下载文档原格式
矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。
- 列数：矩阵中的列数为n。
- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。
- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。
1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。
即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。
即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§2.1 矩阵的概念；§2.2 矩阵的计算Ⅱ 教学目的与要求：理解矩阵概念；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。
Ⅲ 教学重点与难点：矩阵的乘法Ⅳ 讲授内容：§2.1 矩阵定义2.1 由n m ⨯个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij ΛΛ=排成的m 行n 列的数表mn m m nn a a a a a a a a a ΛMM M ΛΛ212222111211称为m 行n 列矩阵,简称n m ⨯矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。
否则，称它们是不同型的。
n 行n 列的矩阵n n A ⨯称为n 阶矩阵（或n 阶方阵），简记为n A 。
只有一行的矩阵)(21n a a a A Λ=称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b B M 21 称为列矩阵,又称列向量.定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij ΛΛ===那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =.元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ⨯，简记为O .不同型的零矩阵是不同的.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001ΛM M M ΛΛn I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.§2.2 矩阵的运算1. 矩阵的加法定义2.3 设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为n m ij ij b a B A ⨯+=+)(设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.2. 数与矩阵相乘:定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）：)(i )()(A A μλλμ=)(ii A A A μλμλ+=+)()(iii B A B A λλλ+=+)(3. 矩阵与矩阵相乘:定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩阵,那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij cC =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj sk ik sj is j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=并把此乘积记作AB C =例1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律。
大一数学矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，广泛地应用于各个领域。
本文将对大一数学中的矩阵知识点进行总结。
1. 矩阵的定义和表示矩阵是一个按照矩形排列的数，由m行n列元素组成。
一般用大写字母表示，如A，可以写作：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法两个矩阵A和B的加法定义为：A + B = [a11 + b11, a12 +b12, ..., a1n + b1n;a21 + b21, a22 + b22, ..., a2n + b2n;...,am1 + bm1, am2 + bm2, ..., amn + bmn]2.2 矩阵的数乘矩阵A与一个数k的乘积定义为：kA = [ka11, ka12, ..., ka1n; ka21, ka22, ..., ka2n;...,kam1, kam2, ..., kamn]2.3 矩阵的乘法两个矩阵A和B的乘法定义为：AB = [c11, c12, ..., c1n;c21, c22, ..., c2n;...,cm1, cm2, ..., cmn]其中，cij = a11*b11 + a12*b21 + ... + a1n*bn13. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，即将A的行与列对换得到的矩阵。
3.2 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B使得AB = BA = I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为A的逆矩阵，记作A^{-1}。
3.3 矩阵的行列式行列式是一个与矩阵相关的标量，记作|A|或det(A)。
行列式有以下性质：- 若矩阵A的某行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 若矩阵A的某行（列）全为c，则det(A) = c^n，其中n为矩阵的阶数。
- 若矩阵A的两行（列）交换位置，则det(A)的符号改变。
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。
但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。
这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。
