微专题79 利用点的坐标处理解析几何问题
有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：
1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与12121212,,,x x x x y y y y ++相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。
2、利用点坐标解决问题的优劣：
（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受
12121212,,,x x x x y y y y ++形式的约束
（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型：
（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）
（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）
4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题：
例1：已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C
的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点,A B 分别是椭圆C 的左右顶点
（1）求圆O 和椭圆C 的方程
（2）已知,P Q 分别是椭圆和圆上的动点（,P Q 位于y 轴的两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线,AP BP 分别与y 轴交于点
,M N ，求证：MQN ∠为定值
解：（1）依题意可得242a a =?=，O Q e 过焦点，
且r b = b c ∴=，再由2224b c a +==可得2b c ==
∴椭圆方程为22
142
x y +
=，圆方程为222x y += （2）思路：条件主要围绕着P 点展开，所以以P 为核心，设()00,P x y ，由PQ 与x 轴平行，可得()10,Q x y 。若要证明MQN ∠为定值，可从MQN ∠的三角函数值下手，在解析中角的余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑
cos QM QN
MQN QM QN
?=?u u u u r u u u r
u u u u r u u u r ，模长并不利于计算，所以先算QM QN ?u u u u r u u u r ，考虑利用条件设出
,AP BP 方程，进而,M N 坐标可用核心变量00,x y 表示，再进行数量积的坐标运算可得0QM QN ?=u u u u r u u u r ，从而2
MQN π
∠=，即为定值
解：设()00,P x y Q PQ 与x 轴平行，
∴设()10,Q x y ，由,P Q 所在椭圆和圆方程可得：
2222
000022
2210
1
04214222x y x y x y x y ??=-+
=?????=-???+=? 由椭圆可知：()()2,0,2,0A B - 002AP y k x ∴=
+ ()0
0:22
y AP y x x ∴=++ 令0x =，可得：0020,
2y M x ??
?+??
同理：()0
0:22y BP y x x =
--可得0020,2y N x ??- ?-??
000000101101000022,,,,,2222y x y y x y QM x y x QN x y x x x x x ????????∴=--=--=---=-- ? ? ?
?++--????????
u u u u r u u u r 2222
000000112000224x y x y x y QM QN x x x x x ??∴?=-?-=+ ?+--??u u u u r u u u r ，代入220022
10
422x y x y ?=-??=-??可得： ()()22
002220002
0422220424
y y QM QN y y y y -?=-+=-+-=--u u u u r u u u r QM QN ∴⊥，即2
MQN π
∠=
为定值
思路二：本题还可以以,AP BP 其中一条直线为入手点（例如AP ），以斜率k 作为核心变量，直线AP 与椭圆交于,A P 两点，已知A 点坐标利用韦达定理可解出P 点坐标（用k 表示），从
而可进一步将涉及的点的坐标都用k 来进行表示，再计算0QM QN ?=u u u u r u u u r
也可以，计算步骤如
下：
解：设()00,P x y ，由椭圆方程可得：()()2,0,2,0A B - 所以设直线():2AP y k x =+，联立方程：
()()22
22221218840422x y k x k x k y k x ?+
=??+++-=?
?=+?
22002284422121A k k x x x k k --∴=?=-++，代入到直线方程可得：02
421
k y k =+ 222424,2121k k P k k ??
-∴- ?++??
2224121422221BP k k k k k k +∴=
=----+ ()1
:22BP y x k
∴=--，由():2AP y k x =+，令0x =可得：
()10,2,0,M k N k ??
???
设()10,Q x y ，则()10101,2,,QM x k y QN x y k ??
=--=-- ???
u u u u r u u u r
()2222
10010012122k QM QN x k y y x y y k k +??∴?=+--=++- ???
u u u u r u u u r
由Q 在圆上可得：22
102x y +=，再由02
421
k
y k =
+代入可得： 2221422021
k k QM QN k k +?=+-?=+u u u u r u u u r
QM QN ∴⊥，即2
MQN π
∠=
为定值
例2：设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，
已知12AB F =
（1）求椭圆的离心率
（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线
l 与该圆相切，求直线l 的斜率
解：（1）由椭圆方程可知：()(),0,0,A a B b ，()()12,0,,0F c F c -
122AB F F c ∴==
222232
c a b c =
??+=
即22
2
2
32
c a a c c e a +-=?=
= （2）由（1
）可得::a b c =
∴椭圆方程为22
2212x y c c
+= 设()()00,,0,P x y B c
()()1001,,,F P x c y F B c c ∴=+=u u u r u u u r
Q 以线段PB 为直径的圆经过点1F
()()1100000F P F B c x c cy y x c ∴?=++=?=-+u u u r u u u r
联立方程：()2
22
22
2
2222y x c
x x c c x y c
=--??++=?
+=?，整理可得：
2340x cx +=，解得：043c x =-
，代入直线方程：03
c y = 41,33P c c ??
∴- ???
()0,B c Q
可知PB 的中点为22,33T c c ??- ???
，123r PB === ∴圆方程为22
2225339c x c y c ?
???++-= ? ?????
设直线l ：y kx =
T l d -∴=
=
，整理可得： ()2
2222518103
39k k k k ??+=+?-+= ???，解得：
4k =±∴直线l
的斜率为4+
或4-
例3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点
D
在椭圆上，121121
,
F F DF F F DF ⊥=，12DF F V
的面积为
2
（1）求椭圆的标准方程
（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 解：（1）设()()12,0,,0F c F c -
，由
121
F F DF =
可得：12
DF c =
=
121211122222
DF F S F F DF c ∴=
?=??=V ，解得2
11c c =?=
1212,2
F F DF ∴==
在12DF F V
中，2
22
2
1122922
DF DF F F DF =+=
?=
122a DF DF a ∴=+=?=
1b ∴= ∴椭圆方程为：2
212
x y +=
（2）如图：设圆与椭圆2
212
x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点
120,0y y >>，1122,F P F P 是圆的切线，且1122F P F P ⊥，则
由对
称性可得：
2112,x x y y =-= 1212PP x ∴=
由（1）可得()()121,0,1,0F F -
()()()11112222111,,1,1,F P x y F P x y x y ∴=+=-=--u u u u r u u u u r ()22112211221
1010F P F P F P F P x y ∴⊥??=?-++=u u u u r u u u u r ， 联立方程()221122
1121110
3401
2x y x x x y ?-++=?
?+=?+=??，解得10x =（舍）或143x =- ∴过12,P P 且分别与1122,F
P F P 垂直的直线的交点即为圆心C 由1122,F P F P 是圆的切线，且1122F P F P ⊥，可得：12CP CP ⊥
因为12CP CP r == 12CP P ∴
V 为等腰直角三角形
11213
r CP ∴==
== 例4：已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e
（1
）若2
e =
，求椭圆的方程
（2）设,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上 ① 证明：点A 在定圆上
② 设直线AB 的斜率为k
，若k ≥
e 的取值范围
解：（1）依题意可得：2c =
c
a e
∴=
= 2
2
2
4b a c ∴=-= 所以椭圆方程为：22
184
x y +
= （2）①思路：设()00,A x y ，则()00,B x y --，由此可得,M N 坐标（用00,x y 进行表示），
而O 在以MN 为直径的圆上可得：0OM ON ?=u u u u r u u u r
，所以得到关于00,x y 的方程，由方程便可
判定出A 点的轨迹
解：设()00,A x y ，则()00,B x y --。因为()12,0F -，且,M N 为11,AF BF 的中点 所以有000022,,,2
222x y x y M N ---????
-
? ????? Q O 在以MN 为直径的圆上
OM ON ∴⊥
000022002222x x y y OM ON ---??
∴?=??+?-= ???
u u u u r u u u r
22
22000040444
x y x y -∴-=?+=
A ∴点在定圆224x y +=上
② ()()222
222222222114
4y kx kx x x
y a b
a b x kx x y =???+=??+=?????+=??+=?
消去x 可得：()222211=14k k a b ++（*） 而222224,4c e b a c a a e ==∴=-=-，2
24a e
=
代入（*）可得：422
221
321
e e k e -+=
≥-
42
2
84021e e e -+∴≥- 01e < 12 e <≤- 例5：已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为5 （1）求直线BF 的斜率 （2）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ），直线PQ 与y 轴交于点M ，PM MQ λ= ① 求λ的值 ② 若sin 9 PM BQP = ，求椭圆方程 解：（1）由5 c e a = =可知::2:1a b c = 设(),0F c -，()()0,0,2B b c = () 20 20BF c k c -∴= =-- （2）① 设()()1122,,,P x y Q x y :22BP y x c ∴=+ ::2:1a b c =Q ∴椭圆方程为：22 22154x y c c += 联立方程：()2222 22452045222022x y c x x c c y x c ?+=?++=? =+?，整理后可得： 224400x cx +=可解得：153c x =- 54,33c c P ??∴-- ??? 因为BQ BP ⊥ 12BQ k ∴=- 设1 :22 BQ y x c =-+ 联立方程：22222 245201452201 222 x y c x x c c y x c ?+=????+-+=? ?=-+????，整理后可得： 221400x cx -=，解得24021c x = ，即4022,2121c c Q ?? ??? 设()00,M y ，PQ 斜率为k ，由弦长公式可知：503c PM =-= 0QM =-=7 3408PM c QM λ=== ② 由①可得：7 8 PM MQ = 771515PM PM PQ PQ =?= sin 9PM BQP = Q 15sin sin 7BP PQ BQP PM BQP ∴===由()540,2,,33c c B c P ??-- ??? 可得：3BP == 133 c ∴ =?= ∴椭圆方程为22 154 x y + = 例6：已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c - ，点M 在椭圆 上且位于第一象限，直线FM 被圆2 2 2 4 b x y +=截得的线段的长为c ，3FM = （1）求直线FM 的斜率 （2）求椭圆的方程 （3）设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）斜率的取值范围 解：（1 ）由已知可得3 c e a = = ::a b c ∴= ∴,a b == ∴椭圆方程为22 22222123632x y x y c c c +=?+= 设直线():0FM y k x c kx y kc =+?-+=，其中0k > O FM d -∴= ∴由2 2 212O FM d c r -?? += ??? 可得： 2 2222222 124 4144b k c c c c k ??+=?+=+ 解得：3k = （2）由（1 ）可得：):3 FM y x c = + )()222222 12363 3236y x c x x c c x y c ?=+?∴?+?+=??+=? 223250x cx c ∴+-=解得：5 3 x c =-或x c = M Q 在第一象限 3x c y =?? ∴?= ?? ，即M c ?? ? ??? ( )3FM c ∴=--== 可得：1c = ∴椭圆方程为：22 132 x y + = （3）由（2）可知()1,0F -，设(),P x y ，设FP 的斜率为k ():1PF y k x =+ 联立方程：()()222 22 12316326 y k x x k x x y ?=+??++=? +=?? k ∴= > 可解得：()3,11,02x ?? ∈--- ??? U 设直线OP 的斜率为m ，即y m y mx x = ?= 22 2 2 22 2 221313 321321222 x x y x m x m x x -+=?+=?==-Q 当3 ,12x ??∈-- ??? 时， 可知()10y k x =+< 0y m x ∴= > m ∴=3,12x ?? ∈-- ? ?? 可得：3 m ?∈ ?? 当()1,0x ∈-时，可知()10y k x =+> 0y m x ∴=< m ∴=()1,0x ∈ -可得：,m ?∈-∞ ? ? 综上所述：,m ?∈-∞ ???? U 例7 ：已知椭圆G 的离心率为2 ，其短轴的两端点分别为()()0,1,0,1A B -. （1）求椭圆G 的方程； （2）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .试判断以MN 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. 解：（ 1）2 c e a = =Q ::a b c ∴= 由短轴顶点()()0,1,0,1A B -可得：1 b = a ∴=∴椭圆方程为2 212 x y += （2）设()00,C x y ，则对称点()00,D x y - 000011 ,AC BD y y k k x x -+∴= =- 从而直线,AC BD 的方程为： 0000 11 :1,:1y y AC y x BD y x x x -+= +=--，令0y =解得： 0000,0,,011x x M N y y ???? - ? ?-+????，设MN 中点为E 则0000 2 000 12111E x x x y x y y y ??-=+=??-+-?? 半径000 2 000 12 2111MN x x x r y y y -= = -=-+- ∴以MN 为直径的圆方程为：()2 2 2 0002220011x y x x y y y ??-+= ?--?? 代入22 22 00001122 x x y y +=?=-可得： 2 2222 00022 0000244440y y y x y x y x x x x x ??--+=?+-+= ?? ?，代入2 20012x y =-可得： 即22 420y x y x x +- -= ① 0,2x y ∴==±时，无论00,x y 为何值 等式①均成立 ∴圆E 恒过() 0,2± 例8：如图，设抛物线()2 1:40C y mx m =>的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ，以12,F F 为 焦点，离心率1 2 e = 的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的交点为P ，延长2PF 交抛物线于点Q ，M 是抛物线1C 上一动点，且M 在,P Q 之间运动 （1）当1m =时，求椭圆2C 的方程 （2）当12PF F V 的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ V 面积的最大值 解：（1）1m =时，2 1:4C y x =，焦点坐标()21,0F 1c ∴= 1 2 c e a = =Q 2a ∴= 2223b a c ∴=-= ∴椭圆2C 的方程为：22 143 x y + = （2）由()21:40C y mx m =>可得：()2,0F m ，即c m = 1 2 c e a = =Q 22222,3a m b a c m ∴==-= ∴ 椭圆方程为： 22 22 143x y m m += 222222 34123161204x y m x mx m y mx ?+=??+-=?=?? ()()263203 m x m x m x ∴+-=?=代入2 4y mx =解得：3y = 23P m ??∴ ??? 225233 p m m PF x m ∴=+ =+= 12572433m m PF a PF m =-=-= 126223 m F F c m === 12PF F Q V 边长为3个连续的自然数 3m ∴= ∴抛物线方程为212y x =，(()2,3,0P F 20 23 PF k -= =-- 即):3PQ y x =--，代入抛物线方程可得： ()2 224312213180x x x x -=?-+=解得92 Q x = 9 32Q y ??∴=--=- ??? 9,2Q ?∴- ? 设2,12t M t ?? ??? ，(t ∈- 2 275 3622 M PQ d t -∴= =+-=+- ? (t ∈-Q 2 7575,0222t ??? ∴+-∈- ?????? ( )2 max max 757522302M PQ d t -∴=+-=?=? 由( 9,,2 P Q ?- ? 可得：252 P Q PQ x =-= ()( )max max 1125222MPQ M PQ S PQ d -∴= ?=?= 例9：在平面直角坐标系xOy 中，点()(),0P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆 22 22 1x y a b +=的左，右焦点，已知12F PF V 为等腰三角形 （1）求椭圆的离心率e （2）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-u u u u r u u u u r ，求 点M 的轨迹方程 解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，由图可知，12F PF V 为等腰三角形即212PF F F = 2122PF F F c = =Q ,代入可得： ()2 222=4c a c b c =?++ 2222240210a ac c e e ∴+-=?--=，解得：1e =-（舍）或1 2 e = （2）思路：由（1）可将椭圆方程化简为：2 2 2 3412x y c +=，与直线2 PF 的方程联立，即 ) 2223412x y c y x c ?+=?? =-??消元后发现方程形式为2 580x cx -=，形式极其简单，所以直接求出点 的坐标可得：() 8,,0,55A c B ?? ???，进而设所求点(),M x y 。将,AM BM u u u u r u u u u r 坐标化后， 再利用2AM BM ?=-u u u u r u u u u r 即可得到关于,x y 的方程 ： () 8255x x c y y ??? ?-+-+=- ? ????? ，方程中含有c ，所以考虑利用直线方 程 )y x c =-将c 消掉：3 c x y =- ，代入即可得到轨迹方程 解：1 2 c e a = =Q 2,a c b ∴=== ∴椭圆方程转化为：22 22143x y c c +=即2223412x y c += (),P a b 即() 2P c 202PF k c c -∴= =-2PF ∴ 的方程为：)y x c =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程可得： ) 2223412x y c y x c ?+=? ? =-??，消去y ，方程转化为： ()2 22234312580x x c c x cx +?-=?-= 解得：128 ,05x c x == () 8, ,0,55A c B ??∴ ??? 设(),M x y ，则() 8,,,5AM x c y BM x y ??=-- =+ ?? ?u u u u r u u u u r 由2AM BM ?=-u u u u r u u u u r 可得：() 825x x c y y ??? ?-+- +=- ? ????? ，化简可得： 22289 20555 x cx y c -++-+= ① 因为)y x c =- ，所以c x =- ，代入①式化简可得： 218150x --= 将2163y x =3 c x =-，可得：21050016x c x x += >?> M ∴的轨迹方程为：()2181631500x xy x --=> 例10：如图，12,F F 分别为椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点，椭圆C 上的点到1F 距 离的最大值为5，离心率为2 3 ，,A B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与2BF 平行。 （1）求椭圆C 的方程 （2）设2AF 与1BF 的交点为P ，求证：12PF PF +为定值 解：（1）2 3 c e a = =，依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为5a c += 3,2a c ∴== 2225b a c =-= 所以椭圆方程为22 195 x y += （2） 解：由（1）可得：()()122,0,2,0F F -，设()()1122,,,A x y B x y 设直线1:2AF x my =-，与椭圆联立方程： ()2222 2529455945 x my my y x y =-??-+=?+=?，整理可得： ()2 2 9520250m y my +--= () () () 2 2212 2020100951015195m m m m m y m ± ++±+∴= =+ 由10y >可得：21210151 59 m m y m ++=+ 22 2 1110151 101m m AF m y m ++∴=+-=+① 同理，设直线2:2BF x my =+，与椭圆联立方程： ()22 22 2529455945 x my my y x y =+??++=?+=? 整理可得： ()2 2 9520250m y my ++-= 22 1095295m y m m -±∴= =++ 由20y >可得：221059 m y m -+ =+ 222 10059 m BF y m -+∴=-=+ ② 12AF BF Q ∥ 1111112 1 21 1 21 PF AF PF AF PF AF PB BF PB PF BF AF BF BF AF ∴ = ? = ? = +++ ()12 11121 21 2AF a BF AF BF PF BF AF BF AF ?-?∴= = ++ 同理 2222221 2 12 2 21 PF BF PF BF PF BF PA AF PA PF AF BF AF BF AF = ? = ? = +++ ()2122221 21 2BF a AF AF BF PF BF AF BF AF ?-?∴= = ++ ()()12 211221 21 22AF a BF BF a AF PF PF BF AF BF AF ?-?-∴+= + ++ ()1212 1221 21 2222a AF BF AF BF AF BF a BF AF BF AF +-??= =- ++ 1221 26AF BF BF AF ?=-+ ③ 由①②可得： 12AF BF +=+ ()2230159 m m += + 12AF BF ?= ( ) ( )( )() 2 2 21010159m m m m -=++ ( )()() ()() () 22 22 2 2 2 2 2 22511002559115959m m m m m m m +-+=+? =+? ++ () () 22 25159m m += + 代入到③可得： () () () 22122 22512595136633 30159 m m PF PF m m +? ++=- =- =++ 12PF PF ∴+为定值 微专题76 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 2 2 。 （1）求,a b 的值 （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）3 ::323 c e a b c a = =?= 则,a b = =，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时 :0l y x c x y c =-?--= 2 O l d -∴= = 解得：1c = a b ∴== 椭圆方程为：22 132 x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =- OP OA OB =+ 012 012 x x x y y y =+?∴?=+? 联立直线与椭圆方程：()221236 y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222 2316x k x +-=，整理可得： ()2 222326360k x k x k +-+-= 2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232 k k y y k x x k k k k +=+-=-=-++ 22264,3232k k P k k ?? ∴- ?++?? 因为P 在椭圆上 2 2 2 22 642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++???? ()()()2 2 42222272486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+ ( )2224632k k k ∴=+?= 当k = 时，):1l y x =- ，3,2 2P ?- ?? 当k = ):1l y x =- ，3,22P ? ?? 当斜率不存在时，可知:1l x = ，1, ,1,33A B ??? - ???? ?，则()2,0P 不在椭圆上 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题 【题型综述】 三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 【典例指引】 类型一 向量法证三点共线 例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线C :22 (5)(2)8m x m y -+-=（m R ∈） (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； (Ⅱ)设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线. MB方程为： 6 2 M M kx y x x + =-，则 3 1 6 M M x G kx ?? ? + ?? ，， ∴ 3 1 6 M M x AG x k ?? =- ? + ?? ，，()2 N N AN x x k =+ ，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG，AN共线 即 3 (2) 6 M N N M x x k x x k +=- + 成立，化简得：(3)6() M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。 类型二斜率法证三点共线 例2.（2017?上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N． （1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小； （2）求证：点B、O、C三点共线． 微专题80 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只 需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。 3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步： 确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有 213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法 §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ （1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . 注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和 2y 的分母的大小。 ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵椭圆的性质 ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e = .【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2 x y a +=。】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH = 有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 微专题98 含新信息问题的求解 一、基础知识： 所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 （1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系 （3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 （1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解 （2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。 （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 （4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例1：设,P Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，则P Q -等于（ ） A. {}|01x x << B. {}|01x x <≤ C. {}|12x x ≤< D. {}|23x x ≤< 思路：依{}|P Q x x P x Q -=∈?且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成，或者可以理解为P 集合去掉P Q 的元素后剩下的集合。先解出,P Q 中的不等式。:P 2log 102x x 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞ 微专题40利用函数性质与图像解不等式 高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。 一、基础知识： （一）构造函数解不等式 1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则 []()()121212,,,x x a b x x f x f x ?∈ (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号） 3、导数运算法则： （1）()()() ()()()()' ' 'f x g x f x g x f x g x =+ （2）()()()()()()()' ''2 f x f x g x f x g x g x g x ??-= ??? 4、构造函数解不等式的技巧： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。 （二）利用函数性质与图像解不等式： 1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增。则可以作出草图 圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线 22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线1222 2=-b y a x 的渐近线方程为02222 =-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线 的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出() 12 AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出2 22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数 ,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角, 圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<= 高中数学讲义微专题76 存在性问题
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