苏教版数学高二苏州 微积分积分定理 精品学案

高中数学苏教版选修2-2第1章《1.5.2定积分》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案高中数学苏教版选修2-2第1章《1.5.2 定积分》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1.理解掌握定积分的概念,熟练定积分的记法和意义。

2.充分理解定积分的几何意义。

3.能够使用定积分的定义和几何意义求简单的定积分。

2学情分析定积分作为导数和极限的结合,具有高度的抽象性。

作为高中阶段,本章内容在考纲中只要求理解定义并能简单应用,但近几年高考在学科综合应用考察力度的加大,结合定积分在物理和化学中的重要应用,和高等学校数学学科的学习需要,我认为定积分内容值得在教学中去研究,以此培养学生的兴趣和应用能力,为学生的进一步学习奠定基础。

3重点难点教学重点:定积分的概念;定积分的几何意义;用定积分定义和几何意义求简单的定积分。

教学难点:定积分的概念及几何意义。

4教学过程活动1【导入】背景引入微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”。

微积分的建立,无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响,充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用。

积分的思想产生得很早,公元前200多年,希腊科学泰斗阿基米德就用积分的观点求得了球体体积公式。

公元5世纪,中国数学家祖冲之、祖暅父子提出了“幂势既同,则积不容异”也是积分概念的雏形。

活动2【讲授】定积分的发展史一、准备阶段(16世纪-17世纪中叶):1.开普勒首次在求积中运用无穷小方法;2.费尔玛、帕斯卡利用"分割求和"及无穷小的性质的观点求积。

微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b 其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰； （2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。

1.5.3 微积分基本定理1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．[基础·初探]教材整理 微积分基本定理阅读教材P 49“例1”以上部分，完成下列问题．对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )dx ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛a bF ′(x )dx ＝F (b )－F (a )．判断正误：(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]求简单函数的定积分求下列定积分：(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3) ⎠⎛-π0(cos x －e x )dx .【精彩点拨】 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． 【自主解答】 (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ， 则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ＝⎠⎛12F ′(x )dx ＝F (2)－F (1)＝253.(2)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ＝⎠⎛0πF ′(x )dx ＝F (π)－F (0)＝2. (3)取F (x )＝sin x －e x ， 则F ′(x )＝cos x －e x ， 从而⎠⎛-π0 (cos x －e x )dx ＝⎠⎛-π0F ′(x )dx＝F (0)－F(－π) ＝1e π－1.求简单的定积分关键注意两点(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1.⎠⎛12x －1x 2dx ＝________. 【导学号：01580025】【解析】 ⎠⎛12x －1x 2dx ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 ln 2－12求分段函数的定积分(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )dx ； (2)⎠⎛02|x 2－1|dx . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． 【自主解答】＋⎠⎛24(x －1)dx＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|dx ＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx .【解】 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究1 满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )惟一吗？【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 探究2 如何求对称区间上的定积分？【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )dx ＝1，求f (x )的解析式． 【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． 【自主解答】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(kx ＋b )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k 2＋b ＝1.②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4，① 又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b 2，∴a 3＋b2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .[构建·体系]1.⎠⎛1e 1x dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛1e 1x dx ＝ln x |e 1＝ln e －ln 1＝1.【答案】 12.⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)dx ＝(－2cos x －3e x ＋2x ) |π0＝7＋2π－3e π.【答案】 7＋2π－3e π3．计算⎠⎛01x 2dx ＝________.【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2dx ＝13x 3| 10＝13. 【答案】 134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________．【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛1－1f 2(x )dx ＝1，求f (a )的取值范围．【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛1－1f 2(x )dx ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。

1.5.3 微积分基本定理(二)编写：周洋审核：黄爱华一、知识要点1.理解微积分基本定理含义；2.利用定积分，求曲线围成的平面图形面积. 二、典型例题例1.用定积分表示阴影部分的面积例2.求曲线1,1,2,0y x x y x所围成图形的面积.例3.求曲线2613y x x 及直线3y x 所围成封闭区域的面积.三、巩固练习 1.由曲线()(()0),,,,()y f x f x x a b x a x b a b 和x 轴围成的曲边图形面积S = .2.抛物线2y x x 与x 轴围成图形的面积为 .3.抛物线2y x x 与1x及x 轴围成的图形的面积为 .4.抛物线22yx 与直线4yx 围成图形的面积为 .四、课堂小结五、课后反思高二数学选修2-1教学案17y=f (x )13-3O x y2六、课后作业1.设2(01)()2(12)x x f x x x ≤≤，则20()f x dx = .2.22(sin cos )x x dx ππ= .3.曲线3cos (0)2yx x π≤≤与坐标轴所围成的面积为 .4.已知函数2()321f x x x ，若11()2()f x dxf a 成立，则a = .5.计算下列定积分 ⑴11x dx ⑵302x dx6.求抛物线21y x ，直线2,0,0x x y 所围成图形面积.7.求曲线22,3yx y x 所围成图形的面积. 8.在曲线2(0)yx x ≥上的某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴围成的图形面积为112.试求：①切点A 的坐标；②过切点A 的切线方程.订正栏：。

1.5.3 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝__________，即ʃb a F′(x)d x＝__________.一、填空题1．22(1cos)x dxππ-+⎰＝________.2．若ʃ10(2x＋k)d x＝2，则k＝________.3．ʃb a x sin αd x＝________.4．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围图形的面积为________．5．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的是________．(填序号)S＝ʃa b[f(x)－g(x)]d x S＝ʃ80(22x－2x＋8)d x①②4714()()f x dx f x dx-⎰⎰[][]()()()()abag x f x dxf xg x dx-+-⎰⎰③④6．若ʃ10(2x k＋1)d x＝2，则k＝________.7．定积分ʃ10x1＋x2d x的值为________．8．定积分21sin2xdxπ-的值为__________．二、解答题9．求下列定积分：(1)ʃ10(x2－x)d x；(2)20(3sin) x x dxπ+⎰.10.计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．能力提升11．ʃ421x d x＝________.12．求c的值，使ʃ10(x2＋cx＋c)2d x最小．1．f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．2．求定积分一定要结合几何意义．利用图形的面积可以求一些定积分的值．答案知识梳理F(b)－F(a)F(b)－F(a)作业设计1．π＋2解析取F(x)＝x＋sin x，则F′(x)＝1＋cos x.∴22(1cos )x dx ππ-+⎰＝F ⎝⎛⎭⎫π2－F ⎝⎛⎭⎫－π2 ＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．1解析 取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ，∴ʃ10(2x ＋k )d x ＝ʃ10F ′(x )d x ＝F (1)－F (0)＝k ＋1＝2，∴k ＝1.3.12(b 2－a 2)sin α 4．2ln 2解析 如图，由图可知 S ＝2121dx x⎰， 取F (x )＝ln x ，则F ′(x )＝1x .∴S ＝2121dx x ⎰＝212()F x dx '⎰ ＝F (2)－F ⎝⎛⎭⎫12＝ln 2－ln 12＝2ln 2. 5．③④解析 ①应是S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝ʃ8022x d x －ʃ84(2x －8)d x ， ③和④正确． 6．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋ʃ10d x ＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1， 即k ＝1. 7.12ln 2 解析 ∵⎣⎡⎦⎤12ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2，∴ʃ10x 1＋x 2d x ＝12ln 2. 8．2(2－1)解析20π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x＝20π⎰(sin x －cos x )2d x ＝20π⎰|cos x －sin x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰ (sin x －cos x )d x＝2(2－1)．9．解 (1)取F (x )＝13x 3－12x 2，则F ′(x )＝x 2－x ，从而ʃ10(x 2－x )d x ＝ʃ10F ′(x )d x ＝F (1)－F (0) ＝⎝⎛⎭⎫13×13－12×12－⎝⎛⎭⎫13×03－12×02＝－16. (2)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x ，从而20π⎰(3x ＋sin x )d x ＝F ⎝⎛⎭⎫π2－F (0)＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×02－cos 0 ＝38π2＋1. 10．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图所示从而所求图形的面积S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x . 取F 1(x )＝12x 2＋3x ，F 2(x )＝13x 3－x 2＋3x ，则F 1′ (x )＝x ＋3，F 2′(x )＝x 2－2x ＋3，∴S ＝ʃ30F 1′(x )d x －ʃ30F 2′(x )d x ＝[F 1(3)－F 1(0)]－[F 2(3)－F 2(0)] ＝[(12×32＋3×3)－(12×02＋3×0)]－[(13×33－32＋3×3)－0]＝92.∴所求图形的面积为92.11．ln 212．解 令y ＝ʃ10(x 2＋cx ＋c )2d x ＝ʃ10(x 4＋2cx 3＋c 2x 2＋2cx 2＋2c 2x ＋c 2)d x .取F (x )＝15x 5＋12cx 4＋13c 2x 3＋23cx 3＋c 2x 2＋c 2x ，则F ′(x )＝x 4＋2cx 3＋c 2x 2＋2cx 2＋2c 2x ＋c 2， ∴y ＝ʃ10F ′(x )d x ＝F (1)－F (0) ＝73c 2＋76c ＋15， 令y ′＝143c ＋76＝0，得c ＝－14，所以当c ＝－14时，y 最小．。

1．5.3 微积分基本定理一、基础过关1．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式正确的是______．①F (x )＝13x 3 ②F (x )＝x 3 ③F (x )＝13x 3＋1 ④F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x ≤1)，12x 2(x >1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 3．ʃ5π0(e x －sin x )d x ＝________.4．sin 2x 2d x ＝________. 5．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升6．由直线x ＝1，x ＝4，y ＝0和曲线y ＝x ＋1围成的曲边梯形的面积是________．7．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.8．已知自由落体运动的速度为v ＝gt (g 为常数)，则当t ∈[1,2]时，物体下落的距离为________．9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________. 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；11．求曲线y ＝x 2－1(x ≥0), 直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的封闭图形的面积．三、探究与拓展12．如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．答案 1．①③④ 2.83 3．e 5π－3 4.π－245．16.2337．－1或138.32g 9．110．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32)|91＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，∴ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.11．解 如图所示，所求面积：S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝－ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝－(13x 3－x )|10＋(13x 3－x )|21 ＝1－13＋83－2－13＋1＝2. 12．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)， 则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝ʃt 0(tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝ʃ2t (x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)．(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3 ＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2， 令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。

2019-2020学年苏教版选修2-2 微积分基本定理 教案【教学重点】：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分【教学难点】：了解微积分基本定理的含义． 21n +-算不出⎰（图1.6-1）（5）师：如何用()v t表示物基础题：1. 下列值等于1的积分是（ ） (A )10d x x ⎰(B )1(1)d x x +⎰(C )11d x ⎰(D )101d 2x ⎰答案：C解释：11001d 1x x ==⎰2. 计算：(1)231d x x ⎰；（2）20(25)d x x +⎰；（3）8x -⎰解释：（1）22344111115d (21)444x x x ==-=⎰（2）2220(25)d (5)14x x x x +=+=⎰（3）8483134544x x --==⎰3. 已知自由落体速度为v gt =，则落体从0t =到0t t =所走过的路程为（ ）(A )2013gt(B ) 20gt(C ) 2012gt(D )2014gt答案：C 解释：0t 220011d 22t gt x gt gt ==⎰4. 若1(2)d 2x k x +=⎰，则k =答案：1解释：1120(2)d ()1x k x x kx k +=+=+⎰，∴12k +=，∴1k =（难题）5. 已知函数2()321f x x x =++，若11()d 2()f x x f a -=⎰成立，则a =答案：－1或13解释：113211()d ()4f x x x x x --=++=⎰，∴22(321)4a a ++=，即23210a a +-=，解得1a =-或13a = 6、计算下列定积分（1）220(3sin )x x dx π+⎰ （2）226cos xdx ππ⎰解：（1）∵()32cos '3sin x x x x -=+， ∴()()332322(3sin )cos 001188x x dx x x ππππ⎛⎫+=-=---=+ ⎪⎝⎭⎰（2） ∵ 21cos2cos 2x x +=，且111cos 2(sin 2)'222xx x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22226661cos211cos (sin 2)2226x xdx dx x x πππππππ+⎛⎫==+=-⎪⎝⎭⎰⎰。

四队中学教案纸备课时间教学 课题教时计划1教学课时 1教学 目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分重点难点重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义教学过程1、复习：定积分的概念及用定义计算 2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则。

苏版高中数学2-2教学案1____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________把握定积分的运算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发觉，它们都能够通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，事实上，许多问题都能够归结为求这种特定形式和的极限 1定积分的概念一样地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f nab x f ξξ∑∑==-=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，那个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba f x dx ⎰ 即()ba f x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。

说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一样方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af nξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，假如在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

1．5.3 微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值． 提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系． 提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛ba F ′(x )d x＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29][例1] (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛0－π(cos x －e x)d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x，从而⎠⎛0－π(cos x －e x )d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1eπ－1. [一点通] 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________. 解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f x x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝12－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，所以∫π20sin 2x 2d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24.(2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a－a x 2d x (a >0)． [思路点拨] 按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析] (1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. (2)由x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a 0－12x 2|0－a ＝a 2.[一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式． (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2<x－x －2，－4≤x ≤－∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－2x |－2－4＝292.答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 0 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0， 故f (0)＝0＋∫a0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1， 得a ＝1. 答案：1[例3] 求由曲线 [思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＋3×3－0－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝ x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________． 解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163.答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1.答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π.答案：7＋2π－3e π3．(江西高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56. 答案：565．(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2， 由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e 2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫ 10f (x )d x ＝5，∫ 10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176，所以由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为： S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92.8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝1，f－＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b －＋1＝1，2a －＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13.(3)依题意，有12S ＝∫0－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ＝16，即13t 3－t 2＋t ＝16， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1， ∴t ＝1－132.。

1.5定积分的简单应用预习案 自学指导预习课本，完成下列问题：求曲线2x y =与直线1,0==x y 所围成的区域的面积. （1）思路：分割-——求各小矩形的面积的和→求极限； （2）具体做法是：①将区间]1,0[等分为n 个小区间 ，每个小区间长度为 .②过各分点做x 轴的垂线，把曲边梯形分为n 个小区边梯形，再分别用小区间的左端点的纵坐标为高，n1为底做小矩形，于是曲线之下小矩形的面积和为=n S .③于是得到==→∆n x S S lim 0=--→∆)12)(11(61lim 0n n x .学习案探究一：定积分的基本概念定积分：设函数)(x f 定义在区间],[b a 上，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间],[b a 分为n 个小区间，长度依次为1,,3,2,1,0,1-=-=-n i x x A i i x i ，记λ为这些小区间长度的最大者，在每个小区间内任取一点i ξ，做和式=n I .当0→λ时，把和式n I 的极限叫做函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作 即其中)(x f 叫做 ，a 叫做 ，b 叫做 ，dx x f )(叫做 .注：1.对定积分的定义的说明： （1）定积分dx x f )(是一个常数； （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间],[b a ； ②近似代替：取点],[1i i i x x -∈ξ；③求和：∑--⋅ni i n a b f 1)(ξ； ④取极限：⎰+∞→=b a n dx x f lim )(∑--⋅n i i n ab f 1)(ξ（3）定积分就是和的极限：∑-+∞→∆⋅ni i n x f 1)(lim ξ而⎰badx x f )(只是这种极限的一种记号，读作“从a 到b 函数)(x f 的定积分”.探究二：定积分的几何意义2.关于定积分的几何意义：当函数)(x f 在区间],[b a 上恒为正时， 定积分⎰badx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积.在一般情况下定积分⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴，函数)(x f 的图像以及直线b x a x ==,之间个部分的面积的代数和.在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.二、典例分析例1：用定义计算⎰12dx x.例2：求由2,0,0,3-====x x y x y 所围成区边梯形的面积.三、当堂检测1.积分⎰badx 的几何意义是 .2.把积分区间3等分、5等分，用小矩形面积和求⎰213dx x 近似值，分别为 . 3.将由曲线)20(sin π≤≤=x x y 和直线0,2==y x π所围成的图形的面积写成用定积分表示的形式是 .区边梯形的面积与定积分 课后巩固案A 组1.定积分c cdx ba (⎰为常数）的几何意义是 . 2.定积分⎰badx x f )(表示 .3.不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式. （1）⎰10xdx ⎰12dx x（图1） （2）⎰1xdx⎰21xdx （图2）4.用定积分表示下列阴影的面积（不要求计算）.（1）S= ；（2）S= ；（3）S= .B组5.设连续函数0)(>x f 则当b a <时，定积分⎰badx x f )(的符号（ ）A.一定是正的B. 一定是负的C. 当b a <<0时是正的，当0<<b a 时是负的；D.以上结论都不对.6.直线2,0,0===x y x 与曲线xy )2(=所围成的图形的面积用定积分表示为 .。

1.5.3 微积分基本定理微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，则⎠⎛ab f (x )d x ＝__________，亦即____________＝F (b )－F (a )．预习交流1做一做：⎠⎛01x 2d x ＝________.预习交流2做一做：⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.预习交流3议一议：结合下列各图形，判断相应定积分的值的符号： (1)⎠⎛ab f (x )d x ____0 (2)⎠⎛ab g (x )d x ____0(3)⎠⎛ab h (x )d x ____0在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点预习导引F (b )－F (a ) ⎠⎛ab F ′(x )d x预习交流1：提示：13预习交流2：提示：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝⎠⎛0π(sin x ＋x )′d x ＝sin π＋π－(sin 0＋0)＝π. 预习交流3：提示：(1)＞ (2)＜ (3)＞一、简单定积分的求解计算下列各定积分： (1)⎠⎛02x d x ； (2)(1－t 3)d t ；(3)⎠⎛121x d x ； (4)(cos x ＋e x)d x ；(5)⎠⎛24t 2d x ； (6)⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x2d x . 思路分析：根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．1．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.2．定积分sin(－x )d x ＝________.3．求下列定积分的值： (1)⎠⎛12xd x ； (2)⎠⎛231－x x2d x .1．微积分基本定理是求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意y ＝1x的原函数是y ＝ln x .2．求定积分时要注意积分变量，有时被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量． 3．定积分的值可以是任意实数．二、分段函数与复合函数定积分的求解计算下列定积分：(1)⎠⎛25|x －3|d x ；(2)sin 2x d x ；(3)e 2xd x 思路分析：被积函数带绝对值号时，应写成分段函数形式，利用定积分性质求解．当被积函数次数较高时，可先进行适当变形、化简，再求解．1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，0≤x<1，2－x ，1<x≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝__________.2．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x≤0，cos x －1， x>0，求f (x )d x ；(2)求x2d x (a ＞0)．1．分段函数在区间[a ，b ]上的积分可化成几段积分之和的形式，分段时按原函数的各区间划分即可．2．当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来．例如：对于被积函数y ＝sin 3x ，其原函数应为y ＝－13cos 3x ，而其导数应为y ′＝3cos 3x .三、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解已知抛物线y ＝4－x 2.(1)求该抛物线与x 轴所围成图形的面积；(2)求该抛物线与直线x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积． 思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系．1．抛物线y ＝x 2－x 与x 轴围成的图形面积为__________．2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤3π2与坐标轴所围成的面积为________． 3．(2012山东高考)设a ＞0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．1．(2012江西高考)计算定积分(x 2＋sin x )d x ＝__________.2．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是__________． 3．定积分2x ＋1d x ＝________. 4．定积分|x 3|d x 的值为________．5．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积是__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领活动与探究1：解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2′＝x ，∴⎠⎛02x d x ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2′d x ＝2－0＝2.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t4′＝1－t 3，∴(1－t 3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t4′d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－14(－2)4＝274.(3)∵(ln x )′＝1x，∴⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12(ln x )′d x ＝ln 2－ln 1＝ln 2. (4)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x， ∴(cos x ＋e x)d x ＝(sin x ＋e x)′d x＝(0＋1)－(0＋e －π)＝1－e －π.(5)∵(t 2x )′＝t 2，∴⎠⎛24t 2d x ＝⎠⎛24(t 2x )′d x ＝4t 2－2t 2＝2t 2. (6)∵⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x ′＝2x －1x2， ∴⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x2d x ＝⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1x ′d x ＝7＋13＝223.迁移与应用：1．1 解析：⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝⎠⎛01(x 2＋kx )′d x ＝1＋k ＝2，∴k ＝1.2．－1 解析：sin(－x )d x ＝(－sin x )d x ＝cos x＝－1.3．解：(1)∵，∴⎠⎛12xd x ＝＝23×－23×1 ＝23(22－1)． (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －ln x ′＝1x2－1x ＝1－x x2，∴⎠⎛231－x x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2 ＝16＋ln 23. 活动与探究2：解：(1)由于|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x∈[3，5]，3－x ，x∈[2，3，所以⎠⎛25|x －3|d x＝⎠⎛23|x －3|d x ＋⎠⎛35|x －3|d x＝⎠⎛23(3－x )d x ＋⎠⎛35(x －3)d x ＝⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x2′d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－3x ′d x ＝9－92－6＋2＋252－15－92＋9＝52. (2)sin 2x d x ＝1－cos 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x ′d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－14sin π－0＝π4. (3)e 2xd x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e2x ′d x ＝12e －12. 迁移与应用：1．56 解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x2＝13＋12＝56. 2．解：(1)f (x )d x ＝x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3′d x ＋⎠⎛01(sin x －x )′d x＝sin 1－23.(2)由x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0，得x2d x＝⎠⎛0a x d x ＋(－x )d x＝⎠⎛0a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2′d x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2′d x ＝a 2. 活动与探究3：解：(1)如图(1)，由于抛物线y ＝4－x 2与x 轴相交于(－2,0)和(2,0)点，故其与x 轴围成图形的面积为S ＝(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x3＝323.(2)如图(2)，抛物线y ＝4－x 2与直线x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成的图形在x 轴上方和下方各一部分，故其面积S ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23|4－x 2|d x＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x3′d x ＋⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－4x ′d x ＝163＋73＝233.迁移与应用：1．16 解析：所求面积为S ＝⎠⎛01|x 2－x |d x ＝⎠⎛01(x 2－x )d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x3′d x ＝16.2．3 解析：由于当0≤x ≤π2时，cos x ≥0，π2＜x ≤3π2时，cos x ≤0，故图形的面积为|cos x |d x ＝cos x d x ＋(－cos x )d x＝(sin x )′d x －(sin x )′d x ＝3.3．49 解析：由题意可得曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积S ＝⎠⎛0a xd x ＝＝a 2，解得a ＝49.当堂检测1．23解析：(x 2＋sin x )d x ＝13x 3－cos x＝23.2．2 解析：由于⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a (x 2＋ln x )′d x ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a ＝2.3．535－ 3 解析：⎠⎛122x ＋1d x＝⎠⎛12＝13×＝13(55－33)＝535－ 3.4．174解析：|x 3|d x ＝(－x 3)d x ＋⎠⎛02x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x4′d x ＋⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫14x4′d x ＝174.5．2ln 2 解析：根据定积分的概念，得1x d x ＝ln 2－ln 12＝2ln 2.。