2017_18版高中数学1.4.2微积分基本定理二学案

1.4.2微积分基本定理【教学目标】1.通过实例直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分，体会微积分定理的优越性；2.体会导数与定积分的关系，感受极限的思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定理的应用 【教学难点】定理的推导 一、课前预习：（阅读教材40—41页）微积分定理：如果 ，且)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=badx x f )( .其中)(x F 叫做)(x f 的一个 .一般地，原函数在],[b a 上的改变量)()(a F b F -简记作 ，因此，微积分定理可以写成形式：⎰=badx x f )(二、课上学习：（※参照教材42页完成下列例题） 例1.求值： （1）⎰πsin xdx （2）⎰π20sin xdx思考：曲线x y sin =与x 轴在区间],0[π，]2,0[π上所围成的图形面积分别是多少？ ※几种典型的曲边梯形面积的求法：1.()[,]()0y f x a b f x =≥若在上有， 曲边梯形的面积为：2. ()[,]()0y f x a b f x =≤若在上有，曲边梯形的面积为：3.(),()[,]()()y f x y g x a b f x g x ==≥若在上有，阴影部分的面积为： 例2.计算（1）dx x⎰912 （2）⎰+212)1(dx x运用微积分定理说明：dx x f dx x f ba⎰⎰=a b)(-)( ； ⎰=badx x f )(⎰⎰+bccadx x f dx x f )()(（b c a <<） 三、课后练习：1.[2013·北京] 直线l 过抛物线C ：y x 42=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 2.[2013·湖南] 若902=⎰dx x T则常数T 的值为________．3.[2013·江西] 若⎰=2121dx x s ，⎰=2121dx xs ，⎰=213dx e s x ，则321,,s s s 的大小关系为 .4.[2012年福建]如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取 一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为5.[2012年高考（江西理）]计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.。

1.4.2微积分基本定理【教学目标】1.通过实例直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分，体会微积分定理的优越性；2.体会导数与定积分的关系，感受极限的思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定理的应用 【教学难点】定理的推导一、课前预习：（阅读教材40—41页）微积分定理：如果 ，且)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=b a dx x f )( .其中)(x F 叫做)(x f 的一个 .一般地，可以写成形式：⎰=ba dx x f )(二、课上学习：（※参照教材42页完成下列例题）例1.求值：（1）⎰π0sin xdx （2）⎰π20sin xdx 思考：曲线x y sin =与x 轴在区间],0[π，]2,0[π上所围成的图形面积分别是多少？ ※几种典型的曲边梯形面积的求法：1.()[,]()0y f x a b f x =≥若在上有， 曲边梯形的面积为：2. ()[,]()0y f x a b f x =≤若在上有，曲边梯形的面积为：3.(),()[,]()()y f x y g x a b f x g x ==≥若在上有，阴影部分的面积为： 例2.计算（1）dx x ⎰912 （2）⎰+212)1(dx x运用微积分定理说明：dx x f dx x f b a ⎰⎰=a b )(-)( ； ⎰=b a dx x f )(⎰⎰+b c c a dx x f dx x f )()( （b c a <<）三、课后练习：1.[2013·北京] 直线l 过抛物线C ：y x 42=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于2.[2013·湖南] 若902=⎰dx x T则常数T 的值为________．3.[2013·江西] 若⎰=2121dx x s ，⎰=2121dx xs ，⎰=213dx e s x ，则321,,s s s 的大小关系为 . 4.[2012年福建]如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为5.[2012年高考（江西理）]计算定积分121(sin)x x dx-+=⎰___________.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

§2 微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？ 提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有 x x ＝b －F a 定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数． 在计算定积分时，常常用记号F (x )| ba 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40][例1] 计算下列各定积分：(1)∫10(2x ＋3)d x ； (2)∫0－π(cos x ＋e x)d x ；(3)∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x .[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x， ∴∫0－π(cos x ＋e x)d x ＝(sin x ＋e x)| 0－π＝1－e－π.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2，∴∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝223. [一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x＝x 33|21＋x2|21＋3x|21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x ＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211xd x＝12x 2 |21＋ln x |21＝12×22－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，2x 2d x ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20 ＝π4－12＝π－24.(2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，[2,4]三段积分求和．[精解详析]图像如图．2⎠⎛04f (x )d x xd x x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |42 ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.[一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝( ) A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56. 答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |0－1＋13x 3 |10＝cos 1－53.[例3] 已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．[精解详析] f (x )＝∫x0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b2x 2＋x .∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪1＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a0sin x d x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：f (a )＝∫a0sin x d x ＝－cos x|a 0＝－cos a ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1. 答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |1＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应课时跟踪训练十五1．下列积分值等于1的是( ) A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x解析：∫101d x ＝x ⎪⎪ 10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C. 答案：C4．函数F (x )＝∫x0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－3，F (5)＝－3，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a－a ＝a 33－－a33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1.答案：17．求下列定积分：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x＝∫212x d x ＋∫211xd x ＋∫211d x＝x 2|21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π2sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x＝(－cos x ＋sin x ) |π＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|20＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。

2016-2017学年高中数学1.4.2 微积分基本定理学案新人教B版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学1.4.2 微积分基本定理学案新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

4。

2 微积分基本定理1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点）2．能用微积分基本定理求定积分．（难点)3．能用定积分解决有关的问题．[基础·初探]教材整理微积分基本定理阅读教材P40~P41，完成下列问题．1．F′(x)从a到b的积分等于F（x）在两端点的取值之__________。

2．如果F′(x）＝f（x），且f（x）在［a，b]上可积,则错误!f(x)d x＝____________________.其中F（x)叫做f(x）的一个__________．由于[F（x)＋c]′＝f(x），F(x）＋c也是f(x）的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在［a，b］上的改变量F(b)－F（a）简记作F(x）错误!.因此，微积分基本定理可以写成形式：____________________。

【答案】 1.差 2.F(b）－F(a) 原函数错误!f（x）d x＝F(x)错误!＝F（b）－F（a）1．判断(正确的打“√”，错误的打“×")(1）微积分基本定理中，被积函数f(x）是原函数F（x)的导数．（）(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．（ ) 【答案】 （1）√ (2)√ (3）√2．若a ＝错误!(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( ） A ．f （x )＝x －2 B ．f （x )＝x －2＋C C ．f (x )＝错误!x 2－2x ＋CD ．f (x ）＝x 2－2x【解析】 由微积分基本定理知，f ′(x )＝x －2，∵错误!′＝x －2，∴选C 。

《1.4.2 微积分基本定理（2）》教学案3 【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质(奇偶性)的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．【教学目标】：(1)知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系；(2)过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系；(3)情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。

【教学重点】：(1)运用基本定理求定积分(2)定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学难点】：(1)求函数()f x的一个原函数()F x(2)理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x【教学过程设计】：1.22(sin cos )d x x xππ-+⎰的值是( )(A)0 (B)4π(C)2 (D)4答案：C 解释：()2222(sin cos )d cos sin 2x x x x x ππππ--+=-+=⎰2. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是( )(A)2 (B)3 (C)52(D)4答案：B 解释：332222cos d cos d (cos )d S x x x x x xππππ==+-⎰⎰⎰3202sin sin 123x x πππ=-=+=3.sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为答案：4 解释：220sin d sin d sin d x x x x x xππππ=+⎰⎰⎰20cos (cos )4x x πππ=--=4. 设201()512x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。

微积分基本定理(第一课时）（教学案)◆一、学习目标定位学习目标：通过实例，直错误！超链接引用无效.观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分学错误!超链接引用无效。

习重点：1、错误！超链接引用无效。

微积分基本定理的内容2、用微积分基本定理的求简单的定积分学习难点:微积分基本定理的引入◆二、新课导入复习定积分的概念试用定义计算错误！超链接引用无效。

的值、解:分析：求解过程遇到麻烦,究错误！超链接引用无效.其原因“和式难求”。

就需寻求新的解决方法. ◆三、新知探究1、 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 一个作变速直线运动的物体的位移满足函数错误！超链接引用无效。

,由导数的概念可知，它在任意时刻错误！超链接引用无效。

的速度为 、设这个物体在时间段错误！超链接引用无效。

内的位移为错误！超链接引用无效。

,试用错误！超链接引用无效。

问题分解:1)如何用y （t ）表示[a ，b]内的位移s ？ 错误！超链接引用无效.2)如何用v （t ）表示[a ，b ］内的位移s ？dx x ⎰2111()lim nn i if xn→∞==•∆∑111limnn i i nn →∞==•∑11lim n n i i→∞==∑111lim(1)23n n →∞=++++综合可得：2、 微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式一般的,如果函数错误！超链接引用无效。

那么，错误！超链接引用无效。

。

这就是微积分基本定理，也叫牛顿-—莱布尼兹公式。

也记作：错误！超链接引用无效。

= . 、说明:(！）.它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。

我们可以用错误！超链接引用无效。

的原函数(即满足错误！超链接引用无效。

）的数值差错误!超链接引用无效。

来计算错误！超链接引用无效。

在错误!超链接引用无效。

上的定积分、（2）。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

1.4.2 微积分基本定理1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)2．能用微积分基本定理求定积分．(难点)3．能用定积分解决有关的问题．[基础·初探]教材整理微积分基本定理阅读教材P40～P41，完成下列问题．1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之__________.2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则b f(x)d x＝____________________.⎠⎛a其中F(x)叫做f(x)的一个__________．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|b a.因此，微积分基本定理可以写成形式：____________________.b f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)【答案】 1.差 2.F(b)－F(a) 原函数⎠⎛a1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )【答案】(1)√(2)√(3)√1(x－2)d x，则被积函数的原函数为( )2．若a＝⎠⎛A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x【解析】 由微积分基本定理知，f ′(x )＝x －2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋C ′＝x －2，∴选C. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)定积分⎠⎛0(2＋e )d 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1(2)求下列定积分．①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；②⎠⎜⎛0π2 sin 2x2d x .【自主解答】 (1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x ) | 10＝(12＋e)－(02＋e 0)＝1＋e －1＝e.【答案】 C(2)①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33| 21＋x 2| 21＋3x | 21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2， 而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2，∴⎠⎜⎛0π2 sin 2x2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x2d x ＝________. 【导学号：05410032】 【解析】 (1)⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2.(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.【答案】 (1)B (2)ln 2－12(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．【自主解答】 (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ⎠⎛24(x －1)d x ＝ (－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪0 π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x | 41 ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .【解】 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x＝⎠⎜⎛-3－32 (－4x )d x ＋⎠⎜⎜⎛－323232－326 d x ＋⎠⎜⎛3234x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x⎪⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94 ＝45.[探究共研型]探究1 满足【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 探究2 如何求对称区间上的定积分？【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．【自主解答】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪1＝k 2＋b ，所以k2＋b ＝1.②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4，①又⎠⎛01f(x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2⎪⎪⎪10＝a 3＋b2，∴a 3＋b2＝1，② 由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .[构建·体系]1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪1＝12. 【答案】 C2．⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4C ．2D ．4【解析】 ⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎜⎛-π2π2sin x d x ＋⎠⎜⎜⎛-π2π2cos x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2-π2π2－π2＋sin⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2.【答案】 C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________. 【导学号：05410033】【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13. 【答案】 134.⎠⎛49x(1＋x)d x 等于________．【解析】 ⎠⎛49x(1＋x)d x ＝⎠⎛49(x ＋x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×932＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432＋12×42＝4516.【答案】 45165．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

1.4.2 微积分基本定理(一)明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？探究点一微积分基本定理思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b ]内的位移为s ，你能分别用y (t )，v (t )表示s 吗？答 由物体的运动规律是y ＝y (t )知：s ＝y (b )－y (a )， 通过求定积分的几何意义，可得s ＝ʃba v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ， 所以ʃba v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ＝y (b )－y (a )．其中v (t )＝y ′(t )．小结 (1)如果f (x )在区间[a ，b ]上可积，且F ′(x )＝f (x )，则ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃba f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃba f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )． 例1 计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练1 计算下列定积分： (1)⎠⎛12(x －1)5d x ；()()3202sin cos d x x x π⎰；(3)⎠⎛121xx ＋d x .解 (1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x －6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝⎪⎪⎪16x －621 ＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14sin 4x ′＝sin 3x cos x ，所以()320sin cos d x x x π⎰＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14sin 4x 20π ＝14sin 4π2－14sin 40＝14. (3)令f (x )＝1x x ＋＝1x －1x ＋1， 取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121xx ＋d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x＝⎪⎪⎪lnx x ＋121＝ln 43. 探究点二 分段函数的定积分例 2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 解 图象如图．4242022()sin 1(1)f x dx dx dx x dx ππ=++-⎰⎰⎰⎰22420221(cos )()2x x x x ππ=-++-＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ， 所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0 ＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0 ＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积． 反思与感悟 求平面图形面积的步骤：(1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标． (2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积．(3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为S ＝ʃ54π－π2|sin x |d x＝－ʃ0－π2sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －ʃ54ππsin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C. 2．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2.3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.答案 43解析 ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x＝x 33|2－x 23|20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解202()()()f x dx f x dx f x dx ππππ=+⎰⎰⎰202(42)cos ,x dx dx πππ=-π+⎰⎰取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以22220221(42)cos (22)sin 1,2x dx dx x x x πππ-πππ-π+=π+=-π-⎰⎰ 即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．。

《1.4.2 微积分基本定理》教学案1学习目标1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .学习重点掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分.学习难点能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：函数33cos y x x =的导数为复习2：若函数2()cos (3)3f x x π=+， 则2()9f π'=二、新课导学学习探究探究任务一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S吗？新知：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bba a f x dx F x Fb F a ==-⎰试试：计算120x dx ⎰反思：计算定积分()b a f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()F x .典型例题例1 计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x -⎰变式：计算0⎰小结：计算定积分()baf x dx⎰的关键是找到满足()()F x f x'=的函数()F x.例2. 计算下列定积分：0sin xdx π⎰，2sin xdx ππ⎰，20sin xdx π⎰.变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.22cos dx ππ-⎰；0cos dx π⎰；322cos dxππ-⎰小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.动手试试练1. 计算：211 ()x dxx-⎰练2.计算sin xdxπ-⎰三、总结提升学习小结1.理解掌握牛顿—莱布尼兹公式()()()b a f x dx F b F a =-⎰.2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.知识拓展微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果. 学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()ba f x dx ⎰的符号（ ） A ．正 B.当0ab <<时为正，当0a b <<时为负C ．负D ．以上结论都不对2. 函数0cos x y xdx =⎰的一阶导数是（ ）A ．cos xB ．sin x -C ．cos 1x -D ．sin x3. 与定积分320|sin |x dx π⎰相等的是（ ） A ．320|sin |xdx π⎰ B ．320sin xdx π⎰C ．320sin sin xdx xdx πππ-⎰⎰ D.32202sin sin xdx xdx πππ+⎰⎰4.211)dx ⎰= 5.2211dx x ⎰=课后作业1. 计算定积分：（1）220(42)(4)x x dx --⎰；（2）22123x x dx x --⎰.。