D5_2微积分基本定理

微积分是数学的一门分支，是研究函数变化和极限的学科。

它是发展自古代希腊数学的逐渐发展演变而来的，具有极为广泛的应用。

微积分的基本原理主要包括导数和积分两部分。

导数，又称为微商，是微积分中最重要的概念之一。

导数描述了函数在某一点上的变化趋势。

具体来说，对于函数y=f(x)，其导数表示为f'(x)，表示函数在x处的切线斜率。

导数的计算可以通过极限的方法来进行。

设f(x)为函数，若极限lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)存在，则称该极限值为函数f(x)在x=a处的导数。

导数的计算可以通过一系列的微分法则来简化，如常函数导数为0、幂函数导数为幂次减一再乘以幂函数系数等。

导数的应用极为广泛。

在物理学中，导数被用来描述物理量的变化率，如速度就是位移对时间的导数。

在经济学中，导数可以用来表示边际效应，如边际利润就是总利润对产品数量的导数。

在生物学中，导数可以用来描述生物体的变化趋势，如种群增长率就是种群数量对时间的导数。

积分是导数的逆运算，也是微积分的重要概念之一。

积分可以用来求解函数的面积、计算曲线的弧长以及解决微分方程等问题。

对于函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，是求使得F'(x)=f(x)的函数F(x)。

积分的计算同样可以通过一系列的积分法则来简化。

常见的积分法则有换元法、分部积分法和定积分中值定理等。

利用这些方法，我们可以比较容易地求解出许多函数的积分。

积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，积分可以用来求解连续介质的质心、质量等问题。

在工程学中，积分可以用来求解轴线弯曲、热传导等问题。

同时，积分还与概率统计学、金融学等学科有着密切的联系，它们在这些学科的研究中起到了至关重要的作用。

综上所述，微积分的基本原理主要包括导数和积分两部分。

导数用于描述函数的变化趋势，而积分用于求解函数的面积和解决微分方程等问题。

微积分在各个领域均有广泛的应用，为我们理解自然界和解决实际问题提供了强有力的工具。

微积分基本原理微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究变化的量与其它量之间的关系。

微积分的基本原理包括导数和积分，它们是微积分的两个基本概念，也是微积分理论的核心内容。

首先，我们来谈谈导数。

导数描述了函数在某一点的变化率，也就是函数图像在该点的切线斜率。

它的定义是函数在某一点的极限，表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的计算可以通过极限的方法来求解，也可以利用导数的性质和求导法则进行计算。

导数在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，它可以帮助我们研究变化的规律，优化问题，解决实际的应用问题。

其次，我们来讨论积分。

积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。

积分的计算可以利用定积分的定义和性质，也可以通过不定积分和定积分的关系进行计算。

积分在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用，它可以帮助我们计算曲线下的面积、求解物体的质心、计算物体的体积等等。

微积分的基本原理是导数和积分的基本概念，它们是微积分理论的基石。

导数和积分之间有着密切的联系，它们互为逆运算，构成了微积分的基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。

这个公式揭示了函数的变化与其累积效应之间的关系，是微积分理论的核心内容。

在微积分的学习过程中，我们需要掌握导数和积分的基本定义、性质和计算方法，理解它们的几何意义和物理意义，掌握它们的应用技巧。

只有深入理解微积分的基本原理，我们才能更好地应用微积分解决实际问题，推动科学技术的发展。

总之，微积分的基本原理包括导数和积分，它们是微积分理论的核心内容，也是我们学习微积分的基础。

通过学习微积分的基本原理，我们可以更好地理解变化的规律，解决实际问题，推动科学技术的发展。

希望大家能够认真学习微积分的基本原理，掌握微积分的基本技能，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

微积分基本原理
微积分是数学的一个分支，它主要研究函数的变化率和面积、体积等几何量的计算方法。

微积分的基本原理包括导数和积分。

导数描述了函数的变化率。

对于函数y=f(x)，在某一点x处的
导数表示函数在该点的变化速度，一般用f'(x)或者dy/dx表示。

导数有许多重要的性质，比如导数的意义是函数在某点的切线的斜率，导数为正表示函数在该点上升，导数为负表示函数在该点下降，导数为零表示函数在该点取得极值。

积分描述了函数下面的面积或者曲线的长度等几何量。

给定一个函数y=f(x)，在区间[a, b]上的曲线下面的面积可以用定积分∫[a,b]f(x)dx来表示。

积分具有许多重要的性质，比如积分可以
看作导数的逆运算，积分可以用来计算函数的平均值等。

微积分的基本原理可以应用于各种实际问题的求解中。

比如，可以用导数来研究函数的最大值和最小值，用积分来计算曲线围成的面积或者旋转体的体积。

微积分在物理学、经济学等领域有着广泛的应用，它是现代科学中不可或缺的一部分。

总之，微积分的基本原理包括导数和积分，它们是描述函数变化率和计算几何量的重要工具。

微积分在各个领域中都有广泛应用，对于理解和解决实际问题有着重要意义。

微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式微积分基本定理是微积分的重要定理之一，它是连接微分与积分的桥梁，揭示了微分与积分之间的密切关系。

而牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，用来计算定积分。

本文将介绍微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式的基本定义、证明及应用。

∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个式子的意义是，一个函数在闭区间上的积分等于它在区间两个端点的原函数值之差。

∫f(x)dx = F(x) + C其中F(x)是f(x)的一个原函数，C是一个常数。

我们可以通过对微积分基本定理的证明来理解它。

对于第一部分，我们可以通过定义积分为极限的思想来证明。

假设f是一个连续函数，我们可以将闭区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，然后取每个小区间的一个任意点ξi，我们有：∑[i=1,n]f(ξi)Δx ≈ ∫[a,b]f(x)dx当n趋于无穷大时，如果极限存在，那么积分的计算结果就是这个极限的值。

而这个极限实际上就是函数F在右端点b处的函数值，即F(b)-F(a)。

对于第二部分的证明，我们可以利用导数与反函数的关系，即：如果 y = F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数，那么 f(x) = F'(x)，即导数等于原函数的导数。

因此我们有∫f(x)dx = ∫F'(x)dx = F(x) + C。

接下来我们介绍牛顿-莱布尼茨公式，它是微积分中的一个重要公式，用来计算定积分。

牛顿-莱布尼茨公式可以表达为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的一个原函数。

这个公式可以用来计算定积分，即求解一个函数在闭区间上的积分值。

牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过微积分基本定理的第一部分来进行。

我们可以通过定义积分为极限的思想来证明。

假设f是一个连续函数，并且F是其一个原函数。

我们可以将闭区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，然后取每个小区间的一个任意点ξi，我们有：∑[i=1,n]f(ξi)Δx ≈ ∫[a,b]f(x)dx当n趋于无穷大时，如果极限存在，那么积分的计算结果就是这个极限的值。

一、函数【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性 1．单调性（1）【定义 1.2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义 1.3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义1.4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义 1.5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性【定义 1.6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数 1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(l o g ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与xy α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义1.7】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1.函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a xlog ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义1.8】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数 若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x e xy因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础. （一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义【定义1.9】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在. 2．数列极限性质（1）四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则（2）a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim（k 为任意正整数）.（3）若a x n n =∞→lim,则数列{}n x 是有界数列.（4）夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤. 若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim .利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （e =2.718,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （e =2.718,是一个无理数）. （二）函数的极限 1．∞→x 时的极限【定义1.10】 设函数)(x f 在)0(||>≥a ax 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作3．0x x →时的极限【定义1.11】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0（三）函数极限的性质 1．惟一性 若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0则A=B .2．局部有界性 若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的.3．局部保号性 若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。