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材料力学,杆扭转杆件的强度和刚度计算

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材料力学 05扭转

材料力学 05扭转

由
τρ
=
T ⋅ρ Ip
知：当
ρ =R= D 2
,
τ ρ → τ max
∴
τ max
T⋅D =2
Ip
=
T
Ip
D 2
=T Wp
(令 W p = I p
D) 2
τ max
=
T Wp
Wp — 扭转截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp = I p R = πD3 16 WP = I p R = πD3 (1− α 4 ) 16 29
τ´
a
γb
τ dz
τ
τ´
c
d
dx
x
dy
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则 共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
35
M
´
36
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
A
11.14
T(kN`m)
–
m1
m3 m4
n
C
B
D
6.37 ⊕
x
4.78
12
第5章 扭转杆件的强度与刚度计算
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图 §5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算 §5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 §5–3 扭转的超静定问题 §5–4 非圆截面杆的自由扭转简介

杆件的强度与刚度计算

杆件的强度与刚度计算
杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算 1）构件的失效模式 若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能 而不能正常工作，称为构件失效。工程中，构件的失效模式主要 有： • 强度失效 ——构件的材料断裂或屈服。 • 刚度失效 ——构件的弹性变形过大，超出规定范围。 • 疲劳失效 ——构件在交变应力作用下的强度失效。
单向应力状态。因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达
式均演化为
max [ ]
例1 螺旋压力机的立柱如图所示。已
知：F =300kN，立柱横截面的最小直径为
42mm，材料许用应力为[]=140 MPa，试
校核立柱的强度。
解：1）用截面法求立柱轴力
2）求立柱横截面上的应力
max FN
150 103
• 稳定失效 ——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算
1）构件的失效模式 2）杆件的强度计算
首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力 图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最 先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
的杆件， 是指两指定截面的相对扭转角 或单位长度扭转角 ；
对于梁， 是指挠度 v 或转角 。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：
• 校核刚度 • 设计截面 • 计算许可载荷
第12章 杆件的强度与刚度计算
12-2 轴向拉压杆件的强度计算
轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于
解：1）求 AB 与 BC 杆的轴力

材料力学-扭转

材料力学-扭转

扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤

杆件承载力计算公式

杆件承载力计算公式

杆件承载力计算公式
在工程设计中，经常需要计算杆件的承载力。

杆件承载力的计算公式是根据材料力学理论和结构力学原理推导出来的。

以下是常见的杆件承载力计算公式：
1.压杆的计算公式：
如果杆件为压杆，那么其承载力的计算公式为：
Pc=Ac*Fc*σc
其中，Pc为杆件的承载力，Ac为杆件的截面面积，Fc为截面的调整系数，σc为相应材料的抗压强度。

2.拉杆的计算公式：
如果杆件为拉杆，那么其承载力的计算公式为：
Pt=At*Ft*σt
其中，Pt为杆件的承载力，At为杆件的截面面积，Ft为截面的调整系数，σt为相应材料的抗拉强度。

3.弯曲杆件的计算公式：
如果杆件受到弯曲作用，那么其承载力的计算公式为：
M=σb*W
其中，M为杆件的弯矩，σb为相应材料的弯曲强度，W为截面的抵抗弯曲矩的有效宽度。

4.扭转杆件的计算公式：
如果杆件受到扭转作用，那么其承载力的计算公式为：
T=τt*J
其中，T为杆件的扭矩，τt为相应材料的抗扭强度，J为截面的极
惯性矩。

以上是常见杆件承载力的计算公式，但需要根据具体情况选择适用的
公式。

此外，还应根据杆件的实际情况和要求，结合工程经验和相关规范，考虑到其他因素如安全系数、边界条件等进行修正，以确保杆件的安全可靠。

材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
B
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）

材料力学 第三章 扭 转

材料力学 第三章 扭 转

T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI

第5章_杆件强度与刚度计算.ppt

要求构件剪切面上的切应力不得超过许用 剪应力[τ]，即：
Q [ ]
S
式中 τ—剪切面上的切应力； S－横截面积； Q—剪力。
27
许用切应力[τ]是利用剪切试验求出抗剪强度 τb，再除以安全系数n得到的，即 [τ]= τb／n。
塑性材料 [τ]=(0.6～0.8)[σ] 脆性材料 [τ]=(0.8～1.0)[σ]
23
5.3.2 剪切和挤压的实用计算
(1)剪切的实用计算
简图
受力图
分离体 假定分布
24
1)剪力计算
求内力的方法：截面法 (截、取、代、平)
Q=F
25
2)剪应力的计算
剪力Q在截面上的分布比较复杂，在 工程中假定它在截面上是均匀分布的，则 可得切应力计算公式：
Q
S
26
3)剪切的强度条件
为了保证受剪构件安全可靠地工作，
?1第55章杆件的强度与刚度计算直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算杆件的强度条件与刚度条件杆件剪切时的强度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算平面弯曲梁的强度与刚度计算直杆组合变形时的强度计算超静定问题简介?252直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算53杆件剪切时的强度计算54圆轴扭转时的强度与刚度计算56直杆组合变形时的强度计算第55章杆件的强度与刚度计算目录57超静定问题简介51概述55平面弯曲梁的强度与刚度计算?351概述?构件中的最大应力需视其受力与变形的具体情况而有所不同?对于杆件变形的基本形式通常采用其横截面上正应力或切应力建立强度条件组合变形情况的强度条件建立则比较复杂需要考虑材料的力学性能研究危险点的应力状态选用合适的强度理论?许用应力是构件正常工作时所允许承受的最大应力构件中的最大应力许用应力通用的强度条件式为

材料力学 复习总结1


Fs
ql2 / 8
M
Fs max M max
ql 2 q l2 8
例3 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作
该梁的剪力图和弯矩图。
x
A a C l
F B
解： 1、求支反力
b
Fb Fa FA ； FB l l
2、建立剪力方程和弯矩方程 Fb 0 x a Fs ( x) FA l AC段 : M ( x) F x Fbx 0 x a A l
m P
n
安全系数
(b)
2、挤压
螺栓与钢板相互接触的侧面上，发 生的彼此间的局部承压现象，称为挤 压。 在接触面上的压力， 称为挤压力， 并记为 Pbs 。 挤压破坏的两种形式 （1）螺栓压扁 （2）钢板在孔缘压皱
P
P
P
P
受剪 面
挤压面
在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为
bS
P A
bS bS
m
P
m
假设受剪面上各点的切应力相 等，则受剪面上的名义为切应力为
P
剪切面
Fs A
式中， Fs 为受剪面上的剪力
A
Fs m m P
为受剪面的面积。
(b)
铆钉剪切应力
剪切的强度条件为
P
m m
Fs A
[] 为材料的许用切应力。且
P
剪切面
Fs

极限切应力
u
m
1.横截面上的内力：扭矩(MT) 2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB MC

名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度


d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m

(参考资料)材料力学72-必做题

第二章杆件内力与内力图２－２（b）、（d）、（g）试作图示各杆的轴力图，并确定最大轴力| F N |max 。

２－３（b）试求图示桁架各指定杆件的轴力。

２－4（c）试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩| T |max 。

２－5图示一传动轴，转速n ＝200 r/min ，轮C为主动轮，输入功率P＝60 kW ，轮A、B、D均为从动轮，输出功率为20 kW，15 kW，25 kW。

（1）试绘该轴的扭矩图。

（2）若将轮C与轮D对调，试分析对轴的受力是否有利。

2－8（a）、（c）、（e）、（g）、（h）试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。

作剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值。

2－9（a）、（c）、（d）、（f）、（g）、（i）、（k）、（l）、（m）试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F s |max及|M |max值，并用微分关系对图形进行校核。

2－10设梁的剪力图如图（a）(d)所示(见教材p39)。

试作弯矩图和荷载图。

已知梁上无集中力偶。

2－11（b）试用叠加法绘出图示梁的弯矩图。

2－6一钻探机的功率为10 kW，转速n =180 r/min。

钻杆钻入土层的深度l= 40m。

若土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m，并作钻杆的扭矩图。

2－14图示起重机横梁AB承受的最大吊重F P＝12kN，试绘出横梁AB的内力图。

第三章轴向拉压杆件的强度与变形计算3－1图示圆截面阶梯杆，承受轴向荷载F1＝50kN与F2的作用，AB与BC段的直径分别为d1＝20mm与d2＝30mm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求荷载F2之值。

3－5变截面直杆如图所示。

已知A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。

求杆的总伸长量。

3－7图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量E＝210GPa ，已知l ＝1m，A1＝A2＝100mm2，A3＝150mm2，F P＝20kN 。

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1500 29400109
精选ppt
25
（2）强度相同
M 51MPa
max
Wp
D 16 M 3 1 [ ]
3
161500 3.1451106
53.1mm
（3）比较重量
Q A A 空 Q A A 实
L
1
L
2
(
D d D d 1 4 D D 2
2 2) ( 2
1
2 2)
2 1
4
90521.82352 0.31
m
解：①作扭矩图，确定危 险截面
A Mn
B
C
D3 =135 D2=75 D1=70
m
M mN103
nBC
2n
150103
(N m)
23.1415.4
1.55(kN m)
x
②
M max
n
Wt
1.55103
0.073 16
2M 3 P[a]
此轴满足强度要求
精选ppt
24
无缝钢管制成动 的轴 汽， 车 D外 传 9径 0mm ，
maxGMnIp (rad/m)
max G MnpI180 (/m)
精选ppt
28
4、刚度的三种计算
① 校核刚度：
ma x
② 设计截面 ③ 求许可载荷：
M I p
n max
G[ ]
MnmaxGpI[]
精选ppt
29
传动轴，n = 500 r / min，输入N1 = 500 马力， 输出 N2
15
* 讨论：
M
n
Ip
① 仅适用各向同性、线弹性材料，小变形
的圆截面等直杆。
② Mn—横截面上的扭矩，由平衡方程求得。
—该点到圆心的距离
Ip—极惯性矩，纯几何量
精选ppt
16
③ Ip的计算
Ip A2dA
单位：mm4，m4
对于实心圆截面：
Ip A2dA
d
D
O
D
2 22d 0
D4
0.1D4
32
第5章 扭转杆件的强度和刚度计算 5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算 5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 5.3 非圆截面杆的自由扭转简介
精选ppt
1
5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算
一、描述变形的指标 二、薄壁圆筒的扭转 三、等直圆杆扭转的应力
返回
精选ppt
2
一、描述变形的指标
*扭转角（）：
任意两截面绕轴线转动的相对角位移。
0.2D3(1-4)
精选ppt
21
5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
5.2.1 圆轴扭转时的强度计算 5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算 5.2.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
精选ppt
返回
22
5.2.1 圆轴扭转时的强度计算
返回
强度条件：
max[] ([] ：许用剪应力)
M 对于等截面圆轴：
nmax [ ]
②各纵向线均倾斜了同一微小角度
③所有矩形网格均歪斜成同样的平行四边形。
精选ppt
6
*微小矩形单元体： ①无正应力 ②横截面上各点， dy
只产生垂直于半径的
均布的剪应力 ，沿周
向大小不变
´
a
b
´
c
d
dx
精选ppt
7
2、薄壁圆筒剪应力：
M AdAr0 n
M r 0 A d A r 02r 0t n
精选ppt
13
2）. 物理关系
虎克定律： G
代入上式得： GGddxGddx
Gddx
精选ppt
14
3）. 静力学关系
M nAdA
Mn dA
AG2
ddA
dx
O
Gd
dx
A
2dA
令 Ip A2dA
Mn
GIp
d
dx
d M n
dx GI p
代入物理关系 Gddx 得： 精选ppt
M
n
Ip
G
E 2(1
)
精选ppt
11
三、等直圆杆扭转的应力 1、实验观察：
横截面仍为平面； 轴向无伸缩； 纵向线变形后仍为平行。
精选ppt
返回
12
2、横截面上的应力：
1）. 变形几何关系：
tgG d1G xd d x
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的 距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
M M
2r02nt
n 2 A0 t
A0：平均半径所作圆的面积。
精选ppt
8
3、剪应力互等定理
´
a
b
mz 0
dy
´
c
z
dx
d t
tdx dytdxdy
纯剪切应力状态
精选ppt
9
4、剪切虎克定律：
Mn= m
G
精选ppt
10
* 重要关系
剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比γ是
表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材 料：
*剪应变（）：
直角的改变量
精选ppt
返回
3
* 平面假设
横截面象刚性平面一样绕轴线 转过一个角度。
精选ppt
4
二、薄壁圆筒的扭转
返回
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
1、实验：
*实验前： 绘纵向线，圆周线
精选ppt
5
*实验后： ①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
*结论
①各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是 绕轴线作了相对转动
结构轻便，应用广泛。
精选ppt
19
⑤ 确定最大剪应力
M
n
Ip
Rd2, max
M M max
d
n 2
n
Ip
Ip
d 2
W 令
p Ip
d 2
M max
n
Wp
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）
mm3或m3
精选ppt
20
对于实心圆截面：
W pIp RD 31 60.2D 3
对于空心圆截面：
W pIp RD 3(14)16
Wt
*强度的三种计算： ① 校核强度： ② 设计截面：
M max
nmax[]
Wt
M Wp
nmax
[ ]
Wp 实 空： ： 1D D633（1164）
M ③ 求许可载荷：
nma xWp[ ]
精选ppt
23
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴，
[]=30M Pa, 试校核其强度。
m
精选ppt
17
对于空心圆截面：
I p A 2dA
D
2
2 2 d
d
d
2
(D 4 d 4)
(
d D
)
32
D 4 (1 4 ) 0 .1D 4 (1 4 ) 32
精选ppt
d
D O
18
④ 应力分布
Mn
高强度，节约材料，
壁 t 厚 2 .5 m， M m m a1 x .5 K,N[m ]60MP， a
(1)、校核强度
(2)、改为实心轴， 变强 ，度 D求 ，不并比较重
（1） d90 2.520.944
D 90
mm
D
3
(1 4)
Wp 16
3.11496 03(10.944)429400
3
M
W m a x
max p
精选ppt
26
5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算
返回
1、扭转时的变形
由公式
d M n
dx GI p
长为 l 的两截面间相对扭转角 为
l
M d
ndx
M
l
n
0 GIp
GI p
（精当选Mppt为常量时）
27
2、单位长扭转角
d Mn (rad/m)
dx GIp
dMn 180(/m) dx GpI
3、刚度条件