高中数学复习专题讲座(第23讲)关于求圆锥曲线方程的方法

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。

(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

第23讲 齐次化处理一、解答题1．如图，设点A 和B 为抛物线y 2=4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ．求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．2．已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的焦点是(、，且椭圆经过点。

（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点． 3．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.4．（2015•山西四模）分别过椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点M ，N ，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M 、N 点坐标，若不存在，说明理由．5．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.6．已知点P 3(1,)2-是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论7．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()0,1A -，且离心率为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）若经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．8．已知椭圆方程为2218y x +=，射线y =（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．9．已知椭圆两焦点分别为F 1、F 2、P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；（3）求△PAB 面积的最大值．10．已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点为，且过点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过点P 作倾斜角互补的两条不同直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率是定值.11．已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线P A 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．12．如图，椭圆C ：经过点P （1，），离心率e=，直线l 的方程为x=4．（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．13．如图，椭圆C:22221x y a b+=（a ＞b ＞0）经过点P （2,3），离心率e=12，直线l 的方程为y=4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）AB 是经过（0,3）的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得12311k k k λ+=？若存在，求λ的值． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的右顶点为（2，0），离心率为2，P 是直线x ＝4上任一点，过点M （1，0）且与PM 垂直的直线交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若P 点的坐标为（4，3），求弦AB 的长度；（3）设直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1+k 3＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．15．已知椭圆C:22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 10）、F 20）.点M （1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点N 的坐标为（3，2），点P 的坐标为（m ，n ）（m≠3）.过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设直线AN 、NP 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，若k 1＋k 3＝2k 2，试求m ，n 满足的关系式.16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(F F 、，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N (3，2)，记直线AN 、BN 的斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值．17．已知椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）经过点P （﹣2，0）分别作斜率为k 1，k 2的两条直线，两直线分别与椭圆E 交于M ，N 两点，当直线MN 与y 轴垂直时，求k 1×k 2的值． 18．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶点，点B 为上顶点，|AB ||AF 1|+|AF 2|＝4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2作直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记AM 、AN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2＝3，求直线l 的方程.19．设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．20．椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率12 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点P 是圆()2220x y r r +=>上异于点(),0A r -和(),0B r 的任一点，直线AP 与椭圆E 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆E 交于点S ，T .设O 为坐标原点，直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率分别为OM k ，ON k ，OS k ，OT k .问：是否存在常数r ，使得OM ON OS OT k k k k +=+恒成立？若存在，求r 的值；若不存在，请说明理由.21．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点2，设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56AFB π∠=． （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点13M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆的方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.23．已知圆22:(1)16D x y ++=，圆C 过点(1,0)B 且与圆D 相切，设圆心C 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）点(2,0)A -，,P Q 为曲线E 上的两点（不与点A 重合），记直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若122k k =，请判断直线PQ 是否过定点. 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．24．在直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率存在，纵截距为2-的直线l 与椭圆C 相交于AB 、两点，若直线,AP BP 的斜率均存在，求证：直线,,AP OP BP 的斜率依次成等差数列．25．已知椭圆E ：22221x y a b +=(0a b >>)经过点2⎭，离心率为12. （1）求E 的方程；（2）若点P 是椭圆E 的左顶点，直线l 交E 于异于点P 的A ，B 两点，直线PA 和PB 的斜率之积为14-，求PAB △面积的最大值. 26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,0P -,直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点(异于点P ).当直线l 经过原点时,直线,PA PB 斜率之积为34-. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线,PA PB 斜率之积为14-,求AB 的最小值.。

圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 2121y y k x x -=- ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 0022Ax By C d A B++=+③夹角公式：直线111222::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离 ①222121()()AB x x y y =-+-②2121AB k x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++- ③12211AB y k =+- （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）111222::l y k x b l y k x b =+=+①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且（Ⅱ）11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=①1212120l l A A B B ⊥⇔+=② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111222A B C A B C =≠者（2220A B C ≠）两平行线距离公式1122::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩距离d = 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离1222d A B =+2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析解圆锥曲线方程是高中数学中的重要内容之一。

在本文中，我将介绍解圆锥曲线方程的方法和实例分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

解圆锥曲线方程的关键是确定曲线的形状和位置，以及找到曲线上的特殊点。

下面我将分别介绍解椭圆、双曲线和抛物线方程的方法，并通过具体题目进行分析。

一、解椭圆方程的方法和实例分析椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示椭圆的半长轴和半短轴。

解椭圆方程的关键是确定椭圆的半长轴和半短轴，以及椭圆的中心坐标。

我们可以通过以下步骤进行解题：1. 比较给定方程与一般方程的形式，确定$a$和$b$的值。

例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，比较可知$a=2$，$b=3$。

因此，椭圆的半长轴为2，半短轴为3。

2. 确定椭圆的中心坐标。

椭圆的中心坐标为$(h, k)$，其中$h$和$k$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的坐标。

例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，可知椭圆的中心坐标为$(0, 0)$。

3. 确定椭圆的形状和位置。

$a>b$时，椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴；当$a<b$时，椭圆的长轴平行于$y$轴，短轴平行于$x$轴。

例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，由于$a=2>b=3$，所以椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴。

通过以上步骤，我们可以得到椭圆的形状、位置和中心坐标。

进一步地，我们可以通过计算椭圆上的特殊点，如焦点、顶点等，来进一步分析和应用椭圆的性质。

二、解双曲线方程的方法和实例分析双曲线的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示双曲线的半长轴和半短轴。

高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程解 如图，建立直角坐标系xOy ,使AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴设双曲线方程为2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0),则a =21AA ′=7又设B (11,y 1),C (9,x 2)因为点B 、C 在双曲线上，所以有179,17112222222122=-=-by b y 由题意，知y 2－y 1=20,由以上三式得 y 1=－12,y 2=8,b =72故双曲线方程为984922y x -=1 且离心率为22的椭圆C 相例2过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式 解法二，用韦达定理20 m 22 m14 m 18 m C A B B ' C 'A'C ABB'C'A'oy x1y=12x B Aoy x解法一 由e =22=a c ,得21222=-ab a ,从而a 2=2b 2,c =b 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－002y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,于是－002y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=89,1692=a ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1 解法二 由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－2212kk+ 直线l y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-,解得k =0，或k =－1 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一例3如图，已知△P 1OP 2的面积为427，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 △P 1OP 2的面积是学生感到困难的技巧与方法 利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建立关于参数a 、b 的两个方程，从而求出a 、b 的值解 以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系PP 1P 2o P 1y设双曲线方程为2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ，得23=a b ∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－23x 设点P 1(x 1,23x 1),P 2(x 2,－23x 2)(x 1＞0,x 2＞0),则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2,得P 点坐标为(22,322121x x x x -+),又点P 在双曲线222294a y a x -=1上，所以222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1,即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①,427131241321sin ||||211312491232tan 1tan 2sin 21349||,21349||212121*********212121121=⋅⋅=⋅⋅=∴=+⨯=+==+==+=∆x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2=29 ②由①、②得a 2=4,b 2=9故双曲线方程为9422y x -=1 例 4 双曲线2224b y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________解析 设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ),则 |PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317, 又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1答案 1 学生巩固练习1 已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则m 等于( ) A 3 B －3 C 1 D －12 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( )12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 3 直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________4 已知圆过点P (4，－2)、Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________5 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=3104，试求椭圆的方程 6 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0)，C 27 已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C 2的的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB的方程和椭圆C 2的方程 参考答案:1 解析 将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得(3－2y )2+y 2+(3－2y )+m =0整理得5y 2－20y +12+m =0,设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)则y 1y 2=512m+,y 1+y 2=4 又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上，∴x 1x 2=(3－2y 1)(3－2y 2)=4y 1y 2－6(y 1+y 2)+9故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6(y 1+y 2)+9=m －3=0，故m =3 答案 A2 解析 由题意，可设椭圆方程为 2222bx a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250bx b y ++=1 将直线3x －y －2=0代入，整理成关于x 的二次方程 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75 答案 C3 解析 所求椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P 使|PF 1|+|PF 2|最小，利用对称性可解 答案 4522y x + =1 4 解析 设所求圆的方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2BFEDCA则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(r a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程答案 x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=05 解 |MF |max =a +c ,|MF |min =a －c ,则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2,∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y ax ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m ②将②代入①得 (4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0 ③设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0),则x 0=21(x 1+x 2)=224a m a +,y 0=－x 0+m =244a m + 代入y =x ,得222444ama m a +=+, 由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244a a +,又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为 4522y x + =1 6 解 以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p =12 5, 于是抛物线方程为x 2=－25y由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0 16,从而|EE ′|=(－0 16)－(－4)=3 84 故最长支柱长应为3 84米7 解 由e =22,可设椭圆方程为22222by b x +=1,又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又2222222212212,12b y b x b y b x +=+=1,两式相减，得22221222212byy b x x -+-=0, 即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3,代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0 有Δ=24b 2－72＞0,F'E'D'C'BFE D C A oyx又|AB |=3204)(221221=-+x x x x , 得3209722422=-⋅b ，解得b 2=8 故所求椭圆方程为81622y x +=1 课前后备注BAoy x选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。

圆锥曲线的解题方法圆锥曲线是由一个点（焦点）和一条直线（直接rixian）固定的比例关系确定的几何图形。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。

解题方法通常包括以下几个步骤：1.通过已知条件确定圆锥曲线的方程形式。

2.根据方程形式求曲线的基本性质。

3.分析曲线在平面内的位置。

4.求解特定问题或条件下的未知量。

下面将详细介绍每个步骤的具体方法。

第一步：通过已知条件确定圆锥曲线的方程形式在解题前，我们需要先了解圆锥曲线的方程形式。

椭圆的方程形式是(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，抛物线的方程是y=ax²+bx+c，双曲线的方程形式是(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1根据题目所给的已知条件，我们可以通过将已知点代入方程或通过几何性质推导来确定方程形式。

第二步：根据方程形式求曲线的基本性质求解圆锥曲线的基本性质包括确定焦点、准线、顶点、离心率等。

对于任意给定的方程，可以通过系数的比较或将方程化为标准形式来确定这些性质。

例如对于椭圆，我们可以通过比较方程的分子分母系数来找到焦点和准线的位置。

焦点的坐标为(h±ae, k)，准线的方程为x=h±a/e。

顶点的位置可以通过移项和配方得到。

离心率可以通过方程中a、b的比值来确定。

类似地，对于抛物线，我们可以通过方程的系数来确定焦点、准线和顶点的位置。

焦点的坐标为(h,k+p/a)，准线的方程为y=k-p，顶点的坐标为(h,k)。

对于双曲线，我们可以通过方程中a、b的比值来确定焦点、准线和顶点的位置。

焦点的坐标为(h±ae，k)，准线的方程为y=k±a/e，顶点的位置可以通过移项和配方得到。

离心率可以通过方程中a、b的比值来确定。

第三步：分析曲线在平面内的位置确定了曲线的基本性质后，我们可以进一步分析曲线在平面内的位置关系。

高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学中比较重要的内容，它是代数几何学的基础。

在学习圆锥曲线时，重要的是理解基本概念和性质，并掌握解题的方法和技巧。

1. 基本概念和性质圆锥曲线分为椭圆、双曲线、抛物线和直线四种类型，它们都是曲线体的截面。

椭圆的数学表达式为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线的数学表达式为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，抛物线的数学表达式为$y^2=2px$，直线的数学表达式为$y=kx+b$。

其中，$a$和$b$为椭圆和双曲线的半轴长，$p$为抛物线的焦距，$k$为直线斜率，$b$为截距。

圆锥曲线有一些重要的性质。

比如，椭圆和双曲线是对称图形，它们的对称轴是$x$轴和$y$轴。

抛物线有对称轴，它是与$x$轴垂直的直线。

直线没有对称轴。

此外，椭圆和双曲线可以通过旋转变换相互转化，抛物线可以通过平移变换得到，直线可以通过平移和旋转变换得到。

2. 解题方法和技巧（1）椭圆和双曲线的基本性质椭圆和双曲线有许多基本性质，掌握这些性质可以帮助我们解题。

比如，椭圆和双曲线的中心点坐标为$(0,0)$，它们的焦点在$x$轴上，即$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

双曲线的渐近线分别为$x=\pm\frac{a}{e}$，其中$e$为离心率。

在解题时，我们可以利用这些性质进行逆推和判断结果的合理性。

（2）抛物线的顶点和焦点抛物线有顶点和焦点两个重要的概念。

顶点坐标为$(0,\frac{p}{2})$，其中$p$为抛物线的焦距。

焦点的坐标为$(0,p)$。

当我们需要求出抛物线上的点与焦点之间的距离时，可以利用焦点和顶点的坐标和距离公式来求解。

（3）直线的斜率和截距直线的斜率和截距也是解题中的重要概念。

直线的斜率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta y$和$\Delta x$为直线的两个坐标差。

第23讲 怎样解圆锥曲线中的最值问题一、知识与方法与圆锥曲线有关的最值问题主要有以下几种类型.(1)圆锥曲线上的动点到某些定点或定直线的距离的最值问题.用几何特征转化为某一变量的函数关系通过求函数最值来解决.(2)圆锥曲线中某三角形或四边形面积的最值问题,往往转化为某一个(或两个)变量的函数关系,再通过求函数最值或运用基本不等式求最值来分析求解(3)与圆锥曲线有关的最值问题还可以用几何法求解,即利用圆锥曲线的定义转化为几何问题处理,或利用数形结合思想,挓掘表达式的几何特征进行求解.若与焦点弦有关,则可使用圆锥曲线的统一定义结合焦半径求解,或建极坐标系用极坐标方程解之更显简捷明快.上述问题中,第(1)(2)类运用的解题方法是代数法,即将圆锥曲线中的最值问题转化为函数最值问题,然后根据函数的特征选用参数法.配方法,判别式法,函数单调性法,三角换元法及基本不等式法等方法解之.二、典型例题【例1】(1)已知点(0,1)P ,椭圆2(14x y m m -+=>)上两点,A B 满足2AP PB =,则当m =________时,点B 横坐标的绝对值最大;(2)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________(3)函数2()1f x x x =-+________【分析】第(1)问,可以利用向量共线,实现点的坐标之间的转化,结合点在椭圆上,建立方程,应用二次函数的最值,求得相应的结论,也可以以軤率为参数或利用直线AB 的参数方程,运用基本不等式求解.第(2)问,数形结合,利用两平行直线的距离公式,使距离d 大于c 恒成立.则c d .第(3)问,通过构造图形,使函数的最值问题转化为解析几何中的最值问题. 【解析】(1)【解法一】设()()1122,,,A x y B x y ,由2AP PB =,得()12122,121,x x y y -=⎧⎨-=-⎩即12122,32x x y y =-=-.点,A B 在椭圆上()22222222432,4,4x y m x y m ⎧+-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩得213.44y m =+()222222159132(5)444244x m y m m m ∴=--=-+-=--+∴当5m =时,点B 横坐标的绝对值最大,最大值为2.【解法二】由条件知直线AB 的斜率存在,设()()1122,,,A x y B x y ,直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠.联立2214y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440.k x kx m +++-=由韦达定理得122841kx x k +=-+,①由2AP PB =知122x x =-.代入①式解得222288||88214141244||||k k x x k k k k =∴===+++. 此时214k =,又21222442841m x x x k -==-=-+,解得5m =. 【解法三】设直线AB 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数,α为直线AB 的倾斜角,将其代入椭圆方程化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=.设点,A B 对应的参数分别为12,t t ,则122t t =-,由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++,解得228sin 13sin t αα=+. ()222222222222264sin cos cos 4sin cos 1613sin 13sin 13sin x t αααααααα∴===⨯⋅+++ 22222cos 4sin 13sin 13sin 162αααα⎛⎫+ ⎪++⨯⎪⎪ ⎪⎝⎭4=. 此时22cos 4sin αα=,即222241cos ,sin .555t αα===,代入12122,t t t t =-=24413sin mα-+,解得 5.m =(2)设点(,)(1),P x y x 直线10x y -+=与等轴双曲线的渐近线0x y -=平行,∴点P 到直线10x y -+=的距离d恒大于直线10x y -+=与渐近线=0x y -之间的距离2=∴要使距离d 大于c 恒成立,即使22c ,故c. (3)所给函数变形得2() f x ==+22x x -- 2y x =上一点()2,P x x 到直线10x y --=和到点(3,5)A -的距离之和.如图268-所示,过点A 作直线10x y --=的垂线:20AH x y +-=交拋物线于1(2,4)P -或2(1,1)P .∴当,,A P H 三点共线时,||||||AP PH AH +=最小,进而()f x 取得最小值.|||()AHf x -==9=【例2】(1)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的拋物线22(0)y px p =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且||2||PM MF =,则直线OM 斜率的最大值为( )A.B.23D.1(2)椭圆2212516x y+=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是( ) A.11 C. D.9【分析】第(1)问,可以利用抛物线的参数方程结合基本不等式求最值,如果由条件||2||PM MF =联想到三角形重心,则可以得到巧妙的解法.第(2)问,由平面几何知识,椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离最大＝椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径,也可转化为求三角函数的最值,或者考虑222(6)x y R +-=与225x+2116y =相交的情况,用判别式法解决,下面只介绍三角法,其他解法读者可以一试. 【解析】(1)【解法一】1, 3FM FP ∴=解得22332,3pt p x pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22221131221212233OM ptt k ptp t t t ∴====+++当且仅当221t =时等号成立.则直线OM 斜率的最大值为2,故选C . 【解法二】由||2||PM MF =可以联想到三角形的重心.故特取(,)C P O .则点M 即为OPC 的重心.设点()00,.P x y 由重心公式可得点00,33p x y M +⎛⎫⎪⎝⎭, 则OMk 002000012.222y y y p y x p pp y p===+++当且仅当0y =时等号成立,故直线OM .故选C .(2)设圆22(6)1x y +-=的圆心为,(5cos ,4sin )O P θθ'是椭圆上的点. 则PO '==1259110⎛==--+= ⎝当且仅当sin 1θ=-时取等号,故所求距离最大值为11.【例3】已知圆C 经过点(2,0),(0,2)A B -,且圆心在直线y x =上,且直线:1l y kx =+与圆C 相交于,P Q 两点. (1)求圆C 的方程;(2)过点(0,1)作直线1l 与l 垂直,且直线1l 与圆C 交于,M N 两点,求四边形PMQN 面积的最大值.【分析】第(2)问,要求四边形PMQN 的面积,关键在于求出解析式,而求解析式的关键是选择合适的参数作自变量,选择直线l 的斜率k 是容易想到的,只要㧓住图形特征,得到函数()S f k =并不难.而如何求()S f k =的最值是个难点.通常需要进行一系列的变形オ能求出最值.如果结合平面几何知识和圆的有关定理可得简捷解法. 【解析】(1)设圆心(,)C a a ,半径为,r 圆经过点(2,0),(0,2),||||A B AC BC r -∴==,解得0,2,a r ==∴圆C 的方程是224x y +=.(2)【解法一】设四边形PMQN 的面积为S ,当直线l 的斜率0k =时,则1l 的斜率不存在,此时142S =⨯=当直线l 的斜率0k ≠时,设11:1l y x k=-+. 则221,4y kx x y =+⎧⎨+=⎩代入消元得()221230k x kx ++-=. ()22122122441(3)02131k k k x x k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪-⎪∴+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩12||PQ x =-==同理得到||MN ==211||||221PQ MN k =⨯=+12===== 222211172224,2122742k k S k k +++⋅=∴+=⨯=当且仅当1k =±时,等号成立,S ∴的最大值为7.【解法二】设圆心O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ,四边形PMQN的面积为S .1,l l 都经过点(0,1),且1l l ⊥,根据勾股定理,有2211;d d +=又根据垂径定理和勾股定理得到||2|2PQMN ==而1||||2S PQ MN =⨯,即1222S =⨯==2127⎛+== ⎝ 当且仅当1d d =时,等号成立. S ∴的最大值为7.三．易错警示【例】设双曲线的中心在坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为2,若点(0,5)P 到双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线方程. 【错解】52e =,则22225,24a b e a b a +==∴=. 又知准线平行于x 轴,则双曲线的方程为222214y x b b -=,设点(0,5)P 到双曲线上的点(,)Q x y 的距离为d ,则()222222215(5)4(5)(4)44d x y y b y y =+-=-+-=-25b +-∴当4y =时,2d 取得最小值25b -,由题设,得22254,1,4b b a -=∴==.因此,所求的双曲线方程为2214y x -=. 【评析及正解】上述解法是错误的,原因在2d 是y 的函数,因此,应该关注它的定义域,而上述解法没有考虑y 的取值范围. 正确的解法如下: 【解析】由双曲线的性质,有||2y b ,设2225()(4)54d f y y b ==-+-,需要考虑()f y 的图像的对称轴与y 的取值范围,即||2y b 的关系.(1)当42y b =,即02b <时,由于函数()f y 在[2,4)b 上单调递减,在[4,)+∞上单调递增,∴当4y =时,2d 取得最小值25b -.由题设,得22254,1,4b b a -=∴==.因此,所求的双曲线方程为2214y x -=. (2)当42y b =<即2b >时,函数()f y 在[2,)b +∞上单调递增.∴当2y b =时,2d 取得最小值2(2)(25)4f b b =-=,解得72b =或32b =(舍去).2249,494b a ∴==因此,所求的双曲线方程为22414949y x -=.综上所述,所求的双曲线方程为2214y x -=和22414949y x -=. 四、难题攻略【例】如图2-70所示,已知抛物线2:E x y =与圆222:(4)(0)M x y r r +-=>相交于,,,A B C D 这4点. (1)求r 的取值范围;(2)当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线,AC BD 的交点T 的坐标.【分析】先求出四边形ABCD 面积的函数解析式,再运用导数求该函数的最大值, 【解析】(1)将2y x =代入222(4)x y r +-=并化简得227160y y r -+-=.①拋物线E 与圆M 有 4个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根12,.y y 由此可得()2212212(7)416070160r y y y y r ⎧∆=--->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩解得215164r <<且0r >, r ∴的取值范围是4.⎫⎪⎪⎝⎭(2)不妨设E 与M 的4个交点的坐标是)()(11,,Ay B y C ,))22,y Dy则直线,AC BD的方程是11,y y x y y -=-=(x +解得点T的坐标是(.设t =由t =(1)知702t <<.由于四边形ABCD 是等腰梯形,因而其面积(1212S y y =⨯⋅-,则(()221212124.S y y y y y y ⎡⎤=++⋅+-⎣⎦①将12y y t +==代入①式,并令2()f t S =得()2327()(72)4948289834302f t t t t t t t ⎛⎫=+-=--++<< ⎪⎝⎭则2()2456982(27)(67)f t t t t t '=--+=-⨯+-.令()0f t '=,解得77,62t t ==-(舍去),当706t <<时,()0f t '>;当7762t <<时,()0f t '<.故当且仅当76t =时,()f t 有最大值,即四边形的面积最大,此时点T 的坐标为70,6⎛⎫⎪⎝⎭.五、强化训练1.平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,左,右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以 3为半径的圆与以2F 为圆心,以1为半径的圆相交且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆2222:1,44x y E P a b+=为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .①求||||OQ OP 的值;②求ABQ 面积的最大值.【解析】(1)由题意知24a =，则2a =，又222c a c b a =-=，可得1b =． ∴椭圆C 的方程为22 1.4x y += (2)由(1)知椭圆E 的方程为221164x y +=． ①设()00||,,||OQ P x y OP λ=，由题意知()00,Q x y λλ--． 220014x y +=，又()()2200 1.164x y λλ--+=即222001,244x y λλ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭，即||2||OQ OP =②设()()1122,,,A x y B x y ，将y kx m =+代人椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-=，由0∆>，可得22416m k <+，①则有2121212228416,.1414km m x x x x x x k k -+=-=∴-=++直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,).mOAB ∴的面积121||2S m x x =-=== 设2214m t k =+，将y kx m =+代人椭圆C 的方程， 可得()222148440k x kmx m +++-=，由0∆，可得2214m k +．②由①②可知01t<．因此S ===在(0,1]上递增，故23S ． 当且仅当1t =，即2214m k=+时取得最大值||2||OQ OP =， 由此可知，ABQ 的面积为3,S ABQ ∴面积的最大值为2.已知两点(0,1),(0,1)M N -,平面上动点(,)P x y 满足||||0NM MP MN NP ⋅+⋅= (1)求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程;(2)设(0,),(0,)(0)Q m R m m -≠是y 轴上两点,过Q 作直线与曲线C 交于,A B 两点,试证:直线,RA RB 与y 轴所成的锐角相等.(3)在(2)的条件中,若0m <,直线AB 的斜率为1,求RAB 面积的最大值.【解析】(1)||||0,(0,2)(,1)0NM MP MN NP x y +⋅=∴-⋅+=．化简整理得24x y =，即动点(,)P x y 的轨迹C 为拋物线，其方程为24x y =．（2）证明：过点Q 作直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，l ∴的斜率存在．设直线:l y kx m =+与24x y =联立，得2,4,y kx m x y =+⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx m --=则此方程有两个不相等的实数根．216160k m ∴∆=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x m +==-，要证明直线,RA RB 与y 轴所成锐角相等，只要证明0RA RB k k +=．(221222121212121121212144,,44444RA RBx x m mx x y m y m x x m m y y k k x x x x x x x ++++==∴+=+=+=+++=+)()()12212121044m x x m x x x x x m +⎛⎫+=++= ⎪-⎝⎭∴命题成立．(3)若直线AB 的斜率1k =，则直线方程为0x ym -+=． 由(2)知消去y 得2440x x m --=．由(1)式0∆>，得1m >-．10m ∴-<<，且12124,4.x x x x m+==-$||AB ==记点R 到直线AB 的距离为1,|||||2RABd d m SAB d m ==⋅== 设322(),()32f m m mf m m m '=+=+，令()0f m '>，知()f m 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭上递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴当23m =-时，()f m 有最大值，故RAB S ．1112。

高中数学《直线与圆锥曲线问题的处理方法》专题复习高分冲刺技巧例解及考点能力强化训练(A)篇高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0由方程组⎩⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -点A 到直线l 的距离为d∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）, l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5由方程组24x y my x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m ,∴S △=1211(5)||(522m y y m --=-＝451()22m -≤=∴S △≤82,当且仅当51()(1)22m m -=+即m =1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为例2已知双曲线C 2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”知识依托 二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式错解分析 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 第二问，算得以Q 为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了技巧与方法 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化解 (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点综上知 当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得 2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0, ∴m +n =2①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43 ②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1考点能力强化巩固训练1 斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A 2B554 C5104 D51082 抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( )A x 3=x 1+x 2B x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3C x 1+x 2+x 3=0D x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________4 已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p(1)求a 的取值范围(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值5 已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论参考答案:1 解析 弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104答案 C2 解析 解方程组⎩⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=a k,x 1x 2=－a b ,x 3=－kb,代入验证即可 答案 B3 解析 设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长 答案 18或504 解 (1)设直线l 的方程为 y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p ∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a 4p (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ), 从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+ 从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅ 当a 有最大值－4p时，S 有最大值为2p 25 解 (1)如图，设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12922y x -=1 (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0）， ∴其重心G 的坐标为(2，2）假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34∴l 的方程为y =34(x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在（B ）篇高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件 |F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标； (3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m的取值范围命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法错解分析 第三问在表达出“k =3625y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3故椭圆方程为92522y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=9因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上得22112222925925 925925 x y x y ⎧+=⨯ ⎪⎨+=⨯⎪⎩①②①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m 16 解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0 (当k =0时也成立)(以下同解法一)例2若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a的范围解法一 （对称曲线相交法）曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由2211y ax x ay ⎧=-⎨-=-⎩22()y x a x y ⇒+=- ∵ 0,x y +≠∴ 1y x a=-代入21y ax =-得 2110ax x a-+-=有两个不同的解， ∴ 213(1)4(1)04a a a ∆=--->⇒>解法二 （对称点法）设抛物线21y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交点的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称点00(,)A y x '--也在抛物线21y ax =-上则200200(1)1(2)()1y ax x a y ⎧=-⎨-=--⎩ 必有两组解(1)-(2)得220000()y x a x y +=- 必有两个不同解∵000y x +≠， ∴00()1a x y -=有解从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解∴ 22()4(1)a a a ∆=---+>∵ 0a ≠， ∴ 4a >解法三 （点差法）设抛物线21y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线0x y +=对称，且以00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21(1)x y a=+）内的点从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由211222(1)1(2)1y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩ (1)-(2)得 221212()y y a x x -=- ∴ 1212012()2AA y y k a x x ax x x '-==+=-由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a'=⇒=⇒==-⇒- 从而有 21113()(1)224a a a a <-+⇒>例3 试确定m 的取值范围，使得椭圆22143x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称设椭圆22143x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，且以00(,)M x y 为中点是椭圆22143x y +=内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由22112222(1)3412(2)3412x y x y ⎧+=⎨+=⎩(1)-(2)得 222212124()3()y y x x -=-- ∴ 012121212033()4()4AA x y y x x k x x y y y '-+==-=--+由00003113444AA x k y x y '=-⇒-=-⇒= 由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ⇒=-=-⇒--从而有222()(3)41(43131313m m m m --+<⇒<⇒∈-例4 已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值解 可设直线l 的方程为4x my =+代入22y px =得 2280y pmy p --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121212122()8,224y y y y y y p x x p p p=-=== 由题意知，OP ⊥OQ ，则0OP OQ =即 12121680x x y y p +=-=∴2p =此时，抛物线的方程为24y x =考点能力强化巩固训练1 在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________2 已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程 ①4x +2y －1=0, ②x 2+y 2=3, ③22x +y 2=1, ④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________3 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称(1)求双曲线C 的方程(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标参考答案:1 解析 设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得，(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2)即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8故所求直线方程为y =8x －15 答案 8x －y －15=02 解析 点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点 答案 ②③④3 解 (1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2)∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2(2)设直线l y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l设直线l ′ y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0 可得m 2+2k 2=2 ③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解得m =510,k =552,此时x =2212=--k mk,y =10 故B (22,10)。

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。

(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

、了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；..教学过程一、高考解读求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法二、复习预习1、直线和圆锥曲线的位置关系，常用联立方程组、判别式来判断，特别当直线与圆锥曲线有两个相异的公共点时，则此直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

注意弦长公式。

2、轨迹问题①常用方法有：直接法；待定系数法；定义法；转移法；参数法。

②区别是“求轨迹”还是“求轨迹方程”，若是“求轨迹”，求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型。

③要注意轨迹的范围问题。

3、圆锥曲线的最值问题：解法一般分为两种，一是几何法，特别是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用重要不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等来求解。

三、知识讲解考点1椭圆的概念与性质：（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=.椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

高中数学复习专题讲座：对于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的要点，主要考察学生识图、绘图、数形联合、等价转变、分类议论、逻辑推理、合理运算及创新思想能力，解决好这种问题，除要求同学们娴熟掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还经常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一同命制难度较大的题，解决这种问题常用定义法和待定系数法重难点概括一般求已知曲线种类的曲线方程问题，可采纳“先定形，后定式，再定量”的步骤定形——指的是二次曲线的焦点地点与对称轴的地点定式——依据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确立在哪个坐标轴上时，可设方程为22mx+ny=1(m ＞0,n ＞0) 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，经过解方程获得量的大小典型题例示范解说C'18m C例1某电厂冷却塔的外形是如下图的双曲线的一部20m此中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，此中、′是 A'14mAAA 的极点，、′是冷却塔上口直径的两个端点，、′是CCBB径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m,BB′=22m,B' 22mBm成立坐标系并写出该双曲线方程分，绕 双曲线 下底直塔高 20命题企图此题考察选择合适的坐标系成立曲线方程和解方程组的基础知识，考察应用所学积分知识、思想和方法解决实质问题的能力知识依靠待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标合适方程；积分法求体积错解剖析 成立合适的坐标系是解决此题的要点技巧与方法 此题是待定系数法求曲线方程 y解如图，成立直角坐标系, 使 ′在 x 轴上，′ C' xOy AAAA 点为坐标原点 ， ′与 ′平行于 x 轴 A' O CC BBo 设双曲线方程为 x 2 y 2＞ ＞ 则1 ′a 2b 2 =1(a 0,b 0), a = 2 AAB'又设B(11,y ),C(9, x)因为点B 、C 在双曲线上，因此12的中x =7B 有专心爱心专心112 y 12 1,92y 22172 b 2 72 b 2 由题意，知y －y=20,由以上三式得y=－12,y=8,b=722112故双曲线方程为 x 2 y 249 =198例2过点 (1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上y 1且y=A2 x2 的椭圆C 订交于A 、B 两点，直线y=1x 过线离心率为段2 2 o 1xAB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点对于直线 l 对B称，试求直线l 与椭圆C 的方程命题企图 此题利用对称问题来考察用待定系数法求曲线方程的方法，设计新奇，基础 性强 知识依靠 待定系数法求曲线方程，怎样办理直线与圆锥曲线问题，对称问题错解剖析 不可以合适地利用离心率设出方程是学生简单犯的错误 合适地利用好对称问 题是解决好此题的要点技巧与方法 此题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得对于直线 AB 斜率的等式 解法二，用韦达定理解法一c2 a 2 b21 22由e=,得a 2,进而a=2b,c=ba 2 2设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A(x1,y1), B(x2,y2)在椭圆上2+2y1222222222y 1 y 2 x 1 x 2.则x1=2b,x 2+2y2=2b,两式相减得，(x1 －x2)+2(y1－y2)=0,x 2 2(y 1y 2)x 1 设AB 中点为(x ,y ),则k =－ x 0,又(x,y)在直线y= 1 x 1 x,于是－ x 0 =－0 0 AB 2y0 0 02y 02 21,kAB=－1,设l 的方程为y=－x+1右焦点(b,0)对于l 的对称点设为(x′,y′),y1解得x1则xbx bby1y 122由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=9,a29168专心爱心专心∴所求椭圆C 的方程为8x 2 16 y 2=1,l 的方程为y=－x+19 9解法二 c 2 ,得 a 2 b 21 22由e= 2 a 2 , 进而a =2b,c=b a 2222l 的方程为y=k(x －1),设椭圆C 的方程为x+2y=2b, 2222224k将l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k)x －4kx+2k －2b=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－ 1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2k2k 21直线ly=1x 过AB 的中点(x1 x2,y1y2),则 1 k 1 1 2k2,解得k=0，或k=222 2k 2 2 2k 2－1若k=0,则l 的方程为y=0,焦点F(c,0)对于直线l 的对称点就是 F 点自己，不可以在椭圆C 上，因此k=0舍去，进而k=－1，直线l 的方程为y=－(x －1),即y=－x+1,以下同解法一例3如图，已知△POP 的面积为 27 ，P 为线段P1 PP 的一个三均分 12412点，求以直线 12P 的离心率为 13的双曲线方 OP 、OP 为渐近线且过点2Po程命题企图 此题考察待定系数法求双曲线的方程P 2 以及综合运用所 学知识剖析问题、解决问题的能力知识依靠 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标合适方程错解剖析利用离心率合适地找出双曲线的渐近线方程是此题的要点，正确地表示出 △P1OP2的面积是学生感觉困难的 y P1利用点P 在曲线上和△P1OP2的面积成立技巧与方法关 于 参数 a 、 b 的两个方程，进而求出 、 b 的值a解 以 O 为原点，∠12的角均分线为 x 轴成立如图 P 的 直POPo x 角坐标系P2设双曲线方程为x2y2=1(a＞0,b＞0)a2b2专心爱心专心由e 2=c21(b)2(13)2，得b3a2a2a2∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=3x和y=－3x22设点P(x,3x),P(x,－3x)(x＞0,x＞0),则由点P分P1P2所成的比λ=P1P=2,得P点1121222212PP2坐标为(x2x2,x2x),又点P在双曲线x24y2=1上，因此13122a29a2(x 2x2)2(x12x)212=1, 9a29a2即1221222122①(x+2x)－(x －2x)=9a,整理得8xx=9a又2921329213 |OP1|x14x12x1,|OP|x24x22x22tanP1Ox2312sinP1OP221tan2P1Ox19134S POP 1|OP||OP|sinPOP113xx21227, 2121224113412即x1x2=9②2由①、②得a2=4,b2=9故双曲线方程为x2y2=1 49双曲线x 22例4y2=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜4b 5, |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则2b=_________分析设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF|2PF|22+|222+|=2(|||)＜2(5+),PO FO c121即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c 2,又∵|1|2+| 2| 2=(| 1|－| 2|) 2+2| 1|·| 2|,PF PF PF PF PF PF 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,121222依已知条件有|PF|·| PF|=| FF| =4c16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜17,3专心爱心专心又∵c2=4+b2＜17,∴b2＜5,∴b2=1 33答案1学生稳固练习22y+m=0订交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥1已知直线x+2y－3=0与圆x +y+x－6OQ，则m等于()A3B－3C1D－1中心在原点，焦点在座标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为1，则椭圆方程为()2A.2x22y21B.2x22y21 25757525C.x2y21D.x2y21 257575253直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么拥有最短长轴的椭圆方程为_________4已知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________5已知椭圆的中心在座标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的随意点，|MF|的最大值和最小值的几何均匀数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=410，试求椭圆的方程36某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求此中最长的支柱的长A CD EFB7已知圆1的方程为(x－2)2+(y－1)2=20,椭圆2的方程为C3Cx2y222，假如C1与C2订交于A、B两点，且线段AB恰为圆a2b2=1(a＞b＞0)，C的离心率为2C1的直径，求直线 AB的方程和椭圆C2的方程参照答案:1分析将直线方程变成x=3－2y,代入圆的方程x2+y2+x－6y+m=0,得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0整理得5y2－20y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)专心爱心专心12m则y1y2=,y1+y2=4又∵P、Q 在直线x=3－2y 上，x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m －3=0，故m=3答案A2分析 由题意，可设椭圆方程为 y 2 x 2 22a 2b 2 =1, 且a=50+b,即方程为y 2x 2=150b 2 b 2将直线3x －y －2=0代入，整理成对于 x 的二次方程由x1+x2=1可求得b 2=25,a 2=75 答案C3 分析 所求椭圆的焦点为 F1(－1,0), F2(1,0),2 a=|PF1|+|PF2| 欲使2a 最小，只要在直线 l 上找一点 P 使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解 答案x2y2=1544 分析 设所求圆的方程为(x －a)2+(y －b)2=r 2(4a)2(2b)2 r2a1 a5 则有(1a)2(3b)2 r 2b0或b4|a|2(23)2r2r 213 r227由此可写所求圆的方程答案x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y+4=02225解|MF|max=a+c,|MF|min=a －c,则(a+c)(a －c)=a －c=b,∴b 2=4,设椭圆方程为x2y 21①a 24设过1和 2的直线方程为 y =－+② M M xm将②代入①得(4+2) x 2－2 2+22－4 2=0 ③a amxam a设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则 x 0=1 ( x 1+ 2)=a 2m ,0=－ x 0+=4m2x 4a 2y m 2 4a 专心爱心专心2m 4m y代入y=x,得a, 4a 2 4a2 D'oE'C'F 'x因为a 2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－4a2,4a 22410ACDEF B又| 12|= 2(x 1x 2) 4x 1x 2MM,3x2y2代入x2故所求椭圆方程为1+x2,x1x2可解a=5,5 =146 解 以拱顶为原点，水平线为 x 轴，成立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A 、 B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）设抛物线方程为x 2=－2py,将A 点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=125,于是抛物线方程为x 2=－25y由题意知E 点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为 2，将2代入得y=－016, 进而|EE′|=(－0 16) －(－4)=384 故最长支柱长应为 384 米2,可设椭圆方程为 2 2 7 解 由e= x 2 y 2 =1,2 2b b又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y 2=2,又x 12 y 12 x 2 2 y 2 2 x 12 x 2 2 y 12y 2 2 =0,2b2b21,2b2b2=1,两式相减，得2b2b2即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0化简得y1y2=－1,故直线AB 的方程为y=－x+3,x 1x 2代入椭圆方程得3x 2－12x+18－2b 2=0有=24b 2－72＞0,又|AB|=2(x 1 x 2)24x 1x 220, y3A24b 272202得2，解得b=893 ox 故所求椭圆方程为 x2y2 B16 8 =1课前后备注专心爱心专心。