2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

第2讲 不等式选讲[做高考真题·明命题趋向][做真题—高考怎么考]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0.所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2. (2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[明考情—备考如何学]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．[研考点考向·破重点难点]考点1 含绝对值不等式的解法(综合型)[知识整合]|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的取值求解即可．(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R .[典型例题](2019·安徽五校联盟第二次质检)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|.(1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围．【解】 (1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎨⎧x <0，2－3x ≥4或⎩⎨⎧0≤x ≤1，2－x ≥4或⎩⎨⎧x >1，3x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2. 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[2，＋∞)． (2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|.f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x （x <0），2－x （0≤x ≤1），3x －2（x >1），故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1，解得a ≤－1或a ≥0，故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．■ 规律方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式(组)；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．[对点训练]1．(2019·长春市质量监测(二))设函数f (x )＝|x ＋2|.(1)求不等式f (x )＋f (－x )≥6的解集；(2)若不等式f (x －4)－f (x ＋1)>kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，求k ＋m 的取值范围．解：(1)f (x )＋f (－x )＝|x ＋2|＋|－x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x （x <－2）4（－2≤x ≤2），2x （x >2）当x <－2时，－2x ≥6，所以x ≤－3；当－2≤x ≤2时，4≥6不成立，所以无解；当x >2时，2x ≥6，所以x ≥3.综上，x ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)令g (x )＝f (x －4)－f (x ＋1)＝|x －2|－|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧5（x <－3）－2x －1（－3≤x ≤2），－5（x >2）作出g (x )的图象，如图．由f (x －4)－f (x ＋1)>kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，结合图象可知k ＝0，m <－5， 所以k ＋m <－5，即k ＋m 的取值范围是(－∞，－5)．2．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，由f (x )≥4－|x －4|得无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5，故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12， 又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3. 考点2 不等式的证明(综合型)[知识整合]证明不等式的基本方法(1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论．(3)分析法：执果索因的证明方法．(4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[典型例题](1)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：①(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；②a ＋b ≤2.(2)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.【证明】 (1)①(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.②因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24(a ＋b ) ＝2＋3（a ＋b ）34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.(2)由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.■ 规律方法证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[对点训练](一题多解)(2019·福州市质量检测)已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M .(1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解：(1)法一：当x <－12时，不等式化为：－2x －1＋1－2x <4，即x >－1， 所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为：2x ＋1－2x ＋1<4， 即2<4，所以－12≤x ≤12； 当x >12时，不等式化为：2x ＋1＋2x －1<4，即x <1， 所以12<x <1. 综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．法二：设f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－12，2，－12≤x ≤12，4x ，x >12，函数f (x )的图象如图所示，若f (x )<4，由上图可得，－1<x <1.所以M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：法一：因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1.而|ab |＋1－(|a |＋|b |)＝|ab |＋1－|a |－|b |＝(|a |－1)(|b |－1)≤0，所以|ab |＋1≤|a |＋|b |.法二：要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，只需证|a ||b |＋1－|a |－|b |≤0，只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以(|a |－1)(|b |－1)≤0成立．所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．考点3 含绝对值不等式的成立问题(综合型)[知识整合]f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．[典型例题](2019·兰州市诊断考试)已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，m ∈R .(1)求1a ＋1b的最小值； (2)若|x ＋m |－|x －2|≤1a ＋1b对任意的实数x 恒成立，求m 的取值范围． 【解】 (1)因为a >0，b >0，a ＋b ＝4，所以1a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝14⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥1(当且仅当a ＝b ＝2时“＝”成立)，所以1a＋1b的最小值为1. (2)若|x ＋m |－|x －2|≤1a ＋1b对任意的实数x 恒成立， 则|x ＋m |－|x －2|≤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b min对任意的实数x 恒成立， 即|x ＋m |－|x －2|≤1对任意的实数x 恒成立，因为|x ＋m |－|x －2|≤|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|，所以|m ＋2|≤1，所以－3≤m ≤－1，即m 的取值范围为[－3，－1]．■ 规律方法(1)求含绝对值号函数的最值的两种方法①利用|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求解．②将函数化为分段函数，数形结合求解．(2)恒成立(存在)问题的等价转化[对点训练](2019·洛阳市统考)已知f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a .(1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，原不等式可化为|x ＋1|－2|x |≥－1，设φ(x )＝|x ＋1|－2|x |，则φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤－1，3x ＋1，－1<x <0，－x ＋1，x ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x －1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <0，3x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x ≥0，－x ＋1≥－1， 即－23≤x ≤2. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤2. (2)存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立，等价于|x ＋1|≥2|x |＋a 有解，即φ(x )≥a 有解，即a ≤φ(x )max .由(1)可知，φ(x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．所以φ(x )max ＝φ(0)＝1，所以a ≤1.[练典型习题·提数学素养]1．(2019·安徽省考试试题)已知f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋1>f (2x )；(2)若f (m )≤1，f (2n )≤2，求|m －2n －1|的最大值，并求此时实数m ，n 的取值． 解：(1)原不等式等价于|x －2|＋1>2|x －1|，所以⎩⎨⎧x <1，2－x ＋1>2－2x 或⎩⎨⎧1≤x ≤2，2－x ＋1>2x －2或⎩⎨⎧x >2，x －2＋1>2x －2，所以－1<x <1或1≤x <53或∅，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，53. (2)由题意得f (m )＝|m －2|≤1，f (2n )＝|2n －2|≤2，所以|n －1|≤1，所以|m －2n －1|＝|(m －2)－2(n －1)－1|≤|m －2|＋2|n －1|＋1≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝2时，|m －2n －1|取得最大值4. 2．已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )．(1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy .解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎨⎧x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎨⎧0<x <3，3<x ＋6或⎩⎨⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，所以m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0，所以⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ×9x y＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号， 所以1x ＋1y≥16，即x ＋y ≥16xy . 3．(2019·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )<x 2＋x ＋m 的解集为R ，求实数m 的取值范围．解：(1)原不等式等价于|2x ＋1|－|x －1|>1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，3x －1>0或⎩⎨⎧x ≥1，x ＋1>0， 解得x <－3或13<x <1或x ≥1. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－3或x >13.(2)由f (x )<x 2＋x ＋m 得m >－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|.令g (x )＝－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|，则由题意知m >g (x )max .g (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x －2，x <－12，－x 2＋2x ，－12≤x ≤1，－x 2＋2，x >1，作出其图象如图所示，由图象知g (x )max ＝1.所以m >1，即m 的取值范围为(1，＋∞)．4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. 5．设函数f (x )＝a (x －1)．(1)当a ＝1时，解不等式|f (x )|＋|f (－x )|≥3x .(2)设|a |≤1，当|x |≤1时，求证：|f (x 2)＋x |≤54. 解：(1)当a ＝1时，不等式 |f (x )|＋|f (－x )|≥3x ，即|x －1|＋|x ＋1|≥3x ，当x ≤－1时，得1－x －x －1≥3x ⇒x ≤0，所以x ≤－1，当－1<x <1时，得1－x ＋x ＋1≥3x ⇒x ≤23， 所以－1<x ≤23， 当x ≥1时，得x －1＋x ＋1≥3x ⇒x ≤0，与x ≥1矛盾，综上，原不等式的解集为{x |x ≤－1}∪⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x ≤23＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤23. (2)证明：|f (x 2)＋x |＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |，因为|a |≤1，|x |≤1，所以|f (x 2)＋x |≤|a |(1－x 2)＋|x |≤1－x 2＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54. 6．(2019·四省八校双教研联考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|，g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )>4，即|2x －1|－|x ＋2|>4，当x <－2时，－(2x －1)＋(x ＋2)>4，得x <－2；当－2≤x ≤12时，－(2x －1)－(x ＋2)>4，得－2≤x <－53；当x >12时，2x －1－(x ＋2)>4，得x >7. 综上，不等式f (x )>4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－53或x >7. (2)因为∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)，所以g (x )的值域是f (x )的值域的子集，f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧－x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12，所以f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－52，＋∞，g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|的值域为[－|2a ＋1|，|2a ＋1|]， 所以－|2a ＋1|≥－52，即|2a ＋1|≤52，则－52≤2a ＋1≤52，－74≤a ≤34，即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－74，34.。

1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．5．合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用它们进行一些简单的推理．(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．6．直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况2018第14题线性规划，求最大值直接考查不等式的试题，主要是线性规划，2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ考查线性规划的试题每年1道，占5分．主要考查线性目标函数的最值或范围，且线性目标函数一般是具体系数的函数，只有2014年全国卷Ⅰ目标函数中含有一个参数，由最值确定其参数值．难度一般是中等难度，2016年全国卷Ⅰ考查了线性规划的实际应用问题．直接考查推理与证明的试题只有2014年全国卷Ⅰ的第14题和2016年全国卷Ⅱ的第16题及2017年全国卷Ⅱ的第9题，都是考查演绎推理，难度中等．1．不等式与高中数学其他内容联系密切，在数学各分支中都有很广泛的应用．从近几年全国全国卷高考试题来看，纯粹考查不等式这一章的试题每年的分值占全卷的比例并不高，但从整套试卷来看，却处处分布着不等式的知识、方法和技巧．因此，在不等式的复习过程中，要重视不等式的“工具”作用，提高应用意识，会用不等式的知识和方法解决有关问题．在不等式这一部分的复习过程中，要注意以下问题：(1)复习不等式的性质时，注意培养严格的逻辑思维，分清一类性质是条件与结论的等价关系，另一类性质仅是由条件推导出结论．(2)对均值不等式常有求最值或证明不等式中结合其他知识进行考查，注意解题过程中对代数式进行适当的变形及化简，以达到利用均值不等式的三个条件即“一正、二定、三相等”．(3)不等式的解法以一元二次不等式的解法作为重点，要求掌握含参数一元二次不等式或可化为含参数的二次不等式的求解问题，同时注意三个二次间的联系．(4)线性规划是高考的热点内容，在高考中频繁出现，对线性规划的考查仍以线性目标函数的最值为重点，还可能以考查线性规划思想方法的形式出现，适当注意利用代数式的几何意义(距离、斜率、面积等)求最值及线性规划的实际应用．(5)应用问题与不等式结合考查，需要根据题意建立不等式，设法求解或利用均值不等式或函数的单调性求最值．(6)重视不等式的应用，注意不等式作为“工具性”知识在其他分支的应用，如求函数定义域、值域、单调性及不等式恒成立或有解等问题．2．在高考中，直接考查推理与证明的试题不多，但推理与证明贯穿于高中数学各章节，因此，本部分内容在高考中单独命题的可能性不大，仍然是以其他知识为载体，作为一种方法和思路考查有关内容．在备考时要注意：(1)高考对推理的考查以考查演绎推理为主，主要是在其他章节中结合具体的知识进行考查，如在立体几何中结合位置关系的证明，在导数中结合单调性的证明等进行考查．归纳、类比不仅是新课标创新要求的体现，同时也是复习的有效方法，如等差数列与等比数列之间的类比，圆锥曲线之间的类比等．(2)在直接证明和间接证明中，其主要有综合法、分析法、反证法等．在应用这些证明方法时，要注意过程的严谨、格式的规范．综合法是高考中考查最多的一种证明方法，它是从已知条件推导出结论，一般按照演绎推理进行，分析法是由结论追溯到条件的证明方法．反证法是从结论的反面成立出发，推出矛盾的一种间接证明方法，单独要求用反证法证明或举反例的题目不会很多，但是反证法作为一种数学思维模式在解决数学问题中却常常见到．第41讲 不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质． 2．会比较两个代数式的大小．3．会利用不等式的性质解决有关问题．知识梳理1．不等式的定义用不等号“>、≥、<、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a ，b ∈R ，则a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . (2)作商法．设a >0，b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab <1⇔a <b .3．不等式的基本性质①对称性：a >b ⇔b <a ；②传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ； ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；④不等式加法：a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；⑤可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ ac <bc ； ⑥不等式乘法：a >b >0，c >d ac >bd ；⑦不等式乘方：a >b >0⇒ a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； ⑧不等式开方：a >b >0⇒ na >nb (n ∈N ，n >1)．1．倒数性质 (1)a >b ，ab 1a <1b ； (2)a <0<b1a <1b. 2．分数性质若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)；(2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．热身练习1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为(B)A ．W >300B ．W ≥300C ．W <300D ．W ≤3002．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是(A) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值的变化而变化因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以f (x )>g (x )．3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的(A)A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件a >b 且c >d ⇒a ＋c >b ＋d .当取a ＝1，b ＝2，c ＝5，d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c >d ，故选A. 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c由c <d <0，cd1d <1c<0， 所以1－d >1－c >0，又a >b >0，所以－a d >－b c ，所以a d <b c.5．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 －1，－2，－3(答案不唯一) .只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．比较大小设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．因为(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0，所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．比较大小的方法有作差法和作商法．①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．1．(2017·全国卷Ⅰ·理)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则(D) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z令t ＝2x ＝3y ＝5z ，因为x ，y ，z 为正数，所以t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.所以2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3＞0，所以2x ＞3y .又因为2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，所以2x ＜5z ，所以3y ＜2x ＜5z .判断或证明大小关系下列命题：①若a >b ，则a 2>b 2； ②若a >b >0，c >d >0，则a d>b c； ③已知a ，b ，m 都是正数，并且a <b ，则a ＋m b ＋m >ab；④若a >b ，则a 3>b 3.其中，真命题的序号是__________．对于①，令a ＝1，b ＝－2有a >b ，但a 2>b 2不成立．故①为假命题． 对于②，因为c >d >0，1cd >0，所以1d >1c ，又a >b >0，所以a d >bc >0，所以a d>bc.故②为真命题． 对于③，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )(b ＋m )b >0.所以a ＋m b ＋m >a b，即③为真命题．对于④，因为y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以当a >b 时，a 3>b 3.所以④为真命题．②③④(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明．(2)判断大小关系，常用的方法有： ①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象．2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中正确结论的序号是 ①②③ .①(方法一：利用不等式性质) 由a >b >1，1ab >0，得1b >1a，又c <0，所以c a >cb ，故①正确．(方法二：利用作差比较法)因为c a －c b ＝c (b －a )ab >0，所以c a >c b .故①正确．②(方法一：利用作商比较法) 因为a >b >1，所以ab>1，c <0，所以a c b c ＝(a b)c<1，所以a c <b c .所以②正确．(方法二：利用函数的性质)由幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上是减函数可知，当a >b >1时，a c <b c ，故②正确． ③因为a >b >1，又c <0，所以a －c >b －c ，由对数函数的性质得：log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，故③正确．不等式性质的应用若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9， 则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x ＋y ，x －y 的范围已经给出，若能将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，则可利用2x ＋y 与x －y 的范围求出x ＋2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．因为x ＋2y ＝(2x ＋y )＋y －x ， 而3≤2x ＋y ≤9，－9≤y －x ≤－6， 所以－6≤x ＋2y ≤3，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y －x ＝－9，即x ＝4，y ＝－5时取到左边等号， 所以z 的最小值为－6.－6(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x ＋y 与x －y 中的x ，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x ＋y 与x －y 看作一个整体，把x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，再求出x ＋2y 的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x ＋2y ＝m (2x ＋y )＋n (x －y )，再比较得到m ＝1，n ＝－1.3．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为(C)A ．0B ．3C ．4D ．52x ＋y ＝13(2x －y )＋43(x ＋y )≤13×0＋43×3＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时取等号，满足x ≥0，所以(2x ＋y )max ＝4.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．⎩⎨⎧ a <x <b c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． (2)商的范围转化为积的范围．(3)由M 1<f 1(x ，y )<N 1，M 2<f 2(x ，y )<N 2，求g (x ，y )的范围．常令g (x ，y )＝mf 1(x ，y )＋nf 2(x ，y )，用恒等关系求出m ，n ，再利用同向不等式相加求得范围．。

[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2.3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ＋6－3x ⎝⎛⎭⎫x <322x －3＋6－3x ⎝⎛⎭⎫32≤x ≤22x －3＋3x －6（x >2）＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9⎝⎛⎭⎫x <32－x ＋3⎝⎛⎭⎫32≤x ≤25x －9（x >2），其图象如图，由图象可知：f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115.(2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1，由基本不等式可知a ＋b2≤a ＋b2＝14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc＋2ca ＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎫ab ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)． 2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －4|，g (x )＝9＋2x －x 2. (1)解不等式f (x )>1；(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )．解：(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ＋1－(2x －4)＝5>1恒成立，所以x ≥2.当－12≤x <2时，f (x )＝2x ＋1－(4－2x )＝4x －3>1，得x >1，所以1<x <2.当x <－12时，f (x )＝－2x －1－(4－2x )＝－5>1不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )⇔|8x －16|＋2f (x )≥g (x )，因为2f (x )＋|8x －16|＝|4x ＋2|＋|4x －8|≥|(4x ＋2)－(4x －8)|＝10，当且仅当－12≤x ≤2时等号成立，所以2f (x )＋|8x －16|的最小值是10，又g (x )＝－(x －1)2＋10≤10，所以g (x )的最大值是10，当x ＝1时等号成立． 因为1∈⎣⎡⎦⎤－12，2，所以2f (x )＋|8x －16|≥g (x )， 所以|8x －16|≥g (x )－2f (x )．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|，m ∈R ，且f (x ＋2)＋f (x －2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.解：(1)由f (x ＋2)＋f (x －2)≥0得，|x ＋1|＋|x －3|≤2m ， 设g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3，数形结合可得g (－2)＝g (4)＝6＝2m ，得m ＝3. (2)证明：由(1)得1a ＋12b ＋13c＝3.由柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝32， 所以a ＋2b ＋3c ≥3.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值．(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

不等式专项训练一、不等关系与不等式1.已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A ．x 3>y 3B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.211x +>211y + 【解析】 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .对于选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x ＜sin y ，显然B错误．对于选项C ，取x ＝－1，y ＝－2，则ln(x 2＋1)<ln(y 2＋1)，显然C 错误．对于选项D ，取x ＝2，y ＝1，则211x +<211y +，显然D 错误．当x >y 时，一定有x 3>y 3成立，所以选A. 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d【解析】 因为c ＜d ＜0，所以1d ＜1c ＜0，即－1d ＞－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d ＞－b c ＞0，所以a d <b c ，故选B.3.已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c ，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b【解析】当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0，知a＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．答案：C 4.设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( )A ．ac ＞bc B.1a ＜1bC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】若c ≤0，则A 错；若a ＞0，b ＜0，则B 错；若a ＝0，b ＝－1，则C 错，故选D.二、基本不等式的应用5.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A.4B.22C.8D.16【解析】由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab 有ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·1b ＝2 2.答案B6.若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】由已知得， 则，因为，所以，故，当，即时取等号． 7.设,0,5a b a b >+=,________.【解析】令t则22t＝1a b +++≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时，即a ＝72，b ＝32时，等号成立． 即t 的最大值为3 2. 8.若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为() A B 、2C 、D 、4 【解析】12a b +=00a b ∴＞，＞，122b a a b ab ab +=+=≥= ab ∴≥（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C.9.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3 111a b+=11=()()a b a b a b +++2+b a a b=+0,0a b >>+b a a b ≥4a b +≥=b a a b2a b ==【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )34b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.10.若直线ax －by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，则ab 的最大值为________.【解析】圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心为(2，－1)，代入直线方程得2a ＋b ＝2，因为2＝2a ＋b ≥22ab ，所以ab ≤12，当且仅当2a ＝b ，即a ＝12，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为12.11.若对任意x >0，231x x x ++≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【解析】若对任意x >0，231x x x ++≤a 恒成立， 只需求得y ＝231x x x ++的最大值即可． 因为x >0，所以y ＝231x x x ++＝113x x ++＝15，当且仅当x ＝1时取等号， 所以a 的取值范围是[15，＋∞)．12.已知直线ax ＋by ＝1经过点(1，2)，则2a ＋4b 的最小值为( ) A. 2 B.22 C.4 D.4 2【解析】因为直线ax ＋by ＝1过点(1，2)，所以a ＋2b ＝1，则2a ＋4b ＝2a ＋22b ≥22a ·22b ＝22a ＋2b ＝2 2.答案B13.若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A.18B.6C.2 3D.【解析】3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝ 6.14.已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【解析】()()2222log log 2log log 22a b a b +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭()()222211log 2log 164,44ab ===当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b == 15.已知函数()4a f x x x=+()00x a >>，在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 【解析】由基本不等式性质，()4a f x x x =+()00x a >>，在4a x x =，即2=4a x 取得最小值，由于00x a ＞，＞，再根据已知可得4a ＝32，故a ＝36. 16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94 【解析】z xy ＝2234x xy y xy -+43x y y x =+-≥3-＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.17.已知：0,0a b >> ,1a b +=,求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 【解析】：原式= 2a +2b +21a +21b +4 =(2a +2b )+(21a +21b)+4 =2[()2]a b ab +-+ [(1a +1b )2-2ab ]+4 =(1-2ab )(1+221a b)+4 由ab ≤(2b a +)2=41 得：1-2ab ≥1-12=12,且221a b ≥16，1+221a b ≥17 ∴原式≥12×17+4=252 (当且仅当a b ==12时，等号成立)∴(a +1a )2+(b +1b )2的最小值是252. 18.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．【解析】由a ＋b ＋c ＝0，得a ＝－b －c ，则a 2＝(－b －c )2＝b 2＋c 2＋2bc ≤b 2＋c 2＋b 2＋c 2＝2(b 2＋c 2).又a 2＋b 2＋c 2＝1，所以3a 2≤2， 解得－63≤a ≤63，所以a max ＝63.三、线性规划19.若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最大值为_____________. 【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数235z x y =+-经过点(1,1)A --时取得最小值，即min 2(1)3(1)510z =⨯-+⨯--=-．20.若x ，y 满足约束条件 ，则z =x -2y 的最小值为__________. 【解析】由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨-⎩，点A ｛1，2｝， 由1030x y x -+=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，点B(3，4）， 由3030x x y -=⎧⎨+-=⎩得30x y =⎧⎨=⎩，点C(3,0), 分别将A, B, C 代入2z x y =-得3,5,3A B C z z z =-=-=，所以2z x y =-的最小值 为-521.若不等式组 ⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A.－3B.1C.43D.3 【解析】不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， ∴m ＋1＝2或m ＋1＝－2(舍)，∴m ＝1.103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩。

课时规范练32基本不等式及其应用基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lg x2+>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.<1(x∈R)2.若a,b都是正数,则1+1+的最小值为()A.7B.8C.9D.103.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是()A. B.4 C. D.54.(2018江西南昌测试三,10)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为()A. B. C. D.15.(2018江西新余四中适应性考试,9)设正数x,y满足x>y,x+2y=3,则的最小值为()-A. B.3 C. D.6.(2018辽宁辽南协作校一模拟,6)若lg a+lg b=0且a≠b,则的取值范围为()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[2,3)∪(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)的最小值为()7.(2018天津十二中学联考一,12)已知a>b>0,则2a+-A.2+2B.C.2D.8.(2018河北唐山迁安三中期中,9)设x,y均为正实数,且=1,则xy的最小值为()A.4B.4C.9D.169.若对于任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.10.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.11.(2018河北唐山二模,23)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.(1)求证:a+b≤2;(2)判断等式=c+d能否成立,并说明理由.12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)≥8;(2)1+1+≥9.综合提升组13.(2018湖北宜昌一中适应性考试,11)若P是面积为1的△ABC内一点(不含边界),△PAB,△PAC和△PBC的面积分别为x,y,z,则的最小值是()A.3B.C. D.14.(2018广东广州仲元中学期末,11)已知x,y∈R*,且满足x+2y=2xy,则x+4y的最小值为()A.3-B.3+2C.3+D.415.(2018湖南澧县一中一检,14)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为.创新应用组16.(2018河南信阳二模,11)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a>0,b>0,则的最小值为()A.1B.2C.3D.4课时规范练32基本不等式及其应用1.C当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg x2+≥lg x(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.2.C∵a,b都是正数,∴1+1+=5+≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.3.C依题意,得·(a+b)=5+≥5+2=,当且仅当即a=,b=时取等号,即的最小值是.4.A因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy,得=1,求的最大值,即求的最小值,所以×1=×=≥2≥3,当且仅当时取等号,所以的最大值为,所以选A.5.A因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以--×6=-[(x-y)+(x+5y)]=10+--≥(10+2)=,当且仅当x=2,y=时取最小值.故选A.6.A∵lg a+lg b=0且a≠b,∴lg ab=0,即ab=1.∴·ab=2b+a≥2=2,当且仅当a=2b=时取等号.∴的取值范围为[2,+∞),故选A.7.A∵a>b>0,2a+-=a+b+a-b+-,∴a+b+≥2,当且仅当a+b=时取等号;a-b+-≥2,当且仅当a-b=时取等号.∴联立-解得-∴当-时,a+b+a-b+-≥2+2,即2a+-取得最小值2+2.8.D将等式化简可得xy-8=x+y≥2,解得≥4,所以xy≥16,所以最小值为16.故选D.9.,+∞,因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),则,即的最大值为,故a≥.10.[4,12]∵2xy=6-(x2+4y2),而2xy≤,∴6-(x2+4y2)≤,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12.11.(1)证明由题意得(a+b)2=3ab+1≤32+1,当且仅当a=b时,取等号.解得(a+b)2≤4,又a>0,b>0,所以a+b≤2.(2)解不能成立.,因为a+b≤2,所以≤1+,因为c>0,d>0,cd>1,所以c+d=+1,故=c+d不能成立.12.证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴=2=2=2+4≥4+4=8(当且仅当a=b=时,等号成立),∴≥8.(2)∵1+1+=+1,由(1)知≥8.∴1+1+≥9.13.A∵x+y+z=1,∴-------+1≥2--+1=3,当且仅当x=时取等号,∴的最小值为3,故选A.14.B由题意可得(2y-1)(x-1)=1,变形为(x-1)(4y-2)=2,所以---,所以x+4y≥2+3,当且仅当x-1=4y-2时,等号成立,即x=+1,y=,选B.15.4由题意知,a>0,Δ=4-4ac=0,∴ac=1,c>0,则=+≥2+2=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号.∴的最小值为4.16.A曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)2+y2=25,表示圆心为A(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,(x+6)2+(y-6)2可以看作点M到点N(-6,6)的距离的平方,圆C上一点M到N的距离的最大值为|AN|+5,即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点,所以直线AN的方程为y=-(x-2),由---解得-或-(舍去),∴当-时,t取得最大值,且t max=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b,∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,∴[(a+1)+b]=+2≥1,当且仅当,且a+b=3,即a=1,b=2时等号成立.故选A.。

目录目录 (1)一、考纲解读 (2)二、命题趋势探究 (2)三、知识点精讲 (2)(一).不等式的性质 (2)(二).含绝对值的不等式 (3)(三).基本不等式 (3)(四).不等式的证明 (3)四、解答题题型总结 (4)核心考点:放缩法解不等式 (4)一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>； （2）,c a b d a c b d >>⇒+>+； （3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>. （合成后为必要条件） 2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a b b a>>⇔>>⇔>>.（变形后为充要条件） 3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-< (二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或 （2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,2a ba b +>>≥a b =）；0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L .当且仅当向量12(,,,)n a a a L a =与向量12(,,,)n b b b L b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结 核心考点:放缩法解不等式预证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得112,,,K B B B B B A ≤≤≤L 或112,,,K A A A A A B ≥≥≥L ，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.1.已知正数,,a b c 满足1a b c ++=6<. 分析 采用“添项”放缩法解析31a ==+ ①31b <=+ ②31c <=+ ③①+②+3()36a b c <+++=.评注 放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：23(616161)2736a b c ≤+++++=<，6.2.证明：1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .解析 因为2121111111n n nn n n n n C C C n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ()()()()()()()2112122121111111...2!3!1!!n n n n n n n n n n n n n n ---------++⋅+++⋅+⋅-L L 111121122112111(1)(1)(1)...(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)2!3!(n 1)!n!n n n n n n n n n n n--++-+--++---+---- 111112!3!!n <++++⋯+ 2111111112111331222212n n n ---++++⋯+=+=-<- . 即()13nn n n +<.由2n ≥时,13n +≥,得()()311nn n n n n n <≤++, 故()11n n n n ->+()2,n n N *≥∈.评注 这里用111n -<, 1(1)(12)1n n --<,…11(1)(1)...(1)12n n n n----< ① 以及112!2≤,2113!2<,3114!2<, (111)!2n n -< ②3.求证：12(,,,)b c d aa b c d a b c b c d c d a d a b+<+++<∈++++++++R .解析 由题意，,,,a b c d +∈R ， 则b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++1a b c da b c d+++>=+++， b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++2b c d aa b c d c d a b <+++=++++.所以原不等式成立.4.设,,,a b c m +∈R ，且满足m m m a b c =+，问m 取何值时，以,,a b c 为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析 由幂函数性质可知a b >，a c >，要构成三角形，只需b c a +>，故()m m b c a +>，即证明()m m m b c b c +>+， 只需证明1()()m mb c b c b c>+++， 即()()m m b c b cb c b c b c b c+<+++++. ① 由0m >，且,(0,1)b cb c b c∈++， 由指数函数(01)x y a a =<<单调递减可知，要使得式①成立，只需1m >. 因此可知，要b c a +>成立.只需1m >成立. 当2m =时，222a b c =+，三角形为直角三角形；当12m <<时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c -->⋅+⋅22b c =+即222a b c >+，此时三角形为钝角三角形；当2m >时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c --<⋅+⋅22b c =+即222a b c <+，此时三角形为锐角三角形. 5.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k.解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk Λ 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T r rr n r(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn Λ(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n(8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:nn412141361161412-<++++Λ(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+Λ再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n nΛ例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n ΛΛ当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ7.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 8.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 9.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ. 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n nT-+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T T T ΛΛ 10.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n xn,求证: *))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ。

高考专题突破一 高考中的不等式问题题型一 含参数不等式的解法例1解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________． 答案 3解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二 线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，且z ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________，z 的最小值为________． 答案 2 1解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 及其内部区域)．目标函数z ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y －z ＝0的斜率k ＝－a .(1)当k ∈(－∞，1]，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，解得A (5,6)，故z 的最大值为5a ＋6，即5a ＋6＝16，解得a ＝2.(2)当k ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，解得C (0,1)，故z 的最大值为0×a ＋1＝1，不符合题意． 综上，a ＝2.数形结合知，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最小值，z min ＝2×0＋1＝1. 思维升华1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：如z ＝－2x ＋y ，z ＝2y4x ，z ＝OP →·OM →(其中M (x ，y )为区域内动点，P (－2,1))，等等．(2)距离型：如z ＝(x －2)2＋y 2，z ＝|2x －y |，等等．(3)斜率型：如z ＝y ＋1x ，z ＝x ＋y ＋1x ，z ＝x y ＋1，z ＝y ＋1x ＋x y ＋1＝x 2＋(y ＋1)2xy ＋x ，等等．(4)二次曲线型：如z ＝xy ，z ＝y 2x ，z ＝x 22＋y 2，等等．3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，y >0，则z ＝2x－y 的取值范围为( ) A ．(－6，－1) B ．(－8，－2) C ．(－1,8) D ．(－2,6)答案 D解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移直线，直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处的取最小值为－2，在点C (3,0)处的取最大值为6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)． (2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________． 答案 30 95解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为12×5×2＋12×10×5＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离的平方，即z min ＝|2×(－1)－1|2[22＋(－1)2]2＝95. 题型三 基本不等式的应用例3 (1)已知x 2＋4xy －3＝0，其中x >0，y ∈R ，则x ＋y 的最小值是( ) A.32B ．3C ．1D ．2 答案 A解析 由x 2＋4xy －3＝0，得y ＝3－x24x，即有x ＋y ＝x ＋3－x 24x ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵x >0，∴x ＋1x ≥2，即x ＋y ≥32，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，y ＝12时，x ＋y 取得最小值32.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______．答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba＋2≥22a b ·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22， 当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立． 综上，所求最小值为4＋2 2. 思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．跟踪训练3 (1)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y2x －2y 的最小值为( )A ．4B.92C ．22D ．4 2答案 A解析 由xy ＝1且0<y <22，可知x >2， 所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xy x －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4， 当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立． (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案233解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取得最大值)，∴x ＋y 的最大值为233.题型四 绝对值不等式的应用例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a ∈R ，则“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 2|x －2|＋|5＋2x |＝|2x －4|＋|5＋2x | ≥|2x －4－5－2x |＝9，若2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，则a ≤9，同样若a ≤9，则2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解， 所以“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的充要条件．(2)(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________． 答案 2解析 |a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1， 即|a sin 2x －b sin x －(a ＋c )|≤1，分别取sin x ＝1，－1,0，可知⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋c |≤1，|b －c |≤1，|a ＋c |≤1，所以|a ＋b |＝|(a ＋c )＋(b －c )|≤|a ＋c |＋|b －c |≤2， 且|a －b |＝|(a ＋c )－(b ＋c )|≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2.所以max{|a sin x ＋b |}＝max{|a ＋b |，|a －b |}≤2，当a ＝2，b ＝0，c ＝－1时，取等号． 思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________．答案 (－m ，m )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m )．(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，3]解析 当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3； 当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3，综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1．(2018·宁波期末)若a ，b ∈R ，且a <b <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a －b>1B.1a －1>1b －1C ．a 3>b 3D ．a ＋|b |>0答案 B解析 由a <b <0得a －1<b －1<0，则(a －1)(b －1)>0，所以(a －1)·1(a －1)(b －1)<(b －1)·1(a －1)(b －1)，即1a －1>1b －1，故选B.2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7,7) B ．(－3,3) C ．(－7,3) D ．∅答案 C解析 不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，等价于(|x ＋2|＋|x －a |)min <5，又因为|x ＋2|＋|x －a |≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |，所以|2＋a |<5，－5<2＋a <5，解得－7<a <3，即实数a 的取值范围为(－7,3)，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，3x －y ＋1≥0，3x ＋y －1≤0，x ，y ∈R，则M 表示的平面区域的面积是( )A.2B.32C.322D ．2答案 B解析 由题意，M 表示的平面区域是以A (0,1)，B (－1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝32.4．(2018·杭州质检)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则2x ＋1y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由2x ＋y －3＝0，得2x ＋y ＝3， 所以2x ＋1y ＝13(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y·2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x，即x ＝y ＝1时等号成立，故选B.5．(2018·金华十校调研)设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析 对于选项B ，令x ＝100，y ＝－100，不成立；对于选项C ，令x ＝100，y ＝1100，不成立；对于选项D ，令x ＝13，y ＝－12，不成立，故选A.6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y －m ≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0>3，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z ＝x －2y 经过直线x ＋m ＝0与y －m ＝0的交点时取得最大值，即z max ＝－m －2m ＝－3m ，则根据题意有－3m >3，即m <－1，故选D.7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B ．4C.5D ．2 答案 B解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.因为a 2＋b 2表示原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，所以a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离，即(a 2＋b 2)min ＝|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－7,1) B ．(－3,5) C ．(－7,3) D ．R答案 C解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域是以A (1,1)，B (－1,1)，C (0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，所以a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，－a ＋b －1>0，－b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，－a ＋b －1<0，－b －1<0，故点(a ，b )在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b 的取值范围为(－7,3)，故选C.9．(2019·诸暨期末)不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集为________；不等式|3－2x |<1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)解析 依题意，不等式－x 2＋2x ＋3<0，即x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3，因此不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x |<1得－1<3－2x <1,1<x <2，所以不等式|3－2x |<1的解集是(1,2)．10．(2018·宁波期末)关于实数x 的不等式x 2－4x >1a＋3在[0,5]上有解，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由x 2－4x >1a ＋3得x 2－4x －3>1a ，则问题等价于1a小于x 2－4x －3在[0,5]上的最大值，又因为x 2－4x －3＝(x －2)2－7，所以当x ＝5时，x 2－4x －3取得最大值2，所以1a<2，解得a <0或a >12，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.11．(2018·嘉兴测试)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为______________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析 由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3，|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y ＋1的最大值是________． 答案 34解析 设u ＝1x ，v ＝1y ，则问题转化为“已知正数u ，v 满足u ＋2v ＝1，求u u ＋1＋2vv ＋1的最大值”．uu ＋1＋2v v ＋1＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1＝3－⎝⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1·14[(u ＋1)＋2(v ＋1)]＝3－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(v ＋1)u ＋1＋2(u ＋1)v ＋1≤3－14(5＋4)＝34. 当且仅当2(v ＋1)u ＋1＝2(u ＋1)v ＋1，即u ＝v ＝13时，取等号．13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________． 答案 911－32 解析 将⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5变形为⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1－2z ，x 2＋y 2＝5－z 2，由|xy |≤x 2＋y 22知，|1－2z |≤5－z22，即－5－z 22≤1－2z ≤5－z 22，解得2－7≤z ≤11－2.所以xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.14．(2018·宁波模拟)若6x 2＋4y 2＋6xy ＝1，x ，y ∈R ，则x 2－y 2的最大值为________． 答案 15解析 方法一 设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则问题转化为“已知4m 2＋mn ＋n 2＝1，求mn 的最大值”．由基本不等式，知1＝mn ＋4m 2＋n 2≥mn ＋4|mn |，所以－13≤mn ≤15，当且仅当n ＝2m ，即x ＝－3y 时，取得最大值15.方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x ≠0.令z ＝x 2－y 2＝x 2－y 26x 2＋4y 2＋6xy＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x26＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋6·y x ，设t ＝y x ，则z ＝1－t 26＋4t 2＋6t，则(4z ＋1)t 2＋6zt ＋6z －1＝0对t ∈R 有解．当z＝－14时，t ＝－53.当z ≠－14时，Δ＝36z 2－4(4z ＋1)(6z －1)≥0，解得－13≤z ≤15.当t ＝－3z 4z ＋1＝－13时取最大值．方法三 1＝6x 2＋4y 2＋6×x3×3y ≥6x 2＋4y 2－6×x 23＋3y 22＝5x 2－5y 2，所以x 2－y 2≤15，当且仅当x ＝－3y 时取等号．15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P 是平面区域M ：⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0内的任意一点，则P 到平面区域M 的边界的距离之和的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析 设平面区域M ：⎩⎨⎧x ≥0，y≥0，3x ＋y －3≤0为△ABO 区域(包含边界)，由题意，|AO |＝1，|BO |＝3，|AB |＝2，P 到平面区域M 的边界的距离之和d 就是P 到△ABO 三边的距离之和，设P 到边界AO ，BO ，AB 的距离分别为a ，b ，c ，则P (b ，a )，由题意0≤a ≤3，0≤b ≤1,0≤c ＝12(3－a －3b )≤32，所以d ＝a ＋b ＋c ＝12[a ＋(2－3)b ＋3]，从而d ≥32，当a ＝b ＝0时取等号．如图，P 为可行域内任意一点，过P 作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，PP ′⊥AB ，过P ′作P ′E ′⊥x 轴，P ′F ′⊥y 轴，则有PE ＋PF ＋PP ′≤P ′F ′＋P ′E ′，由P (b ，a )， 可得P ′⎝⎛⎭⎪⎫3＋b －3a4，3＋3a －3b 4，所以d ＝a ＋b ＋c ≤3＋b －3a 4＋3＋3a －3b 4＝3＋3＋(3－1)(3a －b )4，又0≤a ≤3，0≤b ≤1，则d ≤3，当a ＝3，b ＝0时取等号，因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋bc＋1，则a ＋bc的最小值是________． 答案1＋172解析 由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝bc，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋nmn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋tt 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋bc ＝a ＋b c 的最小值为1＋172.。

第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试32 不等关系与不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1．了解现实世界和日常生活中的不等关系 2．了解不等式(组)的实际背景 3．掌握不等式的性质及应用一、基础小题1．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A ，B 的大小关系为( ) A ．A <B B ．A ＝B C ．A >B D ．不确定 答案 A解析 因为(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6)＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3<0，故A <B ．2．下列不等式：①m －3>m －5；②5－m >3－m ；③5m >3m ；④5＋m >5－m ．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B解析 显然①②正确；对③，m ≤0时不成立；对④，m ≤0时不成立．故选B ． 3．设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a <b 时，1b <1a <0不一定成立；当1b <1a<0时，a <b <0成立．综上可得，p 是q 的必要不充分条件，故选B ．4．若a <b <0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( ) A ．1a >1b B ．1a －b >1a C ．ac >bc D ．a 2<b 2答案 A解析 由a <b <0，得1a －1b ＝b －a ab >0，故A 正确；由a <b <0，得a <a －b <0，即1a －b <1a ，故B 错误；当c >0时，由a <b <0，得ac <bc ，故C 错误；由a <b <0，得|a |>|b |，即a 2>b 2，故D 错误．故选A ．5．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B 答案 B解析 由题意，得B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ．故选B ． 6．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．ac ＞bd B ．ac ＜bd C ．ad ＜bc D ．ad ＞bc 答案 B解析 根据c ＜d ＜0，有－c ＞－d ＞0，由于a ＞b ＞0，故－ac ＞－bd ，ac ＜bd ．故选B ． 7．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb 答案 D解析 因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于a <b ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．故选D ．8．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 由题意知c <0，a >0，由c <b 和a >0知A 一定正确；由b <a 和c <0知B 一定正确；由c <a 和ac <0知D 一定正确；当b ＝0时C 不正确．9．已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a 答案 A解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，由ca ＋b <ab ＋c，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，所以c <a ，同理由ab ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a <b ．10．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c ．在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz 答案 B解析 由x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz ．因为az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx ．故最低费用为az ＋by ＋cx ．故选B ．11．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(围三面)，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x 15－12x ≥216，0<x ≤18解析 满足题中条件有意义有⎩⎪⎨⎪⎧x 15－12x ≥216，0<x ≤18.12．①若a >b ，c >0，则c a <c b；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，c ≠0，则ac 2>bc 2；④若a <b <0，c <d ，则ac <bd ．以上说法正确的是________．(请填写所有正确说法的序号)答案 ②③解析 取a ＞0＞b ，则c a ＜cb不成立，①不正确；因为ac 2＞bc 2，所以a ＞b 成立，②正确；若a ＞b ，c ≠0，则c 2＞0，ac 2＞bc 2成立，③正确；取a ＝－5＜b ＝－2＜0，c ＝－2＜d ＝－1，则(－5)×(－2)＞(－2)×(－1)，此时ac ＜bd 不成立，④不正确．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0．20．3，b ＝log 20．3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0．20．3，b ＝log 20．3，∴1a ＝log 0．30．2，1b ＝log 0．32，∴1a ＋1b＝log 0．30．4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1，又∵a >0，b <0，∴ab <0即ab <a ＋b <0．故选B ．14．(2018·北京高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A答案 D解析 若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32．结合四个选项，只有D 说法正确．故选D ．15．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B ．b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 (特殊值法)令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D ．故选B ．16．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A ．1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0 答案 C解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒/xy >1⇒/ln (xy )>0⇒/ln x ＋ln y >0，故D 错误．17．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ．( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析 利用特殊值法验证．令a ＝3，b ＝3，c ＝－11．5，排除A ；令a ＝4，b ＝－15．5，c ＝0，排除B ；令a ＝11，b ＝－10．5，c ＝0，排除C ；由1≥|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≥|a 2＋a ＋b 2＋b |得－1≤a 2＋a ＋b 2＋b ≤1，即－12≤a ＋122＋b ＋122≤32，所以a ＋122≤32，－2<－12－62<a <－12＋62<1．同理－2<b <1．再由1≥|a ＋b 2－c |≥|c |－|a |－|b 2|>|c |－2－4，得|c |<7．所以a 2＋b 2＋c 2<4＋4＋49＝57<100．故选D ．18．(2015·湖北高考)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 若n ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤t <2，2≤t 2<3，3≤t 3<4，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤t 6<64，8≤t 6<27，9≤t 6<16，得9≤t 6<16，即当33≤t <34时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，∴n ＝3符合题意．若n ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ 33≤t <34，4≤t 4<5，即⎩⎪⎨⎪⎧34≤t 12<44，43≤t 12<53，得34≤t 12<53，即当33≤t <45时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，[t 4]＝4，故n ＝4符合题意．若n ＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <45，5≤t 5<6，即⎩⎨⎧33≤t <45，55≤t <56，①∵63<35，∴56<33，故①式无解，即n ＝5不符合题意，则正整数n 的最大值为4． 三、模拟小题19．(2019·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由(a －b )a 2≥0，解得a ≥b ，或a ＝0，b ∈R ，因为a 2≥0，a ≥b ，所以(a －b )a 2≥0，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．20．(2018·河南六市模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，∴A ，B ，C 均正确．∵b <a <0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误．21．(2018·河南三市调研)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2C ．x >yD ．x 3>y 3 答案 C解析 由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A ，B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C ．22．(2018·山东烟台模拟)下列四个命题中，为真命题的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dC ．若a >|b |，则a 2>b 2D ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；2>1,3>－1，而2－3<1－(－1)，故B 不成立；a ＝2，b ＝－1时，D 不成立；由a >|b |知a >0，所以a 2>b 2，故选C ．23．(2018·安徽淮北一中模拟)若a <b <0，给出下列不等式：①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b －1|；③1a ＋b >1a >1b．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 由于a <b <0，所以|a |>|b |>0，a 2>b 2，故a 2＋1>b 2，①正确；－a >－b >0，－a ＋1>－b ＋1>1，故|1－a |>|b －1|，②正确；a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，③正确，故选D ． 24．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb(a >b >c >0)；③a ＋mb ＋m >ab(a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m－a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －ab>0恒成立，故③恒成立，故选B ． 25．(2018·山东德州月考)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b ≤cB ．b ≤c <aC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 A解析 由c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，得b ≤c ，再由b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得2b ＝2＋2a 2，因为1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以b ＝1＋a 2>a ，所以a <b ≤c ．26．(2018·山西康杰中学月考)设a >b >1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ln b >b ln a B ．a ln b <b ln a C ．a e b<b e aD ．a e b>b e a答案 C解析 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln xx，x >1．则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln xx在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．函数y ＝ln xx在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x ＝a 和x ＝b 处的函数值无法比较大小．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，x >1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2>0，所以函数f (x )＝e xx在(1，＋∞)上单调递增，又因为a >b >1，所以f (a )>f (b )，即e a a >e bb，所以a e b <b e a．故选C ．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·河北正定中学周测)设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．解 解法一(作差法)：a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)．因为a >b >0，所以a ＋b >0，a －b >0,2ab >0． 所以2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b ． 解法二(作商法)：因为a >b >0，所以a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0． 所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1． 所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b．2．(2018·四川绵阳检测)设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解 解法一：当a >1时，由0<x <1知， log a (1－x )<0，log a (1＋x )>0， ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)， ∵0<1－x 2<1，∴log a (1－x 2)<0，从而－log a (1－x 2)>0， 故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|．当0<a <1时，同样可得|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|． 解法二(平方作差)：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )]2－[log a (1＋x )]2＝log a (1－x 2)·log a 1－x 1＋x＝log a (1－x 2)·log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x >0．∴|log a (1－x )|2>|log a (1＋x )|2， 故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|．。

课后跟踪训练(四十一)基础巩固练一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.＝＝，0. ＝3· 39131· 8· ＝，0. ＝，0.000 ＝×＝，据此推测循环18992113· 5· 2· 3529995· 9· 1100059995999000小数0.2可化成分数( )3· A. B. C. D.23909923815730[解析]　0.2＝0.2＋0.1×0.＝＋×＝.故选D.3· 3· 1511039730[答案]　D2．(2019·兰州模拟)如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[解析]　a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝，n (n ＋1)2∴a 7＝＝28，故选B.7×82[答案]　B3．(2019·惠州市高三二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A．33 B．34 C．36 D．35[解析]　由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.[答案]　B4．(2019·安徽省知名示范高中高三联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]　若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，根据②知去D镇，根据④知去C 镇，根据③可知不去B 镇，然后检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.[答案]　C5.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k ，则a 11a 22a 33a 441×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝.类比以上性质，体积为V 的三棱锥2S k 的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k ，则S 11S 22S 33S 44H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A. B. C. D.4V k 3V k 2V k V k [解析]　∵V ＝S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 413131313＝(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)13∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝.故选B.3V k [答案]　B二、填空题6．(2019·长春市高三质量监测)将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．[解析]　由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1个数，且最后一个数为n 2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.[答案]　917．(2019·兰州市高考实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.[解析]　因为1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.[答案]　n 28．(2019·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝.在空间中，三棱锥的体积为2S C V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析]　若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝.理由如下：3V S 设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝S 1R ＋S 2R ＋S 3R ＋S 4R ＝SR ，1313131313所以内切球的半径R ＝.3V S [答案]　3V S三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ，a 1＝－，且23S n ＋＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．1Sn [解]　n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴S n ＋＋2＝S n －S n －1，∴＋S n －1＋2＝0.1Sn 1Sn 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－；23当n ＝2时，＝－2－S 1＝－，1S 243∴S 2＝－；34当n ＝3时，＝－2－S 2＝－，∴S 3＝－；1S 35445当n ＝4时，＝－2－S 3＝－，∴S 4＝－.1S 46556猜想：S n ＝－，n ∈N *.n ＋1n ＋210．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解]　(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝＝≥＝，a 2＋c 2－b 22ac a 2＋c 2－ac 2ac 2ac －ac 2ac 12当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为.12能力提升练11．(2019·贵州省高三适应性考试)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1，下底长为2的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为( )A ．4 B. C ．5 D.92112[解析]　由题意可知，S 图1＝S 图2＝×(1＋2)×3＝.故选B.1292[答案]　B 12．(2019·上海师大附中检测)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则((a n )*)*＝( )A ．2nB ．2n 2C ．nD ．n 2[解析]　对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 1)*＝0，(a n )*＝(a 3)*＝(a 4)*＝1，(a 5)*＝(a 6)*＝…＝(a 9)*＝2，(a 10)*＝(a 11)*＝…＝(a 16)*＝3，……，所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，……，由此猜想((a n )*)*＝n 2.故选D.[答案]　D13．(2019·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．[解析]　若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．[答案]　甲14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝(n ∈N *)，求数2Sn ＋1n ＋2列{a n }的通项公式．[解]　因为a n ＝，所以S n ＝，所以a 1＝S 1＝2Sn ＋1n ＋2(n ＋2)an －12，解得a 1＝1.3a 1－12当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－，(n ＋2)an －12(n ＋1)an －1－12所以na n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，即a n ＝a n －1(n ≥2)．n ＋1n 所以a 2＝a 1，a 3＝a 2，a 4＝a 3，324354…a n ＝a n －1，n ＋1n 将以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝a 1＝(n ≥2)，n ＋12n ＋12又当n ＝1时，a 1＝1也适合，故a n ＝.n ＋12拓展延伸练15．(2018·黑龙江大庆模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2097 B ．2112 C ．2012 D ．2090[解析]　当三角形在移动时，观察其规律，如果设三角形内部第一行的数为a∈N*，则第二行的数为a＋7，a＋8，a＋9，其和为3(a＋8)，第三行的数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，其和为5(a＋16)，所以这九个数的和为S＝a＋3(a＋8)＋5(a＋16)＝9a＋104，代入到各个选项中看能否算出a即可．通过计算可得9a＋104＝2012时，a＝212.由图示规律知212位于第27行第4列，符合题意．故选C.[答案]　C16．(2018·济南市高考模拟)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点(1,0)处标数字1，记为a1；点(1，－1)处标数字0，记为a2；点(0，－1)处标数字－1，记为a3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a4；点(－1,0)处标数字－1，记为a5；点(－1,1)处标数字0，记为a6；点(0,1)处标数字1，记为a7；……；以此类推，格点坐标为(i，j)的点处所标的数字为i＋j(i，j均为整数)，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，则S2018＝________.[解析]　设a n的坐标为(x，y)，则a n＝x＋y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知a9＋a10＋…＋a24＝0；……；以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和也为0.设a2018在第k圈，则8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2024个数，故S2024＝0，则S2018＝S2024－(a2024＋a2023＋…＋a2019)，a2024所在点的坐标为(22,22)，a2024＝22＋22，a2023所在点的坐标为(21,22)，a2023＝21＋22，以此类推，可得a2022＝20＋22，a2021＝19＋22，a2020＝18＋22，a2019＝17＋22，所以a2024＋a2023＋…＋a2019＝249，故S2018＝－249.[答案]　－249。

2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之基本不等式篇【知识储备】1、基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0。

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立。

(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数。

: 2、利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P 。

(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值S 24。

(简记：“和定积最大”)3．常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )。

(3)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)。

以上不等式等号成立的条件均为a ＝b 。

4、条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 【走进高考】【例】【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【例】．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【例】【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【例】(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 ．【典例分析】 基本题型： 题型一：一元问题【例】已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，则a =__．题型二：二元问题【例】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C ．5D ．6题型三：多元问题【例】设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．94 D ．3点评：1．应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。

2020高考真题数学分类汇编—不等式一、选择题（共3小题）1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）二．多选题（共1小题）4．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤三．填空题（共7小题）5．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．6．（2020•上海）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．7．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是．8．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为．9．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为．10．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．11．（2020•上海）不等式＞3的解集为．2020高考真题数学分类汇编—不等式参考答案一、选择题（共3小题）1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1．由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），如图所示：不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：D．3．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：画出实数x，y满足约束条件所示的平面区域，如图：将目标函数变形为﹣x+＝y，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大，当目标函数过点A（2，1）时，截距最小为z＝2+2＝4，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数z＝2x+y的取值范围是[4，+∞）．故选：B．二．多选题（共1小题）4．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD．三．填空题（共7小题）5．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为4．【解答】解：a＞0，b＞0，且ab＝1，则++＝+＝+≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2+，b＝2﹣或a＝2﹣，b＝2+取等号，故答案为：46．（2020•上海）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1．【解答】解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．7．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，3），此时z＝2+2×3＝8，故答案为：8．8．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为7．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由解得A（1，2），如图，当直线z＝3x+2y过点A（1，2）时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取得最大值，即当x＝1，y＝2时，z max＝3×1+2×2＝7．故答案为：7．9．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为1．【解答】解：x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，由，可得A（1，0）时，目标函数z＝x+7y，可得y＝x+，当直线y＝x+过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：1+7×0＝1．故答案为：1．10．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．11．（2020•上海）不等式＞3的解集为（0，）．【解答】解：由得，则x（1﹣3x）＞0，即x（3x﹣1）＜0，解得，所以不等式的解集是（0，），故答案为：（0，）．。

课时规范练34 直接证明与间接证明基础巩固组1.命题“对于任意角θ,cos 4θ-sin 4θ=cos 2θ”的证明:“cos 4θ-sin 4θ=(cos 2θ-sin 2θ)(cos 2θ+sin 2θ)=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ”过程应用了( ) A.分析法 B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法2.(2018吉林梅河口五中三模,5)给出下列两个论断:①已知p 3+q 3=2,求证:p+q ≤2.用反证法证明时,可假设p+q>2.②设a 为实数,f(x)=x 2+ax+a,求证:|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于12.用反证法证明时可假设|f(1)|≥12且|f(2)|≥12.以下说法正确的是( ) A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确3.要证明a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证明( ) A.2ab-1-a 2b 2≤0B.a 2+b 2-1-a4+b 42≤0C.(a+b )22-1-a 2b 2≤0D.(a 2-1)(b 2-1)≥04.设a=√3−√2,b=√6−√5,c=√7−√6,则a,b,c 的大小顺序是( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b5.若a>b>0,且x=a+1b,y=b+1a,则( ) A.x>y B.x<y C.x ≥yD.x ≤y6.设a,b,c 均为正实数,则三个数a+1b ,b+1c ,c+1a ( )A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于27.(2018陕西咸阳二模,8)设f(x)是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时,f(x)单调递减,若x 1+x 2>0,则f(x 1)+f(x 2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负8.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在区间[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x 1,x 2∈[0,1],当|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|时,求证:|f(x 1)-f(x 2)|<12.那么他的反设应该是 . 9.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明√1+x <1+x 2时,索的因是 . 10.已知正数a,b,c 满足a+b+c=1,求证:√a +√b +√c ≤√3.综合提升组11.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形 12.已知函数f(x)=3x -2x,求证:对于任意的x 1,x 2∈R ,均有f (x 1)+f (x 2)2≥f x 1+x22.13.(2018四川南充模拟,17)已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项和为S n ,且满足a n =2S n 22S n-1(n ≥2).(1)求证:数列{1S n}是等差数列;(2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+ (1)S n <32.创新应用组14.(2018河南郑州一中月考,18)若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=12x 2-x+32是区间[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b 的值; (2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=1是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b 的值;若不存在,请说明理由.课时规范练34 直接证明与间接证明1.B 因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.故选B.2.C ①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q ≤2的假命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于12的否定为|f(1)|与|f(2)|都小于12,故②的假设错误.故选C. 3.D 在各选项中,只有(a 2-1)(b 2-1)≥0⇒a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,故选D. 4.A 因为a=√3−√2=3+√2,b=√6−√5=6+√5,c=√7−√6=√7+√6,且√7+√6>√6+√5>√3+√2>0,所以a>b>c.故选A.5.A 因为a+1b -b+1a =(a-b)1+1ab >0.所以a+1b >b+1a .故选A.6.D 因为a>0,b>0,c>0,所以a+1b +b+1c +c+1a =a+1a +b+1b +c+1c ≥6,当且仅当a=b=c 时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.7.A 由f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R 上的单调递减函数,由x 1+x 2>0,可知x 1>-x 2,f(x 1)<f(-x 2)=-f(x 2),则f(x 1)+f(x 2)<0.故选A.8.存在x 1,x 2∈[0,1],当|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|时,则|f(x 1)-f(x 2)|≥12 根据反证法,写出相反的结论是:存在x 1,x 2∈[0,1],当|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|时,则|f(x 1)-f(x 2)|≥12.9.x 2>0 因为x>0,所以要证√1+x <1+x 2,只需证(√1+x )2<1+x 22,即证0<x 24,即证x 2>0,因为x>0,所以x 2>0成立,故原不等式成立.10.证明 欲证√a +√b +√c ≤√3,则只需证(√a +√b +√c )2≤3,即证a+b+c+2(√ab +√bc +√ac )≤3,即证√ab +√bc +√ac ≤1.又√ab +√bc +√ac ≤a+b 2+b+c 2+a+c2=1,故原不等式√a +√b +√c ≤√3成立.11.D 由条件知,△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形,且△A 2B 2C 2不可能是直角三角形.假设△A 2B 2C 2是锐角三角形.由{ sin A 2=cos A 1=sin(π2-A 1),sin B 2=cos B 1=sin(π2-B 1),sin C 2=cos C 1=sin(π-C 1),得{ A 2=π2-A 1,B 2=π2-B 1,C 2=π-C 1, 则A 2+B 2+C 2=π2,这与三角形内角和为π相矛盾.因此假设不成立,故△A 2B 2C 2是钝角三角形.12.证明 要证f (x 1)+f (x 2)2≥f x 1+x 22, 即证(3x 1-2x 1)+(3x 2-2x 2)2≥3x 1+x 22-2·x 1+x 22, 因此只要证3x 1+3x 22-(x 1+x 2)≥3x 1+x 22-(x 1+x 2),即证3x 1+3x 22≥3x 1+x 22,因此只要证3x 1+3x 22≥√3x 1·3x 2,由于x 1,x 2∈R 时,3x 1>0,3x 2>0,因此由基本不等式知3x 1+3x 22≥√3x 1·3x 2显然成立,故原结论成立. 13.证明 (1)当n ≥2时,S n -S n-1=2S n22Sn -1,S n-1-S n =2S n S n-1,1S n −1S n -1=2,从而{1S n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1S n=1S 1+(n-1)×2=2n-1,∴S n =12n -1,∴当n ≥2时,1n S n =1n (2n -1)<1n (2n -2)=12·1n (n -1)=121n -1−1n ,从而S 1+12S 2+13S 3+ (1)S n <1+121-12+12−13+…+1n -1−1n<32−12n <32.14.解 (1)由题设得g(x)=12(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,则1b 2-b+3=b,解得b=1或b=3.因为b>1,所以b=3.(2)假设函数h(x)=1x+2在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,因为h(x)=1x+2在区间(-2,+∞)上单调递减,所以有{ℎ(a )=b ,ℎ(b )=a ,即{1a+2=b ,1b+2=a .解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b,使函数h(x)=1x+2是区间[a,b]上的“四维光军”函数.。