x2＝2，所以y1＝k(x1－2)＝，从而P(，)．令x＝－2，得y＝－4k，所以M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)．又因为＝(＋2，)＝(，)，所以·＝＋＝0，所以AP⊥OM.(3)解因为·＝(，)·(－2，－4k)＝＝＝4，所以·为定值4.1．(2015·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋kx2＋2－kx2＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)x1＋x2x1x2＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E 交于A，B两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围．解(1)由双曲线－＝1的焦距为3，得c＝，∴a2＋b2＝.①由题意知＝，②由①②解得a2＝3，b2＝，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知P(－，0)．设G(x0，y0)，由＝2，得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)，即解得∴G(－，0)．设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，||2＋||2＝(x1＋)2＋y＋(x1－)2＋y21＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋23＝x＋.又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，∴≤x＋≤，∴||2＋||2的取值范围是[，]．3．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，从而椭圆的半焦距c＝＝1.所以椭圆的离心率为e＝＝.(2)依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x＝ty＋1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.所以y1＋y2＝，y1y2＝.易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，则有·＝0.所以(p－4)2＋＝0.将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得(p－4)2＋＝0，所以(p－4)2＋＝0，即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，使得MP⊥NP.4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)，过它的左，右焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围．解 (1)由＝⇒a ＝2c ，∴a2＝4c2，b2＝3c2， 将点P 的坐标代入椭圆方程得c2＝1， 故所求椭圆方程为＋＝1.(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在， 则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S ＝6. 若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k ， 则l2的斜率为－，则直线l1的方程为y ＝k(x ＋1)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝＋，x24＋y23＝1，消去y 并整理得(4k2＋3)x2＋8k2x ＋4k2－12＝0.① ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|x1－x2|＝， ∴AB＝|x1－x2|＝，②注意到方程①的结构特征和图形的对称性， 可以用－代替②中的k ，得CD ＝， ∴S＝AB·CD＝， 令k2＝t∈(0，＋∞)， ∴S＝＝＋25t ＋－6t12t2＋25t ＋12＝6－≥6－＝，当且仅当t ＝1时等号成立，∴S∈[，6)， 综上可知，四边形ABCD 的面积S∈[，6]．*5．(2016·盐城三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A ，B 两点．当直线l 垂直于x 轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为.(1)求椭圆C的方程；(2)若点E的坐标为(，0)，点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．解(1)由e＝＝，设a＝3k(k>0)，则c＝k，b2＝3k2，所以椭圆C的方程为＋＝1.因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即xA＝xB＝k，代入椭圆方程，解得y＝±k，于是2k＝，即k＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)将x＝代入＋＝1，解得y＝±1.因为点A在第一象限，从而A(，1)．由点E的坐标为(，0)，所以kAB＝，所以直线AB的方程为y＝(x－)，联立直线AB与椭圆C的方程，解得B(－，－)．又PA过原点O，于是P(－，－1)，PA＝4，所以直线PA的方程为x－y＝0，所以点B到直线PA的距离h＝＝，故S△P AB＝×4×＝.(3)假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0,0)，当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝；当直线AB与x轴垂直时，1＋＝＝，EA2由＝，解得x0＝±，＝2，以若存在点E，此时E(±，0)，＋为定值2.根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又设直线AB的方程为x＝my＋，与椭圆C联立方程组，化简得(m2＋3)y2＋2my－3＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.又＝＝＝，所以＋＝＋1＋2＝，将上述关系代入，化简可得＋＝2.综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2.。

高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（14）圆锥曲线及解析专题（14）圆锥曲线1．抛物线2x y a=的焦点坐标为（0，－1），实数a 的值等于（ ）A ． 4B ． －4C ．14 D ． 14- 【答案】B点睛：抛物线的焦点和准线：（1）22y px =，焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-；（2）22x py =，焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p y =-． 2．若双曲线221:1742x y C a -=+与双曲线222:1116y x C a -=-的焦距相等，则实数a 的值为（ ）A ． -1B ． 1C ． 2D ． 4 【答案】C【解析】由题意得420,110,7421162a a a a a +>->++=-+∴=，选C ．3．已知点A 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点， F 是右焦点，若AOF∆（O 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）A ．B ．C ． 1D ． 1+【答案】D【解析】依题意及三角函数定义,点A(ccosπ3,csin π3),即A(12c, c)，代入双曲线方程22221x y a b-=，可得 b 2c 2−3a 2c 2=4a 2b 2,又c 2=a 2+b 2,得e 2,e=+1，故选：D ． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．4．过双曲线的左焦点F 作圆的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线1C 于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ）A ． +1B ．C ． C ．【答案】C【解析】112,2,22FN b F N a FN F N a b a ==-=⇒=，则c e a === 故选C ．5．以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D6．已知圆O ： 224x y +=，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段1PP （1P 在y 轴上），M 在直线1PP 上且112PMPP =，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．4x 2+16y 2=1 B ． 16x 2+4y 2=1 C ． 221416x y += D ． 221164x y +=【答案】D【解析】设()()()1111,,,,0,M x y P x y P y ,则由112PM PP =得112,x x y y == ,因为22114x y += 所以2244x y +=,即221164x y +=,选D ． 7．已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ． 2D ．【答案】A8．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（ ）A．4条B．3条C．2条D．1条【答案】B【解析】由双曲线，可得，若只与双曲线右支相交时，的最小值距离是通径长度为此时有两条直线符合条件；若只与双曲线两支相交时，此时的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为，距离无最大值；此时有条直线符合条件；综上可得，共有条直线符合条件，故选B．【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程及几何性质、分类讨论思想．属于难题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．解得本题的关键是讨论直线与双曲线一支交于两点、或者分别与两支交于两点．9．已知是椭圆的两个交点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（）A．16 B．8 C．25 D．32【答案】A【解析】因为椭圆的方程我，所以，由题意的定义可得的周长，故选A．10．设点P是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>上的一点，12,F F分别为双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D【答案】D考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的离心率及勾股定理．11．点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为（ ） A ． 6 B ．9C ．12D ．18【答案】B 【解析】试题分析：因为,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥， 所以，AFP ∆为直角三角形，2x =时，可得1234y ==，即3PF =，又因为426AF =+=，所以AFP ∆面积为1163922S AF PF =⨯⨯=⨯⨯=，故选B ． 考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式．12．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为H A F O ,,,，则OHFA的最大值为（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．【答案】C考点：直线与圆锥曲线位置关系，基本不等式．【思路点晴】本题考查椭圆的基本概念与性质．椭圆的中心在原点故(0,0)O ，椭圆的右焦点为(),0F c ，椭圆的右顶点为(),0A a ，椭圆的右准线与x 轴的交点为2,0a H c ⎛⎫⎪⎝⎭．以上几个属于椭圆的基本量．根据题意求出FA OH，化简成离心率的表达式，然后利用基本不等式就可以求出最大值．利用基本不等式时要注意等号是否成立．专题15 圆锥曲线1．以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】双曲线的焦点为，顶点为，双曲线的顶点为焦点，长半轴长为的椭圆中，，椭圆的方程为，故选D．2．已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．【答案】A3．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（）A．4条B．3条C．2条D．1条【答案】B【解析】由双曲线，可得，若只与双曲线右支相交时，的最小值距离是通径长度为此时有两条直线符合条件；若只与双曲线两支相交时，此时的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为，距离无最大值；此时有条直线符合条件；综上可得，共有条直线符合条件，故选B．【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程及几何性质、分类讨论思想．属于难题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．解得本题的关键是讨论直线与双曲线一支交于两点、或者分别与两支交于两点．4．已知是椭圆的两个交点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（）A．16 B．8 C．25 D．32【答案】A【解析】因为椭圆的方程为，所以，由题意的定义可得的周长，故选A．5．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A6．设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A．B．C．D．无法确定【答案】B【解析】由题意，易得，直线的方程为：，设P ，则=∴，故选：B7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为60︒的直线与抛物线交于M ，N 两点，若'MM l ⊥，'NN l ⊥，垂足分别为'M ，'N ，则''M N F ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． 12e <≤B ． 2e ≥C ． 1e <≤D ． e ≥【答案】B【解析】因为OP 为12PF F ∆的边12F F 的中线，可知()1212PO PF PF =+，双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤ ，则42PO c ≤ ，由PO a ≥，可知42a c ≤，则2e ≥，选B ．9．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A ． 5B ． 6C ．163 D ． 203【答案】C【解析】如图：过点A 作AD l ⊥交l 于点D ．AF : )y 1x =-．与抛物线24y x =联立得：231030x x -+=．12103x x +=．121016233AB x x p =++=+=． 故选C ． 10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点C B ,，且2CF BC =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±=【答案】C考点：1．双曲线的定义；2．双曲线的渐近线．11．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．25 D ．5【答案】A【解析】 试题分析：双曲线焦点三角形面积公式为2tan 2b S θ=，其中12F PF θ∠=，所以本题面积为11tan 45= ． 考点：双曲线焦点三角形．12．已知点1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12||2||F F OP =，12||3||PF PF ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞ B．)+∞ C． D ．5(1,]2【答案】C【解析】考点：1、椭圆的几何性质；2、椭圆的定义及离心率．。