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线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
第 7章 线性变换7、1知识点归纳与要点解析一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。
注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2、线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么:σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3、线性变换的性质设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈L 。
性质1、 ()()00,σσαα==-;性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。
性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL也线性无关。
注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果:11111221221122221122s s s sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L LL LL记:()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换,12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L LLLL记:()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L那么:()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L M M M L设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LM M M L,12,,,m ηηηL 就是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηηL 就是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组,那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就就是()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的秩等于秩()B 。
![高等代数考研复习[线性变换]描述](https://img.taocdn.com/s1/m/7bea248a4693daef5ef73dbf.png)
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念，它是在向量空间中的一种特殊映射。
线性变换具有许多重要的性质和应用，因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。
本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结，希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。
二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射，具体来说，设V和W是两个向量空间，f:V→W是从V到W的映射。
如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a，b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。
三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示，假设V和W是n维向量空间，我们选择V和W的基，那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。
设f:V→W是一个线性变换，选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn}，那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像，也就是f(vi)对应的列向量。
根据线性变换的定义，我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。
四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中，这种映射保持向量之间的直线性质，即通过f映射后的图像仍然是一条直线。
这是线性变换的一个重要性质，它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质，比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。
2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变，即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的，那么在映射f下，向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。
这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用，它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。
第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。
(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.(4) 若在线性空间V 的一个基n ααα,,,21 下,线性变换A 对应的矩阵为A ,向量α的坐标为),,,(21n x x x ,则 A 的秩=秩(A ),A (α)的坐标⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121. 三、特征值与特征向量1.基本概念 (1)特征多项式设线性变换A 在V 的一组基n ααα,,,21 下的矩阵为A , 则||)1()(||)(12211A a a a A E f n n nn n -+++++-=-=- λλλλ称为A 的特征多项式.(的根就是A 的全部特征根).设λ1,λ2,…,λn 是f (λ)的全部根, 则)(λf n n n n n n λλλλλλλλλλλλλλ 2112121)1()()())((-+++++-=---=-.由大多项式相等, 得Tr(A)= n nn a a a λλλ+++=+++ 212211, n A λλλ 21||=.(2)线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量:若A α=λα, α≠0, 则λ称为A 的特征根(特征值), α称为A 的属于特征值λ的特征向量.(3)化零多项式设g(λ)是一个多项式,使得g(A )=0(g(A )=0),则g(λ)称为A (A)的化零多项式.(4)最小多项式---化零多项式中次数最低者.(5)特征子空间---A 的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合: |{0V V ∈=αλ A }λαα=.2.基本结论:(1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略) (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,反之不然. (4) Cayley Hamilton -定理:设线性变换A 在某个基下的矩阵为A ,||)(A E f -=λλ,则0)(=A f ,f (A )=0. 四、对角化问题1. 基本概念:(1)不变子空间---设W 是V 的子空间, A ∈L(V ), 若A W ⊆W, 则称W 是A 的不变子空间, 简称为A –子空间.(2) Jordan 标准形---设A ∈L(V ), 则必存在V 的一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.2. 基本结论:设A 是数域P 上n 维向量空间V 的一个线性变换,则(1) A 的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵⇔A 有n 个线性无关的特征向量.⇔V 可以分解为n 个一维不变子空间的直和⇔A 的所有不同的特征子空间的维数之和等于n ⇔A 的最小多项式没有重根 ⇔V 可以分解为特征子空间的直和.因而,当A 有n 个不同特征值时, A 必在某个基下的矩阵是对角形式. (2)设A 为n 阶矩阵，则A 必与一个Jordan 标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个Jordan 标准形是唯一的；而A 与对角矩阵相似⇔A 的最小多项式无重根.于是，当A 的特征多项式无重根时，A 必与一个对角矩阵相似.第八章 -λ矩阵(小结)一、基本概念1.-λ矩阵)(λA ---矩阵)(λA 的元素是λ的多项式.2.可逆的-λ矩阵---)(λA 可逆的充要条件是|)(λA |=c ≠0(是一个非零常数).3.秩---)(λA 的秩为r, 若)(λA 有一个r 阶子式非零, 任一个r+1阶子式均为零.4.-λ矩阵的初等变换---j i i j i r r c cr r r )(),0(,λφ+≠↔.(列变换类似)5.任一个-λ矩阵都可以经过初等变换化为标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00)()(1 λλr d d , 其中.1,...,2,1),(|)(1-=+r i d d i i λλ6.-λ矩阵)(λA 与)(λB 的等价当且仅当)(λA 经过初等变换变为)(λB .7.)(λA 的k 阶行列式因子---)(λA 的所有k 阶子式的最大公因式.8.)(λA 的不变因子---把)(λA 经过初等变换化为标准形后，主对角线上次数大于零的多项式为)(λA 的不变因子.9. )(λA 的初等因子---把)(λA 的标准形的主对角线上次数大于零的多项式分解成一次因式的方幂, 这些一次因式的方次就是)(λA 的全部初等因子.10.Jordan 块---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000011λλλJ . 11.若尔当标准形---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s J J J J21，其中J i 均为Jordan 块.12.伴侣阵---矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--1211000100010a a a a B n n n 称为多项式d(λ)的伴侣阵, 其中n n n n a a a d ++++=--λλλλ111)( .13.矩阵A 的有理标准形---把A 的特征矩阵化为标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(111λλs d d ,则A 的有理标准形为B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s B B B21, 其中B i 为d i (λ)的伴侣阵,i=1,2,…,s. 二、主要结论1. 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.2. 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于其唯一的标准形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00)()()(21 λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i =≥λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i λλ.3. 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.4. 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.5. 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵)(λP 与一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使)()()()(λλλλQ A P B =.6. 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8. 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A 的全部初等因子.9. 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.10. 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A 唯一决定的.11. 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的初等因子全为一次的(或A 的不变因子都没有重根).12. 数域P 上n n ⨯方阵A 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A 的有理标准形.13. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基，使A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A 唯一决定的，称为A 的有理标准形.第八章主要结论:1. A 与B 相似⇔A E -λ与B E -λ等价 ⇔它们有相同的各阶行列式因子 ⇔它们有相同的不变因子 ⇔它们有相同的初等因子.2. A 的每一个初等因子决定一个Jordan 块, 全体初等因子决定了A 的Jordan 标准形.3.矩阵A 可以对角化⇔它的Jordan 块都是一阶的 ⇔它的初等因子都是一次的 ⇔它的最小多项式无重根.⇔它的不变因子无重根.4. 矩阵A 的最小多项式就是A 的最后一个不变因子.第七章和第八章 主要掌握的计算1. 求线性变换在某基下的矩阵.(1)n 维向量空间; (2)n 维多项式空间; (3)2⨯2矩阵空间.例1. 设V =R 3, ∀(a ,b,c)∈ R 3,求A 在基),0,0,1(1=e ),0,1,0(2=e )1,0,0(3=e 和),1,1,1(1=α),0,1,1(2=α)0,0,1(3=α下的矩阵, 其中A (a ,b,c)=),,2(a c b a b a ++-.解: (A e 1, A e 2, A e 3)=(e 1, e 2, e 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101011012= (e 1, e 2, e 3)A ..001011111,),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==P P e e e ααα(A 1α,A 2α,A 3α)=(A e 1, A e 2, A e 3)P =(e 1, e 2, e 3)AP = (1α,2α,3α)P -1AP . 例2. V =P [x ]n -1, D ∈L (V ), D )(')(x f x f =, 求D 在基1,x ,…,x n-1下的矩阵. 例3.22⨯=PV , A ∈L (V ),⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4521Q ,对任意的X ∈V , A X=QX,求A 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.解: 由于A E 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0501=21115E E +, A E 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5010=22125E E +, A E 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0402=211142E E +, A E 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4020=221242E E +, 所以A 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4050040520100201A .2. 判断一个变换是否为线性变换.3. 求线性变换A 的值域与核.4. 求线性变换(矩阵)的特征值和特征向量, 判断矩阵是否可以对角化. (1) 求出A 在V 的一组基1α,2α,…,n α下的矩阵A.(2) 求出特征多项式f (λ)=|λE-A|, 在求出其全部根即为全部的特征值s λλλ,...,,21. (3) 对每一个特征值i λ, 求解齐次线性方程组0)(=-X A E i λ,得到基础解系, i kn k k k r k c c c ,...,2,1),,...,,(21==η. 则i kn k k r k c c c ,...,2,1),,...,,(21=就是A 的属于特征值i λ的特征向量k ξ在基1α,2α,…,n α下的坐标, 于是特征向量为k ξ=i n kn k k r k c c c ,...,2,1,2211=+++ααα .(4) 当A 有n 个线性无关的特征向量n ξξξ,...,,21时, A 在此基n ξξξ,...,,21下的矩阵为对角形.此时, 设k ξ=,,...,2,1,2211n k c c c n kn k k =+++ααα 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c cc c c T 212221212111,则T -1AT 为对角形, 主对角线上的元素为相应的特征值, 顺序与T 中特征向量的顺序相同.例4. 求例3中线性变换A 及矩阵A 的特征值特征向量, 判断是否可以对角化. 并求A (A)的最小多项式..)6()1(4050)65(210021012)4(2145005042010102405040520100201)(:2221313-+=--------=-+--------=↔--------=λλλλλλλλλλλλλλλλλr r c c f 解当λ= -1时, 求解线性方程组(-E-A)X=0,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------00000000101001015050050520200202. 基础解系为η1=(-1, 0, 1, 0), η2=(0, -1, 0, 1). 当λ= 6时, 求解线性方程组(6E-A)X=0,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000000205002052050020520500205. 基础解系为η3=(2, 0, 5, 0), η4=(0, 2, 0, 5).所以属于特征值-1的特征向量为2212221111,E E A E E A +-=+-=. 属于特征值6的特征向量为221242111352,52E E A E E A +=+=.A 在基4321,,,A A A A 下的矩阵为对角形D =diag(-1,-1,6,6).令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5010050120100201T , 则T -1AT = D =diag(-1,-1,6,6). A 的最小多项式为m(x )=(x +1)(x -6).一些相关题目1. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10011011)(λλA , 则R(A(λ))= . A(λ)是否可逆, 为什么?2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=100310151)(2λλλA , 则R(A(λ))= . A(λ)是否可逆, 为什么?3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=100030001)(2λλλλA , 则其不变因子是?4.设A 的全部初等因子为32)1(,)2(,+-λλλ, (1) A 是一个几阶矩阵? (2) A 的Jordan 标准形是? (3) A 的不变因子是?5.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3130313A 的初等因子是? 最小多项式是? 不变因子的? 6.判断命题是否正确, 不正确者请改正:(1)若n 阶矩阵A 可以对角化, 则A 必有n 个互不相同的特征值. (2)若两个n 阶矩阵A 和B 的特征值相同, 则它们相似. (3)若矩阵A 与B 相似, 则它们有相同的特征向量.(4)n 阶矩阵A 不可逆的充要条件是A 至少有一个特征值为零. (5)设A ∈L(V), V s ∈ααα,....,,21, 若A α1, A α2, …,A αs 线性无关, 则s ααα,....,,21线性无关.(6) 设A ∈L(V), V s ∈ααα,....,,21, 若s ααα,....,,21线性相关, 则A α1, A α2, …,A αs 线性相关.(7) 设A ∈L(V), V s ∈ααα,....,,21, 若s ααα,....,,21线性无关, 则A α1, A α2, …, A αs 线性无关.(8) 若B AP P T =, P 可逆, 则A 与B 相似.(9)若对任意的(a,b,c)∈R 3, A (a,b,c) =(a 2. b+c, a+c), 则A 是R 3上的线性变换.(10)矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2212121与相似. (11)设A ∈L(V), dimV=n, 则A 可逆的充要条件是 (a)A 有n 个线性无关的特征向量; (b) A 有n 个互不相同的特征值;(c) A 在V 的某一组基下的矩阵为对角形;(d)A 的特征值均非零; (e)A V=V ;(f) A -1(0)={0}.(12)设A 的初等因子为λ-1和(λ-2)3, 则A 的Jordan 标准形为:(a)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2221 (b) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛212211 (c) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21221 (d) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛212121 (e) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121 (f) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22121 (g) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121211 (h) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212211 7. 填空(1)设s ααα,....,,21线性无关, (s βββ,....,,21)=(s ααα,....,,21)A, 则s βββ,....,,21可逆的充要条件是 .(2)设三阶矩阵A 的特征多项式是323)(23+--=λλλλf , 则|A|= . 设A 的主对角线上的元素之和=++332211a a a . (3)若A 2=E, 则A 的特征值只能是 . (4)若A 2-3A+2E=0, 则A 的特征值只能是 .(5)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=0167121700140013A , 则A 的全部特征值之和λ1+λ2+λ3+λ4= . 全部特征值之乘积λ1λ2λ3λ4= . A 可逆吗?矩阵的三大关系。
