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【高考复习】2020年高考数学(文数)圆锥曲线 大题练1.已知抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．2.已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21,且经过点P （1,1.5）,过它的两个焦点F 1,F 2分别作直线l 1与l 2,l 1交椭圆于A,B 两点,l 2交椭圆于C,D 两点,且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围.3.已知椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P,Q 两点. (1)求椭圆的方程;(2)在线段OF 上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.5.在平面直角坐标系中，直线2x －y ＋m=0不过原点，且与椭圆y 24＋x22=1有两个不同的公共点A ，B.(1)求实数m 的取值所组成的集合M ；(2)是否存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→=OA ―→＋OB ―→， 证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．7.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB|=2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知Q 是C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案解析1.解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的准线方程为x=－p 2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 =4， 解得p=2，∴抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 =4y 2＋y 1(x 1≠x 2)．∵线段AB 中点的纵坐标为－1，∴直线l 的斜率k AB =4y 2＋y 1=4－12=－2，∴直线l 的方程为y －0=－2(x －1)，即2x ＋y －2=0.法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设直线l 的方程为x=my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4=0.设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 =4m 2=－1，解得m=－12，∴直线l 的方程为x=－12y ＋1，即2x ＋y －2=0.2.解:3.解：4.解:5.解：(1)因为直线2x －y ＋m=0不过原点，所以m≠0.将2x －y ＋m=0与y 24＋x22=1联立，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4=0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A ，B ，所以Δ=8m 2－16(m 2－4)>0， 所以－22<m<2 2.故实数m 的取值所组成的集合M 为(－22，0)∪(0,22)．(2)假设存在定点P(x 0，y 0)使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 即k PA ＋k PB =0.令A(x 1，2x 1＋m)，B(x 2，2x 2＋m)，则2x 1＋m －y 0x 1－x 0＋2x 2＋m －y 0x 2－x 0=0，整理得22x 1x 2＋(m －2x 0－y 0)(x 1＋x 2)＋2x 0(y 0－m)=0.(*)由(1)知x 1＋x 2=－2m 2，x 1x 2=m 2－44，代入(*)式化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 0－x 0m ＋2(x 0y 0－2)=0，则⎩⎪⎨⎪⎧22y 0－x 0＝0，x 0y 0－2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－2，所以定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)．经检验，此两点均满足题意． 故存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 且定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)． 6.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－4=1，因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上，所以4a 2＋12－=1， 解得a 2=5或a 2=165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2=1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→=OD ―→， 得D(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB =y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD =y 1＋y 2x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)=0， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2=－15，所以k AB ·k OD =－15. 故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.7.解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c ，t)(t>0)，∴c 2a 2＋t 2b 2=1，得t=b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a =b 2a c，即b=c ，∴a 2=b 2＋c 2=2b 2，①又|AB|=23，∴a 2＋b 2=12，②由①②得a 2=8，b 2=4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y24=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，设Q(x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204=1，③∵k QA ·k QD =－12，A(－22，0)，∴y 0x 0＋22·y 0x 0－m =－12(x 0≠m)，④由③④得(m －22)x 0＋22m －8=0，即⎩⎨⎧m －22＝0，22m －8＝0，解得m=22，∴存在点D(22，0)，使得k QA ·k QD =－12.8.解：(1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x －1)(k>0)． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2=0. Δ=16k 2＋16>0，故x 1＋x 2=2k 2＋4k2.所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x 1＋1)＋(x 2＋1)=4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2=8，解得k=1或k=－1(舍去)．因此l 的方程为y=x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2=－(x －3)， 即y=－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，0＋2＝0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2=16或(x －11)2＋(y ＋6)2=144.。
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12 B ．2 C D ．22．（2007江西文7）连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1-+ Ｂ．32- Ｃ．1+Ｄ．32+3．（2009四川卷理）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.115 D.3716【解析1】直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25|604|min =+-=d ，故选择A 。
【解析2】如图，由题意可知2d ==4．（2009福建卷文）若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )C.32 D. 1二、填空题5． 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率为 ▲ ．6．如果方程22193x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，那么k 的取值范围是___________7．椭圆22143x y +=内有一点(1,1)P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得2MP MF -的值最小，则点M 的坐标为8． 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 28y x =。
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21 B ．22 C ．1D ．22．2 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3．(2006年高考四川文)直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 （A ）36 （B ）48 （C ）56 （D ）644．(2006年高考浙江理)若双曲线122=-y mx 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则=m C (A)21 (B)23 (C)81 (D)89【考点分析】本题考查双曲线的第二定义，基础题。
5．（2009江西理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．12D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得c e a ==，故选B6．（2000全国11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A ．2a B ．a 21C ．4aD ．a47．（2005山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x += 的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．（2004全国3理7）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A. 5D.549．3 ．（2012浙江理）如图,F 1,F 2分别是双曲线C:22221x y a b-=(a ,b >0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是（ ）A B C D二、填空题10．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为11． 抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为二次函数221y x x =++的图象的顶点，则此抛物线的方程为 ___12．若直线2+=kx y 与抛物线x y 42=仅有一个公共点，则实数=k .13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的 离心率为 ．14．已知点M 与双曲线191622=-y x 的左，右焦点的距离之比为3:2，则点M 的轨迹方程为 .15．若双曲线的焦点坐标为()5,0-和()5,0，渐近线的方程为430x y ±=，则双曲线的标准方程为 。
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2000全国11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A ．2a B ．a21 C ．4a D ．a4 2．（2006）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．43．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）（2003京春文9，理5）二、填空题4．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ☆5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．（2002天津理，14）6． 抛物线过直线 0x y += 与圆 2240x y y ++= 的交点，且关于y 轴对称，则此抛物线的方程为 ．B7．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是；分析：椭圆的基本量的应用，利用条件建立不等关系.3.8． 如图，在ABC ∆中， 30=∠=∠CBA CAB ，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ▲ .9．若双曲线经过点，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ .10．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22所围成的三角形区域(包括边界)为E ，P (x ，y )为该区域内的一动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，则其与直线x ＝22的交点为⎝⎛⎭⎫22，22和 ⎝⎛⎭⎫22，－22，所以可求得目标函数z ＝x －2y 的最小值为－22.11．命题p ：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线)0(12222>>=-b a by a x ，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.12．点M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P,Q ，若△PQM 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_▲_．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O 、F 、A ，右准线与x 轴的交点为H ，则FAOH的最大值为 14．已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是15．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为 2416．椭圆7x 2＋16y 2＝112的焦点坐标是________________.(3,0)±17．已知F 1、F 2是双曲线-y 2=1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为1时,·的值为________________.【答案】 18．1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点.（I ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．20．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，且(OA OB O ⊥为坐标原点)，若椭圆的离心率]22,21[∈e ，则a 的最大值为 ． 21．经过点(30)，的直线l 与抛物线22x y =两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜率k 等于________22．已知点(02)A ，,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p =_________23．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为____________24．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________. 三、解答题25．已知椭圆中心在原点，上顶点为(0,1)A ，右焦点为(1,0)F ，右准线为l ，l 与x 轴交于P 点，直线AF 交椭圆与点B ．（1）求椭圆的方程；（2）求证：PF 是APB ∠的平分线；（3）在l 上任意取一点Q ，求证：直线,,AQ FQ BQ 的斜率成等差数列．xy O ABF 1F 2 (第11题第19题图26．在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,右顶点为A ,直线BC 过原点O ,且点B 在x 轴上方,直线AB 与AC 分别交直线:1l x a =+于点,E F .（1）若点B ,求ABC ∆的面积；（2）若点B 为动点,设直线AB 与AC 的斜率分别为12,k k . ①试探究12k k ⋅是否为定值.若为定值，请求出值；若不为定值,请说明理由.②求AEF ∆的面积的最小值.27．（10分）如图，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），下顶点为A（0，﹣b ），直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，与椭圆的另一个交点为点C ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆的离心率；（2）若FC=，求椭圆的方程．28． （16分）椭圆22221(0)x y a b a y+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线//AB OM （1）、求椭圆的离心率e ；（2）、设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，1F 是左焦点，求12FQF ∠的取值范围29．(本小题满分14分)已知椭圆1:C 22+=143x y ,其左准线为1l ，右准线为2l ，抛物线2C 以坐标原点O 为顶点，2l 为准线，2C 交1l 于,A B 两点.（1） 求抛物线2C 的标准方程； （2） 求线段AB 的长度.30．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过(M N 两点； (1）求椭圆的方程；(2）在椭圆上是否存在点P （x,y ）,使P 到定点A （a ,0）(其中9＜a ＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明（本小题满分14分）。
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（1996全国文9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A ．3422y x +＝1 B ．4322y x +＝1C ．42x ＋y 2＝1 D ．x 2＋42y ＝12．椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =13．(2004安徽春季理)（3）已知F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点；M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝600，则椭圆的离心率为（ ） （A ）21（B ）22 （C ）33 （D ）234．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B 、2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、)二、填空题5．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上动点A 作水平直径所在直线的垂线AB ，垂足为点B ,若1,2AM AB =则点M 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 ．6．已知双曲线2222(0)mx my m -=≠的一条准线方程是1y =，则实数m = ．7．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.8．直线x t =过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．如图，1F ，2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．10．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P Q 、两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11 ．11．过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .12．已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科) 关键字：求离心率的取值范围；特殊法；解不等式 答案.D13．已知曲线C 1方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于 点B ，AB ＝3，则直线AB 的斜率为________．解析：如图，由题意可知，C 2为双曲线的右焦点，BA 为圆C 2 的切线，于是，AC 2＝1，AB ＝3，所以BC 2＝2，易知B 为双 曲线的右顶点，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由直线 AB 与圆C 2相切得|3k －k |k 2＋1＝1，又k >0，所以k ＝33.14．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足02e <≤，则长轴长的最大值等于________15．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于16．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . （1998全国，16）17．双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 . （2001全国，14）18．直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.（2003上海春，4）三、解答题19．设椭圆C 1：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：12-=x y 与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．答案: （Ⅰ）22154x y +=（Ⅱ）5试题分析：（Ⅰ）解：由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b=2． 令y=0得210x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c=1．所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为22154x y +=．…………4分 （Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--．……………………………5分代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12PQ x =-==．………………………………7分设点M 到直线PQ 的距离为d，则d ==9分所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅21t +===5≤=………………11分 当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意． 综上可知，MPQ ∆．…………………………12分 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为 )0,1(1-F ，)0,1(2F ， 左、右顶点分别为A ，B ，离心率为33，动点P 到1F ，2F 的距离的平方和为6．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若），（3,3C ，），（3,3D -，Q 为椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AQ ，BQ分别交直线CD 于点M ，N ． (i)当直线AQ 的斜率为21时，求AMN ∆ 的面积； (ii)求证：对任意的动点Q ，CN DM ⋅为定值．21．（本题满分16分） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶ 在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．22．（本题满分15分）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，且211F F PF ⊥，314,3421==PF PF . （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.23．（本题满分14分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点为21,A A ，上下顶点为21,B B ， 左右焦点为21,F F ，若211F B F ∆为等腰直角三角形 （1）求椭圆的离心率（2）若211A B A ∆的面积为62，求椭圆的方程24．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.25．已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为45，且过点 （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 分别切椭圆C 与圆222:M x y R +=（其中35R <<）于A 、B 两点，求|AB|的最大值。
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点.（1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ．（1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是(1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率e ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为x =（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． （1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b=>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||3AB =，求直线l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。
（完整版）圆锥曲线⾼考真题（1）求M 的⽅程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离⼼率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平⾏四边⾏？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍，求AB 中点的轨迹⽅程.5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的⽅程．6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上⼀点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离⼼率为，且经过点(0,1)，圆22221:C x y a b +=+。
2019-2020年高考数学大题专题练习圆锥曲线(一)2 21设F1, F2为椭圆7吕1的左、右焦点，动点P的坐标为(一1,m)，过点F2的直线与椭圆交于A, B两点•(1 )求F1 , F2的坐标；(2)若直线PA, PF2, PB的斜率之和为有整数值•2X 22•已知椭圆y 1 , P是椭圆的上顶点•过P作斜率为4k (k M0)的直线I交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B.(1 )求厶PAB面积的最大值；(2)设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围3•已知椭圆C2 2a2+b y2=1(a>b>0)的离心率为，定点M (2,0)，椭圆短轴的端点是B , B2，且MB1 MB2•(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A, B两点，试问x轴上是否存在定点P , 使PM平分Z APB ?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由•2 2x_ 乂1 4•已知椭圆C的标准方程为16 12，点E(0,1).3n(1)经过点E且倾斜角为一的直线I与椭圆C交于A、B两点，求|AB| .4(2)问是否存在直线P与椭圆交于两点M、N且|ME | |NE |，若存在，求出直线P斜率的取值范围；若不存在说明理由.5•椭圆G与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率e= ，并2 且C2的短轴为G的长轴，G与C2的四个焦点构成的四边形面积是 2 2 •(1)求椭圆G与C2的方程；⑵设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆G长轴两个顶点A , B的连线PA , PB分别与椭圆G交于E , F点•(i) 求证：直线PA , PB斜率之积为常数；(ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由•6•椭圆C 一个焦点为F(1,°)，离心率(I)求椭圆C的方程式.(n )定点M(0,2) , P为椭圆C上的动点，求|MP|的最大值；并求出取最大值时P点的坐标求.(川)定直线l：x 2 , P为椭圆C上的动点，证明点P到F(1,0)的距离与到定直线I的距离的比值为常数，并求出此常数值.7•如图，已知椭圆0)的右准线I的方程为xr-，焦距为2「3. 3(1)求椭圆C的方程;(2)过定点B(1,0)作直线I与椭圆C交于点P,Q (异于椭圆C的左、右顶点A,A2)两点，设直线PA,与直线QA2相交于点M .①若M (4,2)，试求点P,Q的坐标;②求证：点M始终在一条直线上2 28•设椭圆丰专1(a 3)的右焦点为F ,右顶点为A ,已知(I)求椭圆的方程;(n)设过点 A 的直线I 与椭圆交于点 B ( B 不在x 轴上)，垂直于I 的直线与I 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ，且 MOA MAO ，求直线l 的斜率的取值范围2 2X y9•已知椭圆C:1的右焦点为F ,右顶点为A ，离心离为e ，点P(m,0)(m16 12|AP| (I)求m 的值.(n)设过点F 的直线I 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记△ PMF 和A PNF 的面积分别为r r与经过点B( m,0)，以b 4a 为方向向量的直线交于点 P ，其中 R . (1 )求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E .(2)若点C(1,0)，当m 2 2时，M 为轨迹E 上任意一点，求| MC |的最小值.1 1 |OT| foAi，其中0为原点，e 为椭圆的离心率|FA|4)满足S 、5，求证:51 | PM | 52 |PN |10•已知常数m r a尾向O\17(m,0)经过点A(m,O)，以a b 为方向向量的直线11.已知椭圆的中心在坐标原点°，焦点在X轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与X轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点.(I )求椭圆的方程.(n)当直线I的斜率为1时，求△ POQ的面积.(川)在线段°F上是否存在点M (m,0)，使得经MP , MQ为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.12.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于2，它的一个顶点恰好在抛物线X 8y的准线上.I求椭圆C的标准方程.n点P(2,「3) , Q(2, , 3)在椭圆上，A , B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.⑴若直线AB的斜率为乜，求四边形APBQ面积的最大值.6(ii)当A , B运动时，满足/ APQ / BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.(I)求椭圆M 的方程.(H)若椭圆 M 上存在点B 、C 关于直线y kx 1对称，求k 的所有取值构成的集合 S ,并证明对于 k S ，BC 的中点恒在一条定直线上.(1 )求椭圆C 的标准方程.定值；若不为定值，说明理由.(。
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、填空题1．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线与x 轴的交点为P ，点A 为其短轴的一个端点，若PA 的中点在椭圆C 上，则椭圆的离心率为 ▲ ．2．已知双曲线12222=-y x 的左准线过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点，并与该椭圆交于A 、B 两点，已知AB =3，若该椭圆上的点到直线m x y +=的最小距离为1，则实数m 的值是 ．3．若R k ∈，则3>k 是方程13322=+--k y k x 表示双曲线的 充分不必要 条件。
4．与双曲线12222=-y x 有相同的焦点,且离心率互为倒数的椭圆的方程为 .5．若17222=-y x ，点),(y x P 到点)0,3(-的距离为23，则点P 到点)0,3(的距离为 6．如图2所示，F 为双曲线C:=1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i(i=1,2,3)关于y 轴对称，则|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|-|P 4F|-|P 5F|-|P 6F|的值是图2A.9B.16C.18D.277．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ．命题甲：“a MF MF 2||||21=-（a 为常数）”；命题乙：“ M 点轨迹是F 1、F 2为焦点的双曲线”．则甲是乙的 ▲ ．条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)8．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为__________________.9．已知P 是椭圆16410022=+y x 上一点，21F F 、为该椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为10．已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 23=，则m 的值为 .11．已知抛物线C ：()220y px p =>的准线为l ，过点()1,0M l 相 交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p = ．12． P 为椭圆2212516x y +=上一点,12,F F 分别为其左,右焦点,则12PF F ∆周长为 ▲ ．13．已知双曲线032122=+-=-y x ay x 的一条渐近线与直线垂直，则a=14．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 1，F 2分别在双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的左、右准线上，则椭圆的离心率e ＝ ▲ ．二、解答题15．（本小题满分16分）已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =，NP DM ⋅=0，动点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的最大值．16．在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线px y 22=横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5。
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆2222:10x y C a b ab 的离心率为53，定点2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率22e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率22e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为433x =，焦距为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． （1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b=>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =，求直线l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。
求证|MF |:|NF |为定值.17.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点，A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：8x =，且1AA l ⊥，垂足为A 1，1BB l ⊥，垂足为B 1，若(3,0)D ，且△A 1B 1D 的面积是△ABD 面积的5倍，求△ABD 面积的最大值．试卷答案1.解：（Ⅰ）1F (1,0)-，2F (1,0)（Ⅱ）（i ）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知m =0.（ii ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y . 由题意得121, 1.x x ≠-≠- 直线P A 的斜率为1111()11y m kx k m x x --+=++；直线2PF 的斜率为2m-； 直线PB 的斜率为2222()11y m kx k m x x --+=++. 由题意得1212()()()0121kx k m kx k m m x x -+-++-+=++.化简整理得1212(4)3()(45)0.(*)k m x x m x x k m --+-+= 将直线AB 的方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=.由韦达定理得221212228412,.4343k k x x x x k k -+==++ 代入(*)并化简整理得216200k m k m ++=.从而220.161km k =-+当0k =时，0m =；当0k ≠时，220||5||.1612k m k =≤=+故m 的所有整数值是－2,－1,0,1,2.2.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点(),P 01，设点A 为(),x y 00.因为B 是A 关于原点O 的对称点，所以点B 为(),x y --00.设PAB ∆的面积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x ∆∆∆=+==⨯=0001222. 因为x -≤≤022，所以当x =±02时，S 有最大值2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,P B x y x --≠000010且)y ≠-01. 所以，直线PB 的斜率为y x +001，线段PB 的中点为,x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭00122，于是PB 的中垂线方程为y x x y x y -⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭00001212. 令x =0，得N 的纵坐标()N x y y y --=+22000121.又直线l 的方程为y kx =+1，将方程代入x y +=2214并化简得()k x kx ++=221480. 由题意，,,k k x y k k-=-=++200228141414 所以，()()()N k k k k k y k k k ----++==--+++222222222814112141414142114. 因为点N 在椭圆内部，所以k k-<-<+22121114.解得k -<<44. 又由已知k ≠0，所以斜率k的取值范围是()(,)-20044. 3.(1)由222222519a b b ea a ，23b a ， 依题意，12MB B △是等腰直角三角形， 从而2b ，故3a ，所以椭圆C 的方程是22194x y .(2)设11,A x y ，22,B x y ，直线AB 的方程为2x my ， 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得：224916200m y my ，1221649my y m ，1222049y y m ， 若PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0PA PBK K ，设,0P n ，则有12120y y x nx n，将112x my ，222x my 代入得，1212220my y ny y ，整理得290n m ，由于上式对任意实数m 都成立，所以92n . 综上，存在定点9,02P ，使PM 平分APB ∠.4.解：（Ⅰ）l 经过点(0,1)E 且倾斜角为3π4， 所以直线l 的方程为1y x =-+，联立22111612y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩或227157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴||7AB =． （Ⅱ）设直线:p y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得：2211612y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84480k x kmx m +++-=， ∴2222644(34)(448)0k m k m ∆=-+->， ∴221612k m +>，∴122834km x x k -+=+，212244834m x x k-=+， 设MN 中点00(,)F x y ， ∴12024234x x km x k +-==+，002334m y kx m k =+=+， ∵||||ME NE =，∴EF MN ⊥，∴1EFk k ⋅=-，∴2231341434mk k km k -+⋅=--+， ∴2(43)m k =-+代入①可得：2221612(43)k k +>+， ∴4216830k k +-<，解得1122k -<<．故直线p 斜率的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．5.(1)依题意22e，设22122:12x y C b b ，22222:124x y C b b ，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积1222222S b b ，解得：21b . 所以椭圆221:12x C y，222:124x y C . (2)(i)设00,P x y ，则2200124x y ，2,0A，2,0B.002PAy k x ，002PBy k x .所以：2200220042222PA PBy x k k x x .直线PA ，PB 斜率之积为常数2. (ii)设11,E x y ，则221112x y . 112EAy k x ，112EBy k x ，所以：221122101112222EA EBx y k k x x ，同理：12FA FB k k ， 所以：14FA FB FA FBk k k k ，由EA PA k k ，FBPB k k ，结合(i)有18EA FB k k .6.解：（Ⅰ）根据题意得1c =，22c e a ==， ∴2a =，1c =，1b =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设P 点坐标为10(,)x y ，则220012x y +=，2222220000000||(2)22(2)46(2)10MP x y y y y y y +--+---+-++∵011y -≤≤，∴当01y =-时，MP 取得最大值3．∴||MP 最大值为3，此时P 点坐标为(0,1)-．（Ⅲ）设P 点(,)x y ，则2212x y +=，P 点到(1,0)F的距离为：=)x ==-， P 到直线2x =的距离为2x -，∵)22x x -=- 故P 到(1,0)F．7.解:⑴由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===2222322334c b a c ca 得 ⎩⎨⎧==12b a 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵①因为()12,0A -，()22,0A ，()4,2M ，所以1MA 的方程为1(2)3y x =+，代入2244x y +=，22144[(2)]03x x -+=+，即4(2)[(2)(2)]09x x x -=+++，因为12A x =-，所以1013P x =，则1213P y =，所以点P 的坐标为1012(,)1313． 同理可得点Q 的坐标为64(,)55-．②设点()00,M x y ，由题意，02x ≠±．因为()12,0A -，()22,0A ， 所以直线1MA 的方程为00(2)2y y x x =++，代入2244x y +=，得220044[(2)]02yx x x -+=++，即2204(2)[(2)(2)]0(2)y x x x x -=++++，因为12A x =-，所以2022002220002082(2)4(2)24241(2)P y x x x y x y x -+==-++(+)++，则0022004(2)(2)4P x y y x y +=++，故点P 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y +-+++++． 同理可得点Q 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y ---+-+--+． 因为P ，Q ，B 三点共线，所以PB QB k k =，11Q PP Q y y x x =--． 所以()()0000222200002200222200004(2)4(2)(2)4(2)44(2)422121(2)424x y x y x y x y x x x y x y +--++-+=--+----++++，即000022220000(2)(2)(2)123(2)4x y x y x y x y +--=+---+， 由题意，00y ≠，所以002222000022(2)123(2)4x x x y x y +-=+---． 即2222000000003(2)(2)4(2)(2)(2)12(2)x x x y x x x y +--+=-+--．所以22000(4)(1)04x x y -+-=，则040x -=或220014x y +=．若220014x y +=，则点M 在椭圆上，P ，Q ，M 为同一点，不合题意．故04x =，即点M 始终在定直线4x =上．16分8.（Ⅰ）解：设F (c ，0)，由|FA |e|OA ||OF |311=+，即)(311c a a c a c -=+，可得a 2－c 2=3c 2，又a 2－c 2=b 2=3，所以c 2=1，因此a 2=4.所以，椭圆的方程为13422=+y x . （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B .由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=. 设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .9.解：（Ⅰ）∵椭圆C 的方程为2211612x y +=，∴4a =，b =2c =， ∴12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-， ∵||21||42FA AP m ==-， ∴8m =．（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则有12S S =，||||PM PN =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616480k x k x k +-+-=， 可知0∆>恒成立，且21221643k x x k +=+，2122164843k x x k -=+，∵12121212(2)(2)8888PM PN y y k x k x k k x x x x --+=+=+---- 122112(2)(8)(2)(8)(8)(8)k x x k x x x x --+--=--121212210()32(8)(8)kx x k x x kx x -++=--2222121648162103243430(8)(8)k k k k k k k x x -⋅-⋅+++==--，∴MPF NPF =∠∠，∵PMF △和PNF △的面积分别为：11||||sin 2S PF PM MPF =∠，21||||sin 2S PF PN NPF =∠， ∴12||||S PM S PN =．10.解：（1）∵(,)a b m λλ+=， ∴直线AP 的方程为：()y x m mλ=-①式，又4(,4)b a m λλ-=-， ∴直线BP 的方程为：4()y x m mλ=-+②式， 由①式，②式消去入得22224()y x m m =--，即22214x y m +=，故点P 的轨迹方程为22214x y m +=．当2m =时，轨迹E 是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，当2m >时，轨迹E是以原点为中心，以(为焦点的椭圆， 当02m <<时，轨迹E是以原点为中心，以(0,为焦点的椭圆． （2）当m =时，22184x y +=，∵M 为轨迹E 是任意一点， ∴设,2sin )M θθ，∴||MC=∵cos [1,1]θ∈-，∴当cos θ=时，||MC11.（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b +=>>，∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴1b c ==，a =，故所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩得，23210y y +-=，解得11y =-，213y =，∴1212112||||||223DOQ S OF y y y y =⋅-=-=△． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<， 使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 由22221x y y kx ⎧+=⎨=-⎩可得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，11(,)MP x m y =-，22(,)MQ x m y =-，2121(,)PQ x x y y =--，其中210x x -≠，以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形()MP MQ PQ ⇔+⊥， ∴()0MP MQ PQ +⋅=，即12211221(2)()()()0x x m x x y y y y +-+++-=， ∴1212(2)()0x x m k y y +-++=，∴22222442201212k k m k k k ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得222(24)0k k m -+=， ∴22(0)12k m k k =≠+，∴102m <<．12.解：Ⅰ设椭圆C 的标准方程为2221(0)x y a b a b2+=>>，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线2y =-上， ∴2b -=-，即2b =， 又∵c a =222a b c =+， ∴4a =，c =故椭圆C 的标准方程为221164x y +=． Ⅱ（i ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB的方程为y x t =+，联立22416y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得223120x t +-=， 由0∆>，计算得出t <<，∴12x x +=，212312x x t =-，∴12||x x -==∴四边形APBQ的面积121||2S x x =⨯-，当0t =时，max 12S =．（ii ）∵APQ BPQ =∠∠，则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为k -，直线PA的方程为：(2)y k x -=-，联立22(2)416y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)82)2)160k x k k x k +++-=，∴12x +=同理可得：22x + ∴212216414k x x k -+=+，12x x -12121212()4AB y y k x x k k x x x x -+-===-- ∴直线AB．13.（1）∵椭圆M 过点(0,1)A -，∴1b =．∵=c e a =222a b c =+，∴2a =． ∴椭圆M 的方程为2214x y =+．（2）依题意得0k ≠，因为椭圆M 上存在点B ，C 关于直线1y kx =-对称， 所以直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上，设直线BC 的方程为1y x t k =-+，11(,)B x y ，22(,)C x y ．由22144y x t kx y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩++，得22222(4)8440k x ktx k t k --=++． 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=--=->++，得22240k t k --<． ∵12284ktx x k =++， ∴BC 的中点坐标为2224,44kt k t k k ⎛⎫⎪⎝⎭++．又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，∴2224144k t ktk k k =⋅-++，∴22314k t k =+，代入22240k t k --<，得k <或k ．∴S k k ⎧⎪=<⎨⎪⎩k >⎪⎭．∵22143k t k =+， ∴对于k S ∀∈，线段BC 的中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上．14.（1）由12e =，得2a c =， 又222a b c =+，∴b =， ∴椭圆2222:431x y C c c +=．∵点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在c上，∴22914143c c +=，得1c =， ∴2a =，b∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x P ⎛ ⎝，22x Q ⎛ ⎝，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=， 即1212043x x y y +=①， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得222(34)84(3)0k x mk m +++-=，由22226416(34)(3)0k m k m ∆=-+->，得22340k m +->．而122834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+，②所以22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+③， 将②③代入①得222224(3)3(4)04(34)4(34)m m k k k --+=++，即22243m k -=． 又∵||AB ，原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =∴1||2AOBS AB d ==△， 把22243m k -=代入上式得AOB S =△ 故AOB △15.（1）由题意可得2221b ca abc =⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+，解得a 1b c ==，∴椭圆C 的方程为2212x y =+．（2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，消去y 得2222(21)4220k x k x k --=++， 2122421k x x k =++，21222221k x x k -=+．∵423AB =， ∴22222242242(1)421213k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢-⋅⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+++，化简得427250k k --=即22(1)(75)0k k -=+， 解得1k =±．故直线l 的方程为1y x =-或1y x =--．（3）由（2）可知(0,1)A -，41,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，假设存在点(,0)M m ，设00(,)T x y ，则220000001244()033122x y x m y x m y ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩+++，解得26(0,1)2m ±=∉， 故不存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形．16.（1）设动圆圆心为，半径为 ∵两个定圆为和∴其圆心分别为，，半径分别为，∵∴两个定圆相内含 ∵动圆与两个圆均相切 ∴，∴∴动点的轨迹为以，为焦点，以4为长轴长的椭圆∴曲线的方程为（2）当，平行于坐标轴时，可知当，不平行于坐标轴时，设，将的方程代入曲线的方程中消去化简得：∴，同理可得，由直线中令可得①∵与曲线交于，两点，与曲线交于，两点∴，代入①式化简得∴同理可得∵∴综上所述，17.（1）依题意222221,21231,,c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得4,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1|3|||2ABD A B S r y y ∆=-⋅-，111115||2A B D A B S y y ∆=⨯⨯-， 由于115A B D ABD S S ∆∆=且11||||A B A B y y y y -=-， 得55|3|r =⨯-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点(2,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+， 由222,3448,x my x y =+⎧⎨+=⎩即22(34)12360m y my ++-=， 1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+，121||2ABD S y y ∆=-===，令1t =≥，所以212121313ABD t S t t t∆==++， 因为11333()t t t t+=+，所以13t t +在)+∞上单调递增，所以在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以134t t+≥，所以3ABD S ∆≤（当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立）， 故ABD S ∆的最大值为3．。
