2018高考文科数学不等式专项100题(WORD版含答案)

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号（C）2（D）414.已知a R∈，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）16定16.设D是含数1的有限实数集，f x（）是义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B（C（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R∈，函数f x（）22?asin x cos x=+（1）若f x（）为偶函数，求a的值；（2）若4fπ〔〕1=，求方程1f x=（）ππ-［，］上的解。

2018年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

第54题 不等式的概念与性质I ．题源探究·黄金母题【例1】已知0,0,a b c >><求证：c c a d>． 【证明】10,0,0a b ab ab>>∴>>．于是11,a b ab ab ⋅>⋅即11,b a >由0c <，得c c a d>． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5P 74例1．【母题评析】本题考查了不等式的重要性质．作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】熟记不等式性质，应用不等式的性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （ ） A ．()21log 2a b a a b b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B ． 【例3】【2016高考新课标I 】若101a b c >><<，，则 （ ） A ．cca b < B ．ccab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C【命题意图】这类题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行【解析】用特殊值法．令3a =，2b =，12c =，得112232>，选项A错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 【例4】【2017高考北京理13】能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为______________________________． 【答案】1,2,3---．【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾，∴验证是假命题． 【例5】【2017高考北京文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （1）男学生人数多于女学生人数； （2）女学生人数多于教师人数； （3）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6，12【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N第一小问：max 846a b b >>>⇒=；第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=比较．也可以利用特殊值法．III ．理论基础·解题原理1．比较法原理：0,0,0.a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔= 2．a b b a >⇔<（反对称性）； 3．若,,a b b c >>则a c >（传递性）4．若a b >，则a c b c +>+；5．若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <； 6．若,a b c d >>，则a c b d +>+； 7．若0,0a b c d >>>>，则ac bd >；9．若0a b >>，则(),2n n a b n N n >∈≥；IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 【技能方法】解决此类问题的关键是在不等式的求解证明中，必须在不等式的常见性质体系下进行分析．（1）用作差比较法比较数式的大小关键是变形，常将两个代数式作差后变形为常数或平方和的形式或几个因式积的形式等，常有的变形技巧有因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等．作差比较法的一般步骤：作差——变形——与0比较大小——下结论．（2）当用作差法难以比较数式的大小时，可以试用作商比较法（前提是两个代数式同号）．作商比较法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——下结论．（3）在运用不等式的性质时，一定要掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，若同乘以（或除以）一个负数，则不等号的方向改变．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方或（或开方）时，要求不等式两边都是正数．（4）应用不等式的性质解题的常见类型及方法：①注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；②若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；③恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题、填空题． 【易错指导】（1）比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．（2）不等式性质的等价性：在不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性．（3）由于同向不等式相加或相乘会使范围变大，所以在求有关不等式取值范围的问题时，尽量少用不等式相加或相乘，次数越少越好，最好“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，这是避免出错的一条捷径．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用不等式的性质判定大小【例1】【2018河南焦作高三第四次模拟】已知0a b >>，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b >B ．22log log a b <C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122a b -->【答案】C【例2】【2018河北衡水中学高三十五模】已知330c c a b<<，则下列选项中错误的是（ ） A ．b a > B ．ac bc > C ．0a b c -> D ．ln 0ab> 【答案】D【解析】330c c a b <<，当0c <时，110a b >>，即b 0a >>，∴b a >，ac bc >，0a bc->成立，此时01a b <<，∴ln 0ab<，故选D ． 【例3】【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】若1a >，01c b <<<，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2018log 2018a b >B ．log log b c a a<C ．()()aac b c c b b ->- D ．()()cba c a a c a ->- 【答案】D【解析】根据对数函数的单调性可得log 20180log 2018a b >>，log log b c a a <，故A 、B 正确．∵1a >，01c b <<<，∴0a a c b <<，0c b -<，0c b a a <<，0a c ->， ∴()()aac b c c b b ->-，()()cba c a a c a -<-，则C 正确，D 错误．故选D ．【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 【跟踪练习】1．【2018北京丰台区高三一模】已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是A ．11a b> B < C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A2．【2018北京十一学校高三3月模拟】设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B【解析】0< 4.20.6<1，0.67>1，0.6log 7<0，所以b>a>c ，选B ．3．【2018四川成都第七中学高三上学期模拟】设12523log 2,log 2,a b c e ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 【答案】B【解析】因为()12523log 20,1,log 20,1a b c e=∈==，所以b a c <<，选B ．考向2 求范围的问题【例4】【2018黑龙江双鸭山市一中高二4月月考】已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 ( )A ．[]6,14-B ．[]2,14-C ．[]2,10-D ．[]6,10- 【答案】C【解析】设()()32x y a b a b a b -=++-，易得：1x 2=，5y 2=， ∴()()[]15322,1022a b a b a b -=++-∈-，故选C ． 【名师点睛】根据不等式组确定二元目标式范围的方程有二，其一：利用待定系数法表示目标，直接加减一次即可；其二：利用线性规划的方法处理．【例5】三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是________． 【答案】23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例6】【2018辽宁大连渤海高级中学高二上学期期中考试】设()2f x ax bx =+，且()112f -≤-≤，()214f ≤≤，求()2f -的取值范围．【答案】()1210f -≤-≤【解析】试题分析：由()2f x ax bx =+ 得()242f a b -=-．已知()()1,1f f - 的范围，用()()1,1f f -表示,a b ，再把()242f a b -=-化简，然后根据不等式的性质可得所求范围．试题解析：由已知得()()1{ 1f a b f a b-=-=+，∴()()()()112{112f f a f f b +-=--=，∴()()()()()11112424222f f f f f a b +----=-=⨯-⨯()()131f f =+-，∵()()112,3316f f -≤-≤∴-≤-≤，∵()214f ≤≤，∴()()113110,f f -≤+-≤∴()1210f -≤-≤．【名师点睛】利用不等式的性质可以求参数或某些代数式的取值范围，但在变换过程中要注意掌握、准确使用不等式的性质．求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件．如本例若忽视αβ<，则会导致取值范围变大． 【跟踪练习】1．【2018广西防城港市高中毕业班1月模拟】已知0,0,22a b a b >>+=，若24a b m +>恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m <2．【2018江苏邗江中学高二下学期期中考试】若不等式（﹣1）n •a ＜3对任意的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论． 详解：当为奇数时，不等式可化为，即，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，当为偶数时，不等式可化为，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，即，综上，．【名师点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力．3．【2018北京市海淀区育英学校高一下期期中考试】若实数a ，b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是__________． 【答案】()1,2-【解析】01,10b b <<∴-<-<，02,12a a b <<∴-<-<，故答案为()1,2-．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 【答案】[－12，42]【名师点睛】本题是一道易错题，如果根据1≤a 5≤4，2≤a 6≤3分别求出1,a d 的范围，再求S 6＝6a 1＋15d 的范围，实际上是错误的．这里涉及到不等式取等的问题，可以利用线性规划的知识，也可以利用解答中的整体代入的方法．考向3 不等式的性质与充要条件【例7】【2018广东省中山市高二上学期期末复习】若,a b 为实数，则22a b >是0a b >>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不也不必要条件 【答案】B【解析】当0a b >>时，22a b >成立，当3,1a b =-=-时，满足22a b >，但0a b >>不成立，即“22a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．【例8】【2018广东中山市高二上学期理科数学期末考试】条件甲：24{03x y xy <+<<<；条件乙：01{23x y <<<<，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不也不必要条件 【答案】B 【解析】由01{23x y <<<<，根据不等式的性质可得24{ 03x y xy <+<<<；由01{23y x <<<<，而15,22x y ==时，24{03x y xy <+<<<成立，01{ 23y x <<<<不成立，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．【例9】下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ，其中能使11a b<成立的充分条件有________． 【答案】①②④【解析】①a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b ；②b ＜a ＜0⇒1a ＜1b ；③b ＜0＜a ⇒1a ＞1b；④0＜b ＜a ⇒1a ＜1b．故答案为：①②④． 【跟踪练习】1．【2018天津蓟州区第一中学高二第一学期第二次月考】①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真： ②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；③是的充要条件； ④“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________． 【答案】③④有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③，当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；对于④，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，④错误，故答案为③④．2．【2018衡水金卷（四）】设p ：3402x xx-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]3,1-C ．[)(]2,00,1-⋃D ．[)(]2,10,1--⋃ 【答案】D【解析】设p ：3402x xx-≤的解集为A ，所以A={x|-2≤x ＜0或0＜x≤2}，设q ：()22210x m x m m -+++≤的解集为B ，所以B={x|m≤x≤m+1}，由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有010{01{ 2 1.122m m m m m m >+<⇒<≤⇒-≤<-+≤≥-或综合得m ∈[)(]2,10,1--⋃，故选D ．3．设,x y R ∈，则4()0x y x -<是x y <的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A。

三产业收例 其它收入 种植收入 比例 养植收入2018年全国卷1文科数学高考试卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A ∩B=（ ）A.{0,2} B={1,2} C ={0} D={-2,-1,0,1,2}2.设Z=11ii-++2i ，则z =（ ） A .0B . 12C .1 D.3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为了更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则如下结论不正确的是（ ） A.新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其它收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养植收入增加了一倍D. 新农村建设后，养植收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.4.已知椭圆C: 22214x y a +=的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）A. 13B. 12C. D.5.已知圆柱的上下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A.B. 12πC.D. 10π 6.设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则()y f x =在点（0，0）处的切线方程为（ ）A . 2y x =- B. y x =- C. 2y x = D. y x = 7.在⊿ABC 中，AD 为BC 边上中线。

E 为AD 的中点，则EB =( )A.3144AB AC - B. 1344AB AC - C. 3144AB AC + D. 1344AB AC +8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.DB()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16，其三视图如右图。

E 不等式E1 不等式的概念与性质10．B11、B12、E1 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a <b C ．若e a－2a ＝e b－3b ，则a >b D ．若e a－2a ＝e b－3b ，则a <b10．A 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a＋2a ＝e b＋3b ，有e a＋3a >e b＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a－2a ＝e b－3b ，有e a－2a <e b－2b ，令函数f (x )＝e x－2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．7．E1、B6、B7 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c a ＞cb；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．1．E1、E3 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)1．D 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D.6．D3、E1 已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3>a 1，则a 4>a 26．B 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．对于A 选项，当数列{a n }首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如a n ＝(－1)n，a 1＋a 3＝－2<2a 2＝2，故A 错误；对于B 选项，a 21 ＋ a 23 ≥2|a 1 a 3 | ＝ 2a 22 ，明显成立，故B 正确；对于C 选项，由a 1＝a 3＝a 1q 2只能得出等比数列公比q 2＝1，q ＝±1，当q ＝－1时，a 1≠a 2，故C 错误；对于选项D ，由a 3>a 1可得a 1(q 2－1)>0，而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响，不一定为正，也就得不出a 4>a 2，故D 错误．E2 绝对值不等式的解法9．E2 集合A ＝{ x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．9．－3 将|x －2|≤5去绝对值得－5≤x －2≤5，解之得－3≤x ≤7，∴x 的最小整数为－3.E3 一元二次不等式的解法13．E3 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．由条件得a 2－4b ＝0，从而f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22，不等式f (x )<c 解集为－a 2－c <x <－a2＋c ，故⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6，两式相减得c ＝3，c ＝9.12．E3 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．12．{x |2≤x ≤3} 本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式． 解不等式得 (x －2)(x －3)≤0，即2≤x ≤3，所以不等式的解集是{x |2≤x ≤3}． 本题易错一：把不等式解集的界点忘记，没包括2或者3，错解为{x |2<x <3}；易错二：没把解集写成集合或区间的形式，导致无分．14．A2、A3、B3、E3 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(－4,0) 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x－2<0，可得x <1，要使∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1， 可得m ∈(－4,0)．1．E1、E3 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)1．D 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，21．B12、E3 设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B .(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．21．解：(1)x ∈D ⇔x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0. 令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)． ①当13<a <1时，Δ<0，∴∀x ∈R ，h (x )>0，∴B ＝R . 于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解x 1＝x 2＝＋a 4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋134＝1， ∴B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)． 于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当0<a <13时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －a －a －4，x 2＝3＋3a ＋a －a －4.∵x 1<x 2且x 2>0，∴B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． 又∵x 1>0⇔a >0，∴D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的单调性如下：①当3<a <1时，D ＝(0，＋∞)．由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D 内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点．③当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．∵x1＝3＋3a －a －a －4＝3＋3a －3－5a 2－16a24≥14＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1，x 2＝3＋3a ＋33a －1a －34＝3＋3a ＋1－3a2＋8－24a4>3＋3a ＋1－3a4＝1，∴a ∈D,1∉D .由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点．答案为D.2．E3 不等式x －1x ＋2<0的解集为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．C 原不等式等价于(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，选C. 分式不等式通常转化为整式不等式来解，其主要转化途径：(1)f xg x>0⇔f (x )g (x )>0；(2)f xg x<0⇔f (x )g (x )<0.10．A1、E3、B6 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞) B．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞，1)10．D 因为f (g (x ))＝2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x－2＜1或3x －2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝(－∞，1)∪(log 35，＋∞)，又由g (x )＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝(－∞，log 34)，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.E4 简单的一元高次不等式的解法11．E4 不等式x 2－9x －2>0的解集是________．11．{x |－3<x <2或x >3} 原不等式可化为(x ＋3)(x －3)(x －2)>0，利用穿针引线法可得{x |－3<x <2或x >3}．17．B12、E4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在上的最小值．17．解：因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16.故有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在上的最小值为f (2)＝－4.E5 简单的线性规划问题2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．32．B 概括题意画出可行域如图．当目标函数线过可行域内点A (0,2)时，目标函数有最小值z ＝0×3－2×2＝－4.8．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－3，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋4y 的最大值是( )A ．12B ．26C ．28D ．338．C 由已知，画出可行域如图，可知当x ＝4，y ＝4时，z ＝3x ＋4y 取得最大值， 最大值为28.10．E5 满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．10．－2 考查简单的线性规划问题，此题的难点是如何正确画出可行域．画图可知，约束条件表示的区域是一个平行四边形区域，四个顶点分别是(0,1)，(2,0)(0，－1)(－2,0)．通过平移参照直线y －x ＝0，可知在(2,0)处取得最小值，z min ＝0－2＝－2.9．E5 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．D 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．不等式组表示的区域如图1－1所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z3，故而当截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15，故而A 的坐标为(5,15)，代人z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.5．E5 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)5．A 由正三角形的性质可求得点C ()1＋3，2，作出△ABC 表示的可行域(如下图所示不含△ABC 的三边)．可知当直线z ＝－x ＋y 经过点C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取得最小值，且z min ＝1－3；当直线z ＝－x ＋y 经过点B (1,3)时，z ＝－x ＋y 取得最大值，且z max ＝2.因为可行域不含△ABC 的三边，故z ＝－x ＋y 的取值范围是()1－3，2.故选A.5．E5 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－65．C 作出可行域，如图所示．目标函数变形为：y ＝－12x ＋12z ，平移目标函数线，显然当直线经过图中A 点时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x －y ＝1 得A (－1，－2)，所以z min ＝－1－4＝－5.所以选择C.10．E5 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．210．B 根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当直线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3相交，交点的横坐标即为m 的最大值，解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x ＋3，解得x ＝1.所以当m ≤1时，直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件，所以m 的最大值为1.14．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．14．－1 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z 取最小值－1.8．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32 D ．38．A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.14．E5 设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0，则z 的取值范围是________．14． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO 及其内部，由目标函数z ＝x ＋2y 可得y ＝－12x ＋z 2，直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时，截距z2在B 点取得最大值，在O 点取得最小值，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 故z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.21．B9、B12、E5 设函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值； (3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围． 21．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n＋x －1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．(2)解法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f－，－1≤f ，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6， 在点(0,0)取到最大值0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法二：由题意知－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， 所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. 解法三：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f －＝1－b ＋c ，f＝1＋b ＋c ，解得b ＝f－f －2，c ＝f＋f －－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3. 又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. 注：②，③也可合并证明如下： 用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者． 当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时， M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝f －＋f 2＋|f －－f 2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2 ＝1＋c ＋|b |－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 24＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋|b |22≤4恒成立．3．E5、K3 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22 C.π6 D.4－π43．D 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识． 如图所示，P ＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4.14．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．14． 2作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3所表示的可行域，如下图阴影部分所示(含边界)．可知当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝1与直线3x －y ＝3的交点M (1,0)时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，且z min ＝2.6．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C ． D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，326．A 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题． 可行域为如图所示阴影部分．当目标函数线l 移至可行域中的A 点(2,0)时，目标函数有最大值z ＝3×2－0＝6；当目标函数线l 移至可行域中的B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，目标函数有最小值z ＝3×12－3＝－32.E6 2a b+≤9．E6 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．69．C 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力． 由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x 即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．E6、E8 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b210．A 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2s⎝ ⎛⎭⎪⎫s a ＋s b ＝2ab a ＋b ，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立． E7 不等式的证明方法21．B12、E7 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明： (1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<x －x ＋5.21．解：(1)(证法一)记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)．则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减．又g (1)＝0，有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．(证法二)由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即 ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)(证法一) 记h (x )＝f (x )－x －x ＋5，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54x ＋2＝2＋x 2x －54x ＋2<x ＋54x －54x ＋2＝x ＋3－216x4x x ＋2令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0. 因此g (x )在(1,3)内是递减函数，又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<x －x ＋5.(证法二)记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x <12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x －＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x (7x 2－32x ＋25) <0.因此h (x )在(1,3)内单调递减，又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<x －x ＋5.E8 不等式的综合应用14．E8 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．14． 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c ，三元换成两元．题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c ≥e a c ，记x ＝a c ，y ＝bc ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ，y >0，且目标函数为z ＝yx，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72，此时z max ＝7.又过原点作曲线y ＝e x的切线，切点为(x 0，y 0)，因y ′＝e x，故切线斜率k ＝e x 0，切线方程为y ＝e x 0x ，而y 0＝e x 0且y 0＝e x 0x 0，解之得x 0＝1，故切线方程为y ＝e x ，从而z min ＝e ，所求取值范围为．15．E8 已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．(0,8) 不等式在R 上恒成立，则满足Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.10．E6、E8 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b210．A 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2s⎝ ⎛⎭⎪⎫s a ＋s b ＝2ab a ＋b ，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立． 21．B12、E8 设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以，f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x－1x －2＋1＝exx －x －x－2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.22．B12、E8 设函数f (x )＝ax n(1－x )＋b (x ＞0)，n 为整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )＜1n e.22．解：(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0. 因为f ′(x )＝anxn －1－a (n ＋1)x n，所以f ′(1)＝－a ，又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝x n(1－x )＝x n－x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)xn －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1－x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝nn ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0＝nn ＋1.在⎝⎛⎭⎪⎫0，n n ＋1上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；而在⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋1＝n nn ＋n ＋1.(3)证明：令φ(t )＝ln t －1＋1t (t ＞0)，则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t2(t ＞0)．在(0,1)上，φ′(t )＜0，故φ(t )单调递减； 而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0，φ(t )单调递增．故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0.所以φ(t )＞0(t ＞1)， 即ln t ＞1－1t(t ＞1)．令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n ＞1n ＋1，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞lne ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞e ，即n nn ＋n ＋1＜1n e. 由(2)知，f (x )≤n n n ＋n ＋1＜1n e，故所证不等式成立．9．A2、E8 设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件 9．A先考察充分性： 当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c＝abc a ＋abc b ＋abc c＝ab ＋bc ＋ca ， 又因为2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号)，即1a＋1b＋1c＝ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c ，故充分性成立；再考察必要性： 取a ＝b ＝c ＝3，显然有1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，故必要性不成立．应选A.E9 单元综合17．E9 如图1－5，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．图1－517．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km. (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6 km 时，可击中目标． 16．E9 设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1. 其中的真命题有________． (写出所有真命题的编号)16．①④ 由a 2－b 2＝1，所以a 2＝1＋b 2＞1，又a 是正实数，故a ＞1，进而a ＋b ＞1，分解因式得(a ＋b )(a －b )＝1， ∴a －b ＝1a ＋b＜1.①正确． 由1b －1a ＝1且a 、b 是正实数，可得a －b ＝ab ，不能保证小于1，如b ＝23，a ＝2， 此时a －b ＝ab ＝43＞1.②错误．由|a －b |＝1，取a ＝4，b ＝1可知|a －b |＝3＞1，故③错误．由|a 3－b 3|＝1，不妨设a ＞b ，即a 3－b 3＝1，于是a 3＝1＋b 3，因为a 、b 都是正实数， 故a 3＝1＋b 3＞1⇒a ＞1，于是(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝1⇒a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2＜1，从而④正确．21．H10、E9 如图1－6，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .图1－6(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ |<|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． 21．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1， 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4， 化简可得，4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1，结合题设(m >0)可知，m >0，且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |＝21＋3m2＋121＋3m2－1＝ 1＋221＋3m2－1.此时1＋3m2>1，且1＋3m2≠2.所以1<1＋221＋3m2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |<3，且|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.22．B14、E9、J3、D5 已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2＋a n2与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．(1)用a 和n 表示f (n )； (2)求对所有n 都有f n －1f n ＋1≥nn ＋1成立的a 的最小值；(3)当0<a <1时，比较1f－f＋1f－f＋…＋1f n －fn与6·f －f n ＋f－f的大小，并说明理由．22．解：(1)由已知得，交点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a n2，0，对y ＝－x 2＋12a n 求导得y ′＝－2x ，则拋物线在点A 处的切线方程为y ＝－2a n⎝⎛⎭⎪⎫x －a n 2，即y ＝－2a n x ＋a n .则f (n )＝a n. (2)由(1)知f (n )＝a n，则f n －1f n ＋1≥n n ＋1成立的充要条件是a n≥2n ＋1.即知，a n≥2n ＋1对所有n 成立．特别地，取n ＝1得到a ≥3. 当a ＝3，n ≥1时，a n＝3n＝(1＋2)n＝1＋C 1n ·2＋…≥2n ＋1. 当n ＝0时，a n＝2n ＋1.故a ＝3时，f n －1f n ＋1≥nn ＋1对所有自然数n 均成立．所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f (k )＝a k. 下面证明：1f－f ＋1f－f＋…＋1f n －fn>6·f －f n ＋f －f .首先证明：当0<x <1时，1x －x 2>6x . 设函数g (x )＝6x (x 2－x )＋1,0<x <1.则g ′(x )＝18x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23. 当0<x <23时，g ′(x )<0；当23<x <1时，g ′(x )>0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝19>0.所以，当0<x <1时，g (x )>0，即得1x －x 2>6x . 由0<a <1知0<a k<1(k ∈N *)，因此1a k－a2k >6a k，从而 1f－f＋1f－f＋…＋1fn －fn＝1a －a 2＋1a 2－a 4＋…＋1a n －a2n >6(a ＋a 2＋…＋a n) ＝6·a －a n ＋11－a＝6·f －f n ＋f －f.。

甘肃、青海、西藏、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、重庆绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =D ．3y =7．在ABC △中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB = A．BCD．8．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．1-B ．2-CD 1-12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(f ff++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第3讲 基本不等式,)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( )A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编 函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.由于x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．由于xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2021·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2021·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)由于a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2. 角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又由于点A 在直线x m ＋yn＝－1上，所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n＝10＋3m n ＋3n m≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围 3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号， 所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流淌成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)由于每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．由于9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 由于售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.,)——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)由于x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)由于x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避开多次使用基本不等式，若必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件全都．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3,)1．(2021·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．12D ．22B 由于a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 由于x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2021·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 由于正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 由于x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式， 得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又由于x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产预备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产预备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2021·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.由于x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．依据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，由于a b ＋ba ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12．(2021·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9D 由于AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值．(1)由于x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 由于2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)由于x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.14．(2021·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地争辩植物生长，方案利用学校空地建筑一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2)由于8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。

仿真考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3}2．若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z 在复平面内对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(－4，－2)D ．(－4,2)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x >0，2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫a 41a 42a 43a 51a 52a 53a 61a 62a 63)4.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )A ．2B ．8C ．7D ．4 5．“吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于2012年5月31日规定室内场所禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄(X )分别为16岁，18岁，20岁和22岁，其得肺癌的相对危险度(Y )依次为15.10,12.81，9.72和3.21；每天吸烟数量(U )分别为10支、20支和30支者，其得肺癌的相对危险度(V )依次为7.5,9.5和16.6.用r 1表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，用r 2表示变量U 与V 之间的线性相关系数，则下列说法正确的是( )A ．r 1＝r 2B ．r 1>r 2>0C ．0<r 1<r 2D ．r 1<0<r 26．执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝110 011，则输出结果是()A ．51B ．49C ．47D ．457．已知点(n ，a n )(n ∈N *)在y ＝e x 的图象上，若满足当T n ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a n >k 时，n 的最小值为5，则k 的取值范围是( )A ．k <15B ．k <10C ．10≤k <15D ．10<k <158．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0,3)和C (0，－3)，顶点B 在椭圆x 216＋y 225＝1上，则sin (A ＋C )sin A ＋sin C＝( )A.35B.45C.54D.53 9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A.34 B ．1 C.54 D.3210．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以点F 为圆心和双曲线C 的渐近线相切的圆与双曲线C 在第一象限的交点为M ，且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B. 5 C. 2 D ．211．已知点O 是△ABC 外心，AB ＝4，AO ＝3，则AB →·AC →的取值范围是( )A ．[－4,24]B ．[－8,20]C ．[－8,12]D ．[－4,20]12．已知偶函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，当0<x <1时，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x f ′(x )·ln(1－x 2)>2f (x )恒成立，那么不等式f (x )<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <0或12<x <1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <－12或12<x <1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12且x ≠0 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <－12或0<x <12 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥≤－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为__________．14．在椭圆x 336＋y 29＝1上有两个动点M ，N ，K (2,0)为定点，若KM →·KN →＝0，则KM →·NM→的最小值为________． 15．若函数y ＝e x －a (e 为自然常数)的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，y ＋1≥0，x －y ≥0，则实数a 的取值范围是________．16．已知正四棱锥P －ABCD 的所有顶点都在半径为1的球面上，当正四棱锥P －ABCD 的体积最大时，该正四棱锥的高为________．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A2a －b＝cos C c .(1)求ab 的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．18．(本小题满分12分) (2017·张掖市第一次诊断考试)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，问题是(1)分别求出a ，b ，x ，y 的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19．(本小题满分12分)(2017·芜湖质检)如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .20．(本小题满分12分)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)求四边形ADBC 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－ln(x ＋a )＋b ，g (x )＝x 3.(1)若函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为x ＋y ＝0，求实数a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈(0，＋∞)时，求证：f (x )<g (x )；(3)证明：对于任意的正整数n ，不等式1＋1e 4＋1e 18＋…＋1e (n －1)n 2<n (n ＋3)2成立．请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，点F 的极坐标为(22，π)，且F 在直线l 上．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求曲线C 内接矩形周长的最大值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲若∃x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .(1)求集合T ；(2)若m >1，n >1且对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

第讲简单不等式的解法,)．一元一次不等式>(≠)的解集()当>时，解集为；()当<时，解集为．．一元二次不等式的解集的解集为{<<}<则不等式>，若－－}．<或>；不等式的解集为{>．辨明三个易误点()对于不等式＋＋>，求解时不要忘记讨论＝时的情形．()当Δ<时，＋＋>(≠)的解集是还是∅，要注意区别．()不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．．把握分式不等式的四个等价转化()>⇔()·φ()>；()≥⇔；()<⇔()·φ()<；()≤⇔.不等式－＋<的解集为( )．(－∞，－)∪(－，＋∞)．(－，－)．(－∞，)∪(，＋∞)．(，)将－＋<化为(－)(－)<，解得<<.．函数()＝的定义域为( )．(－，]．．∪ 要使函数()＝有意义，则解得－<≤，即函数的定义域为(－，]．不等式－≥的解集为( )．{－≤≤}．{≤－或≥}．{－≤≤}．{≤－或≥}由－≥得－≤－或－≥，即≤－或≥.故选.关于的不等式－＋＋>的解集为{－<<}，则＋的值为( )．－．－．．－＋＋>，即为－－<.由题意知，－－<的解集为{－<<}．所以所以＝，＝.所以＋＝，故选.若关于的一元二次方程－(＋)－＝有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．由题意知：Δ＝(＋)＋>.即＋＋>，解得：>－＋或<－－.(－∞，－－)∪(－＋，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，且多与集合问题交汇考查，题型多为选择题或填空题，属容易题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度：()解一元二次不等式；()已知一元二次不等式的解集求参数．。