【数学】《反证法》课件

延伸拓展
你能用反证法证明以下命题吗？ 如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么 ∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或__钝__角__.
当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+__∠__C_=_1_8_0_° 这与_三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°__矛盾；
3.如果a>b>0，那么 a > b
证明: 假设 a 不大于 b
则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
否定要全面
(1)若 a < b a b 与已知a b 0矛盾
（2）若 a = b a = b，与已知a b 0矛盾
所以假设错误，故原命题 a b 成立
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l ３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且 只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条
直线平
行,那么这两条直线也互相平行.
l
不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
A 2 l1
B1
l2
证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， C 3
l3
l3交于于点A，B，C。
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）

论的反面： （1）a//b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立,
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,
从而得出假设命题不成立，是错误的,
反证法的一般步骤:
假设命题结
什么时候运用反证法呢？
论反面成立
假设
假设命题结
论不成立
所证命题 成立
与已知条
推理得出的结论
件矛盾
假设不
与定理，定义， 成立
公理矛盾
平行线的传递性
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三
条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
已知：直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
即所求证的命题正确.
相信自己行，你就行！
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角
大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
证明 假 ∠设Ａ＿所＜＿求６证０的结°论，不∠成Ｂ立＿＜，＿即６０°，∠Ｃ＿＜＿６０Ｂ°
求证： l3∥l2
l
１
l1
2
l2
３
l3
已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
l
1
l1
2
l2
l3
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ聪说明：的这同里学有们５，个假人如说你谎是．警察，你觉得谁说了真话 你会释放谁？

什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
巩固练习
1、三角形的最小角不大于60度,最大角不小于60度. 2、A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B 都撒谎， 则C必定是在撒谎，为什么？
分析:
假设C没有撒谎, 则C真.
--
那么A假且B假;由A假, 知B真.
这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
本节课学习了什么内容？
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与 垂线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
例2、用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
25.3 反证法
导入复习
请阅读课本25业道旁李苦的故事
当我们直接从正面去解决问题比较困难时,于是就 要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这就是今天介 绍的证明方法——反证法。
学习目标：
1反证法的概念 2 、知道反证法证明问题的步骤。 3能利用反证法证明一些简单的问题。
自学课本23页和24页，完成下列思考题 （1）如何对命题的

所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
24.2.1 反证法
廊坊市第七中学 何静
例1、求证：过同一直线上的三点不能作圆
• 已知：点A、 B、 C三点在直线 上
• 求证：过A、 B、 C三点不能作圆
• 证明：假设过A、 证明：假设PB=PC。
当∠B是_____时，则_____________
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___.
A
当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_°
说明这：本与_例_三_中_角__“形__的是__三_锐_个_角_内__(角_小_和_于_等__9于_0_1°_8_0_)°”_矛的盾；
甲：在十一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,10 月4号我确实 和甲在廊坊 “万达”逛街！
乙：这不可能，10月4 号上午还看见你和丙在 廊坊“万达”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从10月1号至6号或是2号至7号 在新加坡，即10月4号甲在新加坡， 这与“10月4号甲在廊坊市的万达”矛盾,
B、
C三点可以作一个圆。
则 ∠•Ａ＋设∠Ｂ这＋∠个Ｃ 圆＜ 的１８圆０度心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分 线 上，又在线段BC的垂直平分线 上， （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定
反面有当∠两B种是情_钝__况角__，时，这则时_∠_，_B_必+__∠_须_C_分＞__1_别8_0_证° C 明能命成题 立这B 与结 ，_论 最_三__反后角__形面才__的_的能_三_每肯_个__一定内__角种命__和_情题_等_况的_于__都 结1_8_0不 论_°_矛可 一盾； 定正确∴综∠.上B所一述定,是假锐设角不.成立.

反证法的思维方法：正难则反
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
Байду номын сангаас
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
▪ 1.用反证法证明命题：“若整系数一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根， 那么a，b，c中存在偶数”时，否定 结论应为( )
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍.一天， 他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋 友一哄而上去摘李子，独有王戎没动.有人问 王戎为什么？
4 在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2， 求证p＋q≤2”时的假设为__________， 得出的矛盾为__________．
▪ 解析：假设p＋q>2，则p>2－q. ▪ ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
▪ 将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<0， ▪ ∴(q－1)2<0，显然不成立．∴p＋q≤2. ▪ 答案：p＋q>2 (q－1)2<0
c＝z2－2x＋π.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 6
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c ＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.

(4)肯定原命题的结论成立.
知识回顾 重难点突破
问题探究
课堂小结
随堂检测
反证法主要适用于以下两种情形 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索 不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证 明,只研究一种或很少的几种情形. 常见否定用语
是——不是
等——不等 是
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究
课堂小结
随堂检测
运用反证思想,证明问题
例2.求证:
2 , 3 , 5不可能成等差数列.
. 2 3= 2+ 5 . 证明: 假设 2 , 3 , 5成等差数列则 所以 2 3 =


2
2+ 5

2
,化简得5=2 10 ,5 = 2 10
2


2
即25=40 ,这是不可能的.所以假设不成立,故原命题成立.
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究
课堂小结
随堂检测
运用反证思想,证明问题
例1.已知a＋b＋c>0,ab＋bc＋ca>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0. 点拨:反证法的初始理论依据是基于“原命题与其逆否命题等价”的 逻辑原理,通过“结论不成立推出条件不成立”产生“条件成立所以
结论成立”的结果,是一种间接证明的方法.
反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过
正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立 的证明方法．
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究Biblioteka 课堂小结随堂检测运用反证思想,证明问题

王戎推理方法是: 假设“李子甜”
提出假设
树在道边则李子少
推理论证
与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
得出矛盾
假设 “李子甜”不成立
结论成立 所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确的
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在证明一个命题时，人们有时 先假设命题不成立， 从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件或者与 定义、公理、定理等相矛盾. 从而得出假设命题不成立，是错误的， 即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
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24.2.1 反证法
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试 一 试
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b
a∥b
（2）a≥0
大于或 等于（≥）
不是
没有或 不都是 至少有
两个
正面 至多有 至少有一 任意的 所有的 至多 任意两个
词语 一个
个
有n个
至少有 一个也
否定 两个
没有
某个
至少有 某些 （n＋1）
个
某两 个
例1--几何类
用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有 一个角大于或等于60°.
已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于或等于60°.
练一练3
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD A
交于点P，且AB、CD不是直径.求证：
O
D
弦AB、CD不被P平分.
证明：假设弦AB、CD被P平分，

什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
P
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛C 盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
B
反 证法是一 种重要的 数学思想 方法， 对于那些 含有否
定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
例1:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦
不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且
AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A
证明： 假设弦AB、CD被P平分，
O
D
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径
定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
由⑵因分导析果法:─(已─知转)化A尝试B(1执果索因,B妙n 在转 B (化结!论) )
执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与

这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a∥b
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交
于点P.
l3
求证: l3与l2相交. 证明: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
P
l1
这与事实矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的？
所以，李子是苦的
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛 盾 假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别 人采摘,这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李.
这与_三___角__形__三___个__内___角__的__和___等__于__1_8_0__°_相矛盾.
所以_假__设___不成立，所求证的结论成立.
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
c a b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,
那么能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
p
2 1
l1 l2
证明:作直线l交直线l2于点p，
3
l3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立

小 结:
1.反证法的概念: 反证法的概念: 反证法的概念 2.用反证法证明的一般步骤: 用反证法证明的一般步骤: 用反证法证明的一般步骤
�
于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°= 180° 60°+60°+60° 180° 60 与三角形的内角和等于180°矛盾 180° 180 所以⊿ABC中至少有一个内角小于或等于60° 所以⊿ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 中至少有一个内角小于或等于60
课堂练习 1.求证:在一个三角形中,如果两条边不等,那 么它们所对的角也不等. 2.在一个梯形中,如果同一条底边上的两个内角 不相等,那么这个梯形是等腰梯形吗?请证明你 的猜想.
2 2 2
反证法的一般步骤为: 先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑 推理,推出与公理,以证的定理,定义或已知条 件相矛盾,说明假设不成立,从而得到原结论正 确.
例1.求证:在一个三角形中,至少有一个内角小 1.求证:在一个三角形中, 求证 于或等于60 60° 于或等于60°. 已知: 已知:⊿ABC. 求证: ABC中至少有一个内角小于或等于60° 中至少有一个内角小于或等于60 求证:⊿ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明: 假设⊿ABC中没有一个内角小于或等于60°. ⊿ABC中没有一个内角小于或等于60° 中没有一个内角小于或等于60 即 ∠A>60°, ∠B>60°,∠C>60°. 60° 60° 60° 60 60 60
想一想
"在⊿ABC中,如果AB=c,BC=a,CA=b,且∠C 2 2 2 =90°,那么 a + b = c "是真命题吗? 是真命题! "在⊿ABC中,如果AB=c,BC=a,CA=b,且∠C 2 2 2 ≠90°,那么 a + b ≠ c "是=c,BC=a,CA=b,且∠C 2 2 2 ≠90°,那么 a + b ≠ c "是真命题吗? 证明: 假设 a 2 + b 2 ≠ c 2 根据勾股定理的逆定理有∠C=90° 这与已知条件∠C ≠90°矛盾 因此假设 a 2 + b 2 ≠ c 2 是错误的 于是可知 a + b ≠ c