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极限与连续--复习优秀PPT

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《函数的极限与连续》PPT课件

《函数的极限与连续》PPT课件

定量刻画之一：远近
刻画远近的工具——距离
x与x0的距离是 | x x0 | （ f x）与A的距离是 | （ f x） A |
计算 | a b | 的大小的“精确值” 几乎是不可能也是不可取的
因此，我们选择用| a b | 的 "精确度"来刻画，即若给定
一个精确度， 那么符合这个
精确度要求的数的全体为
极限存在左右极限存在并相等不存在第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点??可去间断点可去间断点??跳跃间断点跳跃间断点??无穷间断点无穷间断点??震荡间断点震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义值太高值太高值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点哎呀哎呀不好不好
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1：f (x)在x0处无定义.
x自由地趋于x0
y
注意到：
在这种情形下，
lim f (x) A
x x0
存在，因此如果我们重 新定义
f (x)在x0处的值为
●
f (x0 ) A,
那么这个新的 f (x)在x0处连续.
这种间断点称为可去间断点.
O
x
哎呀,不好!有个洞, 还没 有支撑， 我掉下去了!!!
●
●
●
x0 x
x
情形 3：f ( x)在x0处有 或无定义. lim f ( x)
x x0
和 lim f ( x)至少有
x x0
一个为 或 或. 此时，直线
x x0 称为y f ( x)的渐进线.
这种间断点称为无穷间 断点
x x0
y
快救救我，我 要跑到未知世

《连续与极限》课件

《连续与极限》课件

极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理

第二章极限与连续PPT课件

第二章极限与连续PPT课件

当n
时收敛于a,
记作
lim
n
xn
a.
如果数列没有极限,就称该数列是发散的.
例如上面的数列有
=1
观察前面所举数列的例子, 不难看出：
lim 1 0, n 2n
lim (1)n1 1 0,
n
n
n 1 lim 1. n n
第10页/共44页
例如,
收 敛
第11页/共44页
发 散 趋势不定
例：求下列数列的极限
lim f (x) lim f (x)
xx0 0
xx0 0
第31页/共44页
例：函数
不存在。
第32页/共44页
例3 求函数
x 1, f (x) 0,
x 1,
x 0, x 0, x 0.
当 x 0时的左极限和右极限,并证明
解当 x 0 f (x) xFra bibliotek1lim f (x)不存在.
3
(1)
(2)
(5 + )
n2
解(1)原式 =
=1
(2)原式 = 5.
第12页/共44页
下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列 极限的定义.
先说明在数学上如何刻划“无限接近”与“无限增大” ：
我们用 x a 来表示x与a的 接近程度,用
n N 来表示n无限增大 .
第13页/共44页
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
心邻域
o
U (x0 , )
内有界。
3.局部保号性
f (x) 在
x 的某个去 0
定理3 若 lim f (x) A 0 (或A 0), 则
o
x x0

精品课件-多元函数的极限与连续

精品课件-多元函数的极限与连续
多个, 路径又是多种多样的.
y (x, y) (x, y)
(x, y)
(x, y)
(•x0, y0)
(x, y)
O
x
y (x, y) (x, y)
• (x, y) (x, y)(x0, y0)
O
x
23
8.1 多元函数的极限与连续
(2) 变点P (x, y) 与定点P0(x0, y0)之间的距离
记为 , (x x 0 )2 (y y 0 )2PP 0
多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
上册已经讨论了一元函数微积分. 但在自然科 学、工程技术和经济生活的众多领域中, 往往涉及 到多个因素之间关系的问题. 这在数学上就表现为 一个变量依赖于多个变量的情形, 因而导出了多元 函数的概念及其研究与应用.
本章在一元函数微分学的基础上, 讨论多元函 数的微分方法及其应用. 以二元函数为主, 但所得到 的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以 上的多元函数. 同时, 还须特别注意一些与一元函数 微分学显著不同的性质和特点.
当投入资金K和劳动力L的值分别给定时, 按照 上述关系式, 产量Y就有一个确定的值与它们对应.
13
8.1 多元函数的极限与连续
例 设R是电阻R1, R2并联后的总电阻. 由电学 知识知道, 它们之间具有如下的关系
RR R 11 R R 22,R 10,R20. 当电阻R1, R2取定后, R的值就唯一确定了.
内是xl恒总E i的xm 有有0如聚fE果(中 点x对)的 .于点A任 (P意 本|给身f 定(可x 0的),属 于A E| 0,0,也P,当 .的可去0 不 心属x 邻于 域Ex0 )U , 则(P称时 ,P,)25

第1章 极限与连续精品PPT课件

第1章 极限与连续精品PPT课件
第1章 极限与连续
第1章 极限与连续
1.1 初等函数 1.2 函数的极限 1.3 无穷小量与无穷大量 1.4 极限的运算 1.5 两个重要极限 1.6 函数的连续性 复习题1
第1章 极限与连续
1.1 初等函数
1.1.1 常量与变量 在观察某种自然现象或进行某项科学实验的过程中，
常涉及一些事物的数量变化情况. 例如， 一物体作匀速直 线运动， 那么时间与位移的大小都是变量， 而速度则为 常量. 又如， 一密闭容器内的气体在加热过程中， 需要考 虑容器内气体的体积V、 分子数n、 绝对温度T以及压力P， 其中体积V与分子数n两个数量在整个过程中保持不变， 而绝对温度T与压力P则不断变化.
1 x2 0
即1-x2＞0， 解之， 得-1＜x＜1. 所以定义域为 ｛x｜-1＜x＜1｝或记为(-1， 1).
第1章 极限与连续
(2) 函数是一个分式且分母开平方， 所以有sinx＞0 解之， 得2kπ＜x＜2kπ+π， k∈Z， 所以定义域D=
｛x｜2kπ＜x＜2kπ+π， k∈Z｝.
第1章 极限与连续
部分称为点x0的去心邻域， 可用不等式0＜｜x-x0｜＜δ
表示.
第1章 极限与连续
(x0－ δ,x0＋ δ)
O
x0－ δ
x0
x0＋δ
图 1-6
第1章 极限与连续
1.1.3 函数概念 在讨论函数的概念之前， 我们先来看几个实际生
活中的例子. 例 1 某会员制商店对会员购物提供优惠， 会员可
按商品价格的85%购买商品， 但每年需交纳会员费300 元. 问： 若某人只在此商店购物， 至少需购多少钱的 商品(按商品价格计算)才能真正受惠?一年内实际受惠 多少钱?

函数极限与连续性知识点及典例ppt课件

函数极限与连续性知识点及典例ppt课件
x
或
f ( x ) A (当 x )
lim f( x ) A " X " 定义 x
0 , X 0 , 使当 x X 时 , 恒有 f ( x ) A .
重庆邮电大学市级精品课程------高等数学
★另两种情形:
0 f( x ) A 1 .x 情形 : lim
函数极限与连续性知识点及典
例
重庆邮电大学市级精品课程------高等数学
第一章 函数极限与连续 习 题 课
主要内容
典型例题

重庆邮电大学市级精品课程------高等数学
• 一、基本要求
– 1、理解函数的概念、了解函数的性质. – 2、理解数列和函数极限的定义；掌握极限的性质、 存在准则，熟练应用极限运算法则求数列和函数极 限。 – 3、了解无穷小与无穷大的定义和性质，掌握等价 无穷小的运算性质。 – 4、掌握函数连续性和间断点，理解连续函数的性 质。
恒有 f ( x ) A .
记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 ) A . 0
x x 0 0 ( x x ) 0
右极限
0 , 0 , 使当 x x x 时 , 0 0 恒有 f ( x ) A .
无穷大
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则
左右极限
无穷小的比较
无穷小
limf (x) 0
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
重庆邮电大学市级精品课程------高等数学
1. 极限的定义
定义① 如果对于任意给定的正数 (不论它

高数函数极限与连续.ppt


2 7
3
x 4
x
5
x3 1
x3
2. 7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4、
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0
解：x 1时,分子,分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
yy y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
xx
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(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
2
2
2
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例3、 设函数 f ( x) 1 , g( x) x 2
x 1
求 f [g( x)] 和g[ f ( x)] 解：f [g(x)] 1 1 ,
g(x) 1 x 2 1 g[ f (x)] f (x) 2 1 2
x 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（或n ）的过程中, 对应函数值 f ( x)无限
趋近于一个确定常数 A.
lim
n
an
A
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.

第一章函数、极限与连续幻灯片课件


lim fx lim x 1 2 ， l i m fx l i m s i n x 1 s i n 3 1 ，
x 3
x 3
x 3
x 3
因 为 lim fx lim fx ， 所 以 lim fx不 存 在 .
x 3
x 3
x 3
④ 利用两个重要极限求函数的极限。即若所求极限为形如
(2) 如果y f(x) 在(a，b) 内每一点连续
(3) 如果y f(x) 在(a，b) 内连续，
且 lim f(x) f(b)，lim f(x) f(b)
xb0
xa0
那么yf(x) 在点x0 连续 那么yf(x) 在(a，b) 内连续 那么yf(x) 在[a，b] 上连续
六、本章关键词
函数 极限 连续
② 利 用 函 数 的 连 续 性 求 函 数 的 极 限 ， 即 若 fx 在 x x 0 处 连 续 ， 则 有 x l im x 0fx fx 0 .
例 10 求lxi m 4x2 x5 x14. 解 因 为 函 数 x 2 x 5 x 1 4 在 x 4 处 连 续 ，
所 以 lxi m 4x2 x5 x 1 4f41 8.
0 形式的不定式，并且极限式中含有三角函数，一般通 0 过三角函数的恒等变换再利用重要极限 lim sin x 1 求
x0 x 极限；若所求极限为形如 1 形式的不定式，并且所求函
1
数易转化为 1 u u
或
1
1 u
u
的形式，通常采用
lim
x
1
1 x
x
e
求极限。
例 12求limsin7x . x0arcsin5x
例9 求下列极限：

函数的极限与连续教学PPT课件

22 记作y arctan x.
定义域是(-,+),值域是(- ， ).
22
单调增加、有界、奇函数
38
第38页/共112页
定义4
余切函数y cot x在区间(0, )上的函数叫作反余切函数， 记作y arc cot x.
定义域是(-,+),值域是(0， ).
单调减少、有界函数
39
第39页/共112页
3 22
32
23
(3) [ , ],sin 1 arcsin 1 .
6 22 6 2
26
(4) [ , ],sin( ) 1 arcsin(1) .
2 22
2
2
33
第33页/共112页
一般地，由反正弦函数的定义，可以得到 sin(arcsin x) x, (1 x 1).
(2) arccos( 2 ). 2
(1) [0, ], cos 3 arccos 3 .
6
62
26
(2) 3 [0, ], cos 3 2 arccos( 2 ) 3 一般地，由反余弦函数的定义，可以得到
cos(arccos x) x,(1 x 1).
36
第36页/共112页
24
第24页/共112页
1.4 基本初等函数
• 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些都是 实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数．
25
第25页/共112页
1、幂函数
y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
第26页/共112页
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等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
2020/4/28
2
1.极限: 左极限
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
右极限
f ( x0 0) A.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
2020/4/28
3
2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
初等函数 的连续性
2020/4/28
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
12
二.连续 1、连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
2020/4/28
4
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
3、连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
2020/4/28
14
4、间断点的定义
义则称点x0为函数f ( x)的可去间断点.
2020/4/28
16
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 函数在点x0处的左, 右极限都存在.
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
9、极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
2020/4/28
11
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
7
5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x U 0 ( x0 , r )(或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那末 lim f ( x)存在,且等于A . (夹逼准则) x x0 ( x)
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
2020/4/28
8
6、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
lim sin 1; 某过程
(2) lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
1
lim (1 ) e.
某过程
2020/4/28
9
7、无穷小的比较
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数f ( x)在点x0处不连续(或间断),并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
2020/4/28
6
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.利用无穷小运算性质求极限; d.利用左右极限求分段函数极限.
2020/4/28
极限与连续复习
主要内容 一.极限 二.连续
2020/4/28
1
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f ( x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
lim f ( x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
x 0
或
lim [
x 0
f (x0
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x) 的连
续点.
定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
2020/4/28
13
2、单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
2020/4/28
5
3、极限的性质
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
2020/4/28
15
5、间断点的分类
(1) 跳跃间断点 如果f ( x)在点x0处左,右极限都
存在, 但f ( x0
0)
f (x0
0),
则称点x
为函数
0
f ( x)的跳跃间断点.
(2)可去间断点 如果f ( x)在点x0处的极限存在,
但 lim x x0
f (x)
A
f ( x0 ),或f ( x)在点x0处无定
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
2020/4/28
10Βιβλιοθήκη (3)如果
lim
k
C(C
0, k
0),就说是是k阶的
无穷小.
8、等价无穷小的性质