一极限与连续

高等数学极限与连续性知识点梳理在高等数学的学习中，极限与连续性是极为重要的概念，它们是后续学习微积分等知识的基础。

下面我们来对这部分知识点进行详细的梳理。

一、极限的概念极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。

通俗地说，就是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的一个确定的数。

比如，考虑函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，分母趋近于 0 ，直接代入会导致无意义。

但通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，就可以发现当$x$趋近于 1 时，函数值趋近于 2 ，这就是极限的一个简单例子。

极限的定义有多种形式，常见的有$＼lim_{x ＼to a} f(x) ＝ L$，表示当$x$无限接近$a$时，＄f(x)＄的极限为$L$。

二、极限的计算方法1、代入法对于一些简单的函数，直接将趋近的值代入函数中计算极限。

但要注意分母不能为 0 。

2、化简法通过代数运算、约分、有理化等方法将函数化简，然后再求极限。

3、重要极限（1）＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$（2）＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$利用这两个重要极限，可以通过变形和代换来计算很多复杂的极限问题。

4、洛必达法则当遇到$＼frac{0}｛0}＄或$＼frac{＼infty}｛＼infty}＄型的极限时，可以使用洛必达法则，即对分子分母分别求导，然后再求极限。

三、极限的性质1、唯一性如果函数存在极限，那么这个极限是唯一的。

2、局部有界性如果函数在某个点的极限存在，那么在这个点的某个邻域内，函数是有界的。

3、局部保号性如果函数在某个点的极限大于 0 （或小于 0 ），那么在这个点的某个邻域内，函数值大于 0 （或小于 0 ）。

四、函数的连续性函数在某一点连续，意味着当自变量在该点的变化很小时，函数值的变化也很小。

具体来说，函数$f(x)＄在点$x_0$处连续，需要满足三个条件：1、函数$f(x)＄在点$x_0$处有定义；2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在；3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在其定义域内的每一点都连续，就称该函数为连续函数。

数学极限和连续性：极限和连续性的概念数学是一门与数和空间相关的学科，其基础理论体系非常庞大而复杂。

其中，数学极限和连续性是数学分析的基石，它们在解决各种问题和证明数学定理时起着重要的作用。

1. 数学极限的概念及性质数学极限是数学分析中一个重要的概念，用来描述函数序列或数列逐渐趋于无穷或某个特定值的过程。

在实际应用中，数学极限可以帮助我们解决各种求解极限问题的困扰。

在数学中，对于函数序列{fn(x)}，若存在一个实数L，使得当x趋于某个数值a时，{fn(x)}中的函数值逐渐趋近于L，我们称L是该函数序列在点a处的极限。

数学表示为：lim(fn(x)) = L (当x趋于a时)对于数列{an}，若存在一个实数L，使得当n趋于无穷大时，数列{an}的元素逐渐趋近于L，我们称L是该数列的极限。

数学表示为：lim(an) = L (当n趋于无穷大时)数学极限具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性和保序性。

唯一性指的是函数序列或数列的极限是唯一确定的，且局部有界性指的是如果一个函数序列或数列在某个点处存在极限，则该序列在该点的某个邻域内有界。

此外，保序性指的是函数序列或数列满足保序关系，即如果函数序列或数列存在极限，则其极限所代表的大小关系也成立。

2. 连续性的概念及重要性连续性是数学中另一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的平滑程度。

在应用数学中，连续性对于描述物理和自然现象非常重要。

在数学中，对于函数f(x)，若它在某一点a的邻域内存在极限，并且该极限等于f(a)，则我们称函数f(x)在点a处连续。

即数学表示为：lim(f(x)) = f(a) (当x趋于a时)连续性具有一些重要的性质，如初等函数的连续性、复合函数的连续性和反函数的连续性。

这些性质使得我们能够在数学分析中对函数的连续性进行更深入的研究，进而推导和证明各种数学定理。

3. 极限和连续性的应用极限和连续性的概念在数学的各个领域中都有广泛的应用。

数学公式知识：微积分中的极限与连续性微积分是数学中的一个重要分支，通过其理论和方法可以对各种实际问题进行分析和解决。

其中，极限和连续性作为微积分的基本概念，是理解微积分的基础。

本文将介绍极限与连续性的概念、性质及其在微积分中的应用。

一、极限的概念极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近程度。

在微积分中，极限可以看作自变量的增量为0时，函数取值的变化量趋于某个值的情况。

数学上可以用“∞”、“-∞”、“+∞”、“无穷大”等符号表示。

例如，当自变量x趋近于0时，函数y=1/x的取值趋近于无穷大，可表示为y→∞。

当自变量x趋近于1时，函数y=(x-1)/(x+1)的取值趋近于0，可表示为y→0。

当自变量x趋近于2时，函数y=x^2的取值趋近于4，可表示为y→4。

二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)的极限存在，则该极限唯一。

2.局部有界性：如果函数f(x)的极限存在，则该函数在极限的邻域内是有界的。

3.保号性：如果函数f(x)在极限的邻域内恒大于（小于）0，则该函数的极限也大于（小于）0。

4.夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)、h(x)满足在极限的邻域内，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且f(x)和h(x)的极限都为L，则g(x)的极限也为L。

三、连续性的概念连续性是指函数在其定义域内，每个点x以及其邻域内的任意点x'，只要x'趋近于x，则函数值f(x')也趋近于f(x)。

也就是说，一个函数在某一点可导，其充分条件是在该点处连续。

例如，函数y=x^2在定义域[-∞,+∞]上连续。

在某一点x处，如果f(x)=L，则f(x+h)和f(x-h)的极限都为L，也就是说，函数在该点处连续。

四、连续性的性质1.初等函数的和、差、积仍是连续函数。

2.初等函数的商在分母不为零时仍是连续函数。

3.反函数在原函数在定义域内连续的点处也连续。

四、极限和连续性在微积分中的应用1.函数的导数：若函数在某一点处连续，且极限存在，则在该点处可求导。

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1. [单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctanx【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。

函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。

在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。

一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。

数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。

2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。

- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。

- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。

3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。

- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。

- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。

- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。

二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。

数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。

2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。

- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。

- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。

3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。

- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。

三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。

- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。

第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。